Главная » Дизайн квартир » Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Вычитание дробей с разными знаменателями

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Здесь мы разберемся, как проводится вычитание обыкновенных дробей . Сначала получим правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями и приведем примеры вычитания с подробными решениями. После этого остановимся на вычитании дроби из натурального числа и вычитании числа из дроби. В заключение покажем, как проводится вычитание обыкновенных дробей с использованием свойств этого действия.

Сразу заметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о вычитании меньшей дроби из большей дроби. Другие случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел .

Навигация по странице.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями .

Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: . Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, .

Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями : при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.

Озвученное правило с помощью букв записывается так: . Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .

Пример.

Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби 24/15 .

Решение.

Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24 , а числитель вычитаемого равен 17 , их разность равна 7 (24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15 .

Краткий вариант решения выглядит так: .

Ответ:

При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби , которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Вычислите разность .

Решение.

Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: .

Очевидно, числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите ), то есть, 22/12 – сократимая дробь . Выполнив сокращение этой дроби на 2 , приходим к дроби 11/6 .

Дробь 11/6 – неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби). Поэтому из нее нужно выделить целую часть: .

Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна .

Вот все решение: .

Ответ:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями , надо:

привести дроби к общему знаменателю (обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю);
вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями .

Пример.

Отнимите от обыкновенной дроби 2/9 обыкновенную дробь 1/15 .

Решение.

Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю : так как НОК(9, 15)=45 , то дополнительным множителем дроби 2/9 является число 45:9=5 , а дополнительным множителем дроби 1/15 является число 45:15=3 , тогда и .

Осталось вычесть из дроби 10/45 дробь 3/45 , получаем , что и дает нам искомую разность дробей с разными знаменателями.

Кратко решение записывается так: .

Ответ:

Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.

Пример.

Вычтите из дроби 19/9 дробь 7/36 .

Решение.

После приведения дробей с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю 36 , имеем дроби 76/9 и 7/36 . Вычисляем их разность: .

Полученная дробь сократима, после ее сокращения на 3 , получаем 23/12 . А эта дробь неправильная, выделив из нее целую часть, имеем .

Соберем воедино все выполненные действия при вычитании исходных дробей с разными знаменателями: .

Ответ:

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1 . Разберем решение примера.

Пример.

Выполните вычитание числа 3 из дроби 83/21 .

Решение.

Так как число 3 равно дроби 3/1 , то .

Ответ:

Однако вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа . Покажем решение предыдущего примера этим способом.

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь. Разберем решение примера, иллюстрирующего такой подход.

Пример.

Отнимите обыкновенную дробь 5/3 от натурального числа 7 .

Решение.

Представим число 7 как дробь 7/1 , после чего выполним вычитание: .

Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ .

Ответ:

Однако существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества особенно заметны, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Все это будет видно из примеров ниже.

Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.

Пример.

Выполните вычитание обыкновенной дроби 13/62 из натурального числа 1 065 .

Решение.

Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1 065 суммой 1 064+1 , при этом получим . Осталось вычислить значение полученного выражения (подробнее о вычислении таких выражений мы поговорим в ).

В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать как . Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью 1/1 , имеем . Таким образом, . На этом вычитание дроби 13/62 из натурального числа 1 065 завершено.

Вот все решение:

А теперь для сравнения покажем, с какими числами нам бы пришлось работать, если бы мы решили свести вычитание исходных чисел к вычитанию дробей:

Ответ:

Если же вычитаемая дробь неправильная, то ее можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа .

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить: