Теория вероятности для чайников решения. Что изучает теория вероятностей? Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.

Результатом испытания является событие . Событие бывает:

1. Достоверное (всегда происходит в результате испытания).
2. Невозможное (никогда не происходит).
3. Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например, при подбрасывании монеты невозможное событие - монета станет на ребро, случайное событие - выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием . В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий .

Основные понятия теории

Вероятность - степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.

Случайные величины можно разделить на две категории.

1. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
2. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство - понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где

Это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Теорема Муавра-Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.

Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и - число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

Функция распределения в теории вероятностей - функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х - произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской - . В статистике часто используют обозначение .

Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, - измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Пусть - случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми , если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.

Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Центральные предельные теоремы - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Курс математики готовит школьникам массу сюрпризов, один из которых - это задача по теории вероятности. С решением подобных заданий у учащихся возникает проблема практически в ста процентах случаев. Чтобы понимать и разбираться в данном вопросе, необходимо знать основные правила, аксиомы, определения. Для понимания текста в книге, нужно знать все сокращения. Всему этому мы и предлагаем обучиться.

Наука и ее применение

Так как мы предлагаем ускоренный курс «теория вероятности для чайников», то сначала необходимо ввести основные понятия и буквенные сокращения. Для начала определимся с самим понятием «теория вероятности». Что же это за наука и для чего она нужна? Теория вероятности - это один из разделов математики, который изучает случайные явления и величины. Так же она рассматривает закономерности, свойства и операции, совершаемые с этими случайными величинами. Для чего она нужна? Широкое распространение наука получила в изучении природных явлений. Любые природные и физические процессы не обходятся без присутствия случайности. Даже если во время опыта были максимально точно зарегистрированы результаты, при повторе того же испытания, результат с большой вероятностью не будет таким же.

Примеры задач по мы обязательно рассмотрим, вы сами сможете в этом убедиться. Исход зависит от множества различных факторов, которые практически невозможно учесть или зарегистрировать, но тем не менее они оказывают огромнейшее влияние на исход опыта. Яркими примерами могут служить задачи определения траектории движения планет или определение прогноза погоды, вероятность встретить знакомого человека во время пути на работу и определение высоты прыжка спортсмена. Так же теория вероятности оказывает большую помощь брокерам на фондовых биржах. Задача по теории вероятности, с решением которой раньше возникало много проблем, станет для вас сущим пустяком после трех-четырех примеров, приведенных ниже.

События

Как уже говорилось ранее, наука изучает события. Теория вероятностей, примеры решения задач мы рассмотрим немного позже, изучает только один вид - случайные. Но тем не менее необходимо знать, что события могут быть трех видов:

• Невозможные.
• Достоверные.
• Случайные.

Предлагаем немного оговорить каждый из них. Невозможное событие никогда не произойдет, ни при каких условиях. Примерами могут служить: замерзание воды при плюсовой температуре, вытягивание кубика из мешка с шарами.

Достоверное событие происходит всегда со стопроцентной гарантией, если выполнены все условия. Например: вы получили заработную плату за проделанную работу, получили диплом о высшем профессиональном образовании, если добросовестно учились, сдали экзамены и защитили диплом и так далее.

Со все немного сложнее: в ходе опыта оно может произойти или нет, например, вытащить туз из карточной колоды, сделав не более трех попыток. Результат можно получить как с первой попытки, так и, вообще, не получить. Именно вероятность происхождения события и изучает наука.

Вероятность

Это в общем смысле оценка возможности удачного исхода опыта, при котором наступает событие. Вероятность оценивается на качественном уровне, особенно если количественная оценка невозможна или затруднительна. Задача по теории вероятности с решением, точнее с оценкой подразумевает нахождение той самой возможной доли благополучного исхода. Вероятность в математике - это числовая характеристики события. Она принимает значения от нуля до единицы, обозначается буквой Р. Если Р равняется нулю, то событие произойти не может, если единице, то событие произойдет со стопроцентной вероятностью. Чем больше Р приближается к единице, тем сильнее вероятность благополучного исхода, и наоборот, если близко к нулю, то и событие произойдет с малой вероятностью.

Сокращения

Задача по теории вероятности, с решением которой вы вскоре столкнетесь, может содержать следующие сокращения:

• Р и Р(Х);
• А, В, С и т. д;

Возможны и некоторые другие: по мере необходимости будут вноситься добавочные объяснения. Предлагаем, для начала, пояснить представленные выше сокращения. Первым в нашем списке встречается факториал. Для того чтобы было понятно, приведем примеры: 5!=1*2*3*4*5 или 3!=1*2*3. Далее, в фигурных скобках пишут заданные множества, например: {1;2;3;4;..;n} или {10;140;400;562}. Следующее обозначение - это множество натуральных чисел, довольно часто встречается в заданиях по теории вероятности. Как уже говорилось ранее, Р - это вероятность, а Р(Х) - это вероятность происхождения события Х. Большими буквами латинского алфавита обозначаются события, например: А - попался белый шар, В - синий, С - красный или соответственно, . Маленькая буква n - это количество всех возможных исходов, а m - количество благополучных. Отсюда и получаем правило нахождения классической вероятности в элементарных задачах: Р=m/n. Теория вероятности «для чайников», наверное, и ограничивается данными знаниями. Теперь для закрепления переходим к решению.

Задача 1. Комбинаторика

Студенческая группа насчитывает тридцать человек, из которых необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Необходимо найти количество способов сделать данное действие. Подобное задание может встретиться на ЕГЭ. Теория вероятности, решение задач которой мы сейчас рассматриваем, может включать задачи из курса комбинаторики, нахождение классической вероятности, геометрической и задачи на основные формулы. В данном примере мы решаем задание из курса комбинаторики. Переходим к решению. Это задание простейшее:

1. n1=30 - возможных старост студенческой группы;
2. n2=29 - те, кто могут занять пост заместителя;
3. n3=28 человек претендует на должность профорга.

Все, что нам остается сделать, это найти возможное количество вариантов, то есть перемножить все показатели. В результате мы получаем: 30*29*28=24360.

Это и будет ответом на поставленный вопрос.

Задача 2. Перестановка

На конференции выступают 6 участников, порядок определяется жеребьевкой. Нам нужно найти количество возможных вариантов жеребьевки. В данном примере, мы рассматриваем перестановку из шести элементов, то есть нам нужно найти 6!

В пункте сокращений мы уже упоминали, что это такое и как вычисляется. Итого получается, что существует 720 вариантов жеребьевки. На первый взгляд тяжелое задание имеет вполне короткое и простое решение. Это и есть задания, которые рассматривает теория вероятности. Как решать задачи более высокого уровня, мы рассмотрим в следующих примерах.

Задача 3

Группу студентов из двадцати пяти человек необходимо разбить на три подгруппы по шесть, девять и десять человек. Мы имеем: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Осталось подставить значения в нужную формулу, мы получаем: N25(6,9,10). После несложных вычислений мы получаем ответ - 16 360 143 800. Если в задании не говорится о том, что необходимо получить числовое решение, то можно дать его в виде факториалов.

Задача 4

Три человека загадали числа от одного до десяти. Найдите вероятность того, что у кого-то числа совпадут. Сначала мы должны узнать число всех исходов - в нашем случае это тысяча, то есть десять в третей степени. Теперь найдем количество вариантов, когда все загадали разные числа, для этого перемножаем десять, девять и восемь. Откуда взялись эти числа? Первый загадывает число, у него есть десять вариантов, второй имеет уже девять, а третьему надо выбирать из восьми оставшихся, таким образом получаем 720 возможных вариантов. Как уже мы посчитали ранее, всего вариантов 1000, а без повторений 720, следовательно, нас интересуют оставшиеся 280. Теперь нам нужна формула нахождения классической вероятности: Р= . Мы получили ответ: 0,28.

но и всех дальнейших

наблюдённые частоты стабилизируются,

при

Какового практическое применение методов теории вероятностей?

Практическое применение методов теории вероятностей заключается в пересчёте вероятностей «сложных» событий через вероятности «простых событий».

Пример. Вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании правильной монеты равна ½ (к этому числу стремится наблюдённая частота выпадения герба при большом количестве бросаний). Требуется найти вероятность того, что при трёх бросаниях правильной монеты выпадет 2 герба.

Ответ: на этот вопрос даёт формула Берулли:

0.375 (т.е такое событие бывает в 37,5 % случаев при 2 –ух бросаниях правильной монеты).

Характерной особенностью современной теории вероятностей является тот факт, что несмотря на свою практическую направленность, в ней используют новейшие разделы почти всех разделов математики.

Основные понятия: генеральная и выборочная совокупность.

Привем таблицу соотнесения основных понятий генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Случайная величина (x, h, z)	Признак (x, y, z)
Вероятность p, p ген	Относительная частота p, p выб
Распределение вероятностей	Частотное распределение
Параметр (характеристика вероятностного распределения)	Статистика (функция от выборочных значений признаков), служит для оценки того или иного параметра генерального вероятностного распределения
Примеры параметров и отвечающих им статистик
Одномерные случайные величины (одномерные распределения)
Математическое ожидание (m, Мx)	Среднее арифметическое (m, )
Мода (Мо)	Мода (Мо)
Медиана (Ме)	Медиана (Ме)
	Среднее квадратическое отклонение (s)
Дисперсия (s 2 , Dx)	Дисперсия (s 2 , Dx)
Двумерные случайные величины (двумерные распределения)
Коэффициент корреляции r(x, h)	Коэффициент корреляции r (x, y)
Многомерные случайные величины (многомерные распределения)
Коэффициенты уравнения регрессии b 1 ,b 2 ,…,b n	Коэффициенты уравнения регрессии b 1 , b 2 , … , b n

Дисперсионный анализ

План лекции.

1. Однофакторный дисперсионный анализ.

Вопросы лекции.

Коэффициент корреляции

Принимает значения в диапазоне от -1 до +1

Безразмерная величина

Показывает тесноту связи (связь как синхронность, согласованность ) между признаками

Коэффициент регрессии

Может принимать любые значения

Привязан к единицам измерения обоих признаков

Показывает структуру связи между признаками: характеризует связь как зависимость, влияние, устанавливает причинно-следственные связи.

Знак коэффициента говорит о направлении связи

Усложнение модели

Совокупное влияние всех независимых факторов на зависимую переменную не может быть представлено как простая сумма нескольких парных регрессий.

Это совокупное влияние находится более сложным методом - методом множественной регрессии.

Этапы проведения корреляционного и регрессионного анализа:

· Выявление наличия взаимосвязи между признаками;

· Определение формы связи;

· Определение силы, тесноты и направления связи.

Задачи,решаемые после прочтения данной лекции:

Можно выписывать уравнения прямой и обратной регрессий для данных величин. Строить соответствующие графики. Находить коэффициент корреляции рассматриваемых величин. По критерию Стьюдента проверять гипотезу о существенности корреляционной связи. Пользуемся командами: ЛИНЕЙН и Мастер диаграмм в Excel.

Литература.

1. Конспект лекций.

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

1.8. Основные понятия планирования эксперимента и некоторые рекомендации

План лекции.

1. Планирование эксперимента: основные этапы и принципы.

2. Понятие эксперимента, отклика, поверхности отклика, факторного пространства.

3. Определение цели планирования эксперимента.

4. Основные этапы планирования:

Вопросы лекции:

1. Основные понятия. Постановка задачи.

Планирование эксперимента – это оптимальное (наиболее эффективное) управление ходом эксперимента с целью получения максимально возможной информации на основании минимально допустимого количества данных. Под самим же экспериментом понимаем систему операций, действий или наблюдений, направленных на получение информации об объекте.

Теория планирования эксперимента предполагает наличие определенных знаний и условно можно выделить следующие этапы планирования:

1) сбор и первичная обработка статистических данных

2) определение точечных и интервальных оценок распределения

3)и последующая их обработка, что предполагает знание статистических методов измерений случайной величины, теории проверки статистических гипотез, методов планирования эксперимента, в частности, пассивного эксперимента, методов дисперсионного анализа, методов поиска экстремума функции отклика;

2) составление плана эксперимента, проведение самого эксперимента, проведение обработки результатов эксперимента, оценка точности эксперимента.

Итак, дадим понятие самого эксперимента.

Эксперимент. Эксперимент является основным и наиболее совершенным методом познания, который может быть активным или пассивным.

Активный – основной вид эксперимента, который проводится в контролируемых и управляемых условиях, имеющих следующие преимущества:

1) результаты наблюдений независимые нормально распределенные случайные величины;

2) дисперсии равны друг другу (вследствие того, что выборочные оценки являются однородными);

3) независимые переменные измеряются с малой погрешностью в сравнении с погрешностью значения y ;

4) активный эксперимент лучше организован: оптимальное использование факторного пространства позволяет при минимальных затратах получить максимум информации про изучаемые процессы или явления.

Пассивный эксперимент не зависит от экспериментатора, который в данном случае выступает сторонним наблюдателем.

При планировании эксперимента исследуемый объект представляется в виде «черного ящика», на который воздействуют управляемые и неуправляемые факторы:

тут - управляемые факторы; - неуправляемые факторы, - параметры оптимизации, которые могут охарактеризовать работу объекта.

Факторы. Каждый фактор может принимать определенное количество значений называемых уровнями факторов. Множество возможных уровней фактора называется областью определения фактора, которые могут быть непрерывными или дискретными, ограниченными и неограниченными. Факторы могут быть:

- совместимыми: предполагается допустимость любой комбинации факторов, которая не должна влиять на сохранение изучаемого процесса;

- независимыми: между факторами должна отсутствовать корреляционная связь, то есть имеется возможность изменять значение каждого из рассматриваемых в системе факторов независимо друг от друга. Нарушение хотя бы одно­го из этих требований приводит либо к невозможности применения планирования эксперимента, либо к весьма серьезным трудностям. Правильный выбор факторов позволяет четко задавать условия опыта.

Исследуемые параметры должны удовлетворять ряду требований:

- эффективность, способствующая скорейшему достижению цели;

- универсальность, характерная не только для исследуемого объекта;

- статистическая однородность, предполагающая соответствие с точностью до погрешности эксперимента определенному набору значений факторов определенного значения фактора ;

- количественное выражение одним числом;

- простота вычислений;

- существование при любом состоянии объекта.

Модель . Зависимость между выходным параметром (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией откли­ка и имеет следующий вид:

(1)

Тут - отклик (результат эксперимента); - незави­симые переменные (факторы), которые можно варьировать при постановке экспериментов.

Отклик. Отклик – это результат опыта в соответствующих условиях, который также называют функцией цели, критерием эффективности, критерием оптимальности, параметром оптимизации и др.

В теории планирования эксперимента к параметру оптимизации предъявляются требования, выполнение которых необходимо для успешного решения задачи. Выбор параметра оптимизации должен базироваться на четко сформулированной задаче, на ясном понима­нии конечной цели исследования. Параметр оптими­зации должен быть эффективным в статистическом смысле, то есть определяться с достаточной точностью. При большой ошибке его определения необходимо увеличивать число параллельных опытов.

Желательно, чтобы параметров оптимизации было как можно меньше. Однако не следует добиваться уменьшения числа параметров оптимизации за счет полноты характеристики системы. Желатель­но также, чтобы система во всей полноте характеризовалась просты­ми параметрами оптимизации, имеющими ясный физический смысл. Естественно, что простой, с ясным физическим смыслом параметр оптимизации защищает экспериментатора от многих ошибок и избавляет его от многих трудностей, связанных с решением различных методических вопросов экспериментирования и технологиче­ской интерпретации полученных результатов.

Геометрический аналог параметра (функции отклика), соответствующий уравнению (1), называется поверхностью отклика, а пространство, в котором строят указанную поверхность,- факторным пространством. В простейшем случае, когда исследу­ется зависимость отклика от одного фактора, поверхность откли­ка представляет собой линию на плоскости, то есть в двухмерном пространстве. В общем случае, когда рассматриваются факто­ров, уравнение (1) описывает поверхность отклика в - мерном пространстве. Так, например, при двух факторах факторное пространство представляет собой факторную плоскость.

Целью планирования эксперимента является получение математической модели исследуемого объекта или процесса. При весьма ограниченных знаниях о механизме процесса аналитическое выражение функции отклика неизвестно, поэтому обычно используют полиномиальные математические модели (алгебраические полиномы) называемые уравнениями регрессии, общий вид которых:

(2)

где – выборочные коэффициенты регрессии, которые можно получить, пользуясь результатами эксперимента.

4. К основным этапам планирования эксперимента можно отнести:

1.Сбор, изучение, анализ всех данных об объекте.

2. Кодирование факторов.

3. Составление матрицы планирования эксперимента.

4. Проверка воспроизводимости опытов.

5. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения.

6. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

7. Проверка адекватности полученной модели.

8. Переход к физическим переменным.

Литература

1. Конспект лекций.

4.1 Цепи Маркова. Случайные функции. Метод Монте - Карло. Имитационное моделирование. Сетевое планирование. Динамическое и целочисленное программирование

План лекции.

1. Методы Монте-Карло.

2. Метод статистических испытаний (методы Монте-Карло)

Вопросы лекции.

Что изучает теория вероятностей?

Теория вероятностей изучает так называемые случайные события и устанавливает закономерности в проявлении таких событий, можно сказать, что теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов, т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта.

Для введения понятия случайного события необходимо рассмотреть некоторые примеры реальных экспериментов.

2. Дать понятие случайного эксперимента и привести примеры случайных экспериментов.

Приведем примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А () называется отношение числа появлений события А () к общему числу испытаний (N):

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .

при (наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n ).

Однако определение вероятности через частоту не является удовлетворительным для теории вероятностей как математической науки. Это связано с тем, что практически нельзя провести бесконечное число испытаний и наблюдённая частота меняется от опыта к опыту. Поэтому А.Н. Колмогоров предложил аксиоматическое определение вероятности, которое принято в настоящее время.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и до сих пор не изучавшимися в математике. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно-арифметическим и комбинаторным методам.

Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдения, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа создателя неевклидовой геометрии Лобачевского (1792-1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Опыт означает, что упомянутый комплекс обстоятельств создан сознательно. В ходе наблюдения сам наблюдающий комплекс этих условий не создает и не влияет на него. Его создают или силы природы или другие люди.

Что нужно знать, чтобы определять вероятности событий

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

• достоверные события;
• невозможные события;
• случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота наступления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

• несовместными;
• совместными.

События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

• будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
• будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
• будут решены обе задачи;
• не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий .

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Определения и свойства вероятностей

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.