Was sind Identitätsbeispiele? Was ist Identität? Bedeutung und Interpretation des Wortes tozhdestvo, Definition des Begriffs. In der formalen Logik

Für Studenten Höhere Mathematik Es muss bekannt sein, dass die Menge eines bestimmten Potenzreihe, das zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehört, erweist sich als kontinuierlich und unbegrenzt oft differenzierte Funktion. Es stellt sich die Frage: Kann man sagen, dass das Gegebene ist? beliebige Funktion f(x) ist die Summe einiger Potenzreihen? Unter welchen Bedingungen kann die Funktion f(x) dargestellt werden? Potenzreihe? Die Bedeutung dieser Frage liegt darin, dass es möglich ist, die Funktion f(x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme einer Potenzreihe, also ein Polynom, zu ersetzen. Dieser Funktionsaustausch ist ziemlich einfacher Ausdruck- ein Polynom - ist auch praktisch, wenn man bestimmte Probleme löst, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Rechnen usw.

Es wurde bewiesen, dass für eine bestimmte Funktion f(x), in der es möglich ist, Ableitungen bis zur (n+1)-ten Ordnung, einschließlich der letzten, in der Umgebung von (α - R; x 0 + R.) zu berechnen ) Irgendwann x = α, es ist wahr, dass die Formel:

Diese Formel ist nach der berühmten Wissenschaftlerin Brooke Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen Reihe entsteht, wird Maclaurin-Reihe genannt:

Die Regel, die es ermöglicht, eine Erweiterung in einer Maclaurin-Reihe durchzuführen:

1. Bestimmen Sie Ableitungen erster, zweiter, dritter... Ordnung.
2. Berechnen Sie, wie groß die Ableitungen bei x=0 sind.
3. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion auf und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
4. Bestimmen Sie das Intervall (-R;R), in dem der Rest der Maclaurin-Formel liegt

R n (x) -> 0 bei n -> unendlich. Wenn eine existiert, muss die darin enthaltene Funktion f(x) mit der Summe der Maclaurin-Reihe übereinstimmen.

Betrachten wir nun die Maclaurin-Reihe für einzelne Funktionen.

1. Das erste ist also f(x) = e x. Natürlich hat eine solche Funktion aufgrund ihrer Eigenschaften Ableitungen sehr unterschiedlicher Ordnung und f (k) (x) = e x , wobei k gleich alle ist. Wir bekommen f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Basierend auf dem oben Gesagten sieht die Reihe e x so aus:

2. Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = sin x. Lassen Sie uns sofort klarstellen, dass die Funktion für alle Unbekannten zusätzlich Ableitungen haben wird: f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), wobei k gleich beliebig ist natürliche Zahl. Das heißt, nach einfachen Berechnungen können wir zu dem Schluss kommen, dass die Reihe für f(x) = sin x die folgende Form haben wird:

3. Versuchen wir nun, die Funktion f(x) = cos x zu betrachten. Es gibt Ableitungen für alle Unbekannten zufällige Reihenfolge, und |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Daher haben wir die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die in einer Maclaurin-Reihe erweitert werden können, sie werden jedoch für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Bestandteil der praktischen Arbeit zur Lösung von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also Taylor-Reihe.

1. Die erste wird die Reihe für die Funktion f(x) = ln(1+x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir für das gegebene f(x) = ln(1+x) die Reihe unter Verwendung der allgemeinen Form der Maclaurin-Reihe addieren. Für diese Funktion kann die Maclaurin-Reihe jedoch viel einfacher erhalten werden. Durch die Integration einer bestimmten geometrischen Reihe erhalten wir eine Reihe für f(x) = ln(1+x) einer solchen Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel abschließend sein wird, wird die Reihe für f(x) = arctan x sein. Für x, das zum Intervall [-1;1] gehört, gilt die Entwicklung:

Das ist alles. Dieser Artikel untersuchte die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere in Wirtschaftswissenschaften und technischen Universitäten.

Wenn die Funktion f(x) hat auf einem Intervall, das den Punkt enthält A, Ableitungen aller Ordnungen, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:

Wo r n– der sogenannte Restterm oder Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x zwischen liegt X Und A.

Wenn für einen gewissen Wert x r n®0 bei N®¥, dann geht die Taylor-Formel im Grenzfall in eine konvergente Formel für diesen Wert über Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betreffenden Stelle zu einer Taylor-Reihe entwickelt werden X, Wenn:

1) Es gibt Derivate aller Ordnungen;

2) Die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei A=0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f(x)= 2X.

Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0

f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Taylor-Reihenformel einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, daher gilt diese Entwicklung für -¥<X<+¥.

Beispiel 2 X+4) für Funktion f(x)= e X.

Lösung. Finden der Ableitungen der Funktion e X und ihre Werte an der Stelle X=-4.

f(x)= z.B X, F(-4) = z.B -4 ;

f¢(x)= z.B X, f¢(-4) = z.B -4 ;

f¢¢(x)= z.B X, f¢¢(-4) = z.B -4 ;

f(n)(x)= z.B X, f(n)( -4) = z.B -4 .

Daher hat die erforderliche Taylor-Reihe der Funktion die Form:

Diese Erweiterung gilt auch für -¥<X<+¥.

Beispiel 3 . Erweitern Sie eine Funktion f(x)=ln X in einer Potenzreihe ( X- 1),

(d. h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes X=1).

Lösung. Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.

Wenn wir diese Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test können Sie überprüfen, ob die Reihe wann konvergiert

½ X- 1½<1. Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt. Bei X=0 Funktion ist nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).

Stellen wir die so erhaltenen Entwicklungen in die Maclaurin-Reihe (also in die Nähe des Punktes) ein X=0) für einige Elementarfunktionen:

(2) ,

(3) ,

( die letzte Zerlegung wird aufgerufen Binomialreihe)

Beispiel 4 . Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe

Lösung. In Erweiterung (1) ersetzen wir X An - X 2, wir erhalten:

Beispiel 5 . Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe

Lösung. Wir haben

Mit Formel (4) können wir schreiben:

stattdessen ersetzen X in die Formel ein -X, wir bekommen:

Von hier aus finden wir:

Wenn wir die Klammern öffnen, die Begriffe der Reihe neu anordnen und ähnliche Begriffe hinzufügen, erhalten wir

Diese Reihe konvergiert im Intervall

(-1;1), da es aus zwei Reihen gewonnen wird, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .

Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen zu einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d. h. zur Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Dazu ist es notwendig, solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchzuführen, um eine der Funktionen (1)–(5) zu erhalten, in denen stattdessen X kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl und m eine positive ganze Zahl ist. Oft ist es praktisch, eine Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion bezüglich t in der Maclaurin-Reihe.

Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit einer Potenzreihenentwicklung einer Funktion. Der Kern dieses Satzes besteht darin, dass in der Umgebung desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die gegen dieselbe Funktion konvergieren würden, unabhängig davon, wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel 6 . Entwickeln Sie die Funktion in einer Taylor-Reihe in der Umgebung eines Punktes X=3.

Lösung. Dieses Problem kann wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die wir die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei finden müssen X=3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Erweiterung (5) zu verwenden:

Die resultierende Reihe konvergiert bei oder –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Beispiel 7 . Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( X-1) Funktionen .

Lösung.

Die Reihe konvergiert bei , oder -2< X 5 £.

Jeder Grundschüler weiß, dass sich die Summe nicht verändert, wenn man die Stellen der Begriffe ändert; diese Aussage gilt für Faktoren und Produkte. Das heißt, nach dem Kommutativgesetz gilt
a + b = b + a und
a · b = b · a.

Das Kombinationsgesetz besagt:
(a + b) + c = a + (b + c) und
(ab)c = a(bc).

Und das Verteilungsgesetz besagt:
a(b + c) = ab + ac.

Wir haben uns an die elementarsten Beispiele für die Anwendung dieser mathematischen Gesetze erinnert, aber sie alle gelten für sehr weite numerische Bereiche.

Für jeden Wert der Variablen x sind die Bedeutungen der Ausdrücke 10(x + 7) und 10x + 70 gleich, da das Verteilungsgesetz der Multiplikation für alle Zahlen erfüllt ist. Man sagt, dass solche Ausdrücke auf der Menge aller Zahlen identisch gleich sind.

Die Werte des Ausdrucks 5x 2 /4a und 5x/4 sind aufgrund der Grundeigenschaft des Bruchs für jeden Wert von x außer 0 gleich. Solche Ausdrücke werden auf der Menge aller Zahlen als identisch gleich bezeichnet. Außer 0.

Zwei Ausdrücke mit einer Variablen heißen auf einer Menge identisch gleich, wenn für jeden Wert der zu dieser Menge gehörenden Variablen ihre Werte gleich sind.

Ebenso wird die identische Gleichheit von Ausdrücken mit zwei, drei usw. bestimmt. Variablen auf einer bestimmten Menge von Paaren, Tripletts usw. Zahlen.

Beispielsweise sind die Ausdrücke 13аb und (13а)b auf der Menge aller Zahlenpaare identisch gleich.

Der Ausdruck 7b 2 c/b und 7bc sind auf der Menge aller Wertepaare der Variablen b und c, in denen der Wert von b ungleich 0 ist, identisch gleich.

Gleichungen, bei denen die linke und rechte Seite Ausdrücke sind, die auf einer bestimmten Menge identisch gleich sind, werden Identitäten auf dieser Menge genannt.

Es ist offensichtlich, dass eine Identität auf einer Menge zu einer echten numerischen Gleichheit für alle Werte der Variablen (für alle Paare, Tripletts usw. von Variablenwerten) wird, die zu dieser Menge gehören.

Eine Identität ist also eine Gleichheit mit Variablen, die für alle darin enthaltenen Werte der Variablen gilt.

Beispielsweise ist die Gleichheit 10(x + 7) = 10x + 70 eine Identität auf der Menge aller Zahlen; sie wird für jeden Wert von x zu einer echten numerischen Gleichheit.

Echte numerische Gleichheiten werden auch Identitäten genannt. Beispielsweise ist die Gleichheit 3 ​​2 + 4 2 = 5 2 eine Identität.

In einem Mathematikkurs müssen Sie verschiedene Transformationen durchführen. Beispielsweise können wir die Summe 13x + 12x durch den Ausdruck 25x ersetzen. Wir ersetzen das Produkt der Brüche 6a 2 /5 · 1/a durch den Bruch 6a/5. Es stellt sich heraus, dass die Ausdrücke 13x + 12x und 25x auf der Menge aller Zahlen identisch gleich sind und die Ausdrücke 6a 2 /5 1/a und 6a/5 auf der Menge aller Zahlen außer 0 identisch gleich sind. Ersetzen des Ausdrucks mit einem anderen Ausdruck, der ihm auf einer Menge identisch ist, wird als Identitätstransformation eines Ausdrucks auf dieser Menge bezeichnet.

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Identität ist eine Beziehung zwischen Objekten (real oder abstrakt), die es uns ermöglicht, davon zu sprechen, dass sie in bestimmten Merkmalen (z. B. Eigenschaften) nicht voneinander unterscheidbar sind. In der Realität unterscheiden sich alle Objekte (Dinge) normalerweise durch einige Merkmale voneinander. Dies schließt nicht aus, dass sie auch gemeinsame Merkmale aufweisen. Im Erkenntnisprozess identifizieren wir einzelne Dinge in ihren allgemeinen Merkmalen, fassen sie entsprechend dieser Merkmale zu Mengen zusammen und bilden auf der Grundlage der Abstraktion der Identifizierung Konzepte darüber (siehe: Abstraktion). Objekte, die aufgrund einiger gemeinsamer Eigenschaften zu Mengen zusammengefasst werden, unterscheiden sich nicht mehr voneinander, da wir im Prozess einer solchen Vereinigung von ihren Unterschieden abgelenkt werden. Mit anderen Worten: Sie werden in diesen Eigenschaften ununterscheidbar und identisch. Wenn alle Eigenschaften zweier Objekte a und b identisch wären, würden sich die Objekte in dasselbe Objekt verwandeln. Dies geschieht jedoch nicht, da wir im Erkenntnisprozess Objekte identifizieren, die sich nicht in allen Merkmalen, sondern nur in einigen voneinander unterscheiden. Ohne die Feststellung von Identitäten und Unterschieden zwischen Objekten ist kein Wissen über die Welt um uns herum, keine Orientierung in der Umwelt um uns herum möglich. Zum ersten Mal wurde das Konzept der Theorie zweier Objekte in der allgemeinsten und idealisierten Formulierung von G. W. Leibniz gegeben. Das Gesetz von Leibniz lässt sich wie folgt formulieren: „x = y genau dann, wenn x jede Eigenschaft hat, die y hat, und y jede Eigenschaft hat, die x hat.“ Mit anderen Worten: Ein Objekt x kann mit einem Objekt y identifiziert werden, wenn absolut alle seine Eigenschaften gleich sind. Das Konzept von T. wird in verschiedenen Wissenschaften häufig verwendet: Mathematik, Logik und Naturwissenschaften. Allerdings wird die Identität der untersuchten Gegenstände in allen Fällen ihrer Anwendung nicht durch absolut alle allgemeinen Merkmale bestimmt, sondern nur durch einige, die mit den Zielen ihrer Untersuchung, mit dem Kontext der wissenschaftlichen Theorie, in der sie sich befinden, zusammenhängen Objekte werden untersucht.

Definitionen, Bedeutungen von Wörtern in anderen Wörterbüchern:

Philosophisches Wörterbuch

Die Beziehung zwischen Objekten (real oder abstrakt), die es uns ermöglicht, in einer Reihe von Merkmalen (z. B. Eigenschaften) davon zu sprechen, dass sie voneinander nicht unterscheidbar sind. In Wirklichkeit unterscheiden sich normalerweise alle Objekte (Dinge) auf irgendeine Weise voneinander ...

Betrachten wir zwei Gleichheiten:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Diese Gleichheit gilt für alle Werte der Variablen a. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Gleichheit umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Diese Ungleichung gilt für alle Werte der Variablen a, mit Ausnahme von a gleich Null. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Ungleichung umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen außer Null.

Für jede dieser Gleichungen kann argumentiert werden, dass sie für alle zulässigen Werte der Variablen a gilt. Solche Gleichheiten nennt man in der Mathematik Identitäten.

Der Begriff der Identität

Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der Variablen gilt. Wenn Sie in diese Gleichung anstelle von Variablen gültige Werte einsetzen, sollten Sie eine korrekte numerische Gleichheit erhalten.

Es ist erwähnenswert, dass echte numerische Gleichheiten auch Identitäten sind. Identitäten werden beispielsweise Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen sein.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

5. a*b = b*a;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

8. a + 0 = a;

9. a*0 = 0;

10. a*1 = a;

11. a*(-1) = -a.

Wenn zwei Ausdrücke für beliebige zulässige Variablen jeweils gleich sind, werden solche Ausdrücke aufgerufen identisch gleich. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke:

1. (a 2) 4 und a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) und -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) und x 10.

Wir können einen Ausdruck jederzeit durch einen anderen Ausdruck ersetzen, der dem ersten identisch ist. Ein solcher Ersatz wird eine Identitätstransformation sein.

Beispiele für Identitäten

Beispiel 1: Sind die folgenden Gleichheiten identisch:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

4. a-b = b-a.

Nicht alle oben dargestellten Ausdrücke sind Identitäten. Von diesen Gleichheiten sind nur 1, 2 und 3 Gleichheiten Identitäten. Egal welche Zahlen wir darin einsetzen, anstelle der Variablen a und b erhalten wir immer noch korrekte numerische Gleichheiten.

Aber 4 Gleichheit ist keine Identität mehr. Denn diese Gleichheit gilt nicht für alle gültigen Werte. Mit den Werten a = 5 und b = 2 erhält man beispielsweise folgendes Ergebnis:

5 - 2 = 2 - 5;

3 = -3.

Diese Gleichheit ist nicht wahr, da die Zahl 3 nicht gleich der Zahl -3 ist.