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Was sind Beispiele für Primzahlen? Primzahlen: die Alltäglichkeit eines ungelösten Rätsels. Natürliche Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und Eins teilbar ist.

Die übrigen Zahlen werden zusammengesetzte Zahlen genannt.

Natürliche Primzahlen

Aber nicht alle natürliche Zahlen sind Primzahlen.

Primäre natürliche Zahlen sind nur solche, die nur durch sich selbst und eins teilbar sind.

Beispiele für Primzahlen:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Primzahlen

Daraus folgt, dass nur natürliche Zahlen Primzahlen sind.

Das bedeutet, dass Primzahlen notwendigerweise natürliche Zahlen sind.

Aber alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen.

Somit sind alle Primzahlen ganze Zahlen.

Beispiele für Primzahlen:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Sogar Primzahlen

Es gibt nur eine gerade Primzahl – die Zahl zwei.

Alle anderen Primzahlen sind ungerade.

Warum kann eine gerade Zahl größer als zwei keine Primzahl sein?

Da aber jede gerade Zahl, die größer als zwei ist, durch sich selbst teilbar ist und nicht durch eins und durch zwei, hat eine solche Zahl immer drei Teiler und möglicherweise mehr.

Übersetzung

Die Eigenschaften von Primzahlen wurden zuerst von Mathematikern untersucht Antikes Griechenland. Mathematiker der pythagoräischen Schule (500 – 300 v. Chr.) interessierten sich vor allem für die mystischen und numerologischen Eigenschaften von Primzahlen. Sie waren die ersten, die Ideen für perfekte und freundliche Zahlen hatten.

Eine vollkommene Zahl hat eine Summe ihrer eigenen Teiler, die ihr selbst entspricht. Zum Beispiel sind die echten Teiler der Zahl 6 1, 2 und 3. 1 + 2 + 3 = 6. Die Teiler der Zahl 28 sind 1, 2, 4, 7 und 14. Außerdem 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Zahlen werden freundlich genannt, wenn die Summe der echten Teiler einer Zahl gleich einer anderen ist und umgekehrt – zum Beispiel 220 und 284. Wir können sagen, dass eine perfekte Zahl freundlich zu sich selbst ist.

Zur Zeit von Euklids Elementen im Jahr 300 v. mehrere wurden bereits nachgewiesen wichtige Fakten bezüglich Primzahlen. Im Buch IX der Elemente bewies Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies ist übrigens eines der ersten Beispiele für die Verwendung des Widerspruchsbeweises. Er beweist auch den Grundsatz der Arithmetik – jede ganze Zahl kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.

Er zeigte auch, dass die Zahl 2n-1 * (2n-1) perfekt ist, wenn die Zahl 2n-1 eine Primzahl ist. Ein anderer Mathematiker, Euler, konnte 1747 zeigen, dass alle geraden perfekten Zahlen in dieser Form geschrieben werden können. Bis heute ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Im Jahr 200 v. Chr. Der Grieche Eratosthenes entwickelte einen Algorithmus zum Finden von Primzahlen namens Sieb des Eratosthenes.

Und dann kam es zu einem großen Bruch in der Geschichte der Erforschung der Primzahlen, der mit dem Mittelalter verbunden ist.

Die folgenden Entdeckungen wurden bereits zu Beginn des 17. Jahrhunderts vom Mathematiker Fermat gemacht. Er bewies Albert Girards Vermutung, dass jede Primzahl der Form 4n+1 eindeutig als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann, und formulierte außerdem den Satz, dass jede Zahl als dargestellt werden kann Summe von vier Quadrate.

Er hat sich entwickelt neue Methode Faktorisierung große Zahlen, und demonstrierte es an der Zahl 2027651281 = 44021 × 46061. Er bewies auch Fermats kleinen Satz: Wenn p eine Primzahl ist, gilt für jede ganze Zahl a, dass a p = a modulo p.

Diese Aussage beweist die Hälfte dessen, was als „chinesische Vermutung“ bekannt war und 2000 Jahre früher entstand: Die ganze Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn 2 n -2 durch n teilbar ist. Der zweite Teil der Hypothese erwies sich als falsch – zum Beispiel ist 2.341 – 2 durch 341 teilbar, obwohl die Zahl 341 zusammengesetzt ist: 341 = 31 × 11.

Der kleine Satz von Fermat diente als Grundlage für viele weitere Ergebnisse der Zahlentheorie und Methoden zum Testen, ob Zahlen Primzahlen sind – von denen viele noch heute verwendet werden.

Fermat korrespondierte viel mit seinen Zeitgenossen, insbesondere mit einem Mönch namens Maren Mersenne. In einem seiner Briefe stellte er die Hypothese auf, dass Zahlen der Form 2 n +1 immer Primzahlen sein werden, wenn n eine Zweierpotenz ist. Er testete dies für n = 1, 2, 4, 8 und 16 und war überzeugt, dass in dem Fall, in dem n keine Zweierpotenz war, die Zahl nicht unbedingt eine Primzahl war. Diese Zahlen werden Fermat-Zahlen genannt, und nur 100 Jahre später zeigte Euler das nächste Nummer, 2 32 + 1 = 4294967297 ist durch 641 teilbar und daher keine Primzahl.

Zahlen der Form 2 n - 1 waren ebenfalls Gegenstand der Forschung, da sich leicht zeigen lässt, dass, wenn n zusammengesetzt ist, auch die Zahl selbst zusammengesetzt ist. Diese Zahlen werden Mersenne-Zahlen genannt, weil er sie eingehend untersucht hat.

Aber nicht alle Zahlen der Form 2 n - 1, wobei n eine Primzahl ist, sind Primzahlen. Zum Beispiel 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dies wurde erstmals 1536 entdeckt.

Zahlen dieser Art lieferten den Mathematikern viele Jahre lang die größten bekannten Primzahlen. Dass M 19 1588 von Cataldi bewiesen wurde, war 200 Jahre lang die größte bekannte Primzahl, bis Euler bewies, dass M 31 ebenfalls eine Primzahl war. Dieser Rekord hielt weitere hundert Jahre an, und dann zeigte Lucas, dass M 127 eine Primzahl ist (und dies ist bereits eine Zahl mit 39 Ziffern), und danach wurde die Forschung mit dem Aufkommen von Computern fortgesetzt.

Im Jahr 1952 wurde die Primzahl der Zahlen M 521, M 607, M 1279, M 2203 und M 2281 nachgewiesen.

Bis 2005 wurden 42 Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte davon, M 25964951, besteht aus 7816230 Ziffern.

Eulers Werk hatte großen Einfluss zur Theorie der Zahlen, einschließlich der Primzahlen. Er erweiterte den Kleinen Satz von Fermat und führte die φ-Funktion ein. Faktorisierte die 5. Fermat-Zahl 2 32 +1, fand 60 Paare befreundeter Zahlen und formulierte das quadratische Reziprozitätsgesetz (konnte es jedoch nicht beweisen).

Er war der Erste, der Methoden einführte mathematische Analyse und entwickelt analytische Theorie Zahlen. Er bewies, dass nicht nur die harmonische Reihe ∑ (1/n), sondern auch eine Reihe der Form

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Auch das durch die Summe der Kehrwerte der Primzahlen erhaltene Ergebnis divergiert. Summe von n Termen harmonische Reihe wächst ungefähr mit log(n) und die zweite Zeile divergiert langsamer mit log[ log(n) ]. Damit ist beispielsweise die Menge gemeint Gegenseitigkeiten zu allen bisher gefundenen Primzahlen ergibt nur 4, obwohl die Reihe immer noch divergiert.

Auf den ersten Blick scheint es, dass Primzahlen ziemlich zufällig auf ganze Zahlen verteilt sind. Beispielsweise gibt es unter den 100 Zahlen unmittelbar vor 10000000 9 Primzahlen und unter den 100 Zahlen unmittelbar nach diesem Wert nur 2. Über große Abschnitte sind die Primzahlen jedoch recht gleichmäßig verteilt. Legendre und Gauß befassten sich mit Fragen ihrer Verbreitung. Gauß erzählte einmal einem Freund, dass er in allen freien 15 Minuten immer die Anzahl der Primzahlen in den nächsten 1000 Zahlen zählt. Am Ende seines Lebens hatte er alle Primzahlen bis 3 Millionen gezählt. Legendre und Gauß haben gleichermaßen berechnet, dass für große n die Primzahldichte 1/log(n) beträgt. Legendre schätzte die Anzahl der Primzahlen im Bereich von 1 bis n als

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Und Gauß ist wie ein logarithmisches Integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Mit einem Integrationsintervall von 2 bis n.

Die Aussage über die Primzahldichte 1/log(n) ist als Primzahlverteilungssatz bekannt. Sie versuchten dies im Laufe des 19. Jahrhunderts zu beweisen, und Tschebyschew und Riemann erzielten Fortschritte. Sie verbanden es mit der Riemannschen Hypothese, einer noch unbewiesenen Hypothese über die Nullstellenverteilung der Riemannschen Zetafunktion. Die Dichte der Primzahlen wurde 1896 gleichzeitig von Hadamard und Vallée-Poussin bewiesen.

In der Primzahlentheorie gibt es noch viele ungelöste Fragen, die teilweise Hunderte von Jahren alt sind:

Bei der Primzahlzwillingshypothese geht es um unendlich viele Paare von Primzahlen, die sich um 2 voneinander unterscheiden
Goldbachs Hypothese: beliebig gerade Zahl, beginnend mit 4, kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n 2 + 1?
Ist es immer möglich, eine Primzahl zwischen n 2 und (n + 1) 2 zu finden? (Die Tatsache, dass es zwischen n und 2n immer eine Primzahl gibt, wurde von Tschebyschew bewiesen)
Ist die Anzahl der Fermat-Primzahlen unendlich? Gibt es nach 4 Fermat-Primzahlen?
existiert es? arithmetische Folge von aufeinanderfolgenden Primzahlen für jeden gegebene Länge? zum Beispiel für Länge 4: 251, 257, 263, 269. Die maximal gefundene Länge beträgt 26.
Gibt es unendlich viele Mengen von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen in einer arithmetischen Folge?
n 2 - n + 41 ist eine Primzahl für 0 ≤ n ≤ 40. Gibt es unendlich viele solcher Primzahlen? Dieselbe Frage für die Formel n 2 - 79 n + 1601. Diese Zahlen sind Primzahlen für 0 ≤ n ≤ 79.
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# + 1? (n# ist das Ergebnis der Multiplikation aller Primzahlen kleiner als n)
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# -1?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n? + 1?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n? – 1?
Wenn p eine Primzahl ist, enthält 2 p -1 dann nicht immer Primzahlquadrate unter seinen Faktoren?
Enthält die Fibonacci-Folge unendlich viele Primzahlen?