Рациональные числа, определение, примеры. Умножение и деление рациональных чисел

Искомое число найдено: a 0 = k − 1 {\displaystyle a_{0}=k-1} .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности I 0 , I 1 , I 2 , … {\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\ldots } :

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число E > 0 {\displaystyle E>0} , последовательность натуральных чисел 1 , 2 , … {\displaystyle 1,2,\ldots } превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого n {\displaystyle n} имеет место неравенство

то последовательность 10 n {\displaystyle 10^{n}} также превзойдёт E {\displaystyle E} , начиная с того же номера. В соответствии с определением числовой последовательности, это означает, что lim n → ∞ 10 n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty } .

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа α {\displaystyle \alpha } построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число α {\displaystyle \alpha } может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Рассмотрим например, десятичную дробь

Согласно определению, эта дробь является представлением числа 0 + 9 / 10 + 9 / 100 + … = 1 {\displaystyle 0+9/10+9/100+\ldots =1} . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби 1 , 00 … {\displaystyle 1{,}00\ldots } .

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

где a n ≠ 9 {\displaystyle a_{n}\neq 9} , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей и .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число α {\displaystyle \alpha } , не представимое в виде p / 10 s {\displaystyle p/10^{s}} , где p {\displaystyle p} — целое, s {\displaystyle s} — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида α = p / 10 s {\displaystyle \alpha =p/10^{s}} может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на . Число α = 0 {\displaystyle \alpha =0} может быть представлено дробями вида + 0 , 00 … {\displaystyle +0{,}00\ldots } , а также дробями вида − 0 , 00 … {\displaystyle -0{,}00\ldots } .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на 999 … {\displaystyle 999\ldots } , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого .

Лишние нули и погрешность

Следует отметить, что, с точки зрения , запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то десятичной дроби равна плюс-минус половине [ ] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005.

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической , если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

Такую дробь принято кратко записывать в виде

Повторяющаяся группа цифр b 1 … b l {\displaystyle b_{1}\ldots b_{l}} называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической . Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической , а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь 1 , (23) = 1,232 3 … {\displaystyle 1{,}(23)=1{,}2323\ldots } является чистой периодической, а дробь 0 , 1 (23) = 0,123 23 … {\displaystyle 0{,}1(23)=0{,}12323\ldots } — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют . Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби p / q {\displaystyle p/q} знаменатель q {\displaystyle q} не имеет

Понятия числа являются первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

и рациональные числа

Где .

Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел – иррациональных. Произвольные числа – рациональные или иррациональные - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через . Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей

. (1)

Здесь - целое неотрицательное число, при - десятичные цифры. Таким образом, может принимать только одно из значений . Знак часто в этих записях опускают.

Чтобы представить не равное нулю рациональное число в виде десятичной дроби, производим процесс деления на по известному способу, которому нас учили в школе:

(2)

Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби , то получим тот же результат.

Полагаем

(3)

и правую часть (3) называем десятичным разложением числа .

Если знаменатель дроби имеет вид , где , - целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь

. (4)

Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:

Но пользуются также и другой записью:

хотя она не возникает из процесса (2).

Итак, имеют место равенства

Дроби и могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры имеет период 0, а вторая после цифры имеет период 9.

Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид . Тогда процесс (2) бесконечный – на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше , и потому (после того, как цифры числа снесены) уже среди первых остатков, по крайней мере, два, равные между собой. Но, как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся – периодическим. Поэтому, десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид

(6)

Разложения (5) и (5´) можно рассматривать как частные случаи (6).

(7)

Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) – в бесконечную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле

Здесь мы позволили себе через и обозначить целое число, записанное соответственно цифрами и .

Например,

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например ; .

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу соответствует определенная цифра , стоящая на -м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению , которое, как оказывается, не является смешенной периодической десятичной дробью.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

(8)

где - целое неотрицательное число, а - цифры, знак же равенства «=» выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа .

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональное число.

Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5´), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

Число , где не все равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать или ; при этом, как обычно, будем опускать.

Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести понятие и проверить, что эти операции и понятие согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели :

• Познакомить с определением рациональных чисел и с логической схемой развития понятия числа.
• Усвоить понятия:
• конечная десятичная дробь;
• бесконечная десятичная дробь;
• периодическая бесконечная десятичная дробь.
• Научить определять по виду обыкновенной дроби, какой десятичной дробью (конечной или бесконечной) она является.

Задачи:

• Развивать умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму.
• Развивать умения анализировать полученные результаты, делать выводы и ставить новые вопросы.
• Развивать умение использовать сформулированные правила при решении задач.
• Развивать умения составлять и читать схемы.

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

Первая часть урока.

Цель первой части урока (теоретическая): выяснить и усвоить, какие числа называются и являются рациональными и есть ли числа, какие таковыми не являются.

1. В начале урока коротко повторить определения натуральных, дробных, целых чисел.

2. Объявляется тема урока: Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. (Слайд 2). Формулируется цель первой части урока.

4. Естественно возникает вопрос, какие же из известных нам чисел являются рациональными ? В ходе беседы на экране составляется логическая схема развития понятия числа (Рисунок 1 и Слайд 5). Приводим примеры и доказываем, что каждое из известных нам чисел является рациональным.

Рис. 1

5. Подробнее останавливаемся на десятичных дробях. Вспоминаем правило перевода десятичной дроби в обыкновенную (Слайд 6) и выполняем устно упражнение по переводу десятичной дроби в обыкновенную (Слайды 7–12).

(Устно) Переведите десятичную дробь в обыкновенную: 0,7; 0,75; 0,2; 0,16; 0,125; 0,375.

Дробь высвечивается на экране, дети поднимают карточку с верным ответом. Комплект карточек подготовлен заранее (Приложение 1) и лежит на столе у каждой группы; на карточках следующие числа 7/10, 75/100, 15/20, 3/4, 2/10, 1/5, 8/50, 4/25, 25/200, 1/8, 3/8, 5/8. Ответы комментируем, при необходимости выполняем пошаговую проверку (Слайды 7–12).

6. Приходим к выводу , что если десятичная дробь «получена» из обыкновенной, то эта десятичная дробь является рациональным числом.

Формулируется проблема: какими могут быть десятичные дроби и все ли десятичные дроби являются рациональными числами.

7. Для решения поставленных вопросов группы выполняют задание № 1 (Слайды 13–14) , (Приложение 2).

Задание № 1.1 (для группы 1)

Представьте обыкновенные дроби 1/4, 1/3, 1/6 в виде десятичных дробей.

Задание № 1.2 (для группы 2)

Представьте обыкновенные дроби 2/5, 4/11, 7/15 в виде десятичных дробей.

Проанализируйте полученные результаты.

Задание № 1.3 (для группы 3)

Представьте обыкновенные дроби 3/25, 1/37, 9/44 в виде десятичных дробей.

Проанализируйте полученные результаты.

Проанализировав результаты (Слайд 15) , а при необходимости, проверив вычисления (Слайды 16–18) , приходим к выводу, что десятичные дроби бывают а) конечные; б) бесконечные. А бесконечные обладают некоторым свойством: начиная с какого-то десятичного знака, один или несколько десятичных знаков повторяются. За это свойство такие бесконечные десятичные дроби назвали периодическими.

По ходу беседы на доске составляется схема. Таблички с надписями заготовлены заранее (Приложение 3) и крепятся магнитами к доске, а стрелочки можно нарисовать мелом.

Рис. 2

Дети делают вывод , что конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби являются рациональными числами. Однако, учитель комментирует, что на данном этапе знаний этот вывод только предположение и, что требуется еще доказать, что любая периодическая десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной, а значит, является рациональным числом, и мы докажем это позже, в 9 классе. А пока будем пользоваться этим положением как фактом.

8. Далее детям предлагается проанализировать составленную схему и подумать, могут ли быть еще какими-нибудь десятичные дроби (или можно предложить придумать такую десятичную дробь, которая не будет являться ни конечной, ни бесконечной периодической). Приходим к выводу, что существуют еще бесконечные непериодические дроби. Приводим примеры таких дробей (0,01001000100001…; 0,12123123412345123456… и т.п.), и говорим о том, что они не будут являться рациональными числами (и опять-таки это наше предположение, которое мы сможем доказать, но только позднее, а пока будем пользоваться только как фактом).

Рис. 3

Вторая часть урока.

Цель второй части урока (практическая): выяснить, как, по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.

9. Формулируем проблему: как по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.

Для решения этой проблемы выполним задания. Каждое из заданий № 2-4 выполняется по группам. После выполнения каждого задания обсуждаются результаты. Каждая группа формулирует свои выводы.

10. Задание №2 (Слайд 20, Приложение 2)

1/20, 1/25, 4/50, 3/125, 5/8, 17/100.

• Разложите знаменатели данных дробей на множители.

Анализируем результаты (Слайд 20) (Слайд 21)

11. Задание №3 (Слайд 22, Приложение 2)

Переведите обыкновенные дроби в десятичные и ответьте на вопросы.

1/30, 3/110, 7/9, 8/55, 5/111, 7/82.

• Разложите знаменатели данных дробей на множители
• Каким общим свойством обладают знаменатели данных дробей?

Анализируем результаты (Слайд 23) , при необходимости проверив вычисления (Слайды 24–27) . Каждая группа сообщает о своих наблюдениях и делает предположительные выводы.

12. Задание №4 (Слайд 28 , Приложение 2)

Проанализируйте результаты предыдущих трех заданий и ответьте на вопросы:

• Какие десятичные дроби «получаются» из обыкновенных дробей?
• При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби?
• При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби?

Обсудив выступление представителя каждой группы по результатам задания № 4, переходим к выводам.

13. Выводы (Схема 2, Слайды 29–31 ):

1. Десятичные дроби бывают конечные и бесконечные.
2. Конечную десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной дроби и одна является рациональным числом.
3. Бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби – это рациональное число.
4. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби конечной или бесконечной периодической.
5. Конечная десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби нет других простых множителей кроме 2 и 5 (Слайд 30).
6. Бесконечная периодическая десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби присутствует любой другой простой множитель, кроме 2 и 5 (Слайд 31).

14. Применение правила (Слайды 32–33) :

Задание №5

1. Какие из обыкновенных дробей 1/2, 1/3, 7/15, 6/25, 5/16 можно представить в виде конечной десятичной дроби?
2. В каких дробях (обыкновенных или десятичных) «удобнее» выполнить вычисления: а) 3/8 + 0, 567; б) 2,378 – 3/14 ?
3. В каких дробях (обыкновенных или десятичных) вы запишите решение уравнения:
   1. 3х = 8;
   2. 5у = 12;
   3. 16а = –7?

Проверяем задание и подводим итоги:

15. Подведение итогов и постановка новых вопросов. (Рисунок 4, Слайды 34–35 ). Теперь мы знаем, что положительные и отрицательные обыкновенные дроби могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей. Значит, последние являются рациональными числами. А бесконечные непериодические десятичные дроби таковыми не являются. По всей видимости, они входят в область каких-то других, не известных вам пока, чисел (по секрету скажу, что они называются иррациональными). Эти иррациональные числа вместе с рациональными тоже составляют свою область чисел, объединенных своими свойствами (действительные числа). А если, к области действительных чисел «добавить» еще какие-то числа, то,… Но это предмет будущих ваших исследований.

Рис. 4

16. Заключение урока (Слайд 36)

Урок заканчиваем цитатой Л.Н. Толстого: «Знание только тогда знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью». В этом ключе даем оценку работы каждой группы.

Домашнее задание:

1. Прочитать пункт 37 учебника. Какие вопросы, изложенные в тексте, мы не обсудили на уроке?
2. Придумать пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» конечные десятичные дроби и пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» бесконечные десятичные дроби (Приложение 4) и перевести эти дроби в десятичные.

Литература:

1. Шварцбурд С.И., Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. Математика 6, Мнемозина, 2006.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: Учебник для классов с углубленным изучением математики, Мнемозина, 2004.

В этой главе мы даем обзор основных свойств (аксиом) действительных чисел. Это уместно, потому что среди этих свойств имеются такие, с которыми мы не имели дела в арифметике и школьном курсе алгебры, где рассматриваются операции над постоянными числами. Между тем эти свойства обнаруживаются при рассмотрении переменных чисел, или, как говорят по традиции, переменных величин.

При изучении функций приходится привлекать свойства чисел во всей их полноте, помимо тех свойств, с которыми мы хорошо знакомы из школьной математики.

Рациональные числа будем записывать в виде где целые, .

В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональными числами. Однако числа нужны еще для целей измерения геометрических и физических величин (длин отрезков, площадей, объемов, температур и т.д.). Мы здесь имеем в виду не практическое приближенное измерение этих величин, а точное (теоретическое) выражение их числами. Для этих целей рациональных чисел уже недостаточно. Рассмотрим, например, отрезок, представляющий собой гипотенузу прямоугольного треугольника с равными катетами длины единица. Если допустить, что длина этого отрезка выражается положительной рациональной дробью которую будем считать несократимой, то площадь построенного на нем квадрата равна а площадь каждого из квадратов, построенных на катетах, равна 1. Тогда в силу теоремы Пифагора получим равенство Правая его часть есть целое число, делящееся на 2, но тогда левая должна быть четной, а вместе с ней и Отсюда следует, что левая часть делится на 4, но тогда делится на 2, откуда также делится на 2. Итак, имеют общий множитель 2, что противоречит предположению, что дробь взята несократимой. Таким образом, имеются отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами. Их называют несоизмеримыми с единицей. Чтобы

выразить их длины, появилась необходимость в новых числах, называемых иррациональными. Так возникло число выражающее длину гипотенузы рассмотренного треугольника.

Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных десятичных дробей.

Зададим произвольное положительное рациональное число Превратим его по известным правилам арифметики в десятичную дробь. В результате получим

где целое неотрицательное число, а цифры. Будем писать

и называть десятичную дробь в правой части (3) десятичным разложением числа

Легко показать, что десятичное разложение положительного рационального числа не зависит от способа задания последнего, иначе говоря, при замене в соответственно где получается в точности то же десятичное разложение Будем считать, что дробь несократимая.

Хорошо известно, что если знаменатель дроби имеет вид где - неотрицательные целые числа, то ее десятичное разложение есть конечная десятичная дробь:

которая, в частности, может оказаться натуральным числом Если формально приписать справа к этой десятичной дроби бесконечно много нулей, то она превращается в бесконечную десятичную дробь:

Мы называем ее периодической десятичной дробью с периодом 0, потому что в ней цифра периодически повторяется.

Пользуются также и другим представлением конечной десятичной дроби (4) в виде периодической десятичной дроби с периодом 9:

хотя оно и не возникает в процессе (2).

Пусть теперь знаменатель положительной дроби не имеет вид Тогда процесс (2) бесконечный - на любом его шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше и потому после того, как цифры числа снесены, среди первых остатков окажется по крайней мере два равных между собой. Но как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся - периодическим. Поэтому десятичное разложение произвольного положительного рационального числа имеет вид

Разложения (5) или (6) можно рассматривать как частные случаи (7). Разложение вида (7) называется положительной десятичной периодической дробью с периодом, представляющим собой группу цифр

Ниже приводятся частные примеры положительных бесконечных десятичных периодических дробей:

В первом примере периодом является цифра во втором - группа цифр 142857, в четвертом - группа цифр

У положительной десятичной дроби хотя бы одно из чисел не равно нулю.

Итак, каждому положительному рациональному числу при помощи процесса (2) ставится в соответствие положительная десятичная периодическая дробь с периодом, отличным от 9.

При других вычислениях могут получаться десятичные дроби с периодом 9, но при желании их затем можно записать через соответствующие им конечные десятичные дроби, или, что все равно, десятичные дроби с периодом 0.

Верно и обратное утверждение: каждая положительная десятичная периодическая дробь, если она не имеет периода 9, может быть получена при помощи процесса (2) из некоторой обыкновенной положительной дроби (единственной).

Например, если дробь подвергнуть процессу (2), то получим десятичную периодическую дробь Обратно, эта последняя превращается в исходную дробь:

Отрицательному рациональному числу приводят в соответствие бесконечное десятичное разложение положительного числа взятое со знаком

Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между не равными нулю рациональными числами и бесконечными десятичными не равными нулю периодическими дробями. Каждому не равному нулю рациональному числу соответствует при помощи указанного выше процесса одно и только одно его десятичное бесконечное периодическое разложение, не имеющее периода 9. Обратно, любое такое разложение соответствует при помощи указанного процесса некоторому не равному нулю рациональному числу (единственному).

Числу нуль (оно тоже рациональное) естественно привести в соответствие разложение

Кроме периодических десятичных дробей существуют непериодические, например

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь Она определена в том смысле, что любому натуральному числу к соответствует определенная цифра разряда числа однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению которое, как оказывается, не является периодическим.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

где целое неотрицательное число, а цифры, знак же равенства выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа а.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рационально, то его десятичное разложение есть бесконечная десятичная периодическая дробь. В противном случае согласно нашему определению выражение (8) само определяет иррациональное число. Первые три группы содержат известные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решениях неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства: существования предела у неубывающей ограниченной последовательности. В сущности, для дальнейшего нам будет важно только знать, что действительные числа (десятичные дроби) суть объекты, для которых определены понятие и проверить, что они удовлетворяют аксиомам Такими символами как раз и могут служить бесконечные десятичные дроби.