Главная » Дизайн квартир » Решение уравнений 5 степени в целых числах. Старт в науке

Решение уравнений 5 степени в целых числах. Старт в науке

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
Использование Малой и Великой теорем Ферма;
Метод бесконечного спуска;
Выражение одной неизвестной через другую;
Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n ! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Задача 1. n 2 - 4y ! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y ! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. 8z 2 = (t !) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t ! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t ! = 2s . В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n (n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n (n + 1), которое чётно при всех целых значениях k . Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x . Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n , не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x !) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x !) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x !, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy .

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x 1 2 . Уравнение преобразуется к виду x 1 2 + y 2 = 8x 1 y . Отсюда вытекает, что числа x 1 , y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай . Пусть x 1 , y – нечётные числа. Тогда x 1 = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай . Пусть x 1 , y – чётные числа. Тогда x 1 = 2x 2 + 1, y = 2y 1 . Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x , y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x )y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x . Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y : y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Номер задания	Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.

Выводы

В ходе выполнения данной работы:

1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;

4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;

5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;

6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.

2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.

4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.

Глоссарий

Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.

Точный (полный) квадрат - квадрат целого числа.

Факториал натурального числа n - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Объект исследования.

Исследования касаются одного из наиболее интересных разделов теории чисел - решения уравнений в целых числах.

Предмет исследования.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлена в школьном курсе математики. В своей работе я представлю достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификацию данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Цель.

Познакомиться со способами решения уравнений в целых числах.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

Описать способы решения;

Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза:

Столкнувшись с уравнениями в целых числах в олимпиадных заданиях, я предположила, что трудности в их решении обусловлены тем, что далеко не все способы их решения мне известны.

Актуальность:

Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, я заметила, что часто встречаются задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Кроме того олимпиадные задания различных уровней также содержат уравнения в целых числах или задачи, которые решаются с применением умений решать уравнения в целых числах. Важность знания способов решения уравнений в целых числах и определяет актуальность моих исследований.

Методы исследования

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Результаты исследования

В работе описаны способы решений уравнений, рассмотрен теоретический материал теоремы Ферма, теорема Пифагора, алгоритма Евклида, представлены примеры решений задач и уравнений различных уровней сложности.

2.История уравнений в целых числах

Диофант - ученый - алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Он специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Для решения уравнений в целых числах применяется теорема Ферма. История доказательства которой достаточно интересная. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение при целом n ≥ 3 не имеет решений в целых положительных числах x, y, z (xyz = 0 исключается положительностью x, y, z.Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5,Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «AnnalsofMathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра.).Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. 15 марта 2016 года Эндрю Уайлз получает премию Абеля. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

3.Линейные уравнения в целых числах

Линейные уравнения - самые простые из всех диофантовых уравнений.

Уравнение вида ах=b, где a и b - некоторые числа, а х- неизвестная переменная, называется линейным уравнением с одной неизвестной. Здесь требуется найти только целые решения уравнения. Можно заметить, что если а ≠ 0, то целочисленное решение уравнение будет иметь только в том случае, когда b нацело делится на а и это решение х= b/ф. Если же а=0, то целочисленное решение уравнение будет иметь тогда, когда b=0 и в этом случае х любое число.

т.к. 12 нацело делится на 4, то

Т.к. а=о и b=0, то х любое число

Т.к. 7 нацело не делится на 10, то решений нет.

4. Способ перебора вариантов .

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора. Этот способ можно применить решая данные задачи:

№1 Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602

Выражаем из уравнения х =,

Т.к. x и y натуральные числа, то х = ≥ 1, умножаем все уравнение на 49, чтобы избавиться от знаменателя:

Переносим 602 в левую сторону:

51y ≤ 553, выражаем y, y= 10

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x=5, y=7.

Ответ:(5,7).-

№2 Решить задачу

Из цифр 2, 4, 7 следует составить трёхзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - их 8.

Аналогично находим все трехзначные цифры начинающиеся с цифр 4 и 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - их тоже по 8 чисел. Следует всего 24 числа.

Ответ: 24 числа.

5. Цепная дробь и алгоритм Евклида

Цепной дробью называется выражение обыкновенной дроби в виде

где q 1 - целое число, а q 2 , … ,qn - натуральные числа. Такое выражение называется цепной (конечной непрерывной) дробью. Различают конечные и бесконечные цепные дроби.

Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность a i — это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.

Решая уравнения цепной дробью, я составила общий алгоритм действий для данного способа решения уравнений в целых числах.

Алгоритм

1) Составить отношение коэффициентов при неизвестных в виде дроби

2) Преобразовать выражение в неправильную дробь

3) Выделить целую часть неправильной дроби

4) Правильную дробь заменить равной ей дробью

5) Проделать 3,4 с полученной в знаменателе неправильной дробью

6) Повторять 5 до конечного результата

7) У полученного выражения отбросить последнее звено цепной дроби, превратить получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычесть ее из исходной дробь.

Пример №1 Решить в целых числах уравнение 127x- 52y+ 1 = 0

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби; = 2 +

Правильную дробь заменим равной ей дробью.

Откуда = 2+

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид: .Повторяя те же рассуждения для дроби получим Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби:

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его.

Откуда 127∙9-52∙22+1=0. Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x- 52y+1 = 0 следует, что тогда x= 9, y= 22 - решение исходного уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях x= 9+ 52t, y= 22+ 127t, где t=(0; ±1; ±2…..).Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения ax+by+c=0 надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепную дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были приведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь. Обозначим через q 1 частное и через r 2 остаток от деления a на b. Тогда получим:

Тогда b=q 2 r 2 +r 3 ,

Точно так же

r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;

r 3 =q 4 r 4 +r 5 ,;

………………………………..

Величины q 1 , q 2 ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида . Остатки от деления r 2 , r 3 ,…удовлетворяют неравенствам

т.е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Пример№2 Решить уравнение170х+190у=3000 в целых числах

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

Х 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

6. Метод разложения на множители

Метод перебора вариантов неудобный способ, так как бывают случаи когда найти перебором всецелые решения, невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он как и в элементарной математике так и в высшей.

Суть состоит в тождественном преобразовании. Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути. Рассмотрим примеры применения данного метода.

№1 Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Выписываем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Замечаем, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4;3).

Ответ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х 2 -у 2 = 69

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что х-у > 0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Выразив одну переменную и подставив ее в второе уравнение находим корни уравнений.Первая система имеет решение x=35;y=34 , а вторая система имеет решение x=13, y=10.

Ответ: (35; 34), (13; 10).

№3 Решить уравнение х+у =ху в целых числах:

Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.Ответ: (2; 2), (0; 0).

№4 Доказать, что уравнение (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

7. Метод остатков

Основная задача метода - находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

№1 Доказать, что уравнение x 2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда x, y ∈ N. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.

Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x) 2 = (x) 2 .

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.

№2 Решите в целых числах 3 х = 1 + y 2 .

Не сложно заметить, что (0; 0) — решение данного уравнения. Остаётся доказать, что других целых корней уравнение не имеет.

Рассмотрим случаи:

1) Если x∈N, y∈N, то З делится на три без остатка, а 1 + y 2 при делении на 3 дает

остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство при натуральных

значениях х, у невозможно.

2) Если х— целое отрицательное число,y∈Z , тогда 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

равенство также невозможно. Следовательно, (0; 0) — единственное

Ответ: (0; 0).

№3 Решить уравнение 2х 2 -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

2х 2 +9х-2=2ху-у, откуда

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Очевидно, разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1 и 3.

Осталось перебрать эти четыре случая, в результате чего получаем решения: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8.Пример решения уравнений с двумя переменными в целых числах как квадратных относительно одной из переменных

№1 Решить в целых числах уравнение 5х 2 +5у 2 + 8ху+2у-2х +2=0

Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Запишем уравнение в виде квадратного относительно переменной х:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Находим его корни.

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант

этого уравнения равен нулю, т.е. - 9(у+1) 2 =0, отсюда у= - 1.

Если у= -1,то х= 1.

Ответ: (1; — 1).

9.Пример решения задач с помощью уравнений в целых числах.

№ 1. Решить в натуральных числах уравнение : где n>m

Выразим переменную n через переменную m:

Найдем делители числа 625: это 1; 5; 25; 125; 625

1) если m-25 =1, то m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, то m=30, n=150

3) m-25 =25, то m=50, n=50

4) m-25 =125, то m=150, n=30

5) m-25 =625, то m=650, n=26

Ответ: m=150, n=30

№ 2. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m

Решение: mn +25 = 4m

1) выразим переменную 4m через n:

2) найдем натуральные делители числа 25: это 1; 5; 25

если 4-n =1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5; 4-n =25, то n=-21, m=1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

Помимо заданий решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1) Если n Z; n делится на 2, то n = 2k, k ∈ Z.

2) Если n ∈ Z; n не делится на 2, то n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Если n ∈ Z; n делится на 3, то n = 3k, k ∈ Z.

4) Если n ∈ Z; n не делится на 3, то n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Если n ∈ Z; n не делится на 4, то n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Если n ∈ Z; n(n+1) делится на 2, то n (n+1)(n+2) делится на 2;3;6.

7) n; n+1 - взаимно простые.

№3 Доказать, что уравнение x 2 - 3у = 17 не имеет целых решений.

Доказательство:

Пусть x; y - решения уравнения

x 2 = 3(у+6)-1 Т.к. y ∈ Z то y+6 ∈ Z , значит 3(y+6) делится на 3, следовательно, 3(y+6)-1 не делится на 3, следовательно, x 2 не делится на 3, следовательно, x не делится на 3, значит x = 3k±1, k ∈ Z.

Подставим это в исходное уравнение.

Получили противоречие. Значит у уравнения нет целых решений, что и требовалось доказать.

10.Формула Пика

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Формула связанна с уравнениями в целых числах тем, что из многоугольников берут только целые узлы, как и целые числа в уравнениях.

При помощи этой формулы можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В этой формуле будем находить целые точки внутри многоугольника и на его границе.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Пример№1

М - количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N - количество узлов внутри треугольника.

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример №2

Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

12.Метод спуска

Один из методов решений уравнений в целых числах - метод спуска - опирается на теорему Ферма.

Методом спуска называется метод, который заключается в построении одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающим положительным z.

Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

1) Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное:

2) Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.

3) Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 -3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4) Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: Выделяя целую часть, получим:

5) Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 - 2z.

6) Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7) Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

8) Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

12.Заключение

В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что трудности при решении уравнений в целых числах обусловлены тем, что далеко не все способы их решения были мне известны. В ходе исследований мне удалось отыскать и описать малоизвестные способы решения уравнений в целых числах, проиллюстрировать их примерами. Результаты моих исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.

13.Библиография

Книжные ресурсы:

1. Н. Я. Виленкин и др., Алгебра и математический анализ/10класс, 11 класс// М., «Просвещение», 1998 год;

2. А. Ф. Иванов и др., Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к экзамену// Воронеж, ГОУВПО ВГТУ, 2007 год

3. А. О. Гельфонд, Математика, теория чисел// Решение уравнений в целых числах// Книжный дом «ЛИБРОКОМ»

Ресурсы сети интернет:

4. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике http://fipi.ru/

5. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://reshuege.ru

6. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://mat-ege.ru

7.История Диофантовых уравнений http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. История Диофанта http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.История Диофантовых уравненийhttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. История Диофанта http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Задача 62:

Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах. Решение:

Найдем сначала какое-нибудь конкретное решение (эта идея, кстати, часто помогает и при решении других задач). Так как 3 2 + 5 (- 1) = 1, то 3 14 + 5 (- 7) = 7 и, следовательно, x 0 = 14, y 0 = - 7 - это решение нашего уравнения (одно из многих, не более!). Итак,

Вычтем одно уравнение из другого, обозначим x - x 0 и y - y 0 через a и b, и получим 3a + 5b = 0. Отсюда мы видим, что b делится на 3, а a - на 5. Положим a = 5k, тогда b = - 3k - здесь k, очевидно, может быть любым целым числом. Итак, мы получаем набор решений:

Где k может быть любым целым числом. Других решений, конечно, нет.Задача 63:

Найдите все целые решения уравнения 3x - 12y = 7. Решение:

Это уравнение не имеет целых решений. Левая часть делится на 3, в то время как правая часть не делится на 3.

Задача 64:

Решите уравнение 1990x - 173y = 11. Решение:

Числа, участвующие в формулировке, так велики, что подбором здесь конкретного решения не найти. Однако нам поможет то, что числа 1990 и 173 взаимно просты (проверьте это).

Лемма. Их НОД, равный 1, можно представить в виде 1990m - 173n, где m и n - некоторые целые числа.

Доказательство этой леммы следует из того факта, что все числа, которые получаются в процессе алгоритма Евклида, представимы в указанном виде.

Конкретно, в данном случае, используя алгоритм Евклида, можно получить m = 2, n = 23. Итак, при помощи такого мощного оружия, как алгоритм Евклида, мы получаем конкретное решение вспомогательного уравнения 1990m - 173n = 1: пару (2, 23). Следовательно, x 0 = 22, y 0 = 253 - решение уравнения 1990x - 173y = 11. Дальше получаем, что

K - любое целое число.Задача 65:

Найдите все целые решения уравнения 21x + 48y = 6. Решение:

x = 16k - 2, y = - 7k + 1; k - любое целое число.

Задача 66:

Решите уравнение 2x + 3y + 5z = 11 в целых числах. Решение:

x = 5p + 3q - 11, y = 11 - 5p - 2q, z = p; p, q - любые целые числа.

Задача 67:

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево. При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку? За какое наименьшее число ходов она сможет это сделать? Решение:

При взаимно простых m и n.

Задача 68:

(2x + y)(5x + 3y) = 7. Решение:

(- 4,9), (14, - 21), (4, - 9), (- 14,21).

Задача 69:

xy = x + y + 3. Решение:

Так как xy - x - y = 3, то (x - 1)(y - 1) = 4. Осталось только перебрать возможные разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Ответ: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, - 3), (- 3,0), (3,3), (- 1, - 1).

Задача 70:

x² = 14 + y². Решение:

Решений в целых числах нет.

Задача 71:

x² + y² = x + y + 2. Решение:

(2,0), (2,1), (- 1,0), (- 1,1), (0,2), (1,2), (0, - 1), (1, - 1).

Вот как решается задача 69. Так как xy - x - y = 3, то (x - 1)(y - 1) = 4. Осталось только перебрать возможные разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Ответ: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, - 3), (- 3,0), (3,3), (- 1, - 1).

Задача 72:

x² + y² = 4z - 1.

В самом деле, посмотрим, какие остатки могут давать точные квадраты по модулю 4 (выбор модуля 4 подсказан нам самим видом правой части уравнения). Недолгий перебор показывает, что это остатки 0 и 1. Так как сумма двух остатков такого вида не может давать остаток - 1, то мы получаем, что решений данное уравнение не имеет.

Задача 73:

x² - 7y = 10. Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 7).

Задача 74:

x³ + 21y² + 5 = 0. Решение:

Так как x³ может по модулю 7 быть сравнимым лишь с 0, 1 и - 1, то выражение x³ + 21y² + 5 сравнимо (mod %)%7 с 5, 6 или с 4, и, следовательно, не может быть равным нулю.

Задача 75:

15x² - 7y² = 9. Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 5).

Задача 76:

x² + y² + z² = 8t - 1. Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 8).

Задача 77:

3 m + 7 = 2 n . Решение:

По модулю 3 левая часть сравнима с 1, и отсюда мы делаем вывод, что n - четно, т.е. n = 2k. Уравнение преобразуется к виду 3 m + 7 = 4 k . Теперь в игру включается модуль 4. 4 k - 7 = 1 (mod %)%4, и мы видим, что и m четно, т.е. m = 2p. Итак, мы имеем уравнение 3 2p + 7 = 2 2k . Преобразуем уравнение: 7 = 2 2k - 3 2p = (2 k - 3 p )(2 k + 3 p ). Отсюда 2 k + 3 p = 7, 2 k - 3 p = 1, и мы получаем единственное решение k = 2, p = 1, т.е. m = 2, n = 4.

Задача 78:

3 2 m + 1 = n². Решение:

Сразу ясно, что n не делится на 3 и, значит, n = 3k + 1 или n = 3k + 2. Разберем оба случая.

а) n = 3k + 2, 3 2 m + 1 = 9k² + 12k + 4. Сокращая, получаем 2 m = 3k² + 4k + 1 = (3k + 1)(k + 1). Следовательно, и k + 1 и 3k + 1 - степени двойки. Видно, что и k = 0 и k = 1 подходят, и мы получаем решения n = 2, m = 1 и n = 5, m = 3. Но при k ≥ 2 4(k + 1) > 3k + 1 > 2(k + 1) и, следовательно, k + 1 и 3k + 1 не могут одновременно быть степенями двойки.

б) n = 3k + 1. Разбирая этот случай аналогичным образом, мы получаем еще одно решение n = 7, m = 4.

Задача 79:

1/a + 1/b + 1/c = 1. Решение:

a = b = c = 3; a,b,c = 1,2,3 или 2,4,4; одно из чисел равно 1, а сумма двух других равна 0, например, a = 1, b = - c = 13.

Задача 80:

x² - y² = 1988. Решение:

x = ± 498, y = ± 496 или x = ± 78, y = ± 64, причем знаки выбираются независимо.

Задача 81:

Докажите, что уравнение 1/x - 1/y = 1/n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n - простое число. Решение:

Если n = pq (p, q > 1), то 1/n = 1/(n - 1) - 1/n(n - 1) и 1/n = 1/p(q - 1) - 1/pq(q - 1). Если же n - простое, то n(y - x) = xy, и значит, xy делится на n, т.е. x или y делится на n. Ясно, что именно y делится на n: y = kn. Тогда x = kn/(n + 1), откуда k = n - 1, т.е. есть ровно одно представление 1/n = 1/(n - 1) - 1/n(n - 1).

Задача 82:

Решите уравнение в целых числах: x³ + 3 = 4y(y + 1).

Задача 83:

Решите уравнение в целых числах: x² + y² = z².

Задача 84:

Решите уравнение в целых числах: x² - 5y² = 1.

Задачи с целочисленными неизвестными

Павловская Нина Михайловна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 92

г. Кемерово

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения получили название диофантовых уравнений .

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида

ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0

Если с = 0 , то решение очевидно х = 0, у = 0.

Если с ≠ 0 , и решение (х 0 ; у 0 ) , то целое число

ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b) , поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b .

Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.

Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ) , и (a ; b) = 1 , то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение.