Математические методы исследования операций. Математические методы в исследованиях

Всегда и во всех сферах своей деятельности человек принимал решения. Важная область принятия решений связана с производством. Чем больше объем производства, тем труднее принять решение и, следовательно, легче допусить ошибку. Возниает естественный вопрос: нельзя ли во избежание таких ошибок использовать ЭВМ?

Ответ на этот вопрос дает наука, называемая кибернетика. Кибернетика (произошло от греческого "kybernetike" - искусство управления) - наука об общих законах получения, хранения, передачи и переработки информации.

Важнейшей отраслю кибернетики является экономическая кибернетика - наука, занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к экономическим системам.

Экономическая кибернетика использует совокупность методов исследования процессов управления в экономике, включая экономико-математические методы.

В настоящее время применение ЭВМ в управлении производством достигло больших масштабов. Однако, в большинстве случаев с помощью ЭВМ решают так называемые рутинные задачи, то есть задачи, связанные с обработкой различных данных, которые до применения ЭВМ решались так же, но вручную. Другой класс задач, которые могут быть решены с помощью ЭВМ - это задачи принятия решений. Чтобы использовать ЭВМ для принятия решений, необходимо составить математическую модель. Так ли необходимо применение ЭВМ при принятии решений? Возможности человека достаточно разнообразны. Если их упорядочить, Так уж устроен человек, что того, чем он обладает, ему мало. И начинается бесконечный процесс увеличения его возможностей. Чтобы больше поднять, появляется одно из первых изобретений - рычаг, чтобы легче перемещать груз - колесо. В этих орудиях пока еще используется только энергия самого человека. Со временем начинается применение внешних источников энергии: пороха, пара, электричества, атомной энергии. Невозможно оценить, насколько используемая энергия внешних источников превышает сегодня физические возможности человека.

Что же касается умственных способностей человека, то, как говорится, каждый недоволен своим состоянием, но доволен своим умом. А можно ли сделать человека умнее, чем он есть? Чтобы ответить на этот вопрос, следует уточнить, что вся интеллектуальная деятельность человека может быть подразделена на формализуемую и неформализуемую.

Формализуемой называют такую деятельность, которую выполняют по определенным правилам. Например, выполнение расчетов, поиск в справочниках, графическаие работы, несомненно могут быть поручены ЭВМ. И как все, что может делать ЭВМ, она это делает лучше, то есть быстрее и качественнее, чем человек.

Неформализуемой называют такую деятельность, которая происходит с применением каких-либо неизвестныхы нам правил. Мышление, соображение, интуиция, здравый смысл - мы пока еще не знаем, что это такое, и естественно, все это нельзя поручить ЭВМ, хотя бы потому, что мы просто не знаем, что поручать, какую задачу поставить перед ЭВМ.

Разновидностью умственной деятельности является принятие решений.

Принято считать, что принятие решений относится к неформализуемой деятельности. Однако это не всегда так. С одной стороны, мы не знаем, как мы принимаем решение. И объяснеие одних слов с помощью других типа "принимаем решение с помощью здравого смысла" ничего не дает. С другой стороны, значительное число задач принятия решений может быть формализовано. Одним из видов задач принятия решений, которые могут быть формализованы, являются задачи принятия оптимальных решений, или задачи оптимизации. Решение задачи оптимизации производится с помощью математических моделей и применения вычислительной техники.

Современные ЭВМ отвечают самым высоким требованиям. Они способны выполнять миллионы операций в секунду, в их памяти могут быть все необходимые сведения, комбинация дисплей-клавиатура обеспечивает диалог человека и ЭВМ. Однако не следует смешивать успехи в создании ЭВМ с достижениями в области их применения. По сути, все что может ЭВМ - это по заданной человеком программе обеспечить преобразование исходных данных в результат. Надо четко себе представлять, что ЭВМ решения не принимает и принимать не может. Решение может принимать только человек-руководитель, наделенный для этого определенными правами. Но для грамотного руководителя ЭВМ является великолным помощником, способным выработать и предложить набор самых различных вариантов решений. А из этого набора человек выберет тот вариант который с его точки зрения окажется более пригодным. Конечно, далеко не все задачи принятия решений можно решить с помощью ЭВМ. Тем не менее, даже если решение задачи на ЭВМ и не заканчивается полным успехом, то все равно оказывается полезным, так как способствует более глубокому пониманию этой задачи и более строгой ее постановке.

Чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо. Подумал и решил. Человек, хорошо или плохо, решает все возникающие перед ним задачи. Правда никаких гарантий правильности при этом нет. ЭВМ же никаких решений не принимает, а только помогает найти варианты решений. Данный процесс состоит из следующих этапов:

1) Выбор задачи.

Решение задачи, особенно достаточно сложной - достаточно трудное дело, требующее много времени. И если задача выбрана неудачно, то это может привести к потере времени и разочарованию в применении ЭВМ для принятия решений. Каким же основным требованиям должна удовлетворять задача?

А. Должно существовать как минимум один вариант ее решения, ведь если вариантов решения нет, значит выбирать не из чего.

Б. Надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим, ведь если мы не знаем чего хотим, ЭВМ помочь нам выбрать наилучшее решение не сможет.

Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Необходимо четко сформулировать задачу на обычном языке, выделить цель исследования, указать ограничения, поставить основные вопросы на которые мы хотим получить ответы в результате решения задачи.

Здесь следует выделить наиболее существенные черты экономического объекта, важнейшие зависимости, которые мы хотим учесть при построении модели. Формируются некоторые гипотезы развитиця объекта исследования, изучаются выделеные зависимости и соотношения. Когда выбирается задача и производится ее содержательная постановка, приходится иметь дело со специалистами в предметной области (инженерами, технологами, конструкторами и. т. д.). Эти специалисты, как правило, прекрасно знают свой предмет, но не всегда имеют представление о том, что требуется для решения задачи на ЭВМ. Поэтому, содержательная постановка задачи зачастую оказывается перенасыщенной сведениями, которые совершенно излишни для работы на ЭВМ.

2) Составление модели

Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического объекта или процесса, при котором экономические закономерности выражены в абстрактном виде с помощью математических соотношений.

Основные принципы составления модели сводятся к следующим двум концепциям:

1. При формулировании задачи необходимо достаточно широко охватить моделируемое явление. В противном случае модель не даст глобального оптимума и не будет отражать суть дела. Опасность состоит в том, что оптимизация одной части может осуществляться за счет других и в ущерб общей организации.

2. Модель должна быть настолько проста, насколько это возможно. Модель должна быть такова, чтобы ее можно было оценить, проверить и понять, а результаты полученные из модели должны быть ясны как ее создателю, так и лицу, принимающему решение. На практике эти концепции часто вступают в конфликт, прежде всего из-за того, что в сбор и ввод данных, проверку ошибок и интерпретацию результатов включается человеческий элемент, что ограничивает размеры модели, которая может быть проанализирована удовлетворительно. Размеры модели используются как лимитирующий фактор, и если мы хотим увеличить широту охвата, то приходится уменьшать детализацию и наоборот.

Введем понятие иерархии моделей, гдте широта охвата увеличивается, а детализация уменьшается по мере того, как мы переходим на более высокие уровни иерархии. На более высоких уровнях в свою очередь формируются ограничения и цели для более низких уровней.

При построении модели горизонт планирования в основном увеличивается с ростом иерархии. Если модель долгосрочного планирования всей корпорации может содержать моло каждодневных текущих деталей то модель планирования производства отдельного подразделеия состоит в основном из таких деталей.

При формулировании задачи необходимо учитывать следующие три аспекта:

1) Исследуемые факторы: Цели исследования определены довольно свободно и в большой степени зависят от того, что включено в модель. В этом отношении Легче инженерам, так как исследуемые факторы у них обычно стандартны, а целевая функция выражается в терминах максимума дохода, минимума затрат или, возможно, минимума потребления какого-нибудь ресурса. В то же время социологи, к примеру, обычно задаются целью "общественной полезности" или в этом роде и оказываются в сложном положении, когда им приходится приписывать определенную "полезность" различным действиям, выражая ее в математической форме.

2) Физические границы: Пространственные аспекты исследования требуют детального рассмотрения. Если производство сосредоточено более чем в одной точке, то необходимо учесть в модели соответствующие распределительные процессы. Эти процессы могут включать складирование, транспортировку, а также задачи календарного планирования иещения оборудования.

3) Временные границы: Временные аспекты исследования приводят к сдерьезной дилемме. Обычно горизонт планирования хорошо известен, но надо сделать выбор: либо моделировать систему в динамике, с тем, чтобы получить временные графики, либо моделировать статическое функционирование в определенный момент времени. Если моделируется динамический (многоэтапный) процесс, то размеры модели увеличиваются соответственно числу рассматриваемых приодов времени (этапов). Такие модели обычно идейно просты, так что основная трудность заключается скорее в возможности решить задачу на ЭВМ за приемлемое время, чем в умении интерпретировать большой объем выходных данных. с Зачастую бывает достаточно построить модель системы в какой-то заданный момент времени, например в фиксированный год, месяц, день, а затем повторять расчеты через определенные промежутки времени. Вообще, наличие ресурсов в динамической модели часто оценивается приближенно и определяется факторами, выходящими за рамки модели. Поэтому необходимо тщательно проанализировать, действительно ли необходимо знать зависимость от времени изменения характеристик модели, или тот же результат можно получить, повторяя статические расчеты для ряда различных фиксированных моментов.

Математические методы наиболее широко используются при проведении системных исследований. При этом решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется по следующему алгоритму:

математическая формулировка задачи (разработки математической модели);

выбор метода проведения исследования полученной математической модели;

анализ полученного математического результата.

Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений (формул, функций, уравнений, систем уравнений), описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса или объект (процесс) в целом.

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Модель является результатом компромисса между двумя противоположными целями:

модель должна быть подробной, учитывать все реально существующие связи и участвующие в его работе факторы и параметры;

в то же время модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить приемлемые решения или результаты в приемлемые сроки при определенных ограничениях на ресурсы.

Моделирование можно назвать приближенным научным исследованием. А степень его точности зависит от исследователя, его опыта, целей, ресурсов.

Допущения, принимаемые при разработке модели, являются следствием целей моделирования и возможностей (ресурсов) исследователя. Они определяются требованиями точности результатов, и как сама модель, являются результатом компромисса. Ведь именно допущения отличают одну модель одного и того же процесса от другой.

Обычно при разработке модели отбрасываются (не принимаются во внимание) несущественные факторы. Константы в физических уравнениях считаются постоянными. Иногда усредняются некоторые величины, изменяющиеся в процессе (например, температура воздуха может считаться неизменной за какой-то промежуток времени).

1. Процесс разработки модели

Это процесс последовательной (и возможно, неоднократной) схематизации или идеализации исследуемого явления.

Адекватность модели - это ее соответствие тому реальному физическому процессу (или объекту), который она представляет.

Для разработки модели физического процесса необходимо определить:

Иногда используется подход, когда применяется модель небольшой полноты, носящая вероятностный характер. Потом с помощью ЭВМ производится ее анализ и уточнение.

Проверка модели начинается и проходит в самом процессе ее построения, когда выбираются или устанавливаются те или иные взаимосвязи между ее параметрами, оцениваются принятые допущения. Однако после сформирования модели в целом надо проанализировать ее с некоторых общих позиций.

Математическая основа модели (т. е. математическое описание физических взаимосвязей) должна быть непротиворечивой именно с точки зрения математики: функциональные зависимости должны иметь те же тенденции изменения, что и реальные процессы; уравнения должны иметь область существования не менее диапазона, в котором проводится исследование; в них не должно быть особых точек или разрывов, если их нет в реальном процессе, и т. д. Уравнения не должны искажать логику реального процесса.

Модель должна адекватно, т. е. по возможности точно, отражать действительность. Адекватность нужна не вообще, а в рассматриваемом диапазоне.

Расхождения между результатами анализа модели и реальным поведением объекта неизбежны, так как модель - это отражение, а не сам объект.

На рис. 3. представлено обобщенное представление, которое используется при построении математических моделей.

Рис. 3. Аппарат для построения математических моделей

При использовании статических методов наиболее часто используется аппарат алгебры и дифференциальные уравнения с независимыми от времени аргументами.

В динамических методах таким же образом используются дифференциальные уравнения; интегральные уравнения; уравнения в частных производных; теория автоматического управления; алгебра.

В вероятностных методах используются: теория вероятностей; теория информации; алгебра; теория случайных процессов; теория Марковских процессов; теория автоматов; дифференциальные уравнения.

Важное место при моделировании занимает вопрос о подобии модели и реального объекта. Количественные соответствия между отдельными сторонами процессов, протекающих в реальном объекте и его модели, характеризуются масштабами.

В целом подобие процессов в объектах и модели характеризуется критериями подобия. Критерий подобия - это безразмерный комплекс параметров, характеризующий данный процесс. При проведении исследований в зависимости от области исследований применяют различные критерии. Например, в гидравлике таким критерием является число Рейнольдса (характеризует текучесть жидкости), в теплотехнике - число Нусссельта (характеризует условия теплоотдачи), в механике - критерий Ньютона и т. д.

Считается, что если подобные критерии для модели и исследуемого объекта равны, то модель является правильной.

К теории подобия примыкает еще один метод теоретического исследования - метод анализа размерностей, который основан на двух положениях:

физические закономерности выражаются только произведениями степеней физических величин, которые могут быть положительными, отрицательными, целыми и дробными; размерности обоих частей равенства, выражающего физическую размерность, должны быть одинаковы.

В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.

Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.

Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.

Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.

Каковы же предпосылки появления математического анализа?

К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.

Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что , поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния (километров)., вы всегда можете утверждать, что, например, изменение в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.

План:
1. Исследование методов математической статистики в педагогическом исследовании.
1. Исследование методов математической статистики в педагогическом исследовании.
В последнее время предпринимаются серьезные шаги, направленные на внедрение в педагогику математических методов оценки и измерения педагогических явлений и установления количественных зависимостей между ними. Математические методы позволяют подойти к решению одной из сложнейших задач педагогики - количественной оценки педагогических явлений. Лишь обработка количественных данных и полученные при этом выводы могут объективно доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу.
В педагогической литературе предлагается ряд методик статистической обработки данных педагогического эксперимента (Л. Б. Ительсон, Ю. В. Павлов и др.). При использовании методов математической статистики следует иметь в виду, что сама статистика не раскрывает сущности явления и не может объяснить причины возникающих различий между отдельными сторонами явления. Например, анализ результатов проведенного исследования показывает, что используемый метод обучения дал более высокие результаты по сравнению с ранее зафиксированными. Однако данные вычисления не могут дать ответ на вопрос, почему новый метод лучше прежнего.
Наиболее распространенными из математических методов, применяемых в педагогике, являются:
1. Регистрация - метод выявления наличия определенного качества у каждого члена группы и общего подсчета количества тех, у кого данное качество имеется или отсутствует (например, количество детей, посещавших занятия без пропуска и допускавших пропуски и т. п.).
2. Ранжирование (или метод ранговой оценки) предполагает расположение собранных данных в определенной последовательности, обычно в порядке убывания или нарастания каких-либо показателей и, соответственно, определение места в этом ряду каждого из исследуемых (например, составление списка детей в зависимости от числа пропущенных занятий и т. п.).
3. Шкалирование как количественный метод исследования дает возможность ввести цифровые показатели в оценку отдельных сторон педагогических явлений. Для этой цели испытуемым задают вопросы, отвечая на которые они должны указать степень или форму оценки, выбранную из числа данных оценок, пронумерованных в определенном порядке (например, вопрос о занятии спортом с выбором ответов: а) увлекаюсь, б) занимаюсь регулярно, в) занимаюсь нерегулярно, г) не занимаюсь никаким видом спорта).
Соотнесение полученных результатов с нормой (при заданных показателях) предполагает определение отклонений от нормы и соотнесение этих отклонений с допустимыми интервалами (например, при программированном обучении нормой часто считается 85-90% правильных ответов; если правильных ответов меньше, это означает, что программа слишком трудна, если больше - значит, она слишком облегчена).
Проникновение математических методов в самые разнообразные сферы человеческой деятельности актуализирует проблему моделирования, с помощью которого устанавливается соответствие реального объекта математической модели. Любая модель есть гомоморфный образ некоторой системы в другой системе (гомоморфизм - взаимно однозначное соответствие между системами, сохраняющее основные отношения и основные операции). Математические модели по отношению к моделируемым объектам есть аналоги на уровне структур.
Специфика статистической обработки результатов психолого-педагогических исследований заключается в том, что анализируемая база данных характеризуется большим количеством показателей различных типов, их высокой вариативностью под влиянием неконтролируемых случайных факторов, сложностью корреляционных связей между переменными выборки, необходимостью учета объективных и субъективных факторов, влияющих на результаты диагностики, особенно при решении вопроса о репрезентативности выборки и оценке гипотез, касающихся генеральной совокупности. Данные исследований по их типу можно разбить на группы:
Первая группа - номинальные переменные (пол, анкетные данные и т. д.). Арифметические операции над такими величинами лишены смысла, так что результаты описательной статистики (среднее, дисперсия) к таким величинам неприменимы. Классический способ их анализа - разбиение на классы сопряженности относительно тех или иных номинальных признаков и проверка значимых различий по классам.
Вторая группа данных имеет количественную шкалу измерения, но эта шкала является порядковой (ординальной). При анализе ординальных переменных используется как разбиение на подвыборки, так и ранговые технологии. С некоторыми ограничениями применимы и параметрические методы.
Третья группа - количественные переменные, отражающие степень выраженности замеряемого показателя, - это тесты Кеттелла, успеваемость и другие оценочные тесты. При работе с переменными этой группы применимы все стандартные виды анализа, и при достаточном объеме выборки их распределение обычно близко к нормальному. Таким образом, разнообразие типов переменных требует применения широкого спектра используемых математических методов.
Процедуру анализа можно разбить на следующие этапы:
Подготовка базы данных к анализу. Этот этап включает в себя конвертацию данных в электронный формат, их проверка на наличие выбросов, выбор метода работы с пропущенными значениями.
Описательная статистика (вычисление средних, дисперсий и т.д.). Результаты описательной статистики определяют характеристики параметров анализируемой выборки либо подвыборок, задаваемых тем или иным разбиением.
Разведочный анализ. Задачей данного этапа является содержательное исследование различных групп показателей выборки, их взаимосвязей, выявление основных явных и скрытых (латентных) факторов, влияющих на данные, отслеживание изменений показателей, их взаимосвязей и значимости факторов при разбиении базы данных по группам и т. д. Инструментом исследования являются различные методы и технологии корреляционного, факторного и кластерного анализа. Целью анализа является формулировка гипотез, касающихся как данной выборки, так и генеральной совокупности.
Детальный анализ полученных результатов и статистическая проверка выдвинутых гипотез. На этом этапе проверяются гипотезы относительно видов функции распределения случайных переменных, значимости различий средних и дисперсий в подвыборках и т.д. При обобщении результатов исследования решается вопрос о репрезентативности выборки.
Необходимо отметить, что эта последовательность действий, строго говоря, не является хронологической, за исключением первого этапа. По мере получения результатов описательной статистики и выявления тех или иных закономерностей возникает необходимость проверить возникающие гипотезы и сразу перейти к их детальному анализу. Но в любом случае при проверке гипотез рекомендуется провести их анализ различными математическими средствами, адекватно соответствующими модели, и принимать гипотезу на том или ином уровне значимости следует только тогда, когда она подтверждается несколькими различными методами.
При организации любого измерения всегда предполагается соотнесение (сравнение) измеряемого с измерителем (эталоном). После процедуры соотнесения (сравнения) производится оценка результата измерения. Если в технике в качестве измерителей используют, как правило, материальные эталоны, то в социальных измерениях, в том числе при педагогических и психологических измерениях, измерители могут быть идеальными. Действительно, чтобы определить сформировано или не сформировано у ребенка конкретное умственное действие, необходимо сравнить действительное с необходимым. В этом случае, необходимое- это идеальная модель, существующая в голове педагога.
Следует заметить, что только некоторые педагогические явления могут быть замерены. Большинство же педагогических явлений не поддаются измерению, поскольку отсутствуют эталоны педагогических явлений, без которых не может быть выполнено измерение.
Что касается таких явлений, как активность, бодрость, пассивность, усталость, умения, навыки и т.д.., их измерить пока не представляется возможным, поскольку нет эталонов активности, пассивности, бодрости и т.д. Ввиду чрезвычайной сложности и, в большей части, практической невозможности измерения педагогических явлений в настоящее время применяются специальные методы приближенной количественной оценки этих явлений.
В настоящее время принято все психолого-педагогические явления подразделять на две большие категории: объективные материальные явления (явления, существующие вне и независимо от нашего сознания) и субъективные нематериальные явления (явления, свойственные данному лицу).
К объективным материальным явлениям относятся: химические и биологические процессы, движения, совершаемые человеком, издаваемые им звуки, выполняемые им действия и т.д.
К субъективным нематериальным явлениям и процессам относятся: ощущения, восприятия и представления, фантазии и мышление, чувства, влечения и желания, мотивация, знания, умения и навыки и т.д.
Все признаки объективных материальных явлений и процессов наблюдаемы и могут быть, в принципе, всегда измерены, хотя современная наука подчас не в состоянии это сделать. Любое свойство или признак может быть измерено непосредственно. Это значит, что его путем физических операций всегда можно сравнить с некоторой реальной величиной, принятой за эталон меры соответствующего свойства или признака.
Субъективные нематериальные явления нельзя измерить, поскольку для них нет и не может быть материальных эталонов. Поэтому здесь используются приближенные методы оценки явлений - различные косвенные показатели.
Суть применения косвенных показателей заключается в том, что измеряемое свойство или признак изучаемого явления связывают с определенными материальными свойствами, а величину этих материальных свойств принимают за показатель соответствующих нематериальных явлений. Например, эффективность нового метода обучения оценивают успеваемостью учащихся, качество работы ученика - количеством допущенных ошибок, трудность изучаемого материала - величиной затраченного времени, развитие психических или нравственных черт - числом соответствующих поступков или проступков и т.д.
При всем том большом интересе, который исследователи обычно проявляют к методам количественного анализа экспериментальных данных и массового материала, полученного с помощью разных методов, существенным является этап обработки - их качественный анализ. С помощью количественных методов можно с той или иной степенью надежности выявить преимущество того или иного метода или обнаружить общую тенденцию, доказать, что проверяемое научное предположение оправдалось и т.д. Однако качественный анализ должен дать ответ на вопрос, почему это произошло, что этому благоприятствовало, а что служило помехой, и насколько существенно влияние этих помех, не слишком ли специфичны были условия проведения эксперимента для того, чтобы данная методика могла быть рекомендована для использования в иных условиях и т.д. На этом этапе важен и анализ причин, побудивших отдельных опрашиваемых дать негативный ответ, и выявление причин тех или иных типовых и даже случайных ошибок в работах отдельных детей и т.д. Применение всех этих методов анализа собранных данных помогает более точно оценить результаты эксперимента, повышает надежность выводов о них и дает больше оснований для дальнейших теоретических обобщений.
Статистические методы в педагогике используются лишь для количественной характеристики явлений. Для того, чтобы сделать выводы и заключения, необходим качественный анализ. Таким образом, в педагогических исследованиях методы математической статистики следует использовать осторожно, учитывая особенности педагогических явлений.
Так, большинство числовых характеристик в математической статистике применяются в том случае, когда изучаемое свойство или явление имеет нормальное распределение, которое характеризуется симметричным расположением значений элементов совокупности относительно средней величины. К сожалению, в виду недостаточной изученности педагогических явлений, законы распределения по отношению к ним, как правило, неизвестны. Далее, для оценки результатов исследования часто берут ранговые величины, которые не являются результатами количественных измерений. Поэтому с ними нельзя производить арифметические действия, а значит и вычислять для них числовые характеристики.
Каждый статистический ряд и его графическое изображение представляют собой сгруппированный и наглядно представленный материал, который следует подвергнуть статистической обработке.
Статистические методы обработки позволяют получить ряд числовых характеристик, позволяющих сделать прогноз развития интересующего нас процесса. Эти характеристики, в частности, позволяют сравнивать разные ряды чисел, полученные при педагогических исследованиях, и делать соответствующие педагогические выводы и рекомендации.
Все вариационные ряды могут различаться друг от друга следующими признаками:
1. Размахом, т.е. верхней и нижней его границами, которые обычно называют лимитами.
2. Значением признака, вокруг которого концентрируется большинство вариант. Это значение признака отражает центральную тенденцию ряда, т.е. типичное для ряда.
3. Вариации вокруг центральной тенденции ряда.
В соответствии с этим, все статистические показатели вариационного ряда подразделяются на две группы:
-показатели, которые характеризуют центральную тенденцию или уровень ряда;
-показатели, характеризующие уровень вариации вокруг центральной тенденции.
К первой группе относятся различные характеристики средней величины: медиана, средняя арифметическая, средняя геометрическая и т.д. Ко второй - вариационный размах (лимиты), среднее абсолютное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсия, коэффициенты асимметрии и вариации. Существуют и другие показатели, но мы их рассматривать не будем, т.к. они не применяются в педагогической статистике.
В настоящее время понятие «модель» используется в различных смыслах, наиболее простой из них - обозначение образца, эталона. В этом случае модель вещи не несет никакой новой информации и не служит целям научного познания. В таком значении термин «модель» в науке не применяется. В широком смысле под моделью понимают мысленно или практически созданную структуру, воспроизводящую часть действительности в упрощенной и наглядной форме. В более узком смысле термин «модель» применяется для изображения некоторой области явлений с помощью другой, более изученной, легко понимаемой. В педагогических науках данное понятие используется в широком смысле как конкретный образ изучаемого объекта, в котором отображаются реальные или предполагаемые свойства, строение и т.д. В учебных предметах широко используется моделирование как аналогия, которая может существовать между системами на следующих уровнях: результатов, которые дают сравниваемые системы; функций, обусловливающих эти результаты; структур, обеспечивающих выполнение данных функций; элементов, из которых состоят структуры.
В. М. Тарабаев указывает, что в на­стоящее время применяется методика так называемого многофакторного эксперимента. При многофакторном эксперименте исследователи подходят к задаче эмпи­рически - варьируют с большим количеством факто­ров, от которых, как они считают, зависит ход про­цесса. Это варьирование различными факторами проводится с помощью современных методов математической статистики.
Многофакторный эксперимент строится на основе статистического анализа и с применением системного подхода к предмету исследования. Предполагается наличие в системе входа и выхода, которые можно контролировать, предполагается так­же возможность управления этой системой с целью достижения определенного результата на выходе. При многофакторном эксперимен­те изучается вся система без внутренней картины ее сложного механизма. Этот тип эксперимента для педагогики открывает большие возможности.
Литература:
1. Загвязинский, В. И. Методология и методы психолого-педагогического исследования: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Загвязинский В. И., Атаханов Р. – М.: Академия, 2005.
2. Гадельшина, Т. Г. Методология и методы психологического исследования: учеб. метод. пособие / Гадельшина Т. Г. – Томск, 2002.
3. Корнилова, Т. В. Экспериментальная психология: теория и методы: учебник для вузов / Корнилова Т. В. – М.: Аспект Пресс, 2003.
4. Кузин, Ф. А. Кандидатская диссертация: методика написания, правила оформления и порядок защиты / Кузин Ф. А. – М., 2000.

Метод проектов, обладающий огромными возможностями по формированию уневерсальных учебных действий, находит все более широкое распространение в системе школьного образования.Но "уместить" метод проектов в класснно-урочную систему достаточно трудно. Я включаю мини исследования в обычный урок. Такая форма работы открывает большие возможности для формирования познавательной деятельности и обеспечивает учет индивидуальных особенностей учащихся, готовит почву для развития навыков над большими проектами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений». Л.Н.Толстой.

Характерной чертой современного образования является резкое увеличение объема информации, которую необходимо усвоить учащимся. A степень развития обучающегося измеряется и оценивается его способностью самостоятельно приобретать новые знания и использовать их в учебной и практической деятельности. Современный педагогический процесс требует использования инновационных технологий в обучении.

ФГОС нового поколения требует использования в образовательном процессе технологий деятельностного типа, методы проектно-исследовательской деятельности определены как одно из условий реализации основной образовательной программы.

Особая роль отводится такой деятельности на уроках математики и это не случайно. Математика является ключом к познанию мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Она призвана воспитать в человеке способность понять смысл поставленной перед ним задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления.

Уместить метод проектов в классно-урочную систему достаточно трудно. Я пытаюсь разумно совмещать традиционную и личностно-ориентированную систему путем включения элементов исследования в обычный урок. Приведу ряд примеров.

Так при изучении темы «Окружность» мы проводим с учащимися следующее исследование.

Математическое исследование «Окружность».

1. Подумайте, как построить окружность, какие инструменты для этого необходимы. Обозначение окружности.
2. Для того чтобы дать определение окружности посмотрим, какими свойствами обладает эта геометрическая фигура. Соединим центр окружности с точкой принадлежащей окружности. Измерим длину этого отрезка. Повторим эксперимент три раза. Сделаем вывод.
3. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности. Это определение радиуса. Обозначение радиуса. Пользуясь этим определением, постройте окружность с радиусом равным 2см5мм.
4. Постройте окружность произвольного радиуса. Постройте радиус, измерьте его. Запишите результаты измерений. Постройте еще три различных радиуса. Сколько радиусов можно провести в окружности.
5. Попытаемся, зная свойство точек окружности, дать ее определение.
6. Постройте окружность произвольного радиуса. Соедините две точки окружности так, чтобы этот отрезок проходил через центр окружности. Этот отрезок называется диаметром. Дадим определение диаметра. Обозначение диаметра. Постройте еще три диаметра. Сколько диаметров имеет окружность.
7. Постройте окружность произвольного радиуса. Измерьте диаметр и радиус. Сравните их. Повторите эксперимент еще три раза с различными окружностями. Сделайте вывод.
8. Соедините две любые точки окружности. Полученный отрезок называется хордой. Дадим определение хорды. Постройте еще три хорды. Сколько хорд имеет окружность.
9. Является ли радиус хордой. Докажите.
10. Является ли диаметр хордой. Докажите.

Работы исследовательского характера могут носить пропедевтический характер. Исследовав окружность можно рассмотреть ряд интересных свойств, которые учащиеся могут сформулировать на уровне гипотезы, а потом уже доказать эту гипотезу. Например, следующее исследование:

«Математическое исследование»

1. Построй окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол образованный хордами. Проведи те же построения еще для двух окружностей. Что ты замечаешь.
2. Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной с помощью проведенных построений и измерений.

При изучении темы «Взаимное расположение прямых на плоскости» проводится математическое исследование в группах.

Задания для групп:

1. группа.

1.В одной системе координат построить графики функции

У = 2х, у = 2х+7, у = 2х+3, у = 2х-4, у = 2х-6.

2.Ответьте на вопросы, заполнив таблицу: