Для чего выполняется реконструкция евклидова пространства. Сопряжённые пространства и операторы

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$-мерное евклидово пространство обозначается $\backslash mathbb\; E^n,$ также часто используется обозначение $\backslash mathbb\; R^n$ (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность : для любых векторов $u,v,w$ и для любых вещественных чисел $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ и $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметричность: для любых векторов $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Положительная определённость: для любого $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ причём $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0.$

Пример евклидова пространства - координатное пространство $\backslash mathbb\; R^n,$ состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ скалярное произведение в котором определяется формулой $(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора $u$ определяется как $\backslash sqrt\{(u,u)\}$ и обозначается $|u|.$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|au|=|a||u|,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $u$ и $v$ определяется по формуле $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right).$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}.$

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right)$ был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $\backslash left|\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d(x,y)=|x-y|$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $x$ и $y$ координатного пространства $\backslash mathbb\; R^n$ задаётся формулой $d(\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\})\; =\; \backslash |\backslash mathbf\{x\}\; -\; \backslash mathbf\{y\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2\}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^*$ на этом пространстве, определяемый как $x^*(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• $\backslash mathbb\; E^1$ размерности $1$ (вещественная прямая )
• $\backslash mathbb\; E^2$ размерности $2$ (евклидова плоскость )
• $\backslash mathbb\; E^3$ размерности $3$ (евклидово трехмерное пространство )

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов $p(x)$ степени, не превосходящей $n$, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^\{-x^2\}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

• Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб , N-мерный октаэдр , N-мерный тетраэдр)

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства .
• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства .
• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства .

Напишите отзыв о статье "Евклидово пространство"

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. - М .: Наука , 1986. - 304 с.

Векторы и матрицы Векторы Основные понятия Виды векторов Операции над векторами Типы пространств Матрицы Основные понятия Другое

Отрывок, характеризующий Евклидово пространство

Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.
– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его, дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.

– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.

Кузьма Сергеевич Петров-Водкин

Пространство Эвклида

Глава первая

ВЫЛЕТ ИЗ ГНЕЗДА

К выпускным экзаменам мы, школьники, незаметно для самих себя, возмужали. У каждого набухли и успокоились грудные железы. Лица стали озабоченнее. Огрубели наши голоса и смелее заговорили о девушках.

Начинали курить, правда, еще потихоньку от родителей. Пересилив тошноту и отвращение от табачного дыма, вырабатывали мы жесты затяжек, держания папиросы между пальцами, в углу рта, с цежением слов, выпускаемых одновременно с дымом.

Беседы сделались разумнее. Мы перешли к вопросам, о которых год тому назад и не думали. Насущным вопросом было - преимущества и осмысленность той или иной профессии: каждый намечал свой путь или кому его намечали родители, но немногие из нас решили бесповоротно переплеснуться за Хлыновск, и немногие сознавали всю скудность нашего учебного багажа, да и потребность в его пополнении была не у многих.

Сидим мы во дворе школы, - Петр Антонович нездоров, - мы знаем виновника нездоровья - буфет на «Суворове», сидим и обсуждаем наши предположения.

Буду в Москве улицы подметать, а в Хлыновске не останусь! - заявляет Позднухов - наш поэт, романтик. Он сирота; дядя, у которого Позднухов сиротствовал, тоже бобыль, из прутьев мебель налаживал; так дядя решил, что раз довел он племянника до «высокой науки», так теперь кормежку ему делай.

Пешком уйду, - продолжает Позднухов, - у меня и багаж готов: книга Пушкина, сорок копеек и сухарей насушил за зиму…

И мы знали, видно было по человеку, что он сдержит то, о чем говорит.

Петя Сибиряков - невеселый, у него тоже взрывчатое внутри, но он слишком мягок: его направляют в Саратов в торговое предприятие. Кузнецов, сын почтальона, в телеграфных чиновниках продолжит он профессию отца. Кира Тутин должен овладеть «высотами механики» - это его решение. Самый спокойный из всех за судьбу свою - это Вася Серов, он по прямой линии пройдет жизнь, его разум четок и цепок, кто не посторонится на его пути, сам свалится; логикой голых истин Вася победит все свои немощи, и любовь, и жалость, и межпланетные загадки, закроет клапаны рассудка на прошлое и будущее, чтобы выровнять настоящее в длину и в ширину.

Трое учеников предполагали держать в железнодорожное училище.

А ты? - обращаются ко мне. А я и не знаю, или, наоборот, слишком хорошо знаю мою склонность, но нет у меня определенной формы действия, я чую окольные пути, которые мне предстоят, я не знаю даже, есть ли для меня подходящая школа, да и как назвать тс, чем я хотел бы заняться, - ведь я был пионером в Хлыновске, открывшим новое занятие.

Наш круг мозолистый, изложи ему занятие ясное. Черноты работы он не испугается, над ней не посмеется, только чтоб не было в работе передаточности дальней и чтоб полезность ее была обоснована. А как мне было обосновать занятие художника?

Я также поеду в железнодорожное! - высказываю я товарищам только что созревшее во мне решение, - надо было с чего-то начинать жизнь и не прерывать учения.

Из выпускников у нас было два коновода - Серов и Тутин.

Всю школу прошел Серов на пятерках. Он не обладал фантазией игры и шалостей. Весь учебный материал он знал от сих и до сих. Прибегающим к нему за помощью товарищам он не отказывал, но ему казалось столь неестественным чего-нибудь не знать, что его помощь казалась высокомерной и всегда слегка колола самолюбие прибегнувшего к ней.

Большая голова Васи с черными глазами, которые, соединенные с гримасой угла рта, казались насмешливыми и недобрыми, эта голова, выбрасывавшая несомненные, школьные истины, была для меня объектом многих наблюдений. Я был к нему холоден, но не мог не восхищаться его мозговой коробкой, в которой так крепко были уложены и формулы математики, и призвание варягов, и катехизис. Отвечая урок низким, звучным голосом, Серов как бы приказывал квадрату гипотенузы строиться с катетами, Рюрик, Синеус и Трувор беспрекословно приходили владеть Русью, члены символа веры каменными плитами печатали неизбежность.

Внутри меня было несогласие с такой тиранической безусловностью, но я не мог не поддаваться его умозаключениям.

Ну и умный этот Васька, - говорил смешливый Гриша Юркин, - пра, ей-Богу, он в исправники пролезет!

Уж не знаю, крайности или прямолинейности сходятся, но законоучитель наш нарадоваться не мог на Серова. Отчитывает тот ему, бывало, урок, а протопоп умиленно разглаживает складки рясы и дакает в бороду и вздыхает, и растворяется в красноречии Васи от собственного косноязычия.

Вот бы архиерей-то, да бы из своих, - видно, мечтал поп.

И случалось, что после урока звал законоучитель Васю в уединение и убеждал юношу в выборе подобающей карьеры.

Опять в духовные звал, - отвечал Серов на наши расспросы.

Гриша Юркин спал и видел себя попом.

Ах ты, вот те, ах ты!.. - ахал всерьез Юркин над своей мечтой. - Что же это длинногривый меня не приглашает? Ведь Васька назубок, а я по совести церковное знаю… Подожди, я ему изложу урок… Серову кутейность ни к чему, а я о сироте моей безродной стараюсь… Ах, уж покормил бы я мамашеньку шпионами в сметане!..

Надо сказать, несуразный Гриша отлично знал святцы и катехизис, но его несчастьем было всегдашнее умозатмение; он путал слова по созвучию - шпионы у него вызревали в навозе, шампиньоны предавали родину. И вот, когда на первом же уроке мечтающий о духовном звании предложил отвечать по богослужению, мы с удовольствием слушали Гришино изложение. Ему даже удавалось избегать путающих его слов. Протоиерей также насторожился по-хорошему и задал последний вопрос о «проскомидии прежде освященных даров», и вот на него четко, без запинки, что твой Серов, начал отвечать Юркин:

Микроскопия летаргии, пресыщенных даров совершается…

Законоучитель с кулаками бросился на бедного юношу:

Балда бесовская! Заткни омраченную глотку! Смешливый Гриша было фыркнул от трясения Протопоповой бороды, но потом очень вознегодовал.

Так вот назло тебе докажу, распро-поп эдакий!.. - погрозил он вслед уходящему.

И что же, Юркин все-таки стал попом в селе Левитине, Мужики, говорят, любили веселого, простецкого батюшку, и если бы не водка, которой безмерно предался Гриша, может быть, он шагнул бы и за протопопа. Но однажды во время обедни зеленый змий показался ему идущим с клироса. Юркин шарахнул кадилом в змеиную пасть и непристойно заругался в ужаснувшуюся толпу прихожан.

Умер Гриша в доме для умалишенных в губернии.

Вторым коноводом был Тутин. Если Серов накапливал знания, то Кира их пропускал через себя - от него легко учились и другие. О нем я уже рассказывал в «Хлыновске» и обрисовал его влияние на меня.

Еще в школе все учащиеся знакомятся с понятием «евклидова геометрия», основные положения которой сфокусированы вокруг нескольких аксиом, опирающихся на такие геометрические элементы, как точка, плоскость, прямая, движения. Все они в совокупности формируют то, что уже давно известно под термином «евклидово пространство».

Евклидово которого базируется на положении о скалярном умножении векторов, является частным случаем линейного (аффинного) пространства, которое удовлетворяет целому ряду требований. Во-первых, скалярное произведение векторов абсолютно симметрично, то есть вектор с координатами (x;y) в количественном плане тождественен вектору с координатами (y;x), однако противоположен по направлению.

Во-вторых, в том случае, если производится скалярное произведение вектора с самим собой, то результат этого действия будет носить положительный характер. Единственным исключением станет случай, когда начальная и конечная координата этого вектора равна нулю: в этом случае и произведение его с самим собой то же будет равно нулю.

В-третьих, имеет место дистрибутивность скалярного произведения, то есть возможность разложения одной из его координат на сумму двух значений, что не повлечет за собой никаких изменений в итоговом результате скалярного умножения векторов. Наконец, в-четвертых, при умножении векторов на одно и то же их скалярное произведение также увеличится во столько же раз.

В том случае, если выполняются все эти четыре условия, мы можем с уверенностью сказать, что перед нами евклидово пространство.

Евклидово пространство с практической точки зрения можно охарактеризовать следующими конкретными примерами:

1. Самый простой случай - это наличие множества векторов с определенным по основным законам геометрии скалярным произведением.
2. Евклидово пространство получится и в том случае, если под векторами мы будем понимать некое конечное множество действительных чисел с заданной формулой, описывающей их скалярную сумму или произведение.
3. Частным случаем евклидова пространства следует признать так называемое нулевое пространство, которое получается в том случае, если скалярная длина обоих векторов равна нулю.

Евклидово пространство обладает целым рядом специфических свойств. Во-первых, скалярный множитель можно выносить за скобки как от первого, так и от второго сомножителя скалярного произведения, результат от этого не претерпит никаких изменений. Во-вторых, наряду с дистрибутивностью первого элемента скалярного произведения, действует и дистрибутивность второго элемента. Кроме того, помимо скалярной суммы векторов, дистрибутивность имеет место и в случае вычитания векторов. Наконец, в-третьих, при скалярном умножении вектора на нуль, результат также будет равен нулю.

Таким образом, евклидово пространство - это важнейшее геометрическое понятие, используемое при решении задач с взаимным расположением векторов друг относительно друга, для характеристики которого используется такое понятие, как скалярное произведение.

С положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых ( ху )векторов х- (x 1 , . . . , х n )и y = (y 1 , . . . , y п )имеет вид (xy)=x 1 y 1 +. . .+х n у п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) ( хх )/0, (хх) = 0лишь при x =0; 2) ( ху) = (ух)*; 3) (a ху) = a( ху); 4) (x {y+ z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши - Буняковского |xу | 2 [( хх)(уу). Число

Наз. нормой (или длиной)вектора х, а угол q между векторами х, у находят из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|. Первоначально евклидовыми наз. пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, осн. понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно наз. гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым пространством. Пространство, в к-ром п четно, а условие 2) заменяется условием ( ху) = --(ух), наз. симплектическим пространством. Лит.: Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. С. В. Молодцов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

- (также Эвклидово пространство) в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3. В современном понимании, в более общем… … Википедия

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

- (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

- [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Книги

• Энтропийная механика , А. Н. Панченков. Книга завершает издание четырехтомной серии `Энтропия`. Три книги этой серии изданы в период 1999-2004 г.: 1. Энтропия. 2. Энтропия-2: Хаотическая механика. 3. Инерция. Энтропийная механика -…