Mathematische Analyse, Funktionsanalyse. Eigenschaften konvergenter Reihen. Im Vortragsvortrag

Mathematische Analyse, Funktionsanalyse

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• Akhiezer N., Kerin M. Zu einigen Fragen der Momententheorie. Charkow: GNTIU, 1938 (djvu)
• Akhiezer N.I. Das klassische Problem der Momente und einige damit verbundene Analysefragen. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu)
• Balk M.B., Petrov V.A., Polukhin A.A. Arbeitsbuch Theorie analytische Funktionen. M.: Bildung, 1976 (djvu)
• Beckenbach E., Bellman R. Einführung in Ungleichheiten. M: Mir, 1965 (djvu)
• Bernstein S.N. Extreme Eigenschaften von Polynomen und beste Näherung kontinuierliche Funktionen eine reelle Variable. Teil 1. Leningrad-M.: GROTL, 1937 (djvu)
• Bermant A.F. Also mathematische Analyse. Teil I (12. Aufl.). M. Fizmatgiz, 1959 (djvu)
• Bermant A.F. Kurs der mathematischen Analyse. Teil II (9. Aufl.). M. Fizmatgiz, 1959 (djvu)
• Bermant A.F., Aramanovich I.G. Kurzer Kurs Mathematische Analyse für technische Hochschulen (5. Aufl.). M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Brelo M. Über Topologien und Grenzen in der Potentialtheorie. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Brudno A.L. Theorie der Funktionen einer reellen Variablen. M.: Nauka, 1971 (djvu)
• Budak B.M., Fomin S.V. Mehrere Integrale und Reihen. M.: Nauka, 1965 (djvu)
• Budylin A.M. Fourierreihen und Integrale. L.: Staatliche Universität St. Petersburg, 2002 (pdf)
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• Vallee-Poussin C.-J. Kurs zur Analyse von Infinitesimalzahlen, Band 2. L.-M.: GTTI, 1933 (djvu)
• Vilenkin N.Ya., Bokhan K.A., Maron I.A., Matveev I.V., Smolyansky M.L., Tsvetkov A.T. Aufgabenbuch für den Kurs der mathematischen Analysis. Teil I. M.: Enlightenment, 1971 (djvu)
• Vilenkin N.Ya., Bokhan K.A., Maron I.A., Matveev I.V., Smolyansky M.L., Tsvetkov A.T. Aufgabenbuch für den Kurs der mathematischen Analyse. Teil II. M.: Bildung, 1971 (djvu)
• Vulikh B.Z. Einführung in die Funktionsanalyse (2. Aufl.). M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Vulikh B.Z. Ein kurzer Kurs über die Funktionstheorie einer reellen Variablen. Einführung in die Integraltheorie (2. Aufl.). M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Vygodsky M.Ya. Handbuch der Höheren Mathematik (12. Aufl.). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Vygodsky M.Ya. Grundlagen der Infinitesimalrechnung (3. Aufl.). M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Hardy G. Integration elementare Funktionen. M.-L.: ONTI, 1935 (djvu)
• Gelbaum B., Olmstead J. Gegenbeispiele in der Analyse. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Gelfand I.M., Vilenkin N.Ya. Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gerahmte Hilbert-Räume. (Verallgemeinerte Funktionen, Ausgabe 4). M.: Fizmatlit, 1961 (djvu)
• Gelfand I.M., Graev M., Vilenkin N.Ya. Integrale Geometrie und verwandte Fragen der Darstellungstheorie. (Verallgemeinerte Funktionen, Ausgabe 5). M.: Fizmatlit, 1962 (djvu)
• Gelfand I.M., Graev M., Pyatetsky-Shapiro I. Darstellungstheorie und automorphe Funktionen (Verallgemeinerte Funktionen, Ausgabe 6). M.: Fizmatlit, 1966 (djvu)
• Gelfand I.M., Raikov D.A., Shilov G.E. Kommutativ normierte Ringe. M.: GIFML, 1960 (djvu)
• Gelfand I.M., Shilov G.E. Generische Funktionen und Operationen auf ihnen (Generic Functions, Ausgabe 1) (2. Aufl.). M.: Fizmatlit, 1959 (djvu)
• Gelfand I.M., Shilov G.E. Räume grundlegender und verallgemeinerter Funktionen (Generalisierte Funktionen, Ausgabe 2). M.: Fizmatlit, 1958 (djvu)
• Gelfand I.M., Shilov G.E. Einige theoretische Fragen Differentialgleichungen(Verallgemeinerte Funktionen, Ausgabe 3). M.: Fizmatlit, 1958 (djvu)
• Gliwenko V.I. Stieltjes-Integral. L.: ONTI, 1936 (djvu)
• Gradshtein I.S. Ryzhik I.M. Tabellen mit Integralen, Summen, Reihen und Produkten (4. Aufl.). M.: Nauka, 1963 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analyse, Band 1, Teil 1. Ableitungen und Differentiale. Bestimmte Integrale. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analyse, Band 1, Teil 2. Serienerweiterungen. Geometrische Anwendungen. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analysis, Band 2, Teil 1. Theorie analytischer Funktionen. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analyse, Band 2, Teil 2. Differentialgleichungen. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analyse, Band 3, Teil 1. Unendlich enge Integrale. Partielle Differentialgleichungen. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Gursa E. Kurs der mathematischen Analysis, Band 3, Teil 2. Integralgleichungen. Variationsrechnung. M.-L.: GTTI, 1934 (djvu)
• De Bruijn N.G. Asymptotische Methoden in der Analyse. M.: IL, 1961 (djvu)
• De Rham J. Differenzierbare Sorten. M.: IL, 1956 (djvu)
• Davydov N.A., Korovkin P.P., Nikolsky V.N. Sammlung von Problemen in der mathematischen Analyse (4. Aufl.). M.: Bildung, 1973 (djvu)
• Demidovich B.P. (Hrsg.). Probleme und Übungen zur mathematischen Analysis für Fachhochschulen (6. Aufl.). M.: Nauka, 1968 (djvu)
• Demidovich B.P. (Hrsg.) Probleme und Übungen der mathematischen Analysis für Fachhochschulen (10. Aufl.). M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Demidovich B.P. Sammlung von Problemen und Übungen zur mathematischen Analysis. M.: Nauka, 1966 (djvu)
• Demidov A.S. Verallgemeinerte Funktionen in der mathematischen Physik: Hauptideen und Konzepte. New York: Nova Science, 2001 (pdf)
• Jackson D. Fourier-Reihe und orthogonale Polynome. M.: IL, 1948 (djvu)
• Jenkins G., Watts D. Spektralanalyse und seine Anwendungen. Ausgabe 1. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Jenkins G., Watts D. Spektralanalyse und ihre Anwendungen. Ausgabe 2. M.: Mir, 1972 (djvu)
• Dieudonne J. Grundlagen moderne Analyse. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Egorova I.A. Ein Arbeitsbuch zur mathematischen Analyse. Teil III. Funktionen mehrerer Variablen. M.: Uchpedgiz, 1962 (djvu)
• Erugin N.P. Implizite Funktionen. L.: Staatliche Universität Leningrad, 1956 (djvu)
• Zaporozhets G.I. Ein Leitfaden zur Lösung von Problemen in der mathematischen Analyse (4. Aufl.). M.: Handelshochschule, 1966 (djvu)
• Zeldovich B., Myshkis A.D. Elemente Angewandte Mathematik(3. Aufl.). M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Zeldovich Ya.B., Yaglom I.M. Höhere Mathematik für angehende Physiker und Techniker. M.: Nauka, 1982 (djvu)
• Zigmund A. Trigonometrische Reihe, Band 1. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Zygmund A. Trigonometrische Reihe, Band 2. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Yoshida K. Funktionsanalyse. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Kazimirov N.I. Mathematische Analyse. Vorlesungsskript für das erste Jahr, PetrSU (pdf)
• Kalinin V.V., Petrova I.V., Kharin V.T. Unbestimmte und bestimmte Integrale (Mathematik im Öl- und Gasunterricht, Ausgabe 3, Teil 1). M.: MGUNG im. IHNEN. Gubkina, 2005 (pdf)
• Kamke E. Lebesgue-Stieltjes-Integral. M.: Fizmatlit, 1959 (djvu)
• Kaplan I.A. Praktische Übungen in höherer Mathematik. Teile 1, 2, 3. Analytische Geometrie im Flugzeug und im Weltraum. Differentialrechnung von Funktionen einer und mehrerer unabhängiger Variablen. Integralrechnung von Funktionen einer unabhängigen Variablen, Integration von Differentialgleichungen (3. Aufl.). Charkow: KhSU, 1967 (djvu)
• Kaplan I.A. Praktische Kurse in höherer Mathematik. Teil II. Differentialrechnung von Funktionen einer und mehrerer unabhängiger Variablen (5. Aufl.). Charkow: Vishcha-Schule, 1973 (djvu)
• Kaplan I.A. Praktische Kurse in höherer Mathematik. Teil III. Integralrechnung einer Funktion einer unabhängigen Variablen. Integration von Differentialgleichungen (4. Aufl.). Charkow: Vishcha School, 1974 (djvu)
• Kaplan I.A. Praktische Kurse in höherer Mathematik. Teil IV. Multiple und krummlinige Integrale (2. Aufl.). Charkow: KhSU, 1971 (djvu)
• Kaplan I.A. Praktische Kurse in höherer Mathematik. Teil V Numerische Lösung algebraische und transzendente Gleichungen, Matrizenrechnung, Vektoranalyse und Integration linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. (2. Aufl.). Charkow: KhSU, 1972 (djvu)
• Karlin S., Stadden V. Tschebyscheff-Systeme und ihre Anwendung in Analyse und Statistik. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Cartan A. Differentialrechnung. Differentialformen. M.: Mir, 1971 (djvu) (djvu)
• Kachenovsky M.I., Bokhan K.M., Karpenko K.M. Sammlung Tests in mathematischen Disziplinen. Ausgabe I. M.: Uchpedgiz, 1958 (djvu)
• Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Reihen- und Fourier-Integral. Feldtheorie. Analytische und spezielle Funktionen. Laplace-Transformation. M.: Nauka, 1964 (djvu)
• Collatz L. Funktionsanalyse und Computermathematik. M.: Mir, 1969 (djvu)
• Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elemente der Funktionentheorie und Funktionsanalyse(4. Aufl.). M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Copson E.T. Asymptotische Entwicklungen. M.: Mir, 1966 (djvu)
• Korn G., Korn T. Handbuch der Mathematik für wissenschaftliche Mitarbeiter und Ingenieure. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Korobov N.M. Zahlentheoretische Methoden in der Näherungsanalyse. M.: Fizmatlit, 1963 (djvu)
• Cauchy G.A.L. Differential- und Integralrechnung. St. Petersburg: Kaiserliche Akademie Wissenschaften, 1831 (djvu)
• Kerin S.G., Ushakova V.N. Mathematische Analyse elementarer Funktionen. M.: GIFML, 1963 (djvu)
• Kurant R. Kurs zur Differential- und Integralrechnung, Band 1. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Kurant R. Kurs zur Differential- und Integralrechnung, Band 2. M.: Nauka, 1970 (djvu)
• Kushner B.A. Vorlesungen zur konstruktiven mathematischen Analyse. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Landau E. Grundlagen der Analyse. M.: IL, 1947 (djvu)
• Laschenov K.V. Ein Arbeitsbuch zur mathematischen Analyse. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen. M.: Uchpedgiz, 1963 (djvu)
• Lebesgue A. Integration und Finden primitiver Funktionen. M.-L.: GTTI, 1934 (djvu)
• Levitan B.M. Fast periodische Funktionen. M.: GITTL, 1953 (djvu)
• Levitan B.M., Zhikov V.V. Fast periodische Funktionen und Differentialgleichungen. M.: MSU, 1978 (djvu)
• Lang S. Einführung in die Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Lefort G. Algebra und Analyse. Aufgaben. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Likholetov I.I., Matskevich I.P. Ein Leitfaden zur Lösung von Problemen in der höheren Mathematik, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik(2. Aufl.). Mn.: Wysch. Schule, 1969 (DJVU)
• L'Hopital G.F. Analyse von Infinitesimalzahlen. M.-L.: Gostekhteorizdat, 1935 (djvu)
• Luzin N.N. Differentialrechnung (7. Aufl.). M.: Höher. Schule, 1961 (DJVU)
• Luzin N.N. Integrale und trigonometrische Reihen. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
• Luzin N.N. Integralrechnung (7. Aufl.). M.: Höher. Schule, 1961 (DJVU)
• Luzin N.N. Über einige neue Ergebnisse der deskriptiven Funktionentheorie. M.-L.: Akademie der Wissenschaften der UdSSR, 1935 (djvu)
• Luzin N.N. Aktueller Stand Theorie der Funktionen einer reellen Variablen. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)
• Lumis L. Einführung in die abstrakte harmonische Analyse. M.: IL, 1956 (djvu)
• Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Elemente des Funktionalen (2. Aufl.). M.: Nauka, 1965 (djvu)
• McDonald I. Symmetrische Funktionen und Hall-Polynome. M.: Mir, 1972 (djvu)
• Malgrange B. Ideale differenzierbarer Funktionen. M.: Mir, 1968 (djvu)
• Maron I.A. Differential- und Integralrechnung in Beispielen und Problemen. Funktionen einer Variablen. M.: Nauka, 1970 (DJVU)
• Myshkis A.D. Vorlesungen über höhere Mathematik (4. Aufl.). M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Myshkis A.D. Mathematik für Hochschulen. Spezielle Kurse. M.: Nauka, 1971 (djvu)
• Narasimhan R. Analyse realer und komplexer Mannigfaltigkeiten. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Nathanson I.P. Konstruktive Theorie Funktionen. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu)
• Nathanson I.P. Theorie der Funktionen einer reellen Variablen. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• Nathanson I.P. Theorie der Funktionen einer reellen Variablen (3. Aufl.). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Nezbaylo T.G. Neue Theorie Berechnung des unbestimmten Integrals. St. Petersburg: Corona-Vek, 2007 (pdf)
• Nemytsky V., Sludskaya M., Cherkasov A. Kurs in mathematischer Analyse. Band I. M.-L.: GITTL, 1940 (djvu)
• Ochan Yu.S. Sammlung von Problemen und Theoremen zur Theorie der Funktionen einer reellen Variablen. M.: Bildung, 1963 (djvu)
• Parfentiev N.N. Forschung zur Theorie des Funktionswachstums. Kasan, KazUn, 1910 (djvu)
• Pogorelov A.I. Tests zur mathematischen Analyse. M.: Uchpedgiz, 1951 (djvu)
• Pogorelov A.I. Sammlung von Problemen der höheren Mathematik. M.: Uchpedgiz, 1949 (djvu)
• Polya G., Szege G. Probleme und Theoreme aus der Analysis. Teil 1. Reihen. Integralrechnung. Theorie der Funktionen. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Polya G., Szege G. Probleme und Theoreme aus der Analysis. Teil 2. Funktionentheorie. Verteilung von Nullen. Polynome. Determinanten. Zahlentheorie. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Riekstynysh E.Ya. Asymptotische Entwicklungen von Integralen. Band 1. Riga: Zinatne, 1974 (djvu)
• Riekstynysh E.Ya. Asymptotische Entwicklungen von Integralen. Band 2. Riga: Zinatne, 1977 (djvu)
• Riekstynysh E.Ya. Asymptotische Entwicklungen von Integralen. Band 3. Riga: Zinatne, 1981 (djvu)
• Rudin U. Grundlagen der mathematischen Analyse (2. Aufl.). M.: Mir, 1976 (djvu)
• Ryvkin A.Z., Kunitskaya E.S. Ein Arbeitsbuch zur mathematischen Analysis. Teil 2. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen. M.: Uchpedgiz, 1962 (djvu)
• Sachs S. Integraltheorie. M.: IL, 1949 (djvu)
• Sammlung von Tests in mathematischen Disziplinen (für berufsbegleitende Absolventen von Lehramtsinstituten). M.: Uchpedgiz, 1958 (djvu)
• Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Mathematische Analyse. Teil 1. Tscheljabinsk: ChelSU, 1999 (pdf)
• Sviridyuk G.A., Kuznetsov G.A. Mathematische Analyse. Teil 2. Tscheljabinsk: ChelSU, 1999 (pdf)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 1 (23. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 2 (21. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 3, Teil 1 (10. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 3, Teil 2 (9. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 4, Teil 1 (6. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 4, Teil 2 (6. Auflage). M.: Nauka, 1981 (djvu)
• Smirnow V.I. Kurs der Höheren Mathematik, Band 5. M.: GIFML, 1959

11. Aufl., gelöscht. - St. Petersburg: Lan, 2005. - 736 S.

Elfte Auflage berühmtes Lehrbuch deckt die meisten Themen des höheren Mathematikprogramms für ingenieurwissenschaftliche und technische Fachrichtungen an Universitäten ab, einschließlich der Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen und ihrer Anwendung auf das Studium von Funktionen; Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen; Integralrechnung; Doppel-, Dreifach- und krummlinige Integrale; Feldtheorie; Differentialgleichungen; Potenzreihen und Fourierreihen. Es werden viele Beispiele und Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mechanik und Physik analysiert.

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INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort. 11
Einführung. 13 1. „Elementare“ und „höhere“ Mathematik (13). 2. Größe. Variablenwert
und funktionale Abhängigkeit (14). 3. Mathematik und Realität (16).
KAPITEL I FUNKTION
§ 1. Reelle Zahlen 18 4. Reelle Zahlen und Zahlenachse
§ 2. Erste Informationen zu Funktion 25
7. Definition der Funktion (25). 8. Methoden zur Spezifikation von Funktionen (27). 9. Symbolik (30). 10. Grundlegende Elementarfunktionen. Komplexe Funktion (32). 11. Elementare Funktionen (33). 12. Implizite Funktionen. Mehrwertige Funktionen (36).
§ 3. Beginn des Studiums der Funktionen. Einfache Funktionen 38
13. Grundmerkmale des Funktionsverhaltens (38). 14. Grafische Untersuchung der Funktion (41). 15. Direkt proportionale Abhängigkeit und lineare Funktion. Werterhöhung (43). 16. Quadratische Funktion(46). 17. Inverse proportionale Abhängigkeit und gebrochene lineare Funktion (48).
§ 4. Umkehrfunktion. Leistung, Exponential und logarithmische Funktionen 50
18. Umkehrfunktion (50). 19. Power-Funktion(54). 20. Exponentielle und logarithmische Funktionen (57).
§ 5. Trigonometrisch, invers trigonometrisch, hyperbolisch und invers hyperbolische Funktionen 60
21. Trigonometrische Funktionen. Harmonische Schwingungen(60). 22. Rückwärts trigonometrische Funktionen(64). 23. Hyperbolische und inverse hyperbolische Funktionen (68).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 71
KAPITEL II GRENZWERT. KONTINUITÄT
§ 1. Grenze einer Funktion. Unendliche Größen 73
24. Grenze der Funktion des kontinuierlichen Arguments (73). 25. Unendlich großes Argument (76). 26. Sequenzen und ihre Grenzen (79). 27. Unendlich große Mengen. Eingeschränkte Funktionen(81). 28. Infinitesimalgrößen (85). 29. Regeln Übergang an die Grenze(86). 30. Ein Zeichen für die Existenz einer Grenze einer Funktion. Die erste bemerkenswerte Grenze (93).
31. Ein Zeichen für die Existenz einer Sequenzgrenze. Die zweite bemerkenswerte Grenze (95).
§ 2. Kontinuierliche Funktionen 98
32. Kontinuität der Funktion (98). 33. Funktionsunterbrechungspunkte (100). 34. Aktionen auf kontinuierliche Funktionen. Kontinuität elementarer Funktionen (102). 35. Eigenschaften stetiger Funktionen (106).
§ 3. Vergleich unendlich kleiner Größen 108
36. Vergleich unendlich kleiner Größen. Äquivalente Infinitesimalmengen (108). 37. Beispiele für Beziehungen unendlich kleiner Größen. Natürliche Logarithmen (NA).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 114
KAPITEL III. Derivativ und Differenzial. DIFFERENTIALRECHNUNG
§ 1. Ableitung 116
38. Einige Probleme der Physik (116). 39. Geschwindigkeit der Funktionsänderung. Ableitungsfunktion. Ableitung der Potenzfunktion (120). 40. Geometrische Bedeutung der Ableitung (123).
§ 2. Funktionsdifferenzierung 125
41. Differenzierung der Ergebnisse Arithmetische Operationen(125). 42. Differenzierung komplexer und inverser Funktionen (129). 43. Ableitungen grundlegender Elementarfunktionen (133). 44. Differenzierung elementarer Funktionen. Beispiele (138). 45. Ergänzende Hinweise zur Funktionsdifferenzierung (139). 46. ​​​​Parametrisch spezifizierte Funktionen und ihre Differenzierung (141).
§ 3. Geometrische Probleme. Grafische Differenzierung. .146
47. Tangente und Normale zu einer Linie (146). 48. Grafische Differenzierung (150). 49. Geometrische Bedeutung Ableitung im Polarkoordinatensystem (152).
§ 4. Differenzial 154
50. Differential und seine geometrische Bedeutung (154). 51. Eigenschaften des Differentials (157). 52. Differenzierbarkeit der Funktion (161). 53. Anwendung des Differentials auf Näherungsberechnungen (163).
§ 5. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung 166
54. Derivate höherer Ordnung (166). 55. Differentiale höherer Ordnung (170).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 172
KAPITEL IV ANWENDUNGEN DER DIFFERENZRECHNUNG AUF DAS STUDIUM VON FUNKTIONEN
§ 1. Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy 174
56. Sätze von Fermat und Rolle (174). 57. Satz von Lagrange (177). 58*. Satz von Cauchy (179).
§ 2. Verhalten einer Funktion in einem Intervall. 181
59. Anzeichen der Monotonie einer Funktion (181). 60. Extrema der Funktion (183). 61. Schema zur Untersuchung von Funktionen für Extrema. Die größten und kleinsten Werte der Funktion (187). 62. Anwendung der zweiten Ableitung. Wendepunkte (195).
§ 3. Regel von L'Hopital. Funktionsstudienplan 202
63. L'Hopitals Regel (202). 64. Asymptoten von Linien (208). 65. Allgemeines Schema Funktionsstudien (213).
§ 4. Krümmung 216
66. Bogenlängendifferenz (216), 67. Krümmung (217).
§ 5. Raumlinien. Vektorfunktion des Skalanarguments 221
68. Raumlinien (221). 69. Helix (224). 70. Vektorfunktion des Skalanarguments (226). 71*. Anwendungen in der Mechanik (231).
§ 6. Umfangreiche Funktionen reelle Variable. 233
72. Komplexe Zahlen (233). 73. Definition und Differenzierung komplexer Funktionen (236). 74. Exponentialfunktion und Eulers Formeln (237).
§ 7. Lösung der Gleichungen 240
75. allgemeine Informationenüber Gleichungen (240). 76. Wurzelmultiplizitätszeichen (244). 77. Näherungslösung der Gleichungen (245).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 251
KAPITEL V INTEGRAL. INTEGRALRECHNUNG
§ 1. Unbestimmtes Integral 253
78. Stammfunktion(253). 79. Unbestimmtes Integral. Grundtabelle der Integrale (256). 80. Die einfachsten Integrationsregeln. Beispiele (259). 81. Teilweise Integration und Variablenänderung (264). 82. Integration rationaler Funktionen (270). 83. Integration der einfachsten irrationalen Funktionen (277). 84. Integration trigonometrischer Funktionen (279). 85. Schlussbemerkungen. Verwendung von Integraltabellen (283).
§ 2. Bestimmtes Integral 286
86. Einige Probleme der Geometrie und Physik (286). 87. Bestimmtes Integral. Existenzsatz (292). 88. Die einfachsten Eigenschaften eines bestimmten Integrals (295). 89. Grenzen neu anordnen und das Integrationsintervall teilen. Geometrische Bedeutung des Integrals (296). 90. Schätzung des Integrals. Mittelwertsatz. Der Durchschnittswert der Funktion (301) beträgt 91. Die Ableitung des Integrals nach seiner Obergrenze (306). 92. Newton-Leibniz-Formel (308). 93*. Integration komplexer Funktionen einer reellen Variablen (311).
§ 3. Berechnungsmethoden bestimmte Integrale 312
94. Teilweise Integration und Variablenänderung in einem bestimmten Integral (312). 95. Ungefähre Integrationsmethoden (317). 96. Grafische Integration (324).
§ 4. Uneigentliche Integrale 326
97. Integrale mit Dämonen endliche Grenzen(326). 98. Tests zur Konvergenz uneigentlicher Integrale mit unendliche Grenzen(330). 99. Integrale diskontinuierlicher Funktionen (335).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 338
KAPITEL VI. ANWENDUNG DER INTEGRALRECHNUNG
§ 1. Einige Probleme der Geometrie und Statik 340
100. Fläche der Figur (340). 101. Körpervolumen (343). 102. Bogenlänge (346). 103. Schwerpunkt gebogenes Trapez (350).
§ 2. Allgemeines Schema zur Anwendung des Integrals 353
104. Schema zur Lösung von Problemen (353). 105*. Rotationsfläche (357). 106. Flüssigkeitsdruck auf die Wand eines Gefäßes (359).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 360
KAPITEL V II FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN. DIFFERENTIALRECHNUNG
§ 1. Funktionen mehrerer Variablen 361
107. Funktionen von zwei und vielen Variablen (361). 108. Methode der Abschnitte. Grenze und Kontinuität (365).
§ 2. Ableitungen und Differentiale. Differentialrechnung. . 369
109. Partielle Ableitungen und Differentiale (369). VON. Volles Differential (374). 111*. Differenzierbarkeit von Funktionen (377). 112. Geometrische Bedeutung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen (380). 113. Anwendung des Gesamtdifferentials auf Näherungsberechnungen (382). 114. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung (385). 115. Finden einer Funktion anhand ihres Gesamtdifferentials (387). 116. Differenzierung komplexer Funktionen. Regeln zum Finden des Differentials von Funktionen (393). 117. Satz für die Existenz einer impliziten Funktion (398). 118. Differenzierung implizite Funktionen (401).
§ 3. Geometrische Anwendungen Differentialrechnung. . . 404
119. Oberflächen (404). 120. Raumlinien als Schnittpunkt zweier Flächen (407).
§ 4. Extrema von Funktionen mehrerer Variablen 410
121. Voraussetzungen Extremum(410). 122. Ausreichende Bedingungen für Extremum für Funktionen zweier Variablen (412). 123. Probleme mit größten und kleinsten Werten (414). 124*. Bedingte Extreme (416).
§ 5. Skalarfeld 422
125. Skalarfeld. Ebene Flächen (422). 126. Richtungsableitung (423). 127. Farbverlauf (426).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 430
KAPITEL VIII DOPPEL- UND DREIFACHINTEGRALE
§ 1. Doppelte Integrale 432
128. Volumen eines zylindrischen Körpers. Doppeltes Integral (432). 129. Eigenschaften Doppelintegrale(435). 130. Berechnung von Doppelintegralen (437). 131. Doppelintegral in Polarkoordinaten(446). 132. Anwendungen von Doppelintegralen auf Probleme der Mechanik (451).
§ 2. Dreifache Integrale 453
133. Masse eines inhomogenen Körpers. Dreifaches Integral (453). 134. Berechnung von Tripelintegralen (455). 135. Anwendung von Dreifachintegralen (462).
§ 3. Integrale abhängig vom Parameter 464
136. Integrale mit endlichen Grenzen (464). 137. Uneigentliche Integrale abhängig vom Parameter (469).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 471
KAPITEL IX. KURVILINEARE INTEGRALE UND INTEGRALE ÜBER EINER OBERFLÄCHE. FELDTHEORIE
§ 1. Krummliniges Integral 472
138. Problem mit der Arbeit Kraftfeld. Krummliniges Integral (472). 139. Berechnung krummliniger Integrale. Integrale über eine geschlossene Schleife (475). 140. Greensche Formel (481). 141. Bedingung für die Unabhängigkeit des Integrals von der Integrationslinie (483). 142. Integration volle Differentiale. Stammfunktion (487). 143. Krummlinige Integrale entlang räumlicher Linien (490). 144. Anwendungen krummliniger Integrale auf Probleme der Mechanik und Thermodynamik (494). 145. Krummliniges Längenintegral (erster Art) (499).
§ 2. Integrale über einer Fläche 502
146. Flüssigkeitsfluss durch eine Oberfläche. Oberflächenintegral (502). 147*. Eigenschaften von Integralen über einer Oberfläche (505). 148*. Berechnung von Integralen über eine Fläche (508) 149*. Stokes-Formel (514). 150*. Ostrogradsky-Formel (517).
§ 3. Feldtheorie 519
151. Vektorfeld und Vektorlinien (519). 152*. Vektorfluss. Divergenz (522). 153. Umlauf- und Vektorfeldrotor (528). 154*. Hamilton-Operator und Vektordifferentialoperationen zweiter Ordnung (533). 155*. Eigenschaften der einfachsten Vektorfelder (535). 156*. Elektromagnetisches Feld (538). 157*. Instationäre Felder (543).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 545
KAPITEL X DIFFERENZGLEICHUNGEN
§ 1. Differentialgleichungen erster Ordnung 547
158. Allgemeine Konzepte. Existenzsatz (547). 159. Gleichungen mit separierbaren Variablen (551). 160. Einige Probleme der Physik (554). 161. Homogene und lineare Gleichungen erster Ordnung (558). 162. Gleichungen in totalen Differentialen (564). 163. Näherungsmethoden zur Lösung von Gleichungen erster Ordnung (565). 164*. Singuläre Punkte von Differentialgleichungen erster Ordnung (569).
§ 2. Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung.... 572
165. Differentialgleichungen zweiter Ordnung (572). 166. Sonderfälle von Gleichungen zweiter Ordnung (574). 167. Anwendungen auf die Mechanik (576). 168. Differentialgleichungen höherer Ordnung (581).
§ 3. Lineare Differentialgleichungen 582
169. Lineare Gleichungen zweiter Ordnung. Allgemeine Eigenschaften(582). 170. Gleichungen zweiter Ordnung mit konstante Koeffizienten ohne rechte Seite (586). 171. Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten auf der rechten Seite (591). 172. Methode zur Variation beliebiger Konstanten (598). 173. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung (600). 174. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (604). 175. Schwingungen. Resonanz (605).
§ 4. Differentialgleichungssysteme 613
176. Allgemeine Definitionen. Normale Systeme Gleichungen (613), 177*. Geometrische und mechanische Illustrationen von Lösungen für ein System von Differentialgleichungen. Phasenraum (617). 178. Systeme linearer Differentialgleichungen (620). 179. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (622). 180*. Der Fall mehrerer Wurzeln der charakteristischen Gleichung (627). 181*. Matrixform zum Schreiben eines Systems linearer Differentialgleichungen (630).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 634
KAPITEL XI RÄNGE
§ 1. Zahlenreihe 636
182. Definition einer Reihe und ihrer Summe (636). 183. Erforderliches Zeichen Konvergenz der Reihe. Harmonische Reihe(640). 184. Reihen mit positive Mitglieder. Ausreichende Konvergenzzeichen (642). 185. Integraler Cauchy-Test (647). 186. Reihe mit willkürlichen Begriffen. Absolute Konvergenz (649).
§ 2. Funktionsreihe 653
187. Allgemeine Definitionen (653). 188. Eigenschaften regelmäßig konvergenter Funktionsreihen (656).
§ 3. Potenzreihe 658
189. Abels Theorem. Konvergenzintervall und -radius (658). 190. Eigenschaften von Potenzreihen (663).
§ 4. Erweiterung der Funktionen in Potenzreihen 665
191. Taylor-Reihe (665). 192. Bedingung für die Entwicklung von Funktionen in einer Taylor-Reihe (668). 193. Restterm der Taylor-Reihe. Taylor-Formel (670). 194. Erweiterung von Funktionen in Taylor- und Maclaurin-Reihen (673).
§ 5. Einige Anwendungen der Taylor-Reihe 680
195. Näherungsberechnung von Funktionswerten (680). 196. Integration von Funktionen und Differentialgleichungen (684).
§ 6. Zusätzliche Fragen Theorie der Potenzreihe 689
197*. Potenzreihen im komplexen Bereich (689). 198*. Taylor-Reihe und Formel für eine Funktion zweier Variablen (692).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 694
KAPITEL XII. FOURIER-REIHE. FOURIER-INTEGRAL
§ 1. Fourier-Reihe. 695
199. Harmonische Schwingungen. Trigonometrische Reihe (696). 200. Fourier-Reihe (700). 201. Fourier-Reihenentwicklung gerader und ungerader Funktionen. Fourier-Reihe in einem beliebigen Intervall (705). 202. Beispiele (707).
§ 2. Zusätzliche Fragen in der Theorie der Fourier-Reihen. Praktische harmonische Analyse 714
203*. Parsevals Gleichheit. Der Durchschnittswert des Quadrats einer periodischen Funktion (714). 204*. Fourier-Reihe in komplexe Form(715).; 205*, Orthogonale Funktionensysteme (717). 206. Praktische harmonische Analyse. Vorlagen (719).
§3*. Fourier-Integral. 723
207*. Fourier-Integral (723). 208*. Fourier-Integral für gerade und ungerade Funktionen (726). 209*. Fourier-Integral in komplexer Form. Fourier-Transformation (728).
Fragen und Anregungen zum Selbsttest 730
Tabelle der Integrale 731
Literatur 736

T. 1. Differential und Integralrechnung Funktionen einer Variablen. Reihen.

T. 2. Differential- und Integralrechnung von Funktionen vieler Variablen. Harmonische Analyse.

M.: Fizmatlit, v.1- 2015, 444 S.; v.2- 2005, 424 S.

Der erste Band präsentiert traditionelle Abschnitte der mathematischen Analysis: Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Variablen, Reihentheorie.

Der zweite Band präsentiert traditionelle Abschnitte der mathematischen Analyse: Differential- und Integralrechnung von Funktionen vieler Variablen, harmonische Analyse. Am Ende des Bandes gibt es einen kurzen historischen Abriss der Entwicklung der Konzepte der mathematischen Analyse. Die Nummerierung der Absätze und Abbildungen setzt die Nummerierung des ersten Bandes fort.

Band 1.

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Volumen 2 .

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Band 1. INHALT
Vorwort 8
KAPITEL 1
DIFFERENZRECHNUNG DER FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
§ 1. Funktionen und Sets 11
1.1. Sets (11). 1.2. Funktionen (13).
§ 2. Nummern 15
2.1. Reelle Zahlen (15). 2.2. Erweiterter Zahlenstrahl. Nachbarschaft (19). 2.3. Komplexe Zahlen (20). 2.4. Permutationen und Kombinationen (29). 2.5. Newtons Binomialformel (31).
§ 3. Elementare Funktionen 32
3.1. Numerische Funktionen(32). 3.2. Das Konzept einer Elementarfunktion (33). 3.3. Polynome (34). 3.4. Faktorisierung von Polynomen (37). 3.5. Rationale Brüche (40) 3.6. Graphen rationaler Funktionen (45). 3.7. Power-Funktion (48). 3.8. Exponentielle und logarithmische Funktionen (50). 3.9. Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen (51). 3.10. Parallele Übertragung und Streckung von Graphen (54).
§ 4. Zahlensätze 55
4.1. Begrenzte und unbeschränkte Mengen (55). 4.2. Ober- und Unterkante (56). 4,3*. Arithmetische Eigenschaften Ober- und Unterkante (58). 4.4. Archimedes-Prinzip (61). 4.5. Das Prinzip der verschachtelten Segmente (61). 4,6*. Abzählbarkeit rationaler Zahlen. Unzählbarkeit reelle Zahlen (63).
§ 5. Begrenzung Zahlenfolge 67
5.1. Bestimmung des Grenzwertes einer Zahlenfolge (67). 5.2. Eindeutigkeit des Grenzwertes der Folge (71). 5.3. Grenzübergang bei Ungleichungen (71). 5.4. Einschränkungen konvergenter Folgen (74). 5.5. Infinitesimalfolgen (75). 5.6. Eigenschaften von Grenzwerten im Zusammenhang mit arithmetischen Operationen auf numerischen Folgen (77). 5.7. Monotone Sequenzen (80). 5.8. Das Prinzip der Kompaktheit (83). 5.9. Cauchy-Kriterium (86). 5,10*. Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche (88). 5.11. Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen (94).
§ 6. Grenzen und Kontinuität der Funktionen 95
6.1. Erste Definition der Funktionsgrenze (95). 6.2. Definition der Funktionskontinuität (100). 6.3. Zweite Definition der Funktionsgrenze (101). 6.4. Bedingung für die Existenz der Funktionsgrenze (103). 6.5. Grenze einer Funktion durch Kombination von Mengen (104). 6.6. Einseitige Grenzen und einseitige Kontinuität (105). 6.7. Eigenschaften von Funktionsgrenzen (107). 6.8. Infinitesimal (110). 6.9. Kontinuierliche Funktionen (111). 6.10. Klassifizierung der Haltepunkte (114). 6.11. Grenzen monotoner Funktionen (115). 6.12. Cauchy-Kriterium für die Existenz einer Funktionsgrenze (118). 6.13. Grenze und Kontinuität der Funktionszusammensetzung (119). 6.14. Grenze und Kontinuität von Funktionen komplexes Argument (120).
§ 7. Eigenschaften stetiger Funktionen 122
7.1. Einschränkung kontinuierlicher Funktionen. Erreichbarkeit von Extremwerten (122). 7.2. Zwischenwerte stetige Funktionen (123). 7.3. Umkehrfunktionen (124). 7.4. Einheitliche Kontinuität (128).
§ 8. Kontinuität elementarer Funktionen 130
8.1.Polynome und rationale Funktionen (130). 8.2. Exponentielle und logarithmische Funktionen (131). 8.3. Leistungsfunktion (138). 8.4. Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen (139). 8.5. Elementare Funktionen (140).
§ 9. Funktionsvergleich 140
9.1. Wunderbare Grenzen(140). 9.2. Vergleich von Funktionen in der Nähe eines bestimmten Punktes (143). 9.3. Äquivalente Funktionen (146).
§ 10. Ableitung und Differential 148
10.1. Definition von Derivat (148). 10.2. Funktionsdifferential (150). 10.3. Geometrische Bedeutung von Ableitung und Differential (152). 10.4. Physikalische Bedeutung von Ableitung und Differential (154). 10.5. Eigenschaften von Ableitungen im Zusammenhang mit arithmetischen Operationen an Funktionen (155). 10.6. Ableitung der Umkehrfunktion (157). 10.7. Ableitung und Differential komplexe Funktion(158). 10.8. Hyperbolische Funktionen und ihre Ableitungen (160). 10.9. Ableitungen komplexwertiger Funktionen eines reellen Arguments (160).
§ 11. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung 161
11.1. Derivate höherer Ordnung (161). 11.2. Ableitungen höherer Ordnung komplexer Funktionen, Umkehrfunktionen und parametrisch spezifizierte Funktionen (163). 11.3. Differentiale höherer Ordnung (164).
§ 12. Differentialsätze etwa durchschnittlich 165
12.1. Satz von Fermat (165). 12.2. Sätze von Rolle, Lagrange und Cauchy über Mittelwerte (167).
§13. Offenlegung der Unsicherheit unter Verwendung der Regel 172 von L'Hopital
13.1. Unsicherheiten vom Typ jj (172). 13.2. Unsicherheiten vom Typ ^ (173).
§ 14. Taylor-Formel 178
14.1. Herleitung der Taylor-Formel (178). 14.2. Beispiele für die Entwicklung mit der Taylor-Formel (182). 14,3*. Anwendung der Methode zur Isolierung des Hauptteils von Funktionen zur Berechnung von Grenzwerten (185).
§ 15. Funktionsuntersuchung 186
15.1. Zeichen der Monotonie von Funktionen (186). 15.2. Lokale Extreme Funktionen (187). 15.3. Konvexität und Wendepunkte (194). 15.4. Asymptoten (198). 15,5*. Funktionsgraphen zeichnen (200).
§ 16. Vektorfunktionen 201
16.1. Grenzwert und Stetigkeit der Vektorfunktion (201). 16.2. Ableitung und Differential einer Vektorfunktion (205).
§ 17. Kurvenlänge 211
17.1. Das Konzept einer Kurve (211). 17.2. Tangente an Kurve (216). 17.3. Bestimmung der Länge der Kurve. Richtbare Kurven (218).
§ 18. Krümmung einer Kurve 223
18.1. Bestimmung der Krümmung und des Krümmungsradius einer Kurve (223). 18.2. Formel für die Krümmung (224). 18.3. Zuhause normal. Berührende Ebene (225). 18.4. Krümmungsmittelpunkt. Entwicklung (228). 18.5. Krümmung und Entwicklung einer ebenen Kurve (229).
KAPITEL 2
INTEGRALE FUNKTIONSBERECHNUNG EINER VARIABLEN
§ 19. Definition und Eigenschaften des unbestimmten Integrals 233
19.1. Stammfunktion und unbestimmtes Integral(233). 19.2. Grundlegende Eigenschaften des Integrals (235). 19.3. Tabelle Integrale (237). 19.4. Variablenänderungsformel (238) 19.5. Formel für die partielle Integration (241).
§ 20. Integration rationale Brüche 242
20.1. Integration elementarer rationaler Brüche (242). 20.2. Allgemeiner Fall (244).
§ 21. Integration einiger Irrationalitäten 244
21.1. Rationale Funktionen aus Funktionen (244). 21.2. Integrale der Form/R(^MG"-"(^G)<М245)- 21.3* Интегралы от дифференциального бинома (246).
§ 22. Integration einiger transzendentaler Funktionen 247
22.1. Integrale f R(sinx, cos x) dx (247). 22.2. Integrale J sinm x cosn x dx (248). 22.3. Integrale J sin ax cos f3x dx, J sin ax sin f3xdx, J cos ax cos f3x dx (249). 22.4. Integrale transzendentaler Funktionen, berechnet durch partielle Integration (250).
§ 23. Bestimmtes Integral 251
23.1. Bestimmtes Riemann-Integral (251). 23.2. Einschränkung integrierbarer Funktionen (253). 23.3. Obere und untere Darboux-Summe (255). 23.4. Untere und obere Integrale (258). 23.5. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Integrierbarkeit von Funktionen (259). 23.6. Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen (260).
§ 24. Eigenschaften integrierbarer Funktionen 262
24.1. Grundeigenschaften des bestimmten Integrals (262). 24.2. Integraler Mittelwertsatz (271).
§ 25. Bestimmte und unbestimmte Integrale 274
25.1. Differentiation eines bestimmten Integrals durch die Integrationsgrenzen (274). 25.2. Existenz einer Stammfunktion (276).
§ 26. Formeln für die Änderung der Variablen und die Integration nach Teilen in einem bestimmten Integral 278
26.1. Variable Ersetzungsformel (278). 26.2. Formel für die partielle Integration (279).
§ 27. Bereiche und Volumina 282
27.1. Der Flächenbegriff einer Wohnungsmenge (282). 27,2*. Ein Beispiel für eine unbegrenzte Menge positiver endlicher Flächen (283). 27.3. Der Begriff des Volumens (285).
§ 28. Geometrische und physikalische Anwendungen des bestimmten Integrals 286
28.1. Berechnung der Flächen krummliniger Trapeze (286). 28.2. Berechnung von Flächen in Polarkoordinaten. (288). 28.3. Berechnung der Kurvenlänge (290). 28.4. Rotationsfläche (290). 28.5. Volumen der Rotationskörper (294). 28,6*. Guldins Theoreme. Schwerpunkte ebener Figuren und ihre Momente relativ zu den Achsen (294).
§ 29. Uneigentliche Integrale 299
29.1. Definition unechter Integrale (299). 29.2. Integralrechnungsformeln für unechte Integrale (304). 29.3. Uneigentliche Integrale nichtnegativer Funktionen (307). 29.4. Cauchy-Kriterium (312). 29.5. Absolut konvergente Integrale (313). 29.6. Dirichlet- und Abel-Konvergenztests (316). 29.7. Integrale komplexwertiger Funktionen eines reellen Arguments (319).
KAPITEL 3

RÄNGE
§ 30. Nummernreihe 321
30.1. Definition von Reihen (321). 30.2. Eigenschaften konvergenter Reihen (322). 30.3. Cauchy-Kriterium (324). 30.4. Tests auf Konvergenz von Reihen mit nichtnegativen Termen (325). 30.5. Abwechselnde Reihen (332). 30.6. Absolut konvergente Reihe (334). 30.7. Bedingt konvergente Reihe (338). 30,8*. Tests zur Konvergenz von Dirichlet- und Abel-Reihen (342). 30.9. Untersuchung der Konvergenz von Reihen durch die Methode der Isolierung des Hauptteils der Reihe (345). 30.10. Summierung von Reihen mit der Methode der arithmetischen Mittelwerte (347).
§ 31. Funktionsabläufe und Serien 349
31.1. Konvergenz funktionaler Folgen und Reihen (349). 31.2. Gleichmäßige Konvergenz funktionaler Folgen und Reihen (351). 31,3*. Spezielle Tests zur gleichmäßigen Konvergenz von Reihen (359). 31.4. Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Folgen und Reihen (362).
§ 32. Potenzreihe 369
32.1. Konvergenzradius und Konvergenzkreis (369). 32.2. Analytische Funktionen im Realbereich (376). 32.3. Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen. Verschiedene Möglichkeiten, den Rest der Taylor-Formel (378) zu schreiben. 32.4. Taylor-Reihenentwicklung elementarer Funktionen (383). 32.5. Stirling-Formel (393).
Sachregister 395

Band 2. INHALT
KAPITEL 4
Differentialrechnung der Funktionen vieler Variablen
§ 33. Mehrdimensionale Räume 7
33.1. Definition des n-dimensionalen Raums (7). 33.2. Konvergenz von Punktfolgen im n-dimensionalen Raum (12). 33.3. Verschiedene Arten von Sets (20). 33.4. Kompakte (27).
§ 34. Grenze und Kontinuität von Abbildungen 34
34.1. Funktionen mehrerer Variablen (34). 34.2 Grenze der Zuordnungen (35). 34.3. Kontinuität der Abbildungen bei Punkt (39). 34.4. Eigenschaften von Grenzen von Abbildungen (41). 34.5. Grenze und Kontinuität der Zusammensetzung von Abbildungen (42). 34.6. Wiederholungsgrenzen (44).
§ 35. Kontinuierliche Abbildungen von Mengen 45
35.1. Kontinuierliche Kartierungen von Compacta. Einheitliche Kontinuität der Abbildungen (45). 35.2. Kontinuierliche Abbildung pfadverbundener Mengen (48). 35.3. Kontinuierliche Zuordnungen: allgemeine Eigenschaften (50).
§ 36. Partielle Ableitungen. Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen 52
36.1. Partielle Ableitungen (52). 36.2. Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen (53). 36.3. Differentiation einer komplexen Funktion (61). 36.4. Invarianz der Form des ersten Differentials (63). 36,5. Geometrische Bedeutung partieller Ableitungen und Differentiale (64). 36.6. Richtungsableitung. Farbverlauf (66).
§ 37. Partielle Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.... 69 37.1 Partielle Ableitungen höherer Ordnung (69). 37.2. Differentiale höherer Ordnung (71).
§ 38. Taylors Formel für Funktionen mehrerer Variablen 72
38.1. Taylor-Formel für Funktionen zweier Variablen (72). 38.2. Taylor-Formel für Funktionen beliebig vieler Variablen (75).
§ 39. Extrema von Funktionen mehrerer Variablen 78
39.1. Notwendige Bedingungen für ein Extremum (78). 39.2. Ausreichende Bedingungen für ein Extremum (79).
§ 40. Implizite Funktionen. Zeigt 85 an
40.1. Implizite Funktionen, die durch eine Gleichung (85) definiert sind. 40.2. Kartesisches Produkt von Mengen (92). 40.3. Implizite Funktionen, die durch das Gleichungssystem (93) spezifiziert werden. 40.4. Eigenschaften von Jacobi-Abbildungen (97). 40,5. Kontinuierlich differenzierbare Abbildungen (98).
§41. Bedingtes Extremum 103
41.1. Direkte Methode zum Finden bedingter Extrempunkte (103). 41.2. Lagranges Methode unbestimmter Multiplikatoren (105). 41.3. Ausreichende Bedingungen für ein bedingtes Extremum (107).
KAPITEL 5
INTEGRALE FUNKTIONSBERECHNUNG VIELER VARIABLEN
§42. Mehrere Integrale 112
42.1. Volumen (Maß) im n-dimensionalen Raum (112). 42.2. Maßeinheiten Null (128). 42.3. Partition messbarer Mengen (131). 42.4. Integrale Summen. Definition des Mehrfachintegrals (134). 42,5. Unvollständige Integralsummen (136). 42.6. Existenz mehrerer Integrale (139). 42.7. Eigenschaften mehrerer Integrale (141)
§ 43. Reduktion eines multiplen Integrals auf ein wiederholtes 148
43.1. Reduktion eines Doppelintegrals auf ein wiederholtes Integral (148). 43.2. Reduktion eines Integrals beliebiger Multiplizität auf ein wiederholtes (153). 43.3. Volumen einer n-dimensionalen Kugel (155). 43.4. Unabhängigkeit des Maßes von der Wahl des Koordinatensystems (156). 43,5*. Newton-Leibniz- und Taylor-Formeln (158).
§ 44. Änderung von Variablen in mehreren Integralen 161
44.1. Lineare Abbildungen (161). 44.2. Differenzierbare Abbildungen (165). 44.3 Formel zur Änderung einer Variablen in einem Mehrfachintegral (174). 44.4 Geometrische Bedeutung des Absolutwerts des Jacobi der Abbildung (181). 44,5. Krummlinige Koordinaten. (182).
§ 45. Krummlinige Integrale 186
45.1. Krummliniges Integral erster Art (186). 45.2. Krummliniges Integral zweiter Art (188). 45,3*. Stieltjes-Integral (193). 45,4*. Verallgemeinerung des Konzepts eines krummlinigen Integrals zweiter Art (202). 45,5. Greensche Formel (205). 45.6. Formel für Flächen (210). 45,7. Geometrische Bedeutung des Jacobi-Zeichens der Kartierung einer flachen Region (211).
§ 46. Elemente der Flächentheorie 214
46.1. Grundlegende Definitionen (214). 46.2. Tangente Ebene und Normale zur Oberfläche (218). 46.3. Die erste quadratische Form der Fläche (221). 46.4. Länge der Kurven auf der Oberfläche (222). 46,5. Fläche (223). 46.6. Oberflächenorientierung (225).
§ 47. Oberflächenintegrale 228
47.1. Definitionen von Oberflächenintegralen (228). 47.2. Formeln zur Darstellung eines Flächenintegrals zweiter Art in Form eines Doppelintegrals (231). 47.3. Einige Sonderfälle von Flächenintegralen zweiter Art (232).
§ 48. Skalar- und Vektorfelder 235
48.1. Grundbegriffe (235). 48.2. Gauß-Ostrogradsky-Formel (238). 48.3. Geometrische Definition der Divergenz (241). 48.4. Stokes-Formel (242). 48,5. Geometrische Definition eines Wirbels (246). 48,6. Solenoidische Vektorfelder (247). 48,7. Potenzielle Vektorfelder (249).
§ 49. Integrale abhängig vom Parameter 254
49.1. Gleichmäßige Konvergenz bezüglich eines Parameters einer Funktionsfamilie (254). 49.2. Eigenschaften von Integralen in Abhängigkeit vom Parameter (257).
§ 50. Uneigentliche Integrale in Abhängigkeit vom Parameter 261
50.1. Gleichmäßig konvergente Integrale (261). 50.2. Eigenschaften unechter Integrale in Abhängigkeit vom Parameter (267). 50.3. Euler-Integrale (270). 50,4*. Dirichlet-Integral (271).
KAPITEL 6

HARMONISCHE ANALYSE
§51. Trigonometrische Fourier-Reihe 274
51.1. Grundkonzepte (274). 51.2. Approximation von Funktionen durch Stufenfunktionen (277). 51.3. Satz von Riemann. Die Tendenz der Fourier-Koeffizienten gegen Null (281). 51.4. Dirichlet-Integral. Das Prinzip der Lokalisierung (283). 51,5. Konvergenz der Fourier-Reihe am Punkt (287). 51.6. Summierung von Fourier-Reihen nach der Methode der arithmetischen Mittel (292). 51.7. Approximation stetiger Funktionen durch Polynome (296).

§ 52. Veranstaltungsräume 299

52.1. Metrische Räume (299). 52.2. Lineare Räume (309). 52.3. Normierte und halbnormierte Räume (310). 52.4. Hilberträume (317). 52,5. Faktorraum (327). 52.6. Li-Raum (331). 52,7. Leerzeichen L\ (339).
§ 53. Fourier-Reihe in Hilbert-Räumen 341
53.1. Orthogonale Systeme (341). 53.2. Komplettsysteme (345). 53.3. Fourier-Reihe (349). 53.4. Differenzierung trigonometrischer Fourierreihen und die Reihenfolge der Abnahme ihrer Koeffizienten (360). 53,5. Konvergenzrate trigonometrischer Reihen (362). 53,6*. Fourier-Funktionsreihe mit beliebiger Periode (364). 53,7*. Schreiben von Fourier-Reihen in komplexer Form (365).
§ 54. Fourier-Integral und Fourier-Transformation 366
54.1. Darstellung von Funktionen durch das Fourier-Integral (366). 54.2. Der Hauptwert des Integrals ist (372). 54.3. Fourier-Transformation (373). 54.4. Eigenschaften der Fourier-Transformation absolut integrierbarer Funktionen (377).
§ 55. Verallgemeinerte Funktionen 381
55.1. Räume D und D" (381). 55.2. Differenzierung verallgemeinerter Funktionen (385). 55.3. Raum S (388). 55.4. Fourier-Transformation verallgemeinerter Funktionen (391).
Kurzer Abriss der Entwicklung der mathematischen Analyse 396
Sachregister 420

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KUDRYAVTSEV Lev Dmitrievich −

Doktor der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, korrespondierendes Mitglied der Russischen Akademie der Wissenschaften, ordentliches Mitglied der Akademie der Pädagogischen und Sozialwissenschaften.

Weithin bekannt sind seine Lehrbücher zur mathematischen Analysis „Course of Mathematical Analysis“ und „Short Course of Mathematical Analysis“, die auf der Grundlage von Vorlesungen erstellt wurden.

V 35 Jahre lang gelesen von Lev Dmitrievich

am Moskauer Institut für Physik und Technologie.

VORWORT ZUM JUBILÄUM (VIERTER)

Liebe Leser!

Sie halten eine elektronische Version der vierten Auflage des klassischen Lehrbuchs in zwei Bänden des korrespondierenden Mitglieds der Russischen Akademie der Wissenschaften, Akademiker der Europäischen Akademie der Wissenschaften, herausragenden Mathematiker und Lehrer Lev Dmitrievich Kudryavtsev „Ein kurzer Kurs in Mathematik“. Analyse“ – das letzte Werk des Autors, mit dem er 2010 begann. Diese Veröffentlichung ist dem 90. Jahrestag von L.D. Kudryavtsev gewidmet, der von der russischen und ausländischen Mathematikgemeinschaft auf der Internationalen Konferenz „Funktionale Räume“ gefeiert wird. Differentialoperatoren. Allgemeine Topologie. Probleme der mathematischen Ausbildung“ 25.–29. März 2013 an der RUDN-Universität.

Alle Berichte, Plenar- und Teilberichte (in 9 Abschnitten), decken moderne Errungenschaften in den Hauptbereichen der wissenschaftlichen, pädagogischen und öffentlichen Interessen von Lev Dmitrievich ab. Die Konferenzteilnehmer sind die ersten Leser dieser gegenüber der vorherigen dritten Auflage teilweise überarbeiteten und erweiterten Version des Lehrbuchs.

In dieser Ausgabe hat der Autor Absatz 52 erheblich überarbeitet und außerdem zusammen mit seinem Sohn Nikolai Lvovich Kudryavtsev, außerordentlicher Professor der Abteilung für Mathematische Analyse der Moskauer Staatlichen Universität, die festgestellten Tippfehler korrigiert. Darüber hinaus wurden im Gegensatz zu früheren Ausgaben am Ende jedes Bandes Testfragen für jeden Absatz hinzugefügt. Die Fragen für die Absätze 49–55 stammen aus „Empfohlene Fragen für den Kurs der mathematischen Analyse (2. Jahr, 2. Semester)“, zusammengestellt von Lev Dmitrievich und veröffentlicht vom MIPT im Jahr 1994; Fragen für die restlichen Absätze wurden von N. L. Kudryavtsev zusammengestellt.

Die Veröffentlichung der elektronischen Version der Jubiläumsausgabe wurde durch die Bemühungen des korrespondierenden Mitglieds der Russischen Akademie der Wissenschaften, des Rektors des MIPT N. N. Kudryavtsev, ermöglicht. Professor, Leiter Abteilung für Höhere Mathematik, Moskauer Institut für Physik und Technologie E. S. Polovinkina; Stellvertreter Vorsitzender des NMS für Mathematik

Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation, Stellvertreter. Vorsitzender des Organisationskomitees, Professor der Moskauer Staatlichen Universität A. G. Yagoly; Generaldirektor des Verlags „FIZMATLIT“ M. N. Andreeva und das gesamte Personal dieses Verlags. N. L. Kudryavtsev hat viel Arbeit investiert.

Das Organisationskomitee der Konferenz bedankt sich herzlich bei allen, die zur Veröffentlichung dieser Veröffentlichung beigetragen haben, und ermutigt die Leser, ihre Rezensionen, Kommentare und Vorschläge für weitere Ausgaben des Lehrbuchs an zu senden [email protected].

Stellvertreter Vorsitzender des Organisationskomitees der Konferenz, Wissenschaftlicher Sekretär des NMS für Mathematik des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation,

Professor MIREA

S. A. Rozanova

VIERTE AUFLAGE, ÜBERARBEITET UND HINZUGEFÜGT

UDC 517 BBK 22.161.1

K 88

ZU u d r i v c e v L. D. Kurzkurs in mathematischer Analyse. T. 1. Differential

Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Variablen. Zeilen: Lehrbuch. - 4 Hrsg., überarbeitet und zusätzlich - M.: FIZMATLIT, 2013. - 444 S. - ISBN 978-5-9221-1453-0.

Es werden traditionelle Abschnitte der mathematischen Analysis vorgestellt: Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Variablen, Reihentheorie.

Die bisherige 3., überarbeitete Auflage des Lehrbuchs erschien 2005. In der 4. Auflage wurde der Absatz zu Funktionsräumen überarbeitet, Testfragen hinzugefügt und gefundene Tippfehler korrigiert. Die Liste der Kontrollfragen umfasst „Empfohlene Fragen für den Kurs der mathematischen Analyse (2. Jahr, 2. Semester)“, zusammengestellt von L.D. Kudryavtsev und 1994 vom MIPT veröffentlicht. Fragen zu anderen Themen wurden von N.L. vorbereitet. Kudryavtsev.

Für Studierende der Physik, Mathematik und Technischen Physik.

REZENSIONEN:

Leiter der Abteilung für Allgemeine Mathematik, Fakultät für Computermathematik und Informatik, Staatliche Universität Moskau. M. V. Lomonosov, Akademiker V. A. Ilyin; MIPT-Professor, Akademiker S. M. Nikolsky

Kapitel 1. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen. . . . . . . . . . . 17

§ 1. Funktionen und Mengen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.1. Sets (17). 1.2. Funktionen (19).

§ 3. Elementare Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 3.1. Numerische Funktionen (39). 3.2. Das Konzept einer Elementarfunktion (40). 3.3. Polynome (41). 3.4. Faktorisierung von Polynomen (44). 3.5. Rationale Brüche (46). 3.6. Graphen rationaler Funktionen (52). 3.7. Power-Funktion (55).

3.8. Exponentielle und logarithmische Funktionen (57). 3.9. Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen (58). 3.10. Parallele Übertragung und Streckung von Graphen (60).

5.1. Bestimmung des Grenzwertes einer Zahlenfolge (74).

5.2. Eindeutigkeit des Grenzwertes der Folge (77). 5.3. Übergang zur Grenze der Ungleichungen (78). 5.4. Einschränkung konvergenter Folgen (81). 5.5. Unendlich

Sequenzen (82). 5.6. Eigenschaften von Grenzwerten im Zusammenhang mit arithmetischen Operationen auf numerischen Folgen (84). 5.7. Monotone Folgen (87). 5.8. Das Prinzip der Kompaktheit (90). 5.9. Cauchy-Kriterium (93).

5.10. Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche (95). 5.11. Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen (101).

§ 6. Grenze und Kontinuität der Funktionen.. 102

6.1. Erste Definition der Funktionsgrenze (102). 6.2. Bestimmung der Stetigkeit einer Funktion (108). 6.3. Zweite Definition des Grenzwertes einer Funktion (109). 6.4. Bedingung für die Existenz der Funktionsgrenze (111). 6.5. Grenzwert einer Funktion durch Vereinigung von Mengen (112). 6.6. Einseitige Grenzen und einseitige Kontinuität (112). 6.7. Eigenschaften von Funktionsgrenzen (114).

6.8. Infinitesimal (118). 6.9. Kontinuierliche Funktionen (119).

6.10. Klassifizierung der Haltepunkte (122). 6.11. Grenzen monotoner Funktionen (123). 6.12. Cauchy-Kriterium für das Vorliegen einer Funktionsgrenze (126). 6.13. Grenze und Kontinuität komplexer Funktionen (127). 6.14. Grenze und Kontinuität von Funktionen komplexer Argumente (128).

§ 7. Eigenschaften stetiger Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130

7.1. Einschränkung kontinuierlicher Funktionen. Erreichbarkeit von Extremwerten (130). 7.2. Zwischenwerte stetiger Funktionen (131). 7.3. Umkehrfunktionen (133).

7.4. Einheitliche Kontinuität (136).

§ 8. Kontinuität elementarer Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1. Polynome und rationale Funktionen (139). 8.2. Exponentielle und logarithmische Funktionen (140). 8.3. Leistungsfunktion (147). 8.4. Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen (148). 8.5. Elementare Funktionen (149).

§ 9. Funktionsvergleich.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149

9.1. Bemerkenswerte Grenzen (149). 9.2. Vergleich von Funktionen in der Nähe eines bestimmten Punktes (152). 9.3. Äquivalente Funktionen (155).

§ 10. Ableitung und Differential.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157

10.1. Definition von Derivat (157). 10.2. Differentialfunktion (159). 10.3. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Und Differential (161). 10.4. Physikalische Bedeutung der Ableitung

Und Differential (163). 10.5. Eigenschaften von Ableitungen im Zusammenhang mit arithmetischen Operationen an Funktionen (164). 10.6. Ableitung der Umkehrfunktion (166). 10.7. Derivat

Und Differential einer komplexen Funktion (167). 10.8. Hyperbolische Funktionen und ihre Ableitungen (169). 10.9. Ableitungen komplexwertiger Funktionen eines reellen Arguments (169).

§ 11. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.. . . . . . . . . 170

11.1. Derivate höherer Ordnung (170). 11.2. Ableitungen höherer Ordnung komplexer Funktionen, Umkehrfunktionen

Und parametrisch spezifizierte Funktionen (172). 11.3. Differentiale höherer Ordnung (173).

§ 12. Differentialsätze über den Mittelwert. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.1. Satz von Fermat (174). 12.2. Sätze von Rolle, Lagrange und Cauchy über Mittelwerte (176).

§ 13. Offenlegung von Unsicherheiten gemäß der L'Hopital-Regel. . . . . . . . 181 13.1. Unsicherheiten vom Typ 0 0 (181). 13.2. Unsicherheiten der Form∞ ∞ (182).

§ 14. Taylors Formel.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 14.1. Herleitung der Taylor-Formel (187). 14.2. Beispiele für die Entwicklung mit der Taylor-Formel (191). 14.3. Anwendung der Methode zur Isolierung des Hauptteils von Funktionen zur Berechnung von Grenzwerten (193).

§ 15. Untersuchung von Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 15.1. Zeichen der Monotonie von Funktionen (195). 15.2. Lokale Extrema von Funktionen (196). 15.3. Konvexität und Wendepunkte (203). 15.4. Asymptoten (207). 15.5. Funktionsgraphen zeichnen (208).

§ 16. Vektorfunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210

17.1. Das Konzept einer Kurve (220). 17.2. Tangente an Kurve (225). 17.3. Bestimmung der Länge der Kurve. Richtbare Kurven (227).

§ 18. Krümmung einer Kurve.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232

18.1. Bestimmung der Krümmung und des Krümmungsradius einer Kurve (232).

18.2. Formel für die Krümmung (233). 18.3. Zuhause normal. Berührende Ebene (235). 18.4. Krümmungsmittelpunkt. Entwicklung (238). 18.5. Krümmung und Entwicklung einer ebenen Kurve (238).

G Kapitel 2. Integralrechnung der Funktionen einer Transformation

meins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242

§ 19. Definition und Eigenschaften des unbestimmten Integrals. . . . . . . . . 242 19.1. Stammfunktion und unbestimmtes Integral (242). 19.2. Grundlegende Eigenschaften des Integrals (244). 19.3. Tabelle Integrale (246). 19.4. Variable Ersetzungsformel (247). 19.5. Formel für die partielle Integration (251).

§ 20. Integration rationaler Brüche. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20.1. Integration elementarer rationaler Brüche (251). 20.2. Allgemeiner Fall (253).

§ 21. Integration einiger Irrationalitäten. . . . . . . . . . . . 254 21.1. Rationale Funktionen von Funktionen (254). 21.2. Integra-

grals aus dem Differentialbinomial (256).

aus transzendentalen Funktionen, berechnet durch partielle Integration (260).

§ 23. Bestimmtes Integral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261 23.1. Riemannsches bestimmtes Integral (261). 23.2. Einschränkung integrierbarer Funktionen (263). 23.3. Obere und untere Darboux-Summe (265). 23.4. Untere und obere Integrale (268). 23.5. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Integrierbarkeit von Funktionen (269). 23.6. Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen (271).

§ 24. Eigenschaften integrierbarer Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

28.1. Berechnung der Flächen krummliniger Trapeze (298).

28.2. Berechnung von Flächen in Polarkoordinaten (301).

28.3. Berechnung der Kurvenlänge (303). 28.4. Rotationsfläche (304). 28.5. Volumen der Revolutionskörper (307).

28.6. Guldins Theoreme. Schwerpunkte ebener Figuren und ihre Momente relativ zu den Achsen (308).

§ 29. Uneigentliche Integrale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313 29.1. Definition unechter Integrale (313). 29.2. Integralrechnungsformeln für unechte Integrale (318). 29.3. Uneigentliche Integrale nichtnegativer Funktionen (322). 29.4. Cauchy-Kriterium (327). 29.5. Absolut konvergente Integrale (328). 29.6. Dirichlet- und Abel-Konvergenztests (332). 29.7. Integrale komplexwertiger Funktionen eines reellen Arguments (335).

Vorwort
ABSCHNITT EINS. EINFÜHRUNG IN DIE ANALYSE
Kapitel 1. Funktionen
§ 1. Variablen
§ 2. Funktionen
§ 3. Definitionsbereich einer Funktion
§ 4. Funktion und Formel
§ 5. Geometrische Darstellung von Funktionen
§ 6. Elementare Funktionen
Kapitel 2. Elementare Grenzwerttheorie
§ 7. Infinitesimalmengen
§ 8. Operationen mit infinitesimalen Größen
§ 9. Unendlich große Mengen
§ 10. Mengenangaben zu Grenzwerten
§ 11. Mengenoperationen, die zu Grenzwerten führen
§ 12. Unendlich klein und unendlich groß in verschiedenen Ordnungen
Kapitel 3. Klärung und Erweiterung der Idee des Grenzübergangs
§ 13. Mathematische Beschreibung des Prozesses
§ 14. Klarstellung des Grenzwertbegriffs
§ 15. Erweiterung des Grenzübergangsgedankens
Kapitel 4. Reelle Zahlen
§ 16. Die Notwendigkeit, eine allgemeine Theorie der reellen Zahlen zu erstellen
§ 17. Konstruktion des Kontinuums
§ 18. Hauptlemmas
§ 19. Vervollständigung der Grenzwerttheorie
Kapitel 5. Kontinuität der Funktionen
§ 20. Definition von Kontinuität
§ 21. Operationen auf kontinuierlichen Funktionen
§ 22. Kontinuität einer komplexen Funktion
§ 23. Die wichtigsten Eigenschaften stetiger Funktionen
§ 24. Kontinuität elementarer Funktionen
ABSCHNITT ZWEI. ELEMENTE DER DIFFERENZRECHNUNG
Kapitel 6. Ableitung
§ 25. Gleichmäßige und ungleichmäßige Funktionsänderungen
§ 26. Momentane Geschwindigkeit ungleichmäßiger Bewegung
§ 27. Lokale Dichte eines inhomogenen Stabes
§ 28. Definition von Derivat
§ 29. Differenzierungsregeln
§ 30. Existenzfragen und geometrische Darstellung
Kapitel 7. Differential
§ 31. Definition und Zusammenhang mit Derivat
§ 32. Geometrische Darstellungs- und Berechnungsregeln
§ 33. Die Invariante der Verbindung zwischen Ableitungen und Differentialen
Kapitel 8. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung
§ 34. Derivate höherer Ordnung
§ 35. Differentiale höherer Ordnung und ihr Zusammenhang mit Derivaten
Kapitel 9. Mittelwertsätze
§ 36. Satz des endlichen Inkrements
§ 37. Berechnung der Grenzen der Verhältnisse von Infinitesimalen und Unendlich Großen
§ 38. Taylors Formel
§ 39. Rest der Taylor-Formel
Kapitel 10. Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen
§ 40. Zunehmende und abnehmende Funktionen
§ 41. Extremwerte
ABSCHNITT DREI. Elemente der Integralrechnung
Kapitel 11. Umkehrung der Differenzierungsoperation
§ 42. Das Konzept einer primitiven Funktion
§ 43. Die einfachsten allgemeinen Integrationsmethoden
Kapitel 12. Integral
§ 44. Fläche eines gebogenen Trapezes
§ 45. Arbeit mit variabler Kraft
§ 46. Allgemeiner Integralbegriff
§ 47. Ober- und Unterbeträge
§ 48. Integrierbarkeit von Funktionen
Kapitel 13. Verbindung des Integrals mit der Grundfunktion
§ 49. Die einfachsten Eigenschaften des Integrals
§ 50. Verbindung des Integrals mit einer primitiven Funktion
§ 51. Weitere Eigenschaften von Integralen
Kapitel 14. Geometrische und mechanische Anwendungen des Integrals
§ 52. Bogenlänge einer ebenen Kurve
§ 53. Bogenlänge einer Raumkurve
§ 54. Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmomente einer materialisierten ebenen Kurve
§ 55. Volumina geometrischer Körper
Kapitel 15. Näherungsberechnung von Integralen
§ 56. Problemstellung
§ 57. Trapezmethode
§ 58. Parabelmethode
Kapitel 16. Integration rationaler Funktionen
§ 59. Algebraische Einführung
§ 60. Integration einfacher Brüche
§ 61. Ostrogradskys Empfang
Kapitel 17. Integration der einfachsten irrationalen und transzendenten Funktionen
§ 62. Integration von Funktionen
§ 63. Integration von Funktionen
§ 64. Primitive Binomialdifferentiale
§ 65. Integration trigonometrischer Differentiale
§ 66. Integration von Differentialen, die Exponentialfunktionen enthalten
ABSCHNITT VIER. ENDLOSE REIHEN
Kapitel 18. Unendliche Zahlenreihe
§ 67. Grundbegriffe
§ 68. Reihe konstanter Zeichen
§ 69. Wechselserie
§ 70. Operationen an Serien
§ 71. Unendliche Produkte
Kapitel 19. Unendliche Reihe von Funktionen
§ 72. Der Konvergenzbereich der Funktionsreihe
§ 73. Gleichmäßige Konvergenz
§ 74. Stetigkeit der Summe einer Funktionsreihe
§ 75. Termweise Integration und Differenzierung von Reihen
Kapitel 20. Potenzreihen und Reihen von Polynomen
§ 76. Bereich der Konvergenz von Potenzreihen
§ 77. Gleichmäßige Konvergenz und ihre Folgen
§ 78. Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen
§ 79. Reihe von Polynomen
§ 80. Satz von Weierstrass
Kapitel 21. Trigonometrische Reihe
§ 81. Fourier-Koeffizienten
§ 82. Annäherung im Durchschnitt
§ 83. Der Satz von Dirichlet-Lyapunov über die Geschlossenheit des trigonometrischen Systems
§ 84. Konvergenz von Fourier-Reihen
§ 85. Verallgemeinerte trigonometrische Reihen
ABSCHNITT FÜNF. WEITERENTWICKLUNG DER DIFFERENZRECHNUNG
Kapitel 22. Differenzierung von Funktionen mehrerer Variablen
§ 86. Stetigkeit einer Funktion mehrerer unabhängiger Variablen
§ 87. Zweidimensionales Kontinuum
§ 88. Eigenschaften stetiger Funktionen
§ 89. Partielle Ableitungen
§ 90. Differential
§ 91. Ableitung in jede Richtung
§ 92. Unterscheidung komplexer und impliziter Funktionen
§ 93. Homogene Funktionen und der Satz von Euler
§ 94. Partielle Ableitungen höherer Ordnung
§ 95. Taylors Formel für Funktionen zweier Variablen
§ 96. Extremwerte
Kapitel 23. Die einfachsten geometrischen Anwendungen der Differentialrechnung
§ 97. Tangenten- und Normalengleichungen zu einer ebenen Kurve
§ 98. Tangente und Normalebene an eine Raumkurve
§ 99. Tangente Ebene und Normale zur Oberfläche
§ 100. Richtung der Konvexität und Konkavität einer Kurve
§ 101. Krümmung einer ebenen Kurve
§ 102. Besatzungskreis
Kapitel 24. Implizite Funktionen
§ 103. Das einfachste Problem
§ 104. Allgemeine Aufgabe
§ 105. Ostrogradskys Determinanten
§ 106. Bedingtes Extremum
ABSCHNITT SECHS. WEITERENTWICKLUNG DER INTEGRALRECHNUNG
Kapitel 25. Verallgemeinerte Integrale
§ 107. Integrale mit unendlichen Grenzen
§ 108. Integrale unbeschränkter Funktionen
Kapitel 26. Integrale als Funktionen von Parametern
§ 109. Integrale mit endlichen Grenzen
§ 110. Integrale mit unendlichen Grenzen
§ 111. Beispiele
§ 112. Euler-Integrale
§ 113. Stirling-Formel
Kapitel 27. Doppel- und Dreifachintegrale
§ 114. Messbare ebene Figuren
§ 115. Volumina zylindrischer Körper
§ 116. Doppeltes Integral
§ 117. Berechnung von Doppelintegralen mittels doppelter einfacher Integration
§ 118. Änderung von Variablen in einem Doppelintegral
§ 119. Dreifache Integrale
§ 120. Bewerbungen
Kapitel 28. Krummlinige Integrale
§ 121. Definition eines ebenen krummlinigen Integrals
§ 122. Arbeit eines flachen Kraftfeldes
§ 123. Greensche Formel
§ 124. Anwendung auf Differentiale von Funktionen zweier Variablen
§ 125. Räumliche krummlinige Integrale
Kapitel 29. Oberflächenintegrale
§ 126. Der einfachste Fall
§ 127. Allgemeine Definition des Oberflächenintegrals
§ 128. Ostrogradsky-Formel
§ 129. Stokes-Formel
§ 130. Elemente der Feldtheorie
Abschluss. Kurze historische Skizze
Themenindex