Интегралы с логарифмами примеры. Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен. Формула интегрирования по частям
Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:
F " (x) = f(x). (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
где С- произвольная постоянная.
Таблица интегралов
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Список табличных интегралов
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctg x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Замена переменной
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [α,β], функция z =g(x) имеет на непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Например:
Метод интегрирования по частям
Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,
d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.
Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [
a,b] на n
частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ
x i =x i - x i-1
. Сумма вида f(ξ i)Δ
x i называется интегральной суммой
, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом
функции f(x) от a
до b
и обозначается:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .
Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
∫f(x)dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox .
Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
(8.7)
Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится .
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
Примеры вычисления интегралов
Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).
Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .
Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.
Решение. ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinxРешение.
Пример 3.33. Найти .
Решение. = .
Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.
Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда
du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.
Решение.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.
Решение.
Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Интеграл
∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx,
du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение
∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx
dx = - e x cosx + e x sinx + С.
Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.
Решение. Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Пример 3.38 . Вычислить J = .
Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .
Пример 3.39 . Вычислить интеграл J = .
Решение.
Имеем: . Поэтому =
=
=.
вводится так sqrt(tan(x/2)).
А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Интегрирование по частям. Примеры решений
Решение.
Например.
Вычислить интеграл:
Применяя свойства интеграла (линейность), т.е. , сводим ктабличному интегралу, получаем, что
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .
Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . Если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста, посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).
И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1) , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
3) , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
4) , – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых содержит логарифм, арксинус, арктангенс, а также логарифм в целой степени и логарифм от многочлена.
Формула интегрирования по частям
Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .
При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное - через dv .
Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.
Простой пример с логарифмом
Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
Решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln
x
,
dv = x 2 dx
.
Тогда
,
.
Интегрируем по частям.
.
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C
.
Ответ
Пример логарифма в степени 2
Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
Решение
Делаем подстановки
u = (ln
x) 2
,
dv = x dx
.
Тогда
,
.
Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.
Ответ
Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом
По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.
Решение
Делаем подстановки
u = ln( x 2 - 1)
,
dv = x dx
.
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |
x 2 - 1|
,
поскольку подынтегральное выражение определено при x 2 - 1 > 0
.
Подставляем
.
Ответ
Пример с арксинусом
Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.
Решение
Делаем подстановки
u = arcsin
x
,
.
Тогда
,
.
Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 - x > 0 и 1 + x > 0 .
Ответ
Пример с арктангенсом
Решим пример с арктангенсом:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x 8
= x 8
+ x 6
- x 6
- x 4
+ x 4
+
x 2
- x 2
- 1 + 1 =
(x 2 + 1)(x 6
- x 4
+ x 2 - 1) + 1
;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
Еще один пример с арксинусом
Решить интеграл:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0
имеем:
.
.
.
При x < 0
сделаем подстановку x = - t, t > 0
:
.
Окончательно имеем.
Первообразная и интеграл
1. Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F"(x)=f(x)
Т.7.13 (Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С - произвольная постоянная (основное свойство первообразной).
2. Таблица первообразных. Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных, получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице приведена одна первообразная F(х), а не общий вид первообразных F(х) + С:
Первообразная |
Первообразная |
||
Первообразная и логарифмическая функция
Логарифмическая функция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается
её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
(е - неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию
первообразный степень интеграл логарифм
где а > 0 (а? 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:
где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
Для - 1 < х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например
Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению,
dx/dy = - kx, откуда.
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ? 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
Inz = In?z?+ i arg z,
где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
Интегрирование по частям. Примеры решений
Решение.
К примеру.
Вычислить интеграл:
Применяя свойства интеграла (линейность), ᴛ.ᴇ. , сводим ктабличному интегралу, получаем, что
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям - ϶ᴛᴏ один из краеугольных камней интегрального расчёта. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .
Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . В случае если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста͵ посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).
И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1) , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква ʼʼеʼʼ. … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
3) , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
4) , – обратные тригонометрические функции (ʼʼаркиʼʼ), ʼʼаркиʼʼ, умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Интегралы от логарифмов - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интегралы от логарифмов" 2017, 2018.