Was bedeutet es, eine Differentialgleichung zu lösen? Differentialgleichungen

Entweder wurden sie bereits bezüglich der Ableitung gelöst, oder sie können bezüglich der Ableitung gelöst werden .

Allgemeine Lösung von Differentialgleichungen vom Typ auf dem Intervall X, die gegeben ist, kann gefunden werden, indem man das Integral beider Seiten dieser Gleichheit bildet.

Wir bekommen .

Wenn wir uns die Eigenschaften des unbestimmten Integrals ansehen, finden wir die gewünschte allgemeine Lösung:

y = F(x) + C,

Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x) dazwischen X, A MIT- beliebige Konstante.

Bitte beachten Sie, dass bei den meisten Problemen das Intervall X nicht angeben. Das bedeutet, dass für alle eine Lösung gefunden werden muss. X, wofür und die gewünschte Funktion j und die ursprüngliche Gleichung machen Sinn.

Wenn Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung berechnen müssen, die die Anfangsbedingung erfüllt y(x 0) = y 0, dann nach der Berechnung des allgemeinen Integrals y = F(x) + C, ist es noch notwendig, den Wert der Konstante zu bestimmen C = C 0, unter Verwendung der Anfangsbedingung. Das heißt, eine Konstante C = C 0 aus der Gleichung ermittelt F(x 0) + C = y 0, und die gewünschte Teillösung der Differentialgleichung wird die Form annehmen:

y = F(x) + C 0.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung finden und die Richtigkeit des Ergebnisses überprüfen. Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung für diese Gleichung finden, die die Anfangsbedingung erfüllen würde.

Lösung:

Nachdem wir die gegebene Differentialgleichung integriert haben, erhalten wir:

.

Nehmen wir dieses Integral mit der Methode der partiellen Integration:

Das., ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Um sicherzustellen, dass das Ergebnis korrekt ist, führen wir eine Überprüfung durch. Dazu setzen wir die gefundene Lösung in die gegebene Gleichung ein:

.

Das heißt, wann aus der ursprünglichen Gleichung wird eine Identität:

Daher wurde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung korrekt bestimmt.

Die von uns gefundene Lösung ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung für jeden reellen Wert des Arguments X.

Es bleibt noch eine bestimmte Lösung der ODE zu berechnen, die die Anfangsbedingung erfüllen würde. Mit anderen Worten: Es ist notwendig, den Wert der Konstante zu berechnen MIT, bei dem die Gleichheit wahr sein wird:

.

.

Dann ersetzen C = 2 In die allgemeine Lösung der ODE erhalten wir eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt:

.

Gewöhnliche Differentialgleichung kann nach der Ableitung gelöst werden, indem man die beiden Seiten der Gleichung durch dividiert f(x). Diese Transformation ist äquivalent, wenn f(x) geht unter keinen Umständen auf Null X aus dem Integrationsintervall der Differentialgleichung X.

Es gibt wahrscheinlich Situationen, in denen für einige Werte das Argument gilt X ∈ X Funktionen f(x) Und g(x) werden gleichzeitig Null. Für ähnliche Werte X Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist eine beliebige Funktion j, was in ihnen definiert ist, weil .

Wenn für einige Argumentwerte X ∈ X die Bedingung ist erfüllt, was bedeutet, dass die ODE in diesem Fall keine Lösungen hat.

Für alle anderen X aus dem Intervall X Aus der transformierten Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ermittelt.

Schauen wir uns Beispiele an:

Beispiel 1.

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung für die ODE finden: .

Lösung.

Aus den Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen geht hervor, dass die natürliche Logarithmusfunktion für nichtnegative Werte des Arguments definiert ist, daher der Definitionsbereich des Ausdrucks ln(x+3) es gibt ein Intervall X > -3 . Dies bedeutet, dass die gegebene Differentialgleichung sinnvoll ist X > -3 . Für diese Argumentwerte ist der Ausdruck x+3 verschwindet nicht, daher können Sie die ODE für die Ableitung lösen, indem Sie die beiden Teile durch dividieren x + 3.

Wir bekommen .

Als nächstes integrieren wir die resultierende Differentialgleichung, gelöst nach der Ableitung: . Um dieses Integral zu bilden, verwenden wir die Methode, es unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den Durchschnittsmenschen. Differentialgleichungen scheinen für viele Studierende unerschwinglich und schwer zu beherrschen zu sein. Uuuuuu... Differentialgleichungen, wie kann ich das alles überleben?!

Diese Meinung und diese Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich DIFFERENZGLEICHUNGEN – ES IST EINFACH UND SOGAR SPASS. Was müssen Sie wissen und können, um das Lösen von Differentialgleichungen zu lernen? Um Diffuses erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut in der Integration und Differenzierung sein. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema fast gemeistert! Je mehr Integrale unterschiedlicher Art Sie lösen können, desto besser. Warum? Weil man viel integrieren muss. Und differenzieren. Auch sehr zu empfehlen lernen zu finden Ableitung einer implizit angegebenen Funktion.

In 95 % der Fälle enthalten Prüfungsarbeiten drei Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: Gleichungen mit trennbaren Variablen, die wir in dieser Lektion betrachten werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für diejenigen, die anfangen, sich mit Diffusoren zu beschäftigen, empfehle ich Ihnen, die Lektionen in dieser Reihenfolge zu lesen. Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: Gleichungen in totalen Differentialen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Der wichtigste der letzten beiden Typen sind Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, da ich zusätzlich zu dieser Differentialgleichung neues Material betrachte – die partielle Integration.

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet Finden Reihe von Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß die gefundene Wurzel überprüfen und in unsere Gleichung einsetzen:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Die Diffusoren sind ähnlich gestaltet!

Differentialgleichung erste Bestellung, enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In manchen Fällen enthält die Gleichung erster Ordnung möglicherweise nicht „x“ und/oder „y“ – wichtig in den Kontrollraum gehen War erste Ableitung und gab es nicht Derivate höherer Ordnung – usw.

Was bedeutet es? Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet zu finden viele Funktionen, die diese Gleichung erfüllen. Dieser Funktionssatz wird aufgerufen allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo beginnt man mit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Erinnern wir uns an die umständliche Notation für die Ableitung: . Diese Bezeichnung für ein Derivat erschien vielen von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig, aber genau das gilt bei Diffusoren!

Also schreiben wir im ersten Schritt die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

In der zweiten Phase Stets Mal sehen, ob es möglich ist separate Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Griechen“, A auf der rechten Seite organisieren nur „X“. Die Aufteilung der Variablen erfolgt durch „schulische“ Manipulationen: Herausnehmen aus Klammern, Übertragen von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragen von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im betrachteten Beispiel lassen sich die Variablen leicht trennen, indem man die Faktoren nach der Proportionsregel verwürfelt:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite gibt es nur „Y’s“, auf der rechten Seite nur „X’s“.

Die nächste Stufe ist Integration der Differentialgleichung. Es ist ganz einfach, wir setzen auf beiden Seiten Integrale:

Natürlich müssen wir Integrale nehmen. In diesem Fall sind sie tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben. Es wird fast immer der rechten Seite zugeordnet.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit bilden. Die Lösung einer Differentialgleichung in impliziter Form heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, es handelt sich um ein allgemeines Integral.

Jetzt müssen wir versuchen, eine allgemeine Lösung zu finden, das heißt, wir müssen versuchen, die Funktion explizit darzustellen.

Denken Sie bitte an die erste Technik, sie ist sehr verbreitet und wird häufig bei praktischen Aufgaben eingesetzt. Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, empfiehlt es sich fast immer, die Konstante auch unter den Logarithmus zu schreiben.

Das heißt, anstatt Einträge werden in der Regel geschrieben .

Hier ist es die gleiche vollwertige Konstante wie . Warum ist das notwendig? Und um es einfacher zu machen, „Spiel“ auszudrücken. Wir verwenden die Schuleigenschaft von Logarithmen: . In diesem Fall:

Nun können Logarithmen und Moduli guten Gewissens aus beiden Teilen entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Viele Funktionen ist eine allgemeine Lösung einer Differentialgleichung.

Indem Sie einer Konstanten unterschiedliche Werte zuweisen, können Sie eine unendliche Anzahl erhalten private Lösungen Differentialgleichung. Jede der Funktionen , usw. wird die Differentialgleichung erfüllen.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. In diesem Beispiel die allgemeine Lösung ist eine Familie linearer Funktionen, genauer gesagt eine Familie direkter Proportionalität.

Viele Differentialgleichungen sind recht einfach zu testen. Das geht ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und ermitteln die Ableitung:

Wir setzen unsere Lösung und die gefundene Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde. Mit anderen Worten: Die allgemeine Lösung erfüllt die Gleichung.

Nach einer gründlichen Durchsicht des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten.

1)In diesem Beispiel konnten wir die Variablen trennen: . Kann das immer gemacht werden? Nein, nicht immer. Und noch häufiger können Variablen nicht getrennt werden. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung, müssen Sie es zuerst ersetzen. In anderen Arten von Gleichungen, zum Beispiel in einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verschiedene Techniken und Methoden anwenden, um eine allgemeine Lösung zu finden. Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein, nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann. Außerdem gibt es Integrale, die nicht verwendet werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D'Alembert- und Cauchy-Garantie. ...ugh, lurkmore.ru Ich habe gerade viel gelesen.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus einem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also das „y“ explizit auszudrücken? Nein, nicht immer. Zum Beispiel: . Wie kann man hier „Griechisch“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, diese ist jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

Wir werden uns nicht beeilen. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung.

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Je nach Zustand müssen Sie finden private Lösung DE erfüllt die Anfangsbedingung. Diese Formulierung der Frage wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht verwirren, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen getrennt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Integrieren wir die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Sternchen gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (drücken Sie das „y“ explizit aus). Erinnern wir uns an die guten alten Dinge aus der Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie unkoscher aus, daher wird sie normalerweise auf den Boden der Tatsachen zurückgeführt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Gradeigenschaft schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante, die wir mit dem Buchstaben bezeichnen:

Denken Sie daran, die Konstante „herunterzutragen“. Dies ist die zweite Technik, die häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: . Dies ist eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Ausgangsbedingung erfüllt. Auch das ist einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch der Wert einer Konstante, sodass die angegebene Anfangsbedingung erfüllt ist.

Es kann auf unterschiedliche Weise formatiert werden, aber dies ist wahrscheinlich die übersichtlichste Methode. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle des „X“ eine Null und anstelle des „Y“ eine Zwei:



Das heißt,

Standardausführung:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Schauen wir mal nach. Die Prüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Phasen.

Zunächst muss geprüft werden, ob die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle des „X“ ersetzen wir eine Null und schauen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde eine Zwei erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

– die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wurde richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Wir bewerten, ob es möglich ist, die Variablen zu trennen? Dürfen. Wir verschieben den zweiten Term mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir übertragen die Multiplikatoren nach der Proportionsregel:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts naht. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale Wenn Sie einige Beispiele gelöst haben, können Sie nirgendwo hingehen – Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden; wir behandeln das Integral des Kotangens mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte in diesem Fall auch die Konstante unter den Logarithmus geschrieben werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Wir „packen“ Logarithmen so weit wie möglich. Die Verpackung erfolgt anhand von drei Eigenschaften:

Bitte kopieren Sie diese drei Formeln in Ihr Arbeitsbuch; sie werden sehr häufig beim Lösen von Diffusen verwendet.

Ich werde die Lösung ausführlich beschreiben:

Das Packen ist abgeschlossen, entfernen Sie die Logarithmen:

Kann man „Spiel“ ausdrücken? Dürfen. Es ist notwendig, beide Teile auszurichten. Aber Sie müssen das nicht tun.

Dritter technischer Tipp: Wenn es für eine allgemeine Lösung notwendig ist, sich zu einer Macht zu erheben oder Wurzeln zu schlagen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung anmaßend und schrecklich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Zeichen.

Daher schreiben wir die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals. Es gilt als gute Praxis, das allgemeine Integral in der Form darzustellen, das heißt, auf der rechten Seite möglichst nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, dem Professor eine Freude zu machen ;-)

Antwort: allgemeines Integral:

Notiz:Das allgemeine Integral einer Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn Ihr Ergebnis also nicht mit einer zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet das nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral ist auch recht einfach zu überprüfen, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitungen einer implizit angegebenen Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und dividiere durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Cauchy-Problem aus zwei Phasen besteht:
1) Eine allgemeine Lösung finden.
2) Eine bestimmte Lösung finden.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe auch Beispiel 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt.
2) Überprüfen Sie, ob die jeweilige Lösung die Differentialgleichung im Allgemeinen erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung , die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst eine allgemeine Lösung finden. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und daher ist die Lösung vereinfacht. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten; ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen Logarithmen auf:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „X“ Null und anstelle von „Y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antwort: private Lösung:

Prüfen: Lassen Sie uns zunächst prüfen, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles brummt.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Finden der Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Setzen wir die gefundene Sonderlösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wurde.

Die zweite Methode zur Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Lassen Sie uns die Ableitung ausdrücken. Dazu dividieren wir alle Teile durch:

Und in das transformierte DE ersetzen wir die erhaltene Teillösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen. Präsentieren Sie die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, eine vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lauern beim Lösen von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer Teekanne), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen: . Es ist klar, was als nächstes zu tun ist.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale sind oft nicht die einfachsten, und es gibt Mängel in den Findungskompetenzen unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „Da die Differentialgleichung einfach ist, sollen die Integrale komplizierter sein“ bei Verfassern von Sammlungen und Schulungshandbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, kann man mit einer Konstante in Differentialgleichungen fast alles machen. Und solche Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer verständlich. Schauen wir uns ein weiteres bedingtes Beispiel an: . Es empfiehlt sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, empfiehlt es sich, die Konstante in Form einer anderen Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Infolgedessen nimmt der Lösungsdatensatz die folgende Form an:

Was zum Teufel ist das? Es gibt auch Fehler. Formal ja. Aber informell - es liegt kein Fehler vor; es versteht sich, dass beim Konvertieren einer Konstante immer noch eine andere Konstante erhalten wird.

Nehmen wir in diesem Beispiel an, dass im Zuge der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, die Vorzeichen aller Faktoren zu ändern: . Formal liegt laut Aufzeichnung erneut ein Fehler vor, es hätte aufgeschrieben werden müssen. Aber informell versteht man, dass es sich immer noch um eine andere Konstante handelt (außerdem kann sie jeden Wert annehmen), sodass das Ändern des Vorzeichens einer Konstante keinen Sinn ergibt und Sie denselben Buchstaben verwenden können.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und den Konstanten bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes zuzuweisen.

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen. Prüfung durchführen.

Lösung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir:

Es ist nicht notwendig, die Konstante hier als Logarithmus zu definieren, da dabei nichts Nützliches herauskommt.

Antwort: allgemeines Integral:

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort (implizite Funktion):

Wir entfernen Brüche, indem wir beide Terme multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung des DE.
,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Der einzige Kommentar ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten und, genauer gesagt, Sie müssen es schaffen, nicht eine bestimmte Lösung zu finden, sondern Teilintegral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wie bereits erwähnt, entstehen in Diffusen mit separierbaren Variablen häufig nicht die einfachsten Integrale. Und hier sind noch ein paar weitere solcher Beispiele, die Sie selbst lösen können. Ich empfehle jedem, unabhängig von seinem Vorbereitungsgrad, die Beispiele Nr. 9-10 zu lösen, damit er seine Fähigkeiten im Finden von Integralen auf den neuesten Stand bringen oder Wissenslücken schließen kann.

Beispiel 9

Differentialgleichung lösen

Beispiel 10

Differentialgleichung lösen

Denken Sie daran, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, ein allgemeines Integral zu schreiben, und dass Ihre Antworten möglicherweise anders aussehen als meine Antworten. Kurze Lösung und Antworten am Ende der Lektion.

Viel Spaß bei der Promotion!

Beispiel 4:Lösung: Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden. Wir trennen die Variablen:


Integrieren wir:



Das allgemeine Integral wurde erhalten; wir versuchen es zu vereinfachen. Packen wir Logarithmen ein und werden wir sie los:

Differentialgleichungen erster Ordnung nach der Ableitung aufgelöst

So lösen Sie Differentialgleichungen erster Ordnung

Lassen Sie uns eine Differentialgleichung erster Ordnung nach der Ableitung auflösen:
.
Wenn wir diese Gleichung durch dividieren, erhalten wir eine Gleichung der Form:
,
Wo .

Als nächstes prüfen wir, ob diese Gleichungen zu einem der unten aufgeführten Typen gehören. Wenn nicht, schreiben Sie die Gleichung in Form von Differentialen um. Dazu schreiben wir die Gleichung auf und multiplizieren sie mit .
.

Wenn diese Gleichung keine totale Differentialgleichung ist, dann gehen wir davon aus, dass in dieser Gleichung die unabhängige Variable a eine Funktion von ist.
.
Teilen Sie die Gleichung durch:

Als nächstes prüfen wir, ob diese Gleichung zu einem der unten aufgeführten Typen gehört, wobei wir berücksichtigen, dass wir die Plätze getauscht haben.
,
Wenn für diese Gleichung kein Typ gefunden wurde, prüfen wir, ob es möglich ist, die Gleichung durch einfache Substitution zu vereinfachen. Wenn die Gleichung beispielsweise lautet:
.

dann merken wir das.

Dann nehmen wir eine Auswechslung vor.

;
.
Danach nimmt die Gleichung eine einfachere Form an:
.

Wenn dies nicht hilft, versuchen wir, den integrierenden Faktor zu finden.

Trennbare Gleichungen

Teilen durch und integrieren. Wenn wir bekommen:
,
Gleichungen reduzieren sich auf trennbare Gleichungen
;
.
Homogene Gleichungen

Wir lösen durch Substitution:

wo ist eine Funktion von .
;
.
Dann
;
.
Wir trennen die Variablen und integrieren.

Gleichungen, die auf homogen reduzieren

Geben Sie die Variablen ein und:

Wir wählen Konstanten und so, dass die freien Terme verschwinden:

Als Ergebnis erhalten wir eine homogene Gleichung in den Variablen und .

Verallgemeinerte homogene Gleichungen
Machen wir einen Ersatz.
.
;
.
Wir erhalten eine homogene Gleichung in den Variablen und .
.

Lineare Differentialgleichungen
Es gibt drei Methoden zum Lösen linearer Gleichungen.

2) Bernoullis Methode.
,
Wir suchen eine Lösung in Form eines Produkts aus zwei Funktionen und einer Variablen:
.
Wir können eine dieser Funktionen beliebig wählen. Daher wählen wir eine beliebige Lösung der Gleichung ungleich Null als:

3) Methode zur Variation der Konstante (Lagrange).

Hier lösen wir zunächst die homogene Gleichung:

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form:
.
wo ist eine Konstante. Als nächstes ersetzen wir die Konstante durch eine Funktion, die von der Variablen abhängt:
;
.
In die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, aus der wir bestimmen.
.
Bernoulli-Gleichungen

Durch Substitution wird die Bernoulli-Gleichung auf eine lineare Gleichung reduziert.

Diese Gleichung kann auch mit der Bernoulli-Methode gelöst werden. Das heißt, wir suchen nach einer Lösung in Form eines Produkts zweier Funktionen in Abhängigkeit von der Variablen:

Setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung ein:
,
Wir wählen eine beliebige Lösung der Gleichung ungleich Null als:
Nachdem wir ermittelt haben, erhalten wir eine Gleichung mit separierbaren Variablen für.

Riccati-Gleichungen
,
Wo .

Es kann nicht in allgemeiner Form gelöst werden. Auswechslung
Die Riccati-Gleichung wird auf die Form reduziert:

wo ist eine Konstante; ;

.
.

Als nächstes durch Substitution:

es wird auf die Form reduziert:
.
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichheit das Differential einer Funktion:
.
Dann
.
Daraus erhalten wir das Integral der Differentialgleichung:
.

Um die Funktion zu finden, ist die Methode der sequentiellen Differentialextraktion die bequemste Methode. Verwenden Sie dazu die Formeln:
;
;
;
.

Integrierender Faktor

Wenn eine Differentialgleichung erster Ordnung auf keinen der aufgeführten Typen reduziert werden kann, können Sie versuchen, den integrierenden Faktor zu finden.

Ein integrierender Faktor ist eine Funktion, mit der eine Differentialgleichung multipliziert zu einer Gleichung in totalen Differentialgleichungen wird. Eine Differentialgleichung erster Ordnung hat unendlich viele Integrationsfaktoren. Es gibt jedoch keine allgemeinen Methoden zur Bestimmung des Integrationsfaktors.

Gleichungen für die Ableitung y nicht gelöst“

Gleichungen, die nach der Ableitung y gelöst werden können

Zuerst müssen Sie versuchen, die Gleichung nach der Ableitung zu lösen.

Wenn möglich, kann die Gleichung auf einen der oben aufgeführten Typen reduziert werden.
,
Gleichungen, die faktorisiert werden können
;
;

;
Wenn Sie die Gleichung faktorisieren können:
dann reduziert sich das Problem auf die sequentielle Lösung einfacherer Gleichungen:
.
;
.
Wir glauben.

Dann
oder .
Als nächstes integrieren wir die Gleichung:
Als Ergebnis erhalten wir den Ausdruck der zweiten Variablen durch den Parameter.
;
.

Allgemeinere Gleichungen:

oder

werden auch in parametrischer Form gelöst. Dazu müssen Sie eine Funktion auswählen, die Sie aus der ursprünglichen Gleichung oder durch den Parameter ausdrücken können.

Um die zweite Variable durch den Parameter auszudrücken, integrieren wir die Gleichung:

Gleichungen für y aufgelöst

Clairaut-Gleichungen

Diese Gleichung hat eine allgemeine Lösung

Lagrange-Gleichungen
Wir suchen eine Lösung in parametrischer Form. Wir gehen davon aus, dass where ein Parameter ist.
Gleichungen, die zur Bernoulli-Gleichung führen

Diese Gleichungen werden auf die Bernoulli-Gleichung reduziert, wenn wir ihre Lösungen in parametrischer Form suchen, indem wir einen Parameter einführen und die Substitution vornehmen. Verwendete Literatur: absolut kostenlos. Sie können auch ein Cauchy-Problem definieren, um aus der gesamten Menge möglicher Lösungen den Quotienten auszuwählen, der den gegebenen Anfangsbedingungen entspricht. Das Cauchy-Problem wird in einem separaten Feld eingetragen.

Differentialgleichung

Standardmäßig ist die Funktion in der Gleichung j ist eine Funktion einer Variablen X. Sie können jedoch eine eigene Bezeichnung für die Variable angeben; wenn Sie beispielsweise y(t) in die Gleichung schreiben, erkennt der Rechner dies automatisch j Es gibt eine Funktion aus einer Variablen T. Mit Hilfe eines Taschenrechners können Sie Differentialgleichungen lösen beliebiger Komplexität und Art: homogen und inhomogen, linear oder nichtlinear, erster Ordnung oder zweiter und höherer Ordnung, Gleichungen mit trennbaren oder nicht trennbaren Variablen usw. Lösungsunterschied. Die Gleichung wird in analytischer Form angegeben und enthält eine detaillierte Beschreibung. Differentialgleichungen sind in der Physik und Mathematik sehr verbreitet. Ohne deren Berechnung ist es unmöglich, viele Probleme (insbesondere in der mathematischen Physik) zu lösen.

Einer der Schritte zur Lösung von Differentialgleichungen ist die Integration von Funktionen. Es gibt Standardmethoden zur Lösung von Differentialgleichungen. Es ist notwendig, die Gleichungen auf eine Form mit separierbaren Variablen y und x zu reduzieren und die separierten Funktionen separat zu integrieren. Dazu muss manchmal ein bestimmter Austausch vorgenommen werden.

Anweisungen

Wenn die Gleichung in der Form dy/dx = q(x)/n(y) dargestellt wird, klassifizieren Sie sie als Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen. Sie können gelöst werden, indem die Bedingung wie folgt in Differentialen geschrieben wird: n(y)dy = q(x)dx. Dann integrieren Sie beide Seiten. In einigen Fällen wird die Lösung in Form von Integralen aus bekannten Funktionen geschrieben. Im Fall von dy/dx = x/y erhalten wir beispielsweise q(x) = x, n(y) = y. Schreiben Sie es in der Form ydy = xdx und integrieren Sie es. Es sollte y^2 = x^2 + c sein.

Zu linear Gleichungen Verknüpfen Sie die Gleichungen mit „zuerst“. Eine unbekannte Funktion mit ihren Ableitungen geht nur im ersten Grad in eine solche Gleichung ein. Linear hat die Form dy/dx + f(x) = j(x), wobei f(x) und g(x) von x abhängige Funktionen sind. Die Lösung wird unter Verwendung von Integralen aus bekannten Funktionen geschrieben.

Bitte beachten Sie, dass viele Differentialgleichungen Gleichungen zweiter Ordnung sind (die zweite Ableitungen enthalten). Die Gleichung der einfachen harmonischen Bewegung wird beispielsweise in der allgemeinen Form geschrieben: md 2x/dt 2 = –kx. Für solche Gleichungen gibt es bestimmte Lösungen. Die Gleichung der einfachen harmonischen Bewegung ist ein Beispiel für etwas ganz Wichtiges: lineare Differentialgleichungen, die einen konstanten Koeffizienten haben.

Wenn es in den Problembedingungen nur eine lineare Gleichung gibt, dann wurden Ihnen zusätzliche Bedingungen gegeben, durch die Sie eine Lösung finden können. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um diese Bedingungen zu finden. Wenn Variablen x und y geben Distanz, Geschwindigkeit, Gewicht an – Sie können den Grenzwert gerne x≥0 und y≥0 festlegen. Es ist durchaus möglich, dass x oder y die Anzahl der Äpfel usw. verbirgt. – dann können die Werte nur sein. Wenn x das Alter des Sohnes ist, ist es klar, dass er nicht älter als sein Vater sein kann, also geben Sie dies in den Bedingungen der Aufgabe an.

Quellen:

• wie man eine Gleichung mit einer Variablen löst

Probleme der Differential- und Integralrechnung sind wichtige Elemente bei der Festigung der Theorie der mathematischen Analysis, einem Zweig der höheren Mathematik, der an Universitäten studiert wird. Differential Gleichung durch die Integrationsmethode gelöst.

Anweisungen

Die Differentialrechnung untersucht die Eigenschaften von . Und umgekehrt ermöglicht die Integration einer Funktion gegebene Eigenschaften, d.h. Ableitungen oder Differentiale einer Funktion, um sie selbst zu finden. Dies ist die Lösung der Differentialgleichung.

Alles ist eine Beziehung zwischen einer unbekannten Größe und bekannten Daten. Bei einer Differentialgleichung übernimmt eine Funktion die Rolle der Unbekannten und deren Ableitungen die Rolle bekannter Größen. Darüber hinaus kann die Beziehung eine unabhängige Variable enthalten: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, wobei x eine Unbekannte ist Variable, y(x) ist die zu bestimmende Funktion, die Ordnung der Gleichung ist die maximale Ordnung der Ableitung (n).

Eine solche Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Enthält die Beziehung mehrere unabhängige Variablen und partielle Ableitungen (Differentiale) der Funktion nach diesen Variablen, dann heißt die Gleichung partielle Differentialgleichung und hat die Form: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , wobei z(x, y) die erforderliche Funktion ist.

Um zu lernen, wie man Differentialgleichungen löst, müssen Sie in der Lage sein, Stammfunktionen zu finden, d. h. Lösen Sie das Problem invers zur Differentiation. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung erster Ordnung y’ = -y/x.

LösungErsetzen Sie y’ durch dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduzieren Sie die Gleichung auf eine für die Integration geeignete Form. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten mit dx und dividieren Sie durch y:dy/y = -dx/x.

Integriere: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Diese Lösung wird als allgemeine Differentialgleichung bezeichnet. C ist eine Konstante, deren Wertemenge die Lösungsmenge der Gleichung bestimmt. Für jeden spezifischen Wert von C ist die Lösung eindeutig. Diese Lösung ist eine Teillösung der Differentialgleichung.

Lösen der meisten Gleichungen höherer Ordnung Grad hat keine klare Formel zum Finden von Quadratwurzeln Gleichungen. Es gibt jedoch mehrere Reduktionsmethoden, mit denen Sie eine Gleichung höheren Grades in eine visuellere Form umwandeln können.

Anweisungen

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung von Gleichungen höheren Grades ist die Erweiterung. Dieser Ansatz ist eine Kombination aus der Auswahl ganzzahliger Wurzeln, Teiler des freien Termes und der anschließenden Division des allgemeinen Polynoms in die Form (x – x0).

Lösen Sie beispielsweise die Gleichung x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Lösung: Der freie Term dieses Polynoms ist -3, daher können seine ganzzahligen Teiler die Zahlen ±1 und ±3 sein. Setzen Sie sie einzeln in die Gleichung ein und finden Sie heraus, ob Sie die Identität erhalten: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Zweite Wurzel x = -1. Teilen Sie durch den Ausdruck (x + 1). Schreiben Sie die resultierende Gleichung auf (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Der Grad wurde auf die Sekunde reduziert, daher kann die Gleichung zwei weitere Wurzeln haben. Um sie zu finden, lösen Sie die quadratische Gleichung: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Die Diskriminante ist ein negativer Wert, was bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Wurzeln mehr hat. Finden Sie die komplexen Wurzeln der Gleichung: x = (-2 + i·√11)/2 und x = (-2 – i·√11)/2.

Eine andere Methode zur Lösung einer Gleichung höheren Grades besteht darin, Variablen zu ändern, um sie quadratisch zu machen. Dieser Ansatz wird verwendet, wenn alle Potenzen der Gleichung gerade sind, zum Beispiel: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Finden Sie nun die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Tipp 10: So ermitteln Sie Redoxgleichungen

Eine chemische Reaktion ist ein Prozess der Umwandlung von Stoffen, der mit einer Änderung ihrer Zusammensetzung einhergeht. Die reagierenden Stoffe nennt man Ausgangsstoffe, die dabei entstehenden Stoffe nennt man Produkte. Es kommt vor, dass bei einer chemischen Reaktion die Elemente, aus denen die Ausgangsstoffe bestehen, ihren Oxidationszustand ändern. Das heißt, sie können die Elektronen eines anderen aufnehmen und ihre eigenen abgeben. In beiden Fällen ändert sich ihre Ladung. Solche Reaktionen werden Redoxreaktionen genannt.