Главная » Дизайн квартир » Формула силы инерции в общем виде. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Формула силы инерции в общем виде. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Быть может, этот не совсем обычный вопрос вызовет недоумение у обывателя, плохо знакомого с основными постулатами классической механики. Выражения «инерция» и «по инерции» прочно закрепились в бытовом лексиконе, и, казалось бы, их суть понятна каждому. Но что это такое – инерция, и почему тела могут двигаться по инерции пояснить может далеко не каждый.

Давайте попробуем разобраться в этом вопросе с использованием основных постулатов механики и более-менее научных познаний об окружающем мире.

Сначала проведем виртуальные эксперименты, результаты которых может представить каждый.
Пусть перед нами на гладком горизонтальном полу покоится увесистый чугунный шар (например, большое пушечное ядро) и один из «экспериментаторов» пробует покатить его в любую сторону, упираясь ногами в пол и подталкивая руками.
Сначала нам придется приложить значительное усилие, чтобы сдвинуть шар с места, после чего он начнет уверенно катиться в выбранном вами направлении, и если мы перестанем его толкать, он так и будет катиться (силы трения и аэродинамического сопротивления для чистоты эксперимента оставим пока без виртуального внимания).

А теперь наоборот – попробуйте остановить этот шар, вцепившись в него руками и действуя ногами, как тормозом. Чувствуете сопротивление?.. Думаю, да.
При этом никто не будет отрицать, что чем массивнее шар, тем сложнее изменить его механическое состояние, т. е. сдвинуть с места или остановить.
Итак, вывод – сдвинуть с места неподвижный шар или остановить его при движении довольно непросто – необходимо приложить ощутимое усилие. С точки зрения механики в данном случае мы прикладываем усилие, чтобы преодолеть какую-то непонятную силу.

Посмотрим на наше ядро, покоящееся на полу, пристальнее. С точки зрения опять же классической механики к нему приложены лишь две силы – сила тяжести, притягивающая шар к центру нашей планеты, а также сила реакции пола, противодействующая силе тяжести, т. е. направленная противоположно ей.
Когда наш шар катится по гладкому полу с постоянной скоростью, него тоже действуют только две описанные выше силы – притяжения к Земле и реакция опорной поверхности. Обе эти силы друг друга уравновешивают, и шар находится в равновесном состоянии. А какая же сила препятствует попытке сдвинуть шар с места или остановить его во время прямолинейного и равномерного движения?
Думаю, что самые сообразительные уже догадались – конечно же, это и есть сила инерции.
Откуда же она взялась? Ведь, по сути, мы приложили к шару только одну силу, пытающуюся сдвинуть с места или остановить шар. Где пряталась до сих пор сила инерции и когда она «проснулась»?

Учебники по механике утверждают, что силы инерции, как таковой, в природе не существует. Понятие этой силы в научный обиход ввел француз Жан Лерон Даламбер (Д’Аламбер) в 1743 году, когда предложил использовать ее для уравновешивания тел, перемещающихся с ускорением. Метод назвали принципом Даламбера , и использовали его для преобразования задач динамики в задачи статики, тем самым упрощая их решение.
Но такое решение проблемы не объяснялось и даже вступало в противоречие другими постулатами механики, в частности, с законами, описанными несколько раньше великим англичанином – Исааком Ньютоном.

Когда в 1686 году И. Ньютон, опубликовал свой труд «Математические начала натуральной философии» и открыл человечеству глаза на основные законы механики, в том числе - закон, описывающий движение тел под действием какой-либо силы (F = ma ), он несколько расширил , как меры некоторого свойства материальных тел – инертности.
В соответствии с выводами гения всем окружающим нас материальным телам присуще некое свойство «лени» - они стремятся к вечному покою, пытаясь избавиться от ускоренного движения. Эту «лень» материальных тел Ньютон и назвал их инертностью.
Т. е инертность – это не сила, а некое свойство всех тел, образующих окружающий нас материальный мир, выражающееся в противодействии попыткам изменить их механическое состояние (придать какое-либо ускорение).
Впрочем, приписывать заслуги о пояснении природы инерции одному лишь Ньютону будет не совсем справедливо. Основополагающие выводы по этому вопросу были сделаны итальянцем Г. Галилеем и французом Р. Декартом, а И. Ньютон лишь обобщил их и использовал в описании законов механики.

В соответствии с размышлениями средневековых гениев, материальные тела (т. е. тела, обладающие массой) крайне неохотно позволяют изменить свое механическое состояние, соглашаясь на это лишь под действием внешней силы. При этом тот же Ньютон, описывая законы взаимодействия тел, утверждал, что силы в природе не появляются в одиночку – они, как результат взаимодействия двух тел, появляются только парами, причем обе силы такой пары равны по модулю и направлены вдоль одной прямой навстречу друг другу, т.е. попарно компенсируют друг друга.

Исходя из этого, в случае с чугунным шаром тоже должно быть две силы – усилие экспериментатора и противодействующая этому усилию сила, обусловленная упомянутым выше свойством инертности этого шара.
Но сила, по общим понятиям классической механики является результатом взаимодействия тел. И никакое свойство тела, в соответствии с этим постулатом, не может быть причиной появления какой-либо силы.

Противоречие с законами Ньютона привело к появлению в научной среде понятий инерциальной и неинерциальной систем отсчета .
Инерциальной стали называть систему отсчета, в которой все тела при отсутствии внешних воздействий находятся в состоянии покоя, а неинерциальной – все прочие системы отсчета, относительно которых тела перемещаются с ускорением. При этом в инерциальной системе отсчета описанные Ньютоном законы механики соблюдаются безусловно, а в неинерциальной не соблюдаются.
Однако все законы классической механики вполне можно применить и для неинерциальных систем отсчета, если наряду с реально действующими силами (нагрузками и реакциями) использовать силу инерции – виртуальную силу, обусловленную все тем же злополучным свойством инертности тел.

Таким образом удалось избавиться от противоречия, вытекающего из природы возникновения сил, описанной Ньютоном, и добиться условного равновесия тел при любом ускоренном движении, используя принцип Даламбера.
Сила инерции получила право на существование, и физики стали изучать ее более пристально, без опаски быть высмеянными коллегами.

Возникновение сил инерции напрямую связано с ускорением тела – в состоянии покоя (неподвижность или прямолинейное равномерное движение тела) эти силы не возникают и проявляются только в неинерциальных системах отсчета. При этом величина силы инерции равна по модулю и противоположно направлена силе, вызывающей ускорение тела, поэтому они взаимно уравновешивают друг друга.

В реальном мире на любое тело действуют силы инерции, т. е. понятие инерциальной системы отсчета является абстрактным. Но во многих практических ситуациях можно условно принять систему отсчета инерциальной, что позволяет упростить решение задач, связанных с механическим движением материальных тел.

Связь между инерцией и гравитацией

Еще Г. Галилей указал на некоторую связь между понятиями инерции и гравитации.

Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому при одинаковых условиях в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково. И таким же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

По этой причине в некоторых условиях силы инерции ассоциируются с силами тяготения. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Этот принцип положен в основу общей теории относительности.

Какими бывают силы инерции?

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:

силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета (обусловлены поступательным ускорением);
силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (обусловлены центробежным ускорением);
силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (обусловлены поступательным и центробежным ускорениями, а также ускорением Кориолиса);.

Кстати, термин «инерция» имеет латинское происхождение - слово «inertia » означает бездеятельность.

В классической механике представления о силах и их свойствах основываются на законах Ньютона и неразрывно связаны с понятием инерциальная система отсчёта .

Действительно, физическая величина, называемая силой, вводится в рассмотрение вторым законом Ньютона, при этом сам закон формулируется только для инерциальных систем отсчёта. Соответственно, понятие силы первоначально оказывается определённым только для таких систем отсчёта.

Уравнение второго закона Ньютона, связывающее ускорение имассу материальной точки с действующей на неё силой , записывается в виде

Из уравнения непосредственно следует, что причиной ускорения тел являются только силы, и наоборот: действие на тело не скомпенсированных сил обязательно вызывает его ускорение.

Третий закон Ньютона дополняет и развивает сказанное о силах во втором законе.

сила есть мера механического действия на данное материальное тело других тел

в соответствии с третьим законом Ньютона силы способны существовать лишь попарно, при этом природа сил в каждой такой паре одинакова.

любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, силы обязательно представляют собой результат взаимодействия тел.

Никакие другие силы в механике в рассмотрение не вводятся и не используются. Возможность существования сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, механикой не допускается.

Хотя в наименованиях эйлеровых и даламберовых сил инерции содержится слово сила , эти физические величины силами в смысле, принятом в механике, не являются.

34. Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой фиксированной плоскости (основной плоскости). Пусть некоторое тело V совершает плоское движение, π - основная плоскость. Из определения плоскопараллельного движения и свойств абсолютно твердого тела следует, что любой отрезок прямой АВ, перпендикулярный плоскости π, будет совершать поступательное движение. То есть траектории, скорости и ускорения всех точек отрезка АВ будут одинаковы. Таким образом, движение каждой точки сечения s параллельного плоскости π, определяет собой движение всех точек тела V, лежащих на отрезке перпендикулярном сечению в данной точке. Примерами плоскопараллельного движения являются: качение колеса по прямолинейному отрезку, так как все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости, перпендикулярной оси колеса; частным случаем такого движения является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси , в самом деле, все точки вращающегося тела движутся в плоскостях параллельных некоторой перпендикулярной оси вращения неподвижной плоскости.

35. Силы инерции при прямолинейном и криволинейном движении материальной точки

Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умноженной на ускорение.

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении, когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

При криволинейном и неравномерном движении ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную at составляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции.

Они используются в литературе, хотя и не получили пока повсеместного распространения. В дальнейшем мы будем придерживаться данной терминологии, как позволяющей сделать изложение более сжатым и ясным.

Эйлерова сила инерции в общем случае складывается из нескольких составляющих различного происхождения, которым также присвоены специальные наименования («переносная», «кориолисова» и др.). Более детально об этом говорится в соответствующем разделе ниже.

В других языках используемые названия сил инерции более явно указывают на их особые свойства: в немецком нем. Scheinkräfte («мнимая», «кажущаяся», «видимая», «ложная», «фиктивная» сила), в английском англ. pseudo force («псевдосила») или англ. fictitious force («фиктивная сила»). Реже в английском используются названия «сила д’Аламбера » (англ. d’Alembert force ) и «инерционная сила» (англ. inertial force ). В литературе, издаваемой на русском языке, по отношению к эйлеровой и даламберовой силам также используют аналогичные характеристики, называя эти силы «фиктивными» , «кажущимися» , «воображаемыми» или «псевдосилами»

Одновременно с этим в литературе иногда подчёркивают реальность сил инерции , противопоставляя значение данного термина значению термина фиктивность . При этом, однако, различные авторы вкладывают в эти слова различный смысл, и силы инерции оказываются реальными или фиктивными не в силу отличий в понимании их основных свойств, а в зависимости от избранных определений. Такое употребление терминологии некоторые авторы считают неудачным и рекомендуют просто избегать его в учебном процессе .

Хотя дискуссия по поводу терминологии ещё не закончена, имеющиеся разногласия не влияют на математическую формулировку уравнений движения с участием сил инерции и не приводят к возникновению каких-либо недоразумений при использовании уравнений на практике.

Силы в классической механике

Действительно, физическая величина, называемая силой, вводится в рассмотрение вторым законом Ньютона, при этом сам закон формулируется только для инерциальных систем отсчёта . Соответственно, понятие силы оказывается определённым только для таких систем отсчёта .

Уравнение второго закона Ньютона, связывающее ускорение a → {\displaystyle {\vec {a}}} и m {\displaystyle m} массу материальной точки с действующей на неё силой F → {\displaystyle {\vec {F}}} , записывается в виде

a → = F → m . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}

Третий закон Ньютона дополняет и развивает сказанное о силах во втором законе.

Никакие другие силы в классической механике в рассмотрение не вводятся и не используются . Возможность существования сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, механикой не допускается .

Ньютоновы силы инерции

Некоторые авторы используют термин «сила инерции» для обозначения силы-противодействия из третьего закона Ньютона . Понятие было введено Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» : «Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому врожденная сила могла бы быть весьма вразумительно названа силою инерции. Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко - и как сопротивление, и как напор.», а собственно термин «сила инерции» был, по словам Эйлера , впервые употреблён в этом значении Кеплером ( , со ссылкой на Е. Л. Николаи).

Для обозначения этой силы-противодействия некоторые авторы предлагают использовать термин «ньютонова сила инерции» во избежание путаницы с фиктивными силами, применяемыми при вычислениях в неинерциальных системах отсчёта и при использовании принципа д’Аламбера.

Отголоском ньютоновского выбора слова «сопротивление» для описания инерции является также представление о некоей силе, якобы реализующей это свойство в форме сопротивления изменениям параметров движения. В связи с этим Максвелл заметил, что с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким, так как сладким он становится не сам по себе, а лишь после добавления сахара .

Существование инерциальных систем отсчёта

Ньютон исходил из предположения, что инерциальные системы отсчёта существуют и среди этих систем существует наиболее предпочтительная (сам Ньютон связывал её с эфиром, заполняющим всё пространство). Дальнейшее развитие физики показало, что такой системы нет, но это привело к необходимости выйти за пределы классической физики.

Движение в инерциальной СО

Выполнив тривиальную математическую операцию в выражении третьего закона Ньютона (5) и перенеся член из правой части в левую, получаем безупречную математически запись:

F 1 → + F 2 → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}=0} (6)

С физической точки зрения, сложение векторов сил имеет своим результатом получение равнодействующей силы.

В таком случае, прочтённое с точки зрения второго закона Ньютона выражение (6) означает, с одной стороны, что равнодействующая сил равна нулю и, следовательно, система из этих двух тел не двигается ускоренно. С другой стороны, здесь не высказаны никакие запреты на ускоренное движение самих тел.

Дело в том, что понятие о равнодействующей возникает лишь в случае оценки совместного действия нескольких сил на одно и то же тело. В данном же случае, хотя силы равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому, касательно каждого из рассматриваемых тел по отдельности, не уравновешивают друг друга, поскольку на каждое из взаимодействующих тел действует лишь одна из них. Равенство (6) не указывает на взаимную нейтрализацию их действия для каждого из тел, оно говорит о системе в целом.

Повсеместно используется запись уравнения, выражающего второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта:

F r → = m a r → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=m{\vec {a_{r}}}} (7)

Если есть результирующая всех реальных сил, действующих на тело, то это выражение, представляющее собой каноническую запись Второго закона, является просто утверждением, что получаемое телом ускорение пропорционально этой силе и массе тела. Оба выражения, стоящие в каждой части этого равенства, относятся к одному и тому же телу.

Но выражение (7) может быть, подобно (6), переписано в виде:

F r → − m a r → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-m{\vec {a_{r}}}=0} (8)

Для постороннего наблюдателя, находящегося в инерциальной системе и анализирующего ускорение тела, на основании сказанного выше такая запись имеет физический смысл только в том случае, если члены в левой части равенства относятся к силам, возникающим одновременно, но относящимся к разным телам. И в (8) второй член слева представляет собой такую же по величине силу, но направленную в противоположную сторону и приложенную к другому телу, а именно силу , то есть

F i 1 → = − m a r → {\displaystyle {\vec {F_{i_{1}}}}=-m{\vec {a_{r}}}} (9)

В случае, когда оказывается целесообразным разделение взаимодействующих тел на ускоряемое и ускоряющее и, чтобы отличить действующие тогда на основании Третьего закона силы, те из них, которые действуют со стороны ускоряемого тела на ускоряющее, называют силами инерции F → i 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{i_{1}}} или «ньютоновыми силами инерции» , что соответствует записи выражения (5) для Третьего закона в новых обозначениях:

F r → = − F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=-{\vec {F_{i_{1}}}}} (10)

Существенно, что сила действия ускоряющего тела на ускоряемое и сила инерции имеют одно и то же происхождение и, если массы взаимодействующих тел близки друг другу настолько, что и получаемые ими ускорения сравнимы по величине, то введение особого наименования «сила инерции» является лишь следствием достигнутой договорённости. Оно так же условно, как и само деление сил на действие и противодействие.

Иначе обстоит дело, когда массы взаимодействующих тел несравнимы между собой (человек и твёрдый пол, отталкиваясь от которого, он идёт). В этом случае деление тел на ускоряющие и ускоряемые становится вполне отчётливым, а ускоряющее тело может рассматриваться как механическая связь , ускоряющая тело, но не ускоряемая сама по себе.

В инерциальной системе отсчёта сила инерции приложена не к ускоряемому телу, а к связи.

Эйлеровы силы инерции

Движение в неинерциальной СО

Дважды продифференцировав по времени обе части равенства r = R + r ′ {\displaystyle r=R+r{^{\prime }}} , получаем:

A r → = a R → + a r ′ → {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\vec {a_{R}}}+{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (11), где:

a r → = r ¨ {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\ddot {r}}} есть ускорение тела в инерциальной СО, далее называемое абсолютным ускорением. a R → = R ¨ {\displaystyle {\vec {a_{R}}}={\ddot {R}}} есть ускорение неинерциальной СО в инерциальной СО, далее называемое переносным ускорением. a r ′ → = r ¨ ′ {\displaystyle {\vec {a_{r^{\prime }}}}={\ddot {r}}{^{\prime }}} есть ускорение тела в неинерциальной СО, далее называемое относительным ускорением.

Существенно, что это ускорение зависит не только от действующей на тело силы, но и от ускорения системы отсчёта, в которой это тело движется, и потому при произвольном выборе этой СО может иметь соответственно произвольное значение.

Умножим обе части уравнения (11) на массу тела m {\displaystyle m} и получим:

M a r → = m a R → + m a r ′ → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}=m{\vec {a_{R}}}+m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (12)

В соответствии со вторым законом Ньютона, сформулированным для инерциальных систем, член слева является результатом умножения массы на вектор, определяемый в инерциальной системе, и потому с ним можно связать реальную силу:

M a r → = F r → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}={\vec {F_{r}}}} . Это сила, действующая на тело в первой (инерциальной) СО, которая будет здесь названа «абсолютной силой». Она продолжает действовать на тело с неизменными направлением и величиной в любой системе координат.

Следующая сила, определяемая как:

M a R → = F R → {\displaystyle m{\vec {a_{R}}}={\vec {F_{R}}}} (13)

по принятым для наименования происходящих движений правилам должна быть названа «переносной».

Важно, что ускорение a R → {\displaystyle {\vec {a_{R}}}} в общем случае никакого отношения к изучаемому телу не имеет, поскольку вызвано теми силами, которые действуют лишь на тело, выбранное в качестве неинерциальной системы отсчёта. Но масса, входящая в выражение, есть масса изучаемого тела. Ввиду искусственности введения такой силы её нужно считать фиктивной силой.

Перенося выражения для абсолютной и переносной силы в левую часть равенства:

M a r → − m a R → = m a r ′ → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}-m{\vec {a_{R}}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (14)

и применяя введённые обозначения, получаем:

F r → − F R → = m a r ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-{\vec {F_{R}}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (15)

Отсюда видно, что вследствие ускорения в новой системе отсчёта на тело действует не полная сила , но лишь её часть F ′ → {\displaystyle {\vec {F^{\prime }}}} , оставшаяся после вычитания из неё переносной силы F R → {\displaystyle {\vec {F_{R}}}} так, что:

F ′ → = m a r ′ → {\displaystyle {\vec {F^{\prime }}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (16)

тогда из (15) получаем:

F r → − F R → = F ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-{\vec {F_{R}}}={\vec {F^{\prime }}}} (17)

по принятым для наименования происходящих движений эта сила должна быть названа «относительной». Именно эта сила вызывает движение тела в неинерциальной системе координат.

Полученный результат в разнице между «абсолютной» и «относительной» силами объясняется тем, что в неинерциальной системе, кроме силы F → r {\displaystyle {\vec {F}}_{r}} , на тело дополнительно подействовала некая сила F → i 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{i_{2}}} таким образом, что:

F r → + F i 2 → = F ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}+{\vec {F_{i_{2}}}}={\vec {F^{\prime }}}} (18)

Эта сила представляет собой силу инерции, применительно к движению тел в неинерциальных СО. Она никак не связана с действием реальных сил на тело.

Тогда из (17) и (18) получаем:

F i 2 → = − F R → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{R}}}} (19)

То есть сила инерции в неинерциальной СО равна по величине и противоположна по направлению силе, вызывающей ускоренное движение этой системы. Она приложена к ускоряемому телу.

Сила эта не является по своему происхождению результатом действия окружающих тел и полей, и возникает исключительно за счёт ускоренного движения второй системы отсчёта относительно первой.

Все входящие в выражение (18) величины могут быть независимым друг от друга образом измерены, и поэтому поставленный здесь знак равенства означает не что иное, как признание возможности распространения ньютоновской аксиоматики при учёте таких «фиктивных сил» (сил инерции) и на движение в неинерциальных системах отсчёта, и потому требует экспериментального подтверждения. В рамках классической физики это действительно и подтверждается.

Различие между силами F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{1}}}}} и состоит лишь в том, что вторая наблюдается при ускоренном движении тела в неинерциальной системе координат, а первая соответствует его неподвижности в этой системе. Поскольку неподвижность есть лишь предельный случай движения с малой скоростью, принципиальной разницы между этими фиктивными силами инерции нет.

Пример 2

Пусть вторая СО движется с постоянной скоростью или просто неподвижна в инерциальной СО. Тогда a R → = 0 {\displaystyle {\vec {a_{R}}}=0} и сила инерции отсутствует. Движущееся тело испытывает ускорение, вызываемое действующими на него реальными силами.

Пример 3

Пусть вторая СО движется с ускорением a R → = a r → {\displaystyle {\vec {a_{R}}}={\vec {a_{r}}}} , то есть эта СО фактически совмещена с движущимся телом. Тогда в этой, неинерциальной, СО тело неподвижно вследствие того, что действующая на него сила полностью скомпенсирована силой инерции:

F i 2 → = − F r → = F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{r}}}={\vec {F_{i_{1}}}}}

Пример 4

Пассажир едет в легковом автомобиле с постоянной скоростью. Пассажир - тело, автомобиль - его система отсчёта (пока инерциальная), то есть F r → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=0} .

Автомобиль начинает тормозить и превращается для пассажира во вторую рассмотренную выше неинерциальную систему, к которой навстречу её движению приложена сила торможения F R → {\displaystyle {\vec {F_{R}}}} . В этой неинерциальной системе отсчёта возникает сила инерции, приложенная к пассажиру и направленная противоположно по отношению к ускорению автомобиля (то есть по его скорости): F i 2 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}} . Сила инерции стремится вызвать в данной системе отсчёта движение тела пассажира по направлению к ветровому стеклу .

Однако движению пассажира препятствует ремень безопасности : под действием тела пассажира ремень растягивается и с соответствующей силой воздействует на пассажира. Эта реакция ремня уравновешивает силу инерции и пассажир в системе отсчёта, связанной с автомобилем, ускорения не испытывает, оставаясь неподвижным относительно автомобиля в процессе всего торможения.

С точки зрения наблюдателя, находящегося в произвольной инерциальной системе отсчёта (например, связанной с дорогой), пассажир теряет скорость в результате действия на него силы со стороны ремня. Благодаря этой силе возникает ускорение (отрицательное) пассажира, её работа вызывает уменьшение кинетической энергии пассажира. Ясно при этом, что никаких сил инерции в инерциальной системе отсчёта не возникает, и они для описания движения пассажира не привлекаются.

Примеры использования

В некоторых случаях при расчётах удобно использовать неинерциальную систему отсчёта, например:

движение подвижных деталей автомобиля удобно описывать в системе координат, связанных с автомобилем. В случае ускорения автомобиля эта система становится неинерциальной;
движение тела по круговой траектории иногда удобно описывать в системе координат, связанной с этим телом. Такая система координат неинерциальна из-за центростремительного ускорения .

В неинерциальных системах отсчёта стандартные формулировки законов Ньютона неприменимы. Так при ускорении автомобиля, в системе координат, связанной с корпусом автомобиля, незакреплённые предметы внутри получают ускорение в отсутствие какой-либо силы, прикладываемой непосредственно к ним; а при движении тела по орбите, в связанной с телом неинерциальной системе координат тело покоится, хотя на него действует ничем не сбалансированная сила гравитации, выступавшая в качестве центростремительной в той инерциальной системе координат, в которой наблюдалось вращение по орбите.

Для восстановления возможности применения в этих случаях привычных формулировок законов Ньютона и связанных с ними уравнений движения для каждого рассматриваемого тела оказывается удобно ввести фиктивную силу - силу инерции - пропорциональную массе этого тела и величине ускорения системы координат, и противонаправленную вектору этого ускорения.

С использованием этой фиктивной силы появляется возможность краткого описания реально наблюдаемых эффектов: «почему при разгоне автомобиля пассажира прижимает к спинке сиденья?» - «на тело пассажира действует сила инерции». В инерциальной системе координат, связанной с дорогой, сила инерции для объяснения происходящего не требуется: тело пассажира в ней ускоряется (вместе с автомобилем), и это ускорение производит сила, с которой сиденье действует на пассажира .

Сила инерции на поверхности Земли

Пусть F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{1}}}} есть сумма всех сил, действующих на тело в неподвижной (первой) системе координат, которая вызывает его ускорение . Эта сумма находится путём измерения ускорения тела в этой системе, если известна его масса.

Аналогично, F 2 → {\displaystyle {\vec {F_{2}}}} есть сумма сил, измеренная в неинерциальной системе координат (второй), вызывающая ускорение a 2 → {\displaystyle {\vec {a_{2}}}} , в общем случае отличающаяся от a 1 → {\displaystyle {\vec {a_{1}}}} вследствие ускоренного движения второй СО относительно первой.

Тогда сила инерции в неинерциальной системе координат будет определяться разницей:

F i 2 → = F 2 → − F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}={\vec {F_{2}}}-{\vec {F_{1}}}} (19)

F i 2 → = m (a 2 → − a 1 →) {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=m({\vec {a_{2}}}-{\vec {a_{1}}})} (20)

В частности, если тело покоится в неинерциальной системе, то есть a 2 → = 0 {\displaystyle {\vec {a_{2}}}=0} , то

F i 2 → = − F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{1}}}} (21) .

Движение тела по произвольной траектории в неинерциальной СО

Положение материального тела в условно неподвижной и инерциальной системе задаётся здесь вектором r → {\displaystyle {\vec {r}}} , а в неинерциальной системе - вектором r ′ → {\displaystyle {\vec {r^{\prime }}}} . Расстояние между началами координат определяется вектором R → {\displaystyle {\vec {R}}} . Угловая скорость вращения системы задаётся вектором ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} , направление которого устанавливается по оси вращения по правилу правого винта . Линейная скорость тела по отношению к вращающейся СО задаётся вектором v → {\displaystyle {\vec {v}}} .

В данном случае ускорение, в соответствии с (11), будет равно сумме :

A r → = d 2 R → d t 2 + d ω → d t × r ′ → + 2 ω → × v → + ω → × [ ω → × r ′ → ] , (22) {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\frac {d^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r"}}+{2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}+{\vec {\omega }}\times \left[{\vec {\omega }}\times {\vec {r"}}\right],\qquad (22)}

первый член - переносное ускорение второй системы относительно первой;

второй член - ускорение, возникающее из-за неравномерности вращения системы вокруг своей оси;

Работа сил инерции

В классической физике силы инерции встречаются в двух различных ситуациях в зависимости от системы отсчёта, в которой производится наблюдение . Это - сила, приложенная к связи при наблюдении в инерциальной СО, или сила, приложенная к рассматриваемому телу, при наблюдении в неинерциальной системе отсчёта. Обе эти силы могут совершать работу. Исключением является сила Кориолиса, которая работы не совершает, поскольку всегда направлена перпендикулярно вектору скорости. В то же время сила Кориолиса может изменить траекторию движения тела и, тем самым, способствовать совершению работы другими силами (такими, как сила трения). Примером этому может служить эффект Бэра .

Кроме того, в некоторых случаях бывает целесообразно разделить действующую силу Кориолиса на две составляющие, каждая из которых совершает работу. Суммарная работа, производимая этими составляющими, равна нулю, но такое представление может оказаться полезным при анализе процессов перераспределения энергии в рассматриваемой системе .

При теоретическом рассмотрении, когда искусственно сводят динамическую задачу движения к задаче статики, вводят третий вид сил, называемый силами Даламбера, которые работы не совершают ввиду неподвижности тел, на которые эти силы действуют.

Для того чтобы второй закон Ньютона выполнялся в неинерциальных системах отсчета в дополнение к силам, которые действуют на тела вводят силы инерции.

Определение и формула силы инерции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Силой инерции называют силу, которая вводится только потому, что система координат, в которой происходит рассмотрение движения тел, является неинерциальной.

Возникновение сил инерции не связано с действием каких-либо тел. Напомним, что неинерциальными системами отсчета являются любые системы, движущейся с ускорением относительно инерциальных систем.

Третий закон Ньютона для сил инерции не выполняется.

Пусть ускорение тела относительно инерциальной системы отсчета равно . Обычно такое ускорение называют абсолютным, при этом ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета носит название относительного (). Второй закон Ньютона для инерциальной системы отсчета запишем как:

где - равнодействующая сила, приложенная к телу массы m. В неинерциальной системе отсчета:

поскольку:

Добавим к правой части выражения (2) силы инерции, так чтобы выполнялся второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

В таком случае получим, что сила инерции равна:

Формула (5) для силы инерции дает верное описание движения в неинерциальной системе отсчета. При этом нахождение разности относительного и абсолютного ускорений является кинематической задачей. Ее можно решить, если известен характер движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Системы отсчета, движущиеся прямолинейно с постоянным ускорением

Система отсчета, которая перемещается прямолинейно с постоянным ускорением - это простейший случай неинерциальной системы. Рассмотрим неинерциальную систему отсчета, которая движется прямолинейно с постоянным ускорением (переносное ускорение) относительно инерциальной системы отсчета. Тогда:

Согласно формуле (5) сила инерции равна:

Вращающаяся система отсчета

Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся относительно неподвижной оси с постоянной скоростью . Для тела находящегося в состоянии покоя в такой системе отсчета формулу для силы инерции можно записать как:

где - радиус-вектор, по величине равный расстоянию от оси вращения до рассматриваемого тела, направленный от центра к телу. Сила инерции (8) называется центробежной силой инерции.

Все тела на поверхности Земли испытывают действие центробежной силы инерции.

Отметим, что всякую задачу можно решить в инерциальной системе отсчета. Применение неинерциальных систем продиктовано соображениями удобства применения неинерциальных систем.

Примеры решения задач по теме «Сила инерции»

ПРИМЕР 1

Задание

Какова сила нормального давления тела (вес) на поверхность Земли, если тело неподвижно, имеет массу m. Находится на широте . Радиус Земли считать равным R.

Решение

Сделаем рисунок.

Свяжем систему отсчета с Землей. На груз в этой системе отсчета действуют силы: сила тяжести (); сила реакции опоры (); сила трения покоя (). Кроме этих сил, так как систему отсчета связанную с Землей в нашем случае инерциальной считать не будем, действует центробежная сила инерции (). Формулу для расчета силы инерции возьмем:

где радиус траектории (окружности) по которой движется груз.

Систему координат выберем так, что ее начало совпадет с центром тела, ось Y будет перпендикулярна поверхности Земли, ось X - касательная к поверхности Земли (см. рис.1). Так как тело не движется относительно Земли, то второй закон Ньютона запишем как:

В проекциях на оси X и Y выражения (1.2), учитывая (1.1) имеем:

Так как вес тела (P) по величине равен (N), выразим его из первого уравнения системы (1.3), получим:

Ответ

Неинерциальной системой отсчёта называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной.

Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Поэтому все рассматриваемые до сих пор вопросы относились к инерциальным системам. Однако на практике часто приходится иметь дело с неинерциальными системами отсчёта. Выясним, как должен записываться основной закон динамики в таких системах. Рассмотрим в начале движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта:

Введём кроме неё неинерциальную систему отсчёта и договоримся первую называть неподвижной, а вторую подвижной:

На основании теоремы сложения ускорений:

Отсюда перепишем:

Мы видим, что в неинерциальной системе отсчёта ускорение точки определяется не только силой и массойm , но и характером движения самой подвижной системы отсчёта.

–фиктивные силы (они не обусловлены взаимодействием тел, а связаны с ускоренным движением неинерциальной системы относительно инерциальной) или силы инерции.

В инерциальных системах отсчёта единственной причиной ускоренного движения материальной точки являются силы, действующие со стороны материальных тел. В неинерциальных системах причиной ускоренного движения являются и силы инерции, не связанные ни с каким взаимодействием.

Необходимо подчеркнуть, что на точку, находящуюся в подвижной системе координат, силы инерции оказывают реальное действие, так как они входят в уравнение движения. Пример: движение человека в вагоне, при движении вагона с постоянной скоростью.

Пусть теперь вагон замедляет свой ход:

Таким образом, введение сил инерции приводит к удобной формулировке основных законов механики в относительном движении и придаёт им некоторую наглядность.

Рассмотрим два частных случая.

Пусть материальная точка совершает равномерное прямолинейное движение относительно движущейся системы координат, тогда с учетом
получим:

Таким образом, реальные силы уравновешиваются силами инерции.

Пусть материальная точка находится в покое по отношению к подвижной системе координат:

Тогда
,

Как уже отмечалось, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются н еинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода – так называемые силы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

(1)

Так как
( – ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;

2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;

3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движение системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т . Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести
уравновешивается силой реакции нити .

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением , то нить начнет отклоняться от вертикали назад до такого угла α , пока результирующая сила
не обеспечит ускорение шарика, равное . Таким образом, результирующая сила направлена в сторону ускорения тележки и для установившегося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением ) равна
, откуда
,т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.

Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила , которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

(2)

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону, и пассажир удаляется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω (ω =const ) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m ). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, модуль которой равен F =mω 2 R и направлена сила перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести
и силы натяжения нити :
. Когда движение шарика установится, то
, откуда
,т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения ω .

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой , которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила , называемая центробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и её модуль равен

F ц =mω 2 R (3)

Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

Из формулы (3) вытекает, что центробежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R , но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (). Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ , причем его скорость относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости .

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения равномерно и прямолинейно со скоростью .

При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой . Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила уравновешивается приложенной к шарику силой инерции , перпендикулярной скорости . Эта сила называется кориолисовой силой инерции .

Можно показать, что сила Кориолиса

(4)

Вектор перпендикулярен векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета, например, относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север, то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.

где силы инерции задаются формулами (2) – (4).

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета . Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Возникает вопрос о «реальности» или «фиктивности» сил инерции. В ньютоновской механике, согласно которой сила есть результат взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако возможна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реальных», многие явления, о которых упоминалось выше, объясняются с помощью сил инерции.

Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

Напечатать