So konstruieren Sie ein ähnliches Dreieck. N. Nikitin-Geometrie. Üben Sie Probleme mit ähnlichen Dreiecken

Aufgabe 1. Konstruieren Sie ein Dreieck und kennen Sie dabei seine beiden Winkel und seinen Umfang.

Lösung. Die Kenntnis der Winkel eines Dreiecks bestimmt dieses bereits bis auf eine Ähnlichkeitstransformation. Um das Problem zu lösen, bauen wir daher ein beliebiges Dreieck LS mit den angegebenen Winkeln (Abb. 277). Es bleibt noch, das Dreieck auf ähnliche Weise so zu transformieren, dass sein Umfang diesem Wert entspricht.

Um dies zu tun, legen wir seine Seiten auf die Fortsetzung der Seiten beiseite, das Segment wird sein gleich dem Umfang am Dreieck. Nehmen Sie ein beliebiges Segment KL parallel zum Segment, aber gleich angegebenen Umfang. Verbinden wir die Enden beider parallele Segmente und nehmen Sie den Punkt O des Schnittpunkts der Linien als Ähnlichkeitszentrum. Die Konstruktion der Eckpunkte A und C des gewünschten Dreiecks ist aus Abb. ersichtlich. 277, seine Seiten AB und CB sind parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks.

In diesem Fall ist das Dreieck bereits das gewünschte.

Aufgabe 2. Gegeben sei ein Winkel, der durch die Strahlen OA und OB gebildet wird, und ein Punkt N innerhalb dieses Winkels. Konstruieren Sie einen Kreis, der die Seiten des Winkels tangiert und durch ihn verläuft dieser Punkt N (Abb. 278).

Lösung. Ein Kreis, der die Seiten eines Winkels berührt, muss seinen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels haben. Nehmen wir diese Winkelhalbierende an beliebiger Punkt und konstruiere einen Kreis mit einem Mittelpunkt, der die Seiten des Winkels tangiert (sein Radius ist einfach gleich der Entfernung Punkte von den Seiten des Winkels). Wenn wir diesen Kreis nun in ähnlicher Weise umformen, wobei der Mittelpunkt der Ähnlichkeit im Scheitelpunkt des Winkels O liegt, dann erhalten wir wieder einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden liegt; Ein solcher Kreis berührt wiederum die Seiten des Winkels, da sich sein zum Berührungspunkt führender Radius aufgrund der Winkelerhaltung in einen Radius senkrecht zur Seite des Winkels umwandelt. Es bleibt sicherzustellen, dass die zweite Bedingung erfüllt ist: Der transformierte Kreis muss durch den Punkt N verlaufen. Dies impliziert die Lösung des Problems. Zeichnen wir den Strahl ON, bis er den Kreis an Punkten schneidet, und konstruieren wir seine Radien, die zu diesen Punkten führen. Durch einen gegebenen Punkt N ziehen wir Linien NC und NC parallel zu diesen Radien; Die Schnittpunkte C, C mit der Winkelhalbierenden geben die möglichen Positionen des Mittelpunkts des gewünschten Kreises an. Das Problem hat zwei Lösungen. Wie ändert sich die Lösung, wenn der Punkt N auf der Winkelhalbierenden liegt?

Übungen

1. Der Umfang eines Dreiecks beträgt 10 cm, und wie groß ist der Umfang eines ähnlichen Dreiecks, wenn seine Fläche beträgt?

2. Beweisen Sie das gleichschenklige Dreiecke mit gleichen Scheitelwinkeln sind ähnlich.

3. Konstruieren Sie ein ähnliches Dreieck, das in einen Kreis mit einem bestimmten Radius eingeschrieben ist.

4. B gegebenes Dreieck ABC beschreibe ein Quadrat so, dass eine seiner Seiten auf der BC-Seite des Dreiecks liegt und zwei Eckpunkte auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks liegen.

In der Regel gelten zwei Dreiecke als ähnlich, wenn sie dies haben gleiche Form, auch wenn sie unterschiedlich groß, gedreht oder sogar auf dem Kopf stehen.

Mathematische Darstellung von zwei ähnliche Dreiecke A 1 B 1 C 1 und A 2 B 2 C 2 in der Abbildung werden wie folgt geschrieben:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn:

1. Jeder Winkel eines Dreiecks ist gleich dem entsprechenden Winkel eines anderen Dreiecks:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Und ∠C 1 = ∠C 2

2. Die Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks zu den entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind einander gleich:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Beziehungen zwei seiten Die Seiten eines Dreiecks und die entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind einander gleich und gleichzeitig
die Winkel zwischen diesen Seiten sind gleich:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ und $\angle A_1 = \angle A_2$
oder
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ und $\angle B_1 = \angle B_2$
oder
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ und $\angle C_1 = \angle C_2$

Verwechseln Sie ähnliche Dreiecke nicht mit gleichen Dreiecken. Kongruente Dreiecke haben gleiche entsprechende Seitenlängen. Daher gilt für kongruente Dreiecke:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Daraus folgt, dass alles gleiche Dreiecke sind ähnlich. Allerdings sind nicht alle ähnlichen Dreiecke gleich.

Obwohl die obige Notation zeigt, dass wir, um herauszufinden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht, die Werte der drei Winkel oder die Längen der drei Seiten jedes Dreiecks kennen müssen, reicht es aus, dies zu wissen, um Probleme mit ähnlichen Dreiecken zu lösen drei beliebige der oben genannten Werte für jedes Dreieck. Diese Mengen können in verschiedenen Kombinationen vorliegen:

1) drei Winkel jedes Dreiecks (Sie müssen die Längen der Seiten der Dreiecke nicht kennen).

Oder mindestens 2 Winkel eines Dreiecks müssen gleich 2 Winkeln eines anderen Dreiecks sein.
Denn wenn zwei Winkel gleich sind, ist auch der dritte Winkel gleich (der Wert des dritten Winkels ist 180 - Winkel1 - Winkel2).

2) die Längen der Seiten jedes Dreiecks (Sie müssen die Winkel nicht kennen);

3) die Längen der beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen.

Als nächstes werden wir uns mit der Lösung einiger Probleme mit ähnlichen Dreiecken befassen. Wir werden uns zunächst die Probleme ansehen, die durch die direkte Anwendung der oben genannten Regeln gelöst werden können, und dann einige diskutieren praktische Probleme, die mit der Methode ähnlicher Dreiecke gelöst werden.

Üben Sie Probleme mit ähnlichen Dreiecken

Beispiel Nr. 1: Zeigen Sie, dass die beiden Dreiecke in der Abbildung unten ähnlich sind.

Lösung:
Da die Seitenlängen beider Dreiecke bekannt sind, kann hier die zweite Regel angewendet werden:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Beispiel #2: Zeigen Sie, dass zwei gegebene Dreiecke ähnlich sind und bestimmen Sie die Längen der Seiten PQ Und PR.

Lösung:
∠A = ∠P Und ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(da ∠C = 180 - ∠A - ∠B und ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Daraus folgt, dass die Dreiecke ΔABC und ΔPQR ähnlich sind. Somit:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ und
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Beispiel #3: Bestimmen Sie die Länge AB in diesem Dreieck.

Lösung:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Und ∠A allgemein => Dreiecke ΔABC Und ΔADE sind ähnlich.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Beispiel #4: Länge bestimmen AD (x) geometrische Figur im Bild.

Die Dreiecke ΔABC und ΔCDE sind ähnlich, weil AB || DE und sie haben eines gemeinsam obere Ecke C.
Wir sehen, dass ein Dreieck eine skalierte Version des anderen ist. Allerdings müssen wir dies mathematisch beweisen.

AB || DE, CD || AC und BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC und ∠ABC = ∠DEC

Basierend auf dem oben Gesagten und unter Berücksichtigung der Verfügbarkeit Gesamtwinkel C können wir behaupten, dass die Dreiecke ΔABC und ΔCDE ähnlich sind.

Somit:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = Wechselstrom – Gleichstrom = 23,57 – 15 = 8,57

Praxisbeispiele

Beispiel #5: Die Fabrik nutzt ein geneigtes Förderband, um Produkte von Ebene 1 auf Ebene 2 zu transportieren, die 3 Meter höher als Ebene 1 liegt, wie in der Abbildung dargestellt. Der Schrägförderer wird von einem Ende zur Ebene 1 und vom anderen Ende zu einem Arbeitsplatz bedient, der sich in einer Entfernung von 8 Metern befindet Betriebspunkt Stufe 1.

Die Fabrik möchte das Förderband modernisieren, um die neue Ebene zu erreichen, die 9 Meter über Ebene 1 liegt, und gleichzeitig den Neigungswinkel des Förderbandes beizubehalten.

Bestimmen Sie den Abstand, in dem die neue Arbeitsstation installiert werden muss, um sicherzustellen, dass das Förderband an seinem neuen Ende auf Ebene 2 funktioniert. Berechnen Sie außerdem die zusätzliche Entfernung, die das Produkt zurücklegen muss, wenn es auf die neue Ebene bewegt wird.

Lösung:

Beschriften wir zunächst jeden Schnittpunkt ein bestimmter Buchstabe wie im Bild gezeigt.

Basierend auf den oben in den vorherigen Beispielen dargelegten Überlegungen können wir schließen, dass die Dreiecke ΔABC und ΔADE ähnlich sind. Somit,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Daher muss der neue Punkt in einem Abstand von 16 Metern vom bestehenden Punkt installiert werden.

Und da die Struktur aus rechtwinkligen Dreiecken besteht, können wir die Bewegungsstrecke des Produkts wie folgt berechnen:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Ebenso gilt $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
Das ist die Strecke, die das Produkt zurücklegt im Moment bei Erreichen des bestehenden Niveaus.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Dies ist die zusätzliche Entfernung, die das Produkt zurücklegen muss, um ein neues Niveau zu erreichen.

Beispiel #6: Steve möchte seinen Freund besuchen, der kürzlich zugezogen ist neues Zuhause. Straßenkarte Die Wegbeschreibung zum Haus von Steve und seinem Freund sowie die Steve bekannten Entfernungen sind in der Abbildung dargestellt. Hilf Steve, auf dem kürzesten Weg zum Haus seines Freundes zu gelangen.

Lösung:

Eine Straßenkarte kann geometrisch dargestellt werden das folgende Formular wie im Bild gezeigt.

Wir sehen, dass die Dreiecke ΔABC und ΔCDE ähnlich sind, daher:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

In der Problemstellung heißt es:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km und DE = 5 km

Mit diesen Informationen können wir die folgenden Entfernungen berechnen:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve kann auf folgenden Wegen zum Haus seines Freundes gelangen:

A -> B -> C -> E -> G, Gesamtstrecke beträgt 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, Gesamtstrecke beträgt 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, Gesamtstrecke beträgt 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, Gesamtstrecke beträgt 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Daher ist Route Nr. 3 die kürzeste und kann Steve angeboten werden.

Beispiel 7:
Trisha möchte die Höhe ihres Hauses messen, hat aber nicht die richtigen Werkzeuge. Sie bemerkte, dass vor dem Haus ein Baum wuchs und beschloss, ihren Einfallsreichtum und ihre in der Schule erworbenen Geometriekenntnisse zu nutzen, um die Höhe des Gebäudes zu bestimmen. Sie maß den Abstand vom Baum zum Haus, das Ergebnis war 30 m. Dann stellte sie sich vor den Baum und begann, sich zurückzuziehen Oberkante Das Gebäude wurde über der Baumkrone sichtbar. Trisha markierte diese Stelle und maß die Entfernung von dort zum Baum. Dieser Abstand betrug 5 m.

Die Höhe des Baumes beträgt 2,8 m und die Höhe von Trishas Augenhöhe beträgt 1,6 m. Helfen Sie Trisha, die Höhe des Gebäudes zu bestimmen.

Lösung:

Die geometrische Darstellung des Problems ist in der Abbildung dargestellt.

Zuerst nutzen wir die Ähnlichkeit der Dreiecke ΔABC und ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Wir können dann die Ähnlichkeit der Dreiecke ΔACB und ΔAFG oder ΔADE und ΔAFG verwenden. Wählen wir die erste Option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$

206. Wir wissen (Punkt 175), dass, wenn ∠A (Zeichnung 203 oder 204) von zwei parallelen KL und BC geschnitten wird, das Verhältnis zweier beliebiger Segmente auf einer Seite dieses Winkels gleich dem Verhältnis zweier entsprechender Segmente ist das andere (zum Beispiel AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL usw.). Aber wir sehen, dass wir auch Segmente auf den parallelen selbst erhalten haben, nämlich KL und BC. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, zwei auf einer Seite unseres Winkels A liegende Segmente AL, LC und AC so zu wählen, dass ihr Verhältnis gleich dem Verhältnis der Segmente KL und BC ist.

Dazu übertragen wir zunächst die Strecke KL auf die Gerade BC, für die wir LD || konstruieren müssen AB; dann ist BD = KL. Dann können wir anstelle der Segmente KL und BC die Segmente BD und BC betrachten, die auf der Seite CB des Winkels C liegen. Da sich herausstellte, dass ∠C von zwei parallelen Linien AB und LD geschnitten wird, wenden wir Schritt an 175 zum Winkel C finden wir

BD/BC = AL/AC oder KL/BC = AL/AC.

Die Frage ist gelöst: Es ist uns gelungen, zwei Segmente AL und AC auf der Seite AC zu finden, sodass ihr Verhältnis = KL/BC ist. Da wir auch wissen, dass AK/AB = AL/AC ist, können wir nun die Gleichungen schreiben:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Betrachtet man diese Gleichheiten, kommen wir zu dem Schluss, dass sie die Seiten der beiden resultierenden Dreiecke, nämlich ∆AKL und ∆ABC, verbinden. Entsteht neue Frage: Sind die Winkel dieser Dreiecke irgendwie miteinander verbunden?

An letzte Frage Die Antwort ist leicht zu finden: ∠A ist unseren Dreiecken gemeinsam, ∠K = ∠B, entsprechend für die Parallelen KL und BC und die Sekante AB, und ∠L = ∠C, entsprechend für dieselbe Parallele, aber für die Sekante AC .

Wir können ∆AKL (Zeichnung 203) an einen anderen Ort verschieben oder, was dasselbe ist, ein neues ∆A"K"L" konstruieren, das ∆AKL entspricht; seine Seiten und Winkel sind jeweils gleich den Seiten und Winkeln von ∆AKL: AK = A „K“, AL = A „L“, KL = K „L“, ∠A = ∠A“, ∠K = ∠K“, ∠L = ∠L“.

Dann erhalten wir ∆A"K"L", das in der gleichen Beziehung zu ∆ABC steht wie ∆AKL:
1) Diese Dreiecke haben paarweise gleiche Winkel: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) Für die Seiten haben wir Proportionen:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Es ist zu beachten, dass die beiden Seiten jeder Beziehung nicht versehentlich zu einer Beziehung verbunden werden – Sie können beispielsweise nicht A"L"/AB = A"K"/BC = K"L"/AC schreiben. Sie müssen in der Lage sein, diejenigen Parteien zu finden, die Mitglieder einer Beziehung sein sollen. Am einfachsten gelingt dies anhand der Winkel von Dreiecken: Sie können feststellen, dass die Seiten jeder Beziehung in Gleichungen (1) in Dreiecken liegen, die gleichen Winkeln gegenüberstehen (A"K" gegenüber ∠L und AB gegenüber gleichem Winkel C usw. ). Es ist üblich, diejenigen Seiten, die als Mitglieder derselben Beziehung dienen, als ähnlich zu bezeichnen (Seite A „K“ ähnelt Seite AB, A „L“ ähnelt Seite AC und K „L“ ähnelt Seite BC) und ähnliche Seiten befinden sich in Unsere gegenüberliegenden Dreiecke haben gleiche Winkel.

Gleichheit (1) kann abgekürzt wie folgt gelesen werden:

Die Seiten des Dreiecks ∆A"K"L" sind proportional zu den ähnlichen Seiten ∆ABC.

Das Wort „proportional“ bedeutet: Das Verhältnis eines Paares ähnlicher Seiten der Dreiecke A, K, L und ABC ist gleich dem Verhältnis des anderen Paares und gleich dem Verhältnis des dritten Paares.

Dreiecke, die die beiden oben genannten Eigenschaften aufweisen, werden als ähnlich bezeichnet. Um die Ähnlichkeit von Dreiecken anzuzeigen, verwenden Sie das Zeichen ~. Wir erhalten: ∆AKL ~ ∆ABC und auch ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

Sie können jetzt Folgendes installieren:

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn die Winkel des einen paarweise gleich den Winkeln des anderen sind und ihre ähnlichen Seiten proportional sind.

Kommentar. Nehmen wir nur eine aus Gleichung (1), zum Beispiel A"K"/AB = A"L"/AC. Wenn wir hier die Eigenschaft von Absatz 178 anwenden, erhalten wir: A"K"/A"L" = AB/AC, d.h. Das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks ist gleich dem Verhältnis zweier ähnlicher Seiten eines anderen Dreiecks, das dem ersten ähnlich ist.

207. Das Hauptzeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. Gemäß dem vorherigen Absatz können wir eine unendliche Anzahl ähnlicher Dreiecke wie dieses konstruieren: Dazu müssen wir dieses Dreieck mit verschiedenen Geraden parallel zu einer seiner Seiten schneiden und dann, falls gewünscht, jedes resultierende Dreieck übertragen an einen anderen Ort im Flugzeug. In allen resultierenden Dreiecken bleiben die Winkel unverändert, aber das Verhältnis einer beliebigen Seite zu der ähnlichen Seite des gegebenen Dreiecks (Ähnlichkeitsskala) ändert sich. Daher stellt sich die Frage, ob die Gleichheit ihrer Winkel nicht für die Ähnlichkeit zweier Dreiecke ausreicht.

Konstruieren wir zwei Dreiecke: ∆ABC und ∆DEF (Zeichnung 205), sodass ∠A = ∠E und ∠B = ∠D. Dann finden wir zunächst, dass ∠C = ∠F (da die Summe der Winkel jedes Dreiecks = 2d ist).

Legen wir ∆ABC auf ∆DEF, so dass beispielsweise Punkt E zu Punkt A gelangt. Durch Drehen um diesen Punkt können wir dann aufgrund der Gleichheit ∠E = ∠A sicherstellen, dass ED und EF entlang AB und AC verlaufen , jeweils; Seite DF muss eine Position KL einnehmen, so dass ∠AKL = ∠D = ∠B und ∠ALK = ∠F = ∠C, d. h. so dass KL || BC, da gleiche entsprechende Winkel erhalten werden.

Daraus schließen wir, dass ∆DEF durch die Konstruktion des vorherigen Absatzes erhalten werden kann und dass folglich ∆DEF ~ ∆ABC. Also wenn Sind zwei Winkel eines Dreiecks gleich zwei Winkeln eines anderen, dann sind diese Dreiecke ähnlich.

208. Aufgabe. Konstruieren Sie ein Quart proportional zu den drei gegebenen Segmenten.

Gegeben seien die Segmente a, b und c (Zeichnung 206); Es ist erforderlich, das 4. Segment x so zu konstruieren, dass das Verhältnis a/b = c/x vorliegt.

Wir konstruieren zwei beliebige Geraden AB und CD, die sich im Punkt O schneiden, und zeichnen vom Punkt O aus auf einem dieser Segmente der ersten Beziehung: OA = a, OB = b (kann in eine oder verschiedene Richtungen vom Punkt O aus verlaufen) und auf dem anderes gerades bekanntes Segment der zweiten Beziehung OC = c. Dann verbinden wir mit einer geraden Linie die Enden der Segmente, die als vorherige Mitglieder unseres Anteils dienen (wenn eines von ihnen nicht bekannt wäre, müssen wir die Enden der Segmente verbinden, die als nachfolgende Mitglieder dieses Anteils dienen); wir erhalten eine Gerade AC, die die Enden der Segmente a und c verbindet. Dann konstruieren wir durch Punkt B eine Gerade BD || Wechselstrom. Dann lehren wir ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, als Vertikale und ∠C = ∠D, als intern kreuzliegende, was gemäß dem vorherigen Absatz für die Ähnlichkeit unserer Dreiecke ausreichend ist). Von hier aus haben wir (Punkt 206) die Verhältnismäßigkeit ähnlicher Seiten:

OA/OB = OC/OD oder a/b = c/OD,

Daraus folgt, dass das erforderliche Segment x = OD ist.

Wenn es notwendig wäre, die Proportionen x/c = a/b zu erfüllen, dann wäre es notwendig, die Punkte B und C zu verbinden und AL || durch Punkt A zu konstruieren. BD; dann wäre das Segment OL das gewünschte.

Notiz. Wenn wir ein Segment x so konstruieren, dass beispielsweise das Verhältnis x/c = a/b erfüllt ist, dann wird jedes andere Segment x" dieses Verhältnis nicht erfüllen; wenn x" > x, dann ist x"/c > x> c und daher x"/c > a/b, wenn x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Andere Anzeichen für die Ähnlichkeit von Dreiecken. 1) Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen sind und die Winkel zwischen ihnen gleich sind, dann sind diese beiden Dreiecke ähnlich.

Es sei ∆ABC (Zeichnung 207); Nehmen wir eine beliebige Strecke ED und konstruieren wir gemäß Paragraph 208 eine Strecke x, sodass sich das Verhältnis x/AC = ED/AB ergibt. Schließlich konstruieren wir ∆EDF so, dass eine Seite das Segment ED ist, die andere Seite das Segment EF = x und schließlich ∠E = ∠A. Dann sind ∆EDF und ∆ABC durch die folgenden Beziehungen miteinander verbunden:

1) ∠E = ∠A und 2) EF/AC = ED/AB.

Sind diese Dreiecke ähnlich?

Um eine Antwort auf diese Frage zu erhalten, müssen wir nur beachten, dass wir ein Dreieck konstruieren können, das gleich ∆EDF, other, more ist auf einfache Weise. Zeichnen Sie dazu die Strecke AK = ED auf der Seite AB ein und konstruieren Sie KL || Chr.; dann ∆AKL ~ ∆ABC (Punkt 197) und als nächstes AL/AC = AK/AB.

Da AK = ED ist und es nur eine Möglichkeit gibt (Bemerkung Punkt 208), die Proportionen x/AC = ED/AB zu erfüllen, schließen wir, dass EF = AL und dass ∆AKL = ∆EDF. Daher kann ∆EDF durch Überlagerung mit ∆AKL kombiniert werden und daher ∆EDF ~ ∆ABC. Dies rechtfertigt den zu Beginn dieses Absatzes genannten Grundsatz der Verhältnismäßigkeit.

2) Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.

Es sei ∆ABC (Zeichnung 207); Nehmen wir das Segment ED und konstruieren wir gemäß Absatz 208 zwei weitere Segmente x und y, sodass die Proportionen erfolgen: x/AC = ED/AB und y/BC = ED/AB. Anschließend konstruieren wir das Dreieck EDF (EF = x, DF = y) auf drei Seiten ED, x und y.

Dann sind ∆EDF und ∆ABC durch die folgenden Beziehungen miteinander verbunden:

1) EF/AC = ED/AB und 2) DF/BC = ED/AB

oder kurz gesagt:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Sind diese Dreiecke ähnlich?

Um dieses Problem zu lösen, stellen wir fest, dass es möglich ist, ein Dreieck gleich ∆EDF auf eine andere, einfachere Weise zu konstruieren.

Zeichnen Sie dazu die Strecke AK = ED auf der Seite AB ein und konstruieren Sie KL || Chr.; dann (Punkt 206) erhalten wir ∆AKL ~ ∆ABC und als nächstes

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Da die Strecke AK = ED ist und gemäß der Bemerkung in Absatz 208 nur eine Strecke konstruiert werden kann, die das Verhältnis x/AC = ED/AB erfüllt, folgern wir, dass AL = EF; Wir werden auch feststellen, dass KL = DF, woraus folgt, dass ∆EDF = ∆AKL, und durch Überlagerung können wir ∆EDF mit ∆AKL kombinieren (manchmal müssen Sie ∆EDF dazu möglicherweise in die andere Richtung drehen). Daher ∆EDF ~ ∆ABC.

Dies rechtfertigt das angegebene Zeichen.

Auf ähnliche Weise können Sie mehrere weitere Ähnlichkeitszeichen sowohl von Dreiecken im Allgemeinen als auch von einigen speziellen Dreiecken finden. Zum Beispiel, Wenn die Hypotenuse und der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks proportional zur Hypotenuse und dem Schenkel eines anderen sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich. Die Feststellung seiner Gültigkeit basiert auf: 1) der Bemerkung in Absatz 208 und 2) auf dem Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke (Absatz 74, Zeichen 4).

Notiz. In einigen von nächste Aufgaben Sie müssen die Verhältnisse der Segmente ermitteln, gemessen in einer Einheit. Wenn zum Beispiel das Segment x = 7½ Linien. Einheit und Segment y = 3/10 Linie. Einheit (Die lineare Einheit ist dieselbe). Um das Verhältnis des Segments x zum Segment y zu ermitteln, muss man das Segment x als Zahl ausdrücken und das Segment y als Eins nehmen. Wenn y = 3/10 lin. Einheiten, dann lin. Einheit = 10/3 * y und daher

x = (7½ * 10/3)y, woraus x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

Das heißt, um ein Verhältnis von Segmenten festzulegen, die in einer Einheit gemessen werden, müssen wir das Verhältnis der Zahlen ermitteln, die unsere Segmente ausdrücken, und das Verhältnis der Zahlen wird, wie aus der Arithmetik bekannt, durch Division ermittelt.

210. Übungen.

1. Gegeben 2 rechtwinkliges Dreieck; der spitze Winkel des einen beträgt 41° und der spitze Winkel des anderen = 49°. Finden Sie heraus, ob diese Dreiecke ähnlich sind.

2. Gegeben sind ∆ABC und ∆KLM (Zeichnung 208), sodass ∠B = ∠M und AB = 15 Zoll, BC = 18 Zoll, ML = 12 Zoll. und MK = 10 dm. Sind diese Dreiecke ähnlich? Wenn sie ähnlich sind, berechnen Sie die Seite AC, wobei Sie wissen, dass die Seite KL = 5½ Zoll ist.

3. Gegeben sind ∆ABC und ∆KLM (Zeichnung 208), so dass AB = 18 Zoll, BC = 20 Zoll, AC = 8 Zoll, KL = 6 Zoll, KM = 13½ Zoll, ML = 15 Zoll. Sind diese Dreiecke ähnlich? Wie können wir hier die Gemeinsamkeiten erkennen?

4. B Dreiecke ABC und KLM ist gegeben: AB = 16 Zoll, AC = 8 Zoll, BC = 20 Zoll, KL = 5 Zoll, MK = 10 Zoll. und ML = 12 dm. Sind diese Dreiecke ähnlich? Wenn sie nicht ähnlich sind, wie sollte dann die Seiten-ML geändert werden, damit die Dreiecke ähnlich sind?

5. Gegeben sind zwei ähnliche Dreiecke, von denen jeweils die Seiten eines Dreiecks gleich sind. 10, 14 und 16 dm. Und große Seite andere = 20 dm. Finden Sie die verbleibenden 2 Seiten des zweiten Dreiecks.

6. Gegeben sei ein Dreieck. Konstruieren Sie mithilfe der Methode in Schritt 206 ein weiteres Dreieck, das diesem ähnelt, sodass jedes Verhältnis der Seite des neuen Dreiecks zur ähnlichen Seite des zweiten = ¾ beträgt.
Machen Sie die gleiche Konstruktion, wenn das obige Verhältnis 2½ betragen soll.

211. Höhen- und Flächenverhältnisse ähnlicher Dreiecke. Es sei ∆ABC ~ ∆DEF (Zeichnung 209). Daher gilt: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) und ∠C = ∠F (1) und

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Konstruieren wir die Höhen BM und EN in unseren Dreiecken, indem wir Senkrechte auf ähnliche Seiten fallen lassen; Nennen wir diese Höhen ähnlich. Dann ist ∆ABM ~ ∆DEN, da sie ∠A = ∠D basierend auf den Gleichungen (1) und ∠AMB = ∠DNE haben, wie rechte Winkel (BM ⊥ AC und EN ⊥ DF), und dies reicht für die Ähnlichkeit unserer Dreiecke ( S. 207) und aus ihrer Ähnlichkeit erhalten wir:

Basierend auf Gleichungen (2) können wir die letzte Gleichung fortsetzen:

BM/EN = AB/DE = AC/DF = BC/EF,

das heißt, das Verhältnis ähnlicher Höhen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Verhältnis ähnlicher Seiten.

Aus einer Reihe neuerer gleichberechtigte Beziehungen Achten wir auf die Proportionen.

(Verhältnis ähnlicher Höhen = Verhältnis der Basen).

212. In Absatz 209 wurde angegeben, wie das Verhältnis zweier Segmente ermittelt werden kann, die mit derselben Einheit gemessen werden. Das Gleiche gilt für die Bestimmung des Verhältnisses zweier Flächen, die mit derselben Quadrateinheit gemessen werden: Dieses Verhältnis wird durch Division der Zahlen ermittelt, die unsere Flächen ausdrücken.

In diesem Absatz und auch in vielen Fällen weiter unten verstehen wir unter der Bezeichnung, zum Beispiel AB, die Zahl, die das Segment AB in einigen linearen Einheiten ausdrückt, und unter der Bezeichnung „Fläche ∆ABC“ verstehen wir auch die Zahl, die die Strecke ausdrückt Bereich ∆ABC in quadratische Einheiten. Bei der Analyse einer Frage werden alle Segmente als mit derselben linearen Einheit und alle Flächen mit den entsprechenden quadratischen Einheiten gemessen betrachtet.

Wir wissen (Punkt 201), dass wir zum Messen der Fläche eines Dreiecks in Quadrateinheiten seine Basis und Höhe mit der entsprechenden linearen Einheit messen und das halbe Produkt der resultierenden Zahlen nehmen müssen.
Wenn wir nun die Notation gemäß der obigen Bedingung verwenden, haben wir für ∆ABC und ∆DEF (Zeichnung 209)
Bereich ∆ABC = (AC * BM) / 2 und Fläche. ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Lassen Sie uns das Verhältnis der Flächen unserer Dreiecke durch Division ermitteln

d.h. Das Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke ist gleich dem Produkt aus dem Verhältnis ihrer Grundflächen und dem Verhältnis ihrer Höhen.

Bedenken wir nun, dass wir es mit ähnlichen Dreiecken zu tun haben – wir glauben, dass ∆ABC ~ ∆DEF.

Dann haben wir aus dem vorherigen Absatz:

Wenn wir in der Formel, die das Flächenverhältnis von Dreiecken ausdrückt, das Verhältnis der Höhen durch ein gleiches Verhältnis der Grundflächen ersetzen, erhalten wir:

Wir können auch sagen, dass dieses Verhältnis = (AB/DE) 2 ist. Also,

Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses ihrer ähnlichen Seiten.

Dieses Ergebnis steht im Einklang mit dem, was in Absatz 160 (Übungen 5, 6 und 7) festgestellt wurde.

Übung. Finden Sie das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke aus Absatz 210 (Übungen 2, 3, 5 und 6).

213. Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit jeweils gleicher Winkel. In ∆ABC und ∆DEF (Zeichnung 210) gilt ∠A = ∠D, und die anderen Winkel sind nicht gleich. Dann sind unsere Dreiecke nicht ähnlich. Wir werden, wie im vorherigen Absatz, die Höhen BM und EN dieser Dreiecke konstruieren und durch Division das Verhältnis ihrer Flächen ermitteln

BM/EN = AB/DE (2)

Allerdings ist es nun nicht mehr möglich, das Verhältnis der Höhen (BM/EN) durch das Verhältnis der Grundflächen (AC/DF) zu ersetzen, da diese Dreiecke nicht ähnlich sind. Mit (2) aus (1) haben wir:

Das heißt, das Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke mit gleichen Winkeln ist gleich dem Produkt der Verhältnisse der Seiten, aus denen diese Winkel bestehen.

Übung. Gegeben sei ein Dreieck; Konstruieren Sie ein weiteres Dreieck, sodass ein Winkel unverändert bleibt und die Seiten, aus denen dieser Winkel besteht, eine um das Zweifache und die andere um das Dreifache vergrößern. Wie wird sich seine Fläche vergrößern? Die leicht rechnerisch zu findende Antwort sollte vorzugsweise geometrisch berechnet werden.

Bei der Lösung vieler Konstruktionsprobleme wird die Ähnlichkeitsmethode verwendet, deren Kern wie folgt lautet: Zuerst wird eine der gegebenen Figur ähnliche Figur konstruiert, dann wird diese Figur um erhöht (verkleinert). die richtige Einstellung(d. h. im Bau ähnliche Figur), die die Bedingungen des Problems erfüllen.

Es ist ratsam, den Prozess des Lernens, Ähnlichkeit zur Lösung von Konstruktionsproblemen zu nutzen, in vier Phasen zu unterteilen: Vorbereitung, Eingewöhnung, Kompetenzaufbau und Kompetenzverbesserung. Jede Stufe hat ihr eigenes didaktisches Ziel, das durch die Bearbeitung speziell konzipierter Aufgaben durch die Studierenden erreicht wird.

Didaktischer Zweck Vorbereitungsphase- bei den Schülern die Fähigkeit zu entwickeln: Daten zu identifizieren, die die Form einer Figur bestimmen, viele Paare ähnlicher Figuren; Erstellen Sie eine Figur anhand von Daten, die die Form bestimmen. Bewegen Sie sich von der konstruierten Figur zur gewünschten.

Nachdem wir das erste Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken untersucht haben, können wir den folgenden Satz anbieten Aufgaben:

Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Ecken. Wie viele Lösungen hat das Problem? Welche Elemente bestimmen die Form der konstruierten Dreiecke?

Benennen Sie ähnliche Dreiecke in Abb. 35.

Bekannt die folgenden Elemente Dreieck: a) Winkel von 75 und 25; b) Höhe 1,5 cm; c) Winkel von 75 und 25, Höhe 1,5 cm. Welche dieser Daten bestimmen die einzige Zahl in Abb. 35?

Welche Winkel bestimmen die Form der Dreiecke in Abb. 35?

Wird es möglich sein, die Abmessungen eines der Dreiecke in Abb. 35 zu bestimmen, wenn folgende Daten bekannt werden: a) Winkel an der Basis des Dreiecks; b) die Höhe des Dreiecks; c) Seite und Ecken an der Basis?

Sind die Dreiecke ABC und ABC in Abb. 36 ähnlich, wenn ACAC? Wenn sie ähnlich sind, wie hoch ist ihr Ähnlichkeitskoeffizient?

Der Aufgabensatz, der den Studierenden nach dem Studium der 2 und 3 Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken gestellt wird, ist auf ähnliche Weise zusammengestellt. Wenn man jedoch von diesem Merkmal zum nächsten übergeht, werden die Fragen etwas komplizierter, nämlich: Die Anordnung der Dreiecke in den Zeichnungen ändert sich, weicht von der Standardanordnung ab, und die Menge der Elemente, die eine einzelne Figur definieren, variiert. Quests könnte zum Beispiel so aussehen:

1. Sind die Dreiecke ABC und ABC ähnlich, wenn:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30є, AB=10cm, BC=14cm, B=60є;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30є, AB=10cm, BC=14cm, B=30є;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB=1,7cm, BC=3cm, CA=4,2cm, AB=34dm, BC=60dm, CA=84dm.

2. B Dreieck ABC Mit spitzer Winkel Die Höhen AE und BD werden aus C ermittelt (Abb. 37). Beweisen Sie, dass ABC ähnlich zu EDC ist.

3. Beweisen Sie, dass die Umfänge ähnlicher Dreiecke als entsprechende Seiten zusammenhängen.

Der didaktische Zweck der Einführungsphase besteht darin, den Studierenden die Struktur des Konstruktionsprozesses mithilfe der Ähnlichkeitsmethode zu erklären.

Die Erklärung beginnt mit dem Problem.

Aufgabe. Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei gegebenen Winkeln und einer Winkelhalbierenden der Länge d, die vom Scheitelpunkt des dritten Winkels gezogen wird.

Der Lehrer analysiert das Problem mit den Schülern und bietet Aufgaben an – Fragen, deren Antworten kurz an der Tafel festgehalten werden. Fragen könnten sein:

1. Welche Daten bestimmen die Form des gewünschten Dreiecks?

2. Welche Daten bestimmen die Abmessungen des gewünschten Dreiecks?

3. Wie viele Dreiecke können für zwei Winkel konstruiert werden? Welche Konstruktionsform werden alle konstruierten Dreiecke haben?

4. Welches Segment soll in einem Dreieck gezeichnet werden, das dem gesuchten ähnelt?

5. Wie man baut erforderliches Dreieck?

Die Antworten auf die Fragen werden von einer handgezeichneten Zeichnung an der Tafel begleitet (Abb. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) Konstruieren Sie die Winkelhalbierende des Winkels C im Dreieck ABC,

c) CN=d, NCD konstruieren;

d) Zeichnen Sie eine Gerade durch den Punkt N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC – das Gewünschte: A =, B = (da ABC gemäß 1 Attribut ABC ist) und CN = d aufgrund der Konstruktion. Das didaktische Ziel der Stufe, die Fähigkeit zur Lösung von Problemen der betrachteten Art zu entwickeln, geht aus ihrem Namen hervor. Die Haupttätigkeitsform in dieser Phase ist die individuelle Suche. Es endet mit einem zusammenfassenden Gespräch.

Hier sind einige Beispiele für Aufgaben, die in dieser Phase vorgeschlagen werden können.

Aufgabe. Ein Punkt F ist innerhalb des Winkels AOB gegeben. Konstruieren Sie einen Punkt M auf der Seite OA, gleich weit von F und von der Seite OB entfernt

Lösung.

1. Analyse. Schauen wir uns Abbildung 39 an. Lassen Sie den Punkt M konstruieren, dann ist MF=MP. Das bedeutet das angestrebte Stelle M ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius MF und dem Mittelpunkt M, der die Seite OB im Punkt P berührt.

Wenn wir einen beliebigen Punkt M auf OA nehmen und MR auf SV senken und F den Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt M des Radius MR mit der Geraden ОF finden, dann ist MFP ähnlich zu MFP. Daraus ergibt sich die erforderliche Konstruktion.

2. Bau. Wir führen OF aus, nehmen einen beliebigen Punkt M auf SA und senken MR auf NE. Wir zeichnen einen Kreis mit dem Radius MP mit einem Mittelpunkt im Punkt M. Sei F der Schnittpunkt dieses Kreises mit ОF. Wir zeichnen FM und zeichnen dann eine gerade Linie durch den Punkt FFM. Der Punkt M des Schnittpunkts dieser Linie mit OA ist der gewünschte.

3. Beweis. Offensichtlich aus der durchgeführten Analyse.

4. Forschung. Das Problem hat 2 Lösungen. Dies folgt aus der Tatsache, dass der Kreis ОF in 2 Punkten schneidet.

Aufgabe. Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Ecken und einem Umfang.

Lösung.

1. Analyse. Seien und die angegebenen Winkel und P der Umfang des gewünschten Dreiecks (Abb. 40). Nehmen wir an, dass das gewünschte Dreieck konstruiert ist. Wenn wir dann ein beliebiges ABC betrachten, das dem gewünschten ähnlich ist, ist das Verhältnis des Umfangs P ABC zum Umfang P ABC gleich dem Verhältnis der Seiten AC und AC.

2. Bau. Lassen Sie uns ein ABC konstruieren, das dem erforderlichen ähnelt. Zeichnen Sie auf Strahl AB die Segmente AD=P und AD=P, verbinden Sie dann die Punkte D und C und zeichnen Sie eine gerade Linie DC durch Punkt D. Sei C der Schnittpunkt der Geraden mit dem Strahl AC. Durch Punkt C ziehen wir eine Linie CB und bezeichnen B als Schnittpunkt dieser Linie mit AD, dann ist ABC der gewünschte.

3. Beweis. Offensichtlich ähnelt ACD daher ACD. Das Seitenverhältnis ist gleich dem Verhältnis der Umfänge ähnlicher ABC und ABC, daher ist der Umfang ABC = P, daher ist ABC der gewünschte.

4. Forschung. Da die Summe zweier beliebiger Winkel eines Dreiecks<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Aufgabe. Gegeben sei AOB und Punkt M im inneren Bereich dieses Winkels. Konstruieren Sie einen Kreis, der durch Punkt A verläuft und die Seiten des Winkels AOB tangiert.

Lösung.

1. Analyse. Sei AOB gegeben und der Punkt M liege im inneren Bereich der Ecke (Abb. 41).

Zeichnen wir einen weiteren Kreis, der die Seiten AOB berührt. Bezeichnen wir M als Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden OM und betrachten wir OMN und OMN (N und N Mittelpunkte des Kreises und).

Diese Dreiecke sind in zwei Winkeln ähnlich, sodass der erforderliche Kreis wie folgt konstruiert werden kann:

2. Bau. Da der Mittelpunkt des gewünschten Kreises auf der Winkelhalbierenden AOB liegt, zeichnen wir die Winkelhalbierende ein. Nehmen Sie als nächstes den Punkt N und konstruieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt N, der AOB tangiert. Dann zeichnen wir eine Gerade SM und bezeichnen mit M den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis (es gibt zwei solcher Punkte – M und M – wir nehmen einen davon). Wir zeichnen eine Linie MN und ihre Linie durch den Punkt M. Dann ist N, der Schnittpunkt der Linie mit der Winkelhalbierenden, der Mittelpunkt des gewünschten Kreises und sein Radius ist gleich MN. Lasst uns sie durchstehen.

3. Beweis. Aufgrund seiner Konstruktion ist der Kreis ähnlich, O ist das Zentrum der Ähnlichkeit. Dies ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OMN und OMN. Da der Kreis also die Seiten des Winkels berührt, berührt der Kreis auch die Seiten des Winkels.

4. Forschung. Das Problem hat zwei Lösungen, denn OM schneidet den Kreis an zwei Punkten M und M, von denen jeder seinen eigenen Kreis hat, der durch den Punkt M verläuft und die Seiten AOB berührt.

Das didaktische Ziel der Stufe, die die Fähigkeit zur Lösung von Problemen der oben betrachteten Art verbessert, besteht darin, die gebildete Fähigkeit auf komplexere Probleme zu übertragen, insbesondere auf folgende Situationen: Die gewünschte Figur nimmt eine bestimmte Position in Bezug auf vorgegebene Punkte oder Linien ein , während die Beseitigung einer der Bedingungen des Problems zu einem System ähnlicher oder homothetischer Figuren führt. Lassen Sie uns ein Beispiel für eine solche Aufgabe geben.

Aufgabe. Schreiben Sie in dieses Dreieck ein Quadrat ein, sodass seine beiden Eckpunkte auf einer Seite des Dreiecks liegen und die anderen beiden auf den beiden anderen Seiten.

Aufgaben, die den Zielen dieser Stufe entsprechen, sind von der Liste der Aufgaben der Pflichtstufe ausgeschlossen. Daher werden sie nur leistungsstarken Studierenden angeboten. Das Hauptaugenmerk liegt in dieser Phase auf der individuellen Suchaktivität der Studierenden.