Кудрявцев Л.Д. Математический анализ

2-е изд., перераб. - М.: Физматлит, 200 3; т.1 - 496с., т.2 - 505., т.3 - 473с.

При составлении сборника авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ и используемых в работе со студентами. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. В сборник включены задачи из широкоизвестных изданий, в частности, из сборника задач по математическому анализу Б. П. Демидовича и сборника задач по высшей математике Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина.

Каждый параграф сборника содержит теоретические сведения, примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельной работы. Задачи каждого параграфа сгруппированы по темам и каждая группа задач расположена в порядке возрастания трудности - от совершенно простых до достаточно сложных.

Особое внимание в сборнике уделено задачам, способствующим усвоению фундаментальных понятий математического анализа. Большой набор задач, иллюстрирующих ту или иную тему, дает возможность преподавателю использовать задачник для работы в аудитории, для домашних заданий и при составлении контрольных работ.

Сборник задач предназначается в основном для вузов с расширенной программой по математике. Наличие большого числа задач разной трудности дает возможность использовать задачник как в университетах, так и в технических вузах.

Том 1.

Формат: pdf

Размер: 3,7 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 3 ,3 Мб

/ Download файл

Том 2.

Формат: pdf

Размер: 3,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 3 ,3 Мб

/ Download файл

Том 3.

Формат: pdf

Размер: 3,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 3 ,3 Мб

/ Download файл

ТОМ 1. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Множества. Комбинаторика 5
§ 2. Элементы логики. Метод математической индукции 12
§ 3. Действительные числа 17
§ 4. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства 22
§ 5. Комплексные числа 36
§ 6. Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби. 47
§ 7. Числовые функции. Последовательности 55
ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 8. Предел последовательности 125
§ 9. Предел функции 170
§ 10. Непрерывность функции 195
§ 11. Асимптоты и графики функций 222
§ 12. Равномерная непрерывность функции 246
ГЛАВА 3
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции 257
§ 14. Геометрический и физический смысл производной 283
§ 15. Производные и дифференциалы высших порядков 293
ГЛАВА 4
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 16. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 308
§ 17. Правило Лопиталя 315
§ 18. Формула Тейлора 321
§ 19. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора 349
§ 20. Исследование функций 366
§ 21. Построение графиков 394
§ 22. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. . . 430
§ 23. Численное решение уравнений 437
§ 24. Вектор-функции. Кривые 455
Список литературы 493

ТОМ 2. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Общие приемы и методы интегрирования 5
§ 2. Интегрирование рациональных функций 25
§ 3. Интегрирование иррациональных функций 37
§ 4. Интегрирование трансцендентных функций 52
§ 5. Интегрирование разных функций 72
ГЛАВА 2
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6. Определенный интеграл 87
§ 7. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых 123
§ 8. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей 149
§ 9. Применение интеграла к решению геометрических и физических задач 178
§ 10. Приближенное вычисление интегралов. Оценки интегралов. . . 212
ГЛАВА 3
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 11. Несобственные интегралы от неограниченных функций 238
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 256
ГЛАВА 4
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 13. Свойства сходящихся рядов 284
§ 14. Ряды с неотрицательными членами 295
§ 15. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды 314
§ 16. Разные задачи на сходимость рядов 327
ГЛАВА 5
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 17. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей 338
§ 18. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов 355
§ 19. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 384
§ 20. Степенные ряды 393
§ 21. Ряд Тейлора 407
§ 22. Тригонометрические ряды Фурье 444
§ 23. Асимптотические представления функций 482
§ 24. Бесконечные произведения 489
Список литературы 499

ТОМ 3. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Различные типы множеств в n-мерном пространстве 7
§ 2. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения 22
§ 3. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемые отображения 54
§ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора 85
§ 5. Экстремумы функций 110
§ 6. Геометрические приложения 129
ГЛАВА 2

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 7. Мера Жордана. Измеримые множества 145
§ 8. Кратный интеграл Римана и его свойства 158
§ 9. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 233
§ 10. Криволинейные интегралы 255
§ 11. Поверхностные интегралы 278
§ 12. Скалярные и векторные поля 295
ГЛАВА 3
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 13. Собственные интегралы, зависящие от параметра 324
§ 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра 334
§ 15. Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов 346
§ 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы 360
§ 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 370
ГЛАВА 4

ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
§ 18. Метрические пространства 379
§ 19. Нормированные и полунормированные пространства 405
§ 20. Гильбертовы пространства 434
§ 21. Топологические пространства. Обобщенные функции 450
Список литературы 467

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.

Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных.

Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа.

М.: Дрофа; т.1 - 2003, 704с.; т.2 - 2004, 720с.; т.3 - 2006, 351с.

Учебник соответствует новой программе для вузов. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

Том 1.

Формат: pdf

Размер: 4,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 4 ,6 Мб

/ Download файл

Том 2.

Формат: pdf

Размер: 5,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 5 ,4 Мб

/ Download файл

Том 3.

Формат: pdf

Размер: 2,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 2 ,2 Мб

/ Download файл

Том 1. Оглавление
Предисловие 3
Введение 7
Глава 1
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Множества и функции. Логические символы 13
1.1. Множества. Операции над множествами 13
1.2*. Функции 16
1.3*. Конечные множества и натуральные числа.
1.4. Группировки элементов конечного множества 29
1.5. Логические символы 33
§ 2. Действительные числа 35
2.1. Свойства действительных чисел 35
2.2*. Свойства сложения и умножения 39
2.3*. Свойства упорядоченности 47
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел 51
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел 52
2.6*. Рациональные степени действительных чисел 58
2.7. Формула бинома Ньютона 60

§ 3. Числовые множества 63
3.1. Расширенная числовая прямая 63
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности 64
3.3. Ограниченные и неограниченные множества 68
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств 70
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней... 75
3.6. Принцип Архимеда 78
3.7. Принцип вложенных отрезков 80
3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля.... 85
§ 4. Предел числовой последовательности 92
4.1. Определение предела числовой последовательности 92
4.2. Единственность предела числовой последовательности... 100
4.3. Переход к пределу в неравенствах 101
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей 107
4.5. Монотонные последовательности 108
4.6. Теорема Больцано-Вейерштрасса 113
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности 115
4.8. Бесконечно малые последовательности 118
4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями 120
4.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями 133
4.11*. Счетные и несчетные множества 141
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности 149
§ 5. Предел и непрерывность функций 153
5.1. Действительные функции 153
5.2. Способы задания функций 156
5.3. Элементарные функции и их классификация 160
5.4. Первое определение предела функции 162
5.5. Непрерывные функции 172
5.6. Условие существования предела функции 177
5.7. Второе определение предела функции 179
5.8. Предел функции по объединению множеств 184
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность... 185
5.10. Свойства пределов функций 189
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 194
5.12. Различные формы записи непрерывности
5.13. Классификация точек разрыва функции 202
5.14. Пределы монотонных функций 204
5.15. Критерий Коши существования предела функции 210
5.16. Предел и непрерывность композиции функций 212
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках 216
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений 216
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций 218
6.3. Обратные функции 221
6.4. Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности.... 228
§ 7. Непрерывность элементарных функций 235
7.1. Многочлены и рациональные функции 235
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции. . 236
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 246
7.4. Непрерывность элементарных функций 248
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 248
8.1. Некоторые замечательные пределы 248
8.2. Сравнение функций 253
8.3. Эквивалентные функции 264
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов 267
§ 9. Производная и дифференциал 271
9.1. Определение производной 271
9.2. Дифференциал функции 274
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала... 280
9.4. Физический смысл производной и дифференциала 284
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями 288
9.6. Производная обратной функции 291
9.7. Производная и дифференциал сложной функции 294
9.8. Гиперболические функции и их производные 301
§10. Производные и дифференциалы высших порядков 304
10.1. Производные высших порядков 304
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций 306
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных
10.4. Дифференциалы высших порядков 311
§11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 313
11.1 Теорема Ферма

11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. . 316
§12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 327
12.1 Неопределенности вида 0/0
12.2 Неопределенности вида ----

12.3. Обобщение правила Лопиталя 337
§ 13. Формула Тейлора 339
13.1. Вывод формулы Тейлора 339
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки 344
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части) 351
§ 14. Исследование поведения функций 353
14.1. Признак монотонности функции 353
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 356
14.3. Выпуклость и точки перегиба 365
14.5. Построение графиков функций 377
§ 15. Векторная функция 387
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной функции 387
15.2. Производная и дифференциал векторной функции 391
§ 16. Длина кривой 397
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых 408
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции 411
16.7. Физический смысл производной векторной функции... 425
§17. Кривизна и кручение кривой 426
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости 426
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 430
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 434
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 436
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой.... 437
17.6. Эвольвента 444
17.7. Кручение пространственной кривой 447
17.9. Формулы для вычисления кручения 451
Глава 2
Интегральное исчисление функций одной переменной
§18. Определения и свойства неопределенного интеграла 453
18.1. Первообразная и неопределенный интеграл 453
18.2. Основные свойства интеграла 456
18.3. Табличные интегралы 458
18.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) 461
18.5. Интегрирование по частям 464
18.6*. Обобщение понятия первообразной 467
§ 19. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах. . 473
19.1. Комплексные числа 473
19.2*. Формальная теория комплексных чисел 481
19.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 482
19.4. Разложение многочленов на множители 486
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов 490
19.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные 495
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 503
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей... 503
20.2. Общий случай 506
20.3*. Метод Остроградского 508
§21. Интегрирование некоторых иррациональностей 514
21.1. Предварительные замечания 514
21.2. Интегралы вида \R\X, [^jf , ... , (^if] <** 515
21.3. Интегралы вида \Щх, Jax2 + Ьх + с) dx. Подстановки Эйлера 518
21.4. Интегралы от дифференциальных биномов 522
21.5. Интегралы вида} п" " Jax2 + Ьх + с
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.... 526
22.1. Интегралы виды JR(sin x,cosx)dx 526
22.2. Интегралы вида Jsinm x cos" x dx 528
22.3. Интегралы вида Jsin ax cos |3x dx 530
22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям. . 530
22.5. Интегралы вида J.R(sh x, ch x) dx 532
22.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции 532
§ 23. Определенный интеграл 533
23.1. Определение интеграла Римана 533
23.2*. Критерий Коши существования интеграла 539
23.3. Ограниченность интегрируемой функции 541
23.4. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу 543
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. . 547
23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. 548
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана 551
23.8*. Колебания функций 556
23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона 563
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега 566
§ 24. Свойства интегрируемых функций 570
24.1. Свойства определенного интеграла 570
24.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла 583
§25. Определенный интеграл с переменными пределами
25.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Существование первообразной у непрерывной функции 588
25.3. Формула Ньютона-Лейбница 591
25.4*. Существование обобщенной первообразной. Формула Ньютона-Лейбница для обобщенной первообразной. . 592
§26. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям 596
26.1. Замена переменной 596
26.2. Интегрирование по частям 600
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного
26.4. Интегралы от векторных функций 606
§27. Мера плоских открытых множеств 608
27.1. Определение меры (площади) открытого множества 608
27.2. Свойства меры открытых множеств 612
§28. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 618
28.1. Вычисление площадей 618
28.2*. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского... 625
28.3. Объем тела вращения 630
28.4. Вычисление длины кривой 632
28.5. Площадь поверхности вращения 637
28.6. Работа силы 640
28.7. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой 641
§ 29. Несобственные интегралы 644
29.1. Определение несобственных интегралов 644
29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 652
29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 657
29.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. 665
29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы 666
29.6. Исследование сходимости интегралов 671
29.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования 677
Предметно-именной указатель 685
Указатель основных обозначений 695

Том 2. Оглавление
Предисловие 3
Глава 3

Ряды
§ 30. Числовые ряды 5
30.1. Определение ряда и его сходимость 5
30.2. Свойства сходящихся рядов 9
30.3. Критерий Коши сходимости ряда 11
30.4. Ряды с неотрицательными членами 13
30.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда 16
30.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами 20
30.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами 23
30.8*. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм 25
30.9. Знакопеременные ряды 27
30.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости
30.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов 38
30.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана 39
30.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости Дирихле и Абеля 43
30.14*. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и частичных сумм расходящихся рядов 48
30.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 52
§ 31. Бесконечные произведения 53
31.1. Основные определения. Простейшие свойства бесконечных произведений 53
31.2. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 57
31.3. Бесконечные произведения с действительными
31.4. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения.. . 62
31.5*. Дзета-функция Римана и простые числа 65
§ 32. Функциональные последовательности и ряды 67
32.1. Сходимость функциональных последовательностей
32.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей 71
32.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 79
32.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 90
§ 33. Степенные ряды 100
33.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 100
33.2*. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости
33.3. Аналитические функции 110
33.4. Аналитические функции в действительной области... 112
33.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. . 116
33.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора... 121
33.7. Методы разложения функций в степенные ряды 131
33.8. Формула Стерлинга 138
33.9*. Формула и ряд Тейлора для векторных функций 141
33.10*. Асимптотические степенные ряды 143
33.11*. Свойства асимптотических степенных рядов 149
§ 34. Кратные ряды 153
34.1. Кратные числовые ряды 153
34.2. Кратные функциональные ряды 162
Глава 4
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 35. Многомерные пространства 165
35.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей
35.2. Различные типы множеств 178
35.4. Многомерные векторные пространства 203
§ 36. Предел и непрерывность функций многих переменных
36.1. Функции многих переменных 210
36.2. Отображения. Предел отображений 212
36.3. Непрерывность отображений в точке 218
36.4. Свойства пределов отображений 220
36.5. Повторные пределы 221
36.6. Предел и непрерывность композиции отображений... 223
36.7. Непрерывные отображения компактов 226
36.8. Равномерная непрерывность 229
36.9. Непрерывные отображения линейно-связных множеств 233
36.10. Свойства непрерывных отображений 235
§ 37. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 240
37.1. Частные производные и частные дифференциалы... . 240
37.2. Дифференцируемость функций в точке 244
37.3. Дифференцирование сложной функции 253
37.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов 256
37.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 262
37.6. Градиент функции 265
37.7. Производная по направлению 265
37.8. Пример исследования функций двух переменных.... 271

§ 38. Частные производные и дифференциалы высших порядков 273
38.1. Частные производные высших порядков 273
38.2. Дифференциалы высших порядков 277
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 281
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных. . 281
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных 291
39.3. Оценка остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции 292
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 295
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 298
§ 40. Экстремумы функций многих переменных 299
40.1. Необходимые условия экстремума 299
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 302
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 308
§ 41. Неявные функции. Отображения 309
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением. . 309
41.2. Произведения множеств 316
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 317
41.4. Векторные отображения 328
41.5. Линейные отображения 329
41.6. Дифференцируемые отображения 335
41.7. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области 344
41.8. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых 349
41.9. Замена переменных 360
§ 42. Зависимость функций 363
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций 363
42.2. Достаточные условия зависимости функций 365
§ 43. Условный экстремум 371
43.1. Понятие условного экстремума 371
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 376
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 379
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 381
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 388
Глава 5
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы 393
44.1. Понятие объема в n -мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества 393
44.2. Множества меры нуль 414
44.3. Определение кратного интеграла 417
44.4. Существование интеграла 424
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 431
44.6. Свойства кратного интеграла 434
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному 451
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 451
45.2. Обобщение на и-мерный случай 459
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского. . 462
45.4. Объем и-мерного шара 464
45.5. Независимость меры от выбора системы координат... 465

45.6*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора 466
§ 46. Замена переменных в кратных интегралах 469
46.1. Линейные отображения измеримых множеств 469
46.2. Метрические свойства дифференцируемых
46.3. Формула замены переменных в кратном интеграле.. . 482
46.4. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения 490
46.5. Криволинейные координаты 491
§ 47. Криволинейные интегралы 494
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 494
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 498
47.3. Расширение класса допустимых преобразований
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким
47.5. Интеграл Стилтьеса 505
47.6*. Существование интеграла Стилтьеса 507
47.7. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода 514
47.9. Вычисление площадей с помощью криволинейных
47.10. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области 525
47.11. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 529
§ 48. Несобственные кратные интегралы 539
48.1. Основные определения 539
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 542
48.3. Несобственные интегралы от функций,
§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов 550
49.1. Вычисление площадей и объемов 550
49.2. Физические приложения кратных интегралов 551
§ 50. Элементы теории поверхностей 553
50.1. Векторные функции нескольких переменных 553
50.2. Элементарные поверхности 555
50.3. Эквивалентные элементарные поверхности. Параметрически заданные поверхности 557
50.4. Поверхности, заданные неявно 567
50.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 567
50.6. Явные представления поверхности 574
50.7. Первая квадратичная форма поверхности 578
50.8. Кривые на поверхности, вычисление их длин и углов между ними 580
50.9. Площадь поверхности 581
50.10. Ориентация гладкой поверхности 584
50.11. Склеивание поверхностей 588
50.12. Ориентируемые и неориентируемые поверхности 592
50.13. Другой подход к понятию ориентации поверхности... 593
50.14. Кривизна кривых, лежащих на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности 598
50.15. Свойства второй квадратичной формы поверхности... 601
50.16. Плоские сечения поверхности 602
50.17. Нормальные сечения поверхности 605
50.18. Главные кривизны. Формула Эйлера 607
50.19. Вычисление главных кривизн 611
50.20. Классификация точек поверхности 613
§ 51. Поверхностные интегралы 617
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов... 617
51.2. Формула для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла 621
51.3. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм 623
51.4. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям 626
51.5. Обобщение понятия поверхностного интеграла второго рода 626
§ 52. Скалярные и векторные поля 631
52.2. Об инвариантности понятий градиента, дивергенции
52.3. Формула Гаусса-Остроградского. Геометрическое определение дивергенции 640
52.4. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря. . 647
52.5. Соленоидальные векторные поля 653
52.6. Потенциальные векторные поля 655
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра 663
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру. . . 663
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 668
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра 668
54.2*. Признак равномерной сходимости интегралов 674
54.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих
54.4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов 682
54.5. Эйлеровы интегралы 686
54.6. Комплекснозначные функции действительного аргумента 691
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 694
54.8*. Асимптотические ряды 698
54.9*. Асимптотическое разложение неполной гамма-функции 702
54.10. Замечания о кратных интегралах, зависящих
Предметно-именной указатель 706
Указатель основных обозначений 713

Том 3. ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7

Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье 4
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 10
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 15
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 19
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера 31
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 34
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами 40
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций 43
55.9. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 45
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье 48
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье 53
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала 56
55.13. Комплексная запись рядов Фурье 57
55.14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 58
55.15. Суммирование тригонометрических рядов 59
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 61
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 61
56.2. Различные виды записи формулы Фурье 70
56.3. Главное значение интеграла 71
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье 72
56.5. Преобразование Фурье 73
56.6. Интегралы Лапласа 76
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций 77
56.8. Преобразование Фурье производных 78
56.9. Свертка и преобразование Фурье 80
56.10. Производная преобразования Фурье функции 83
Глава 8

Функциональные пространства
§ 57. Метрические пространства 85
57.1. Определения и примеры 85
57.2. Полные пространства 91
57.3. Отображения метрических пространств 97
57.4. Принцип сжимающих отображений 101
57.5. Пополнение метрических пространств 105
57.6. Компакты 110
57.7. Непрерывные отображения множеств 122
57.8. Связные множества 124
57.9. Критерий Арцела компактности систем функций 124
§ 58. Линейные нормированные и полунормированные
58.1. Линейные пространства 128
58.2. Норма и полунорма 141
58.3. Примеры нормированных и полунормированных
58.4. Свойства полунормированных пространств 150
58.5. Свойства нормированных пространств 154
58.6. Линейные операторы 162
58.7. Билинейные отображения нормированных
58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных пространств 175
58.9. Формула конечных приращений 180
58.10. Производные высших порядков 182
58.11. Формула Тейлора 184
§ 59. Линейные пространства со скалярным произведением 186
59.1. Скалярное и почти скалярное произведения 186
59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 191
59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства 193
59.4. Фактор-пространства 198
59.5. Пространство L2 202
59.6. Пространства Lp 214
§ 60. Ортонормированные базисы и разложения по ним 217
60.1. Ортонормированные системы 217
60.2. Ортогонализация 221
60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра 224
60.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств 239
60.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье 243
60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в прямую сумму 248
60.8. Функционалы гильбертовых пространств 254
60.9*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля 257
§ 61. Обобщенные функции 266
61.1. Общие соображения 266
61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства 272
61.3. Определение обобщенных функций. Пространства ВиД" 277
61.4. Дифференцирование обобщенных функций 283
61.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S" 287
61.6. Преобразование Фурье в пространстве S 290
61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 293
Дополнение
§ 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений 301
62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов 301
62.2. Решение уравнений 305
62.3. Интерполяция функций 311
62.4. Квадратурные формулы 314
62.5. Погрешность квадратурных формул 317
62.6. Приближенное вычисление производных 321
§ 63. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов 323
§ 64. Предел по фильтру 325
64.1. Топологические пространства 326
64.2. Фильтры 328
64.4. Предел отображения по фильтру 335
Предметно-именной указатель 340
Указатель основных обозначений 346

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "

В учебнике излагаются как традиционные классические методы, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Изложение материала в курсе ведется индуктивным методом: по возможности все вводимые понятия изучаются сначала в простейших ситуациях, а после обстоятельного их рассмотрения и накопления достаточного числа конкретных примеров производятся дальнейшие обобщения. Учебник содержит упражнения, примеры и задачи для самостоятельного решения. Издание состоит из трех томов. Во втором томе излагаются теория рядов, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений, элементы дифференциальной геометрии. Содержится дополнительный материал, который может быть использован для факультативных курсов.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

1. Безналичный способ:
   • Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
   • Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
     Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
   • Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Л.Д. Кудрявцев, Математический анализ (Том 2)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

Глава пятая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)

§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
39.5. Замечания о рядах Тейлорадля функций многих переменных

§ 40. Экстремумы функций многих переменных
40.1. Необходимые условия экстремума
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
40.3. Замечания об экстремумах на множествах

§ 41. Неявные функции
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
41.2. Произведения множеств
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений
41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области
41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых
41.7. Замена переменных

§ 42. Зависимость функций
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций
42.2. Достаточные условия зависимости функций

§ 43. Условный экстремум
43.1. Понятие условного экстремума
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума

Глава шестая Интегральное исчисление функций многих переменных

§ 44. Кратные интегралы
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества
44.3. Определение кратного интеграла
44.4. Существование кратного интеграла
44.5. Свойства кратного интеграла

§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
45.1. Основная теорема для двумерного случая
45.2. Обобщения на n-мерный случай

§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае
46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле
46.3. Криволинейные координаты
46.4. Замена переменных в п-кратном интеграле

§ 47. Криволинейные интегралы
47.1. Криволинейные интегралы первого рода
47.2. Криволинейные интегралы второго рода
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой
47.4. Криволинейные интегралы по кусочио-гладким кривым
47.1.
47.5. Формула Грнна
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей
47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования

§ 48. Несобственные кратные интегралы
48.1. Основные определения
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов
49.1. Вычисление площадей и объемов
49.2. Физические приложения кратных интегралов

§ 50. Элементы теории поверхностей
50.1. Общиепонятия
50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
50.3. Первая квадратичная формула поверхности
50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними
50.5. Площадь поверхности
50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности

§ 51. Поверхностные интегралы
51.1. Определенней свойства поверхностных интегралов
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм
51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочио-гладким поверхностям

§ 52. Скалярные и векторные поля
52.1. Определения
52.2. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.
52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря
52.4. Соленоидальные векторные поля
52.5. Потенциальные векторные поля

§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов
54.4. Эйлеровы интегралы
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра

Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье

§ 55. Классические ряды Фурье
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.

§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье
56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
56.4. Преобразование Фурье производных
56.5. Свертка и преобразование Фурье
56.6. Производная преобразования Фурье

§ 57. Функциональные пространства
57.1. Метрические пространства
57.2. Линейные пространства
57.3. Нормированные пространства
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства
57.5. Пространство

§ 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним
58.1. Ортонормированные системы
58.2. Ортогонализация систем
58.3. Ряды Фурье
68.1. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
68.2. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра
68.3. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля

§ 59. Обобщенные функции
59.1. Общие соображения
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D"
59.4. Дифференцирование обобщенных функций
59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S"
59.6. Преобразование Фурье в пространстве
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций Добавление

§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
60.1. Вычисление значений функций
60.2. Решение уравнений
60.3. Интерполяция функций
60.4. Квадратурные формулы
60.5. Погрешность квадратурных формул

Краткая аннотация книги

Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

В учебнике излагаются основные сведения из математического анализа. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой-ее сила, универсализм и общность.

В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин.

Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода-залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться "умнее" применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков.

Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики.

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках.

При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входнт в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому остались им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдьшает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать.

1.1. Множества. Операции над множествами
1.2.* Функции
1.3.* Конечные множества и натуральные числа. Последовательности
1.4. Логические символы

2.1. Свойства действительных чисел
2.2.* Свойства сложения и умножения
2.3.* Свойство упорядоченности
2.4.* Свойство непрерывности действительных чисел
2.5. Расширенная числовая прямая
2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности
2.7. Ограниченные и неограниченные множества
2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств
2.8. Свойства Архимеда
2.9. Принцип вложенных отрезков

3.1. Определение предела последовательности
3.2 Бесконечные пределы
3.3. Простейшие свойства предела Последовательности
3.4. Ограниченность сходящихся последовательностей
3.5. Монотонные последовательности
3.6. Теорема Больцано - Вейерштрасса
3.7. Критерий Коши сходимости последовательности
З.8. Бесконечно малые последовательности
3.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями
3.11.* Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел
3.12.* Верхний и нижний пределы последовательностей

4.1. Действительные функции
4.2. Способы задания функций
4.3. Элементарные функции и их классификация
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Обобщение понятия предела функции
4.7. Свойства пределов функций
4.8.* Замена переменной при вычислении пределов
4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.10. Пределы монотонных функций
4.11. Критерий Коши существования предела функции

5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций
5.2. Свойства функций непрерывных в точке

6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций
6.3. Обратные функции

7.1. Многочлены и дробно-рациональныг функции
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

8.1. Некоторые замечательные пределы
8.2. Сравнение функций
8.3. Эквивалентные функции
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

9.1. Определение производной
9.2. Дифференциал функции
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
9.4. Физический смысл производной и дифференциала
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их производные

10.1. Производные высших порядков
10.2. Высшие производные суммы и произведения функций
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
10.4. Дифференциалы высших порядков

11.1. Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях

12.1. Неопределенности вида 0/0
12.2. Неопределенности вида ∞/∞

13.1. Вывод формулы Тейлора
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)

14.1. Признак монотонности функции
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба
14.4. Асимптоты
14.5. Построение графиков функций

15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции

16.1. Понятие кривой
16.2.* Параметрически заданные кривые
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции
16.5. Длина дуги кривой
16.6. Плоские кривые
16.7. Физический смысл производной вектор-функции

17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой

Напечатать