Как найти наиб и наим значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задания из учебника

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 100

Дисциплина Математика

Специальность

Курс 1 группа C 153

Тема занятия: Наибольшее и наименьшее значение функций

Тип урока: урок закрепления знаний и формирование умений и навыков

Вид занятия: практическое занятие

Цели :

– обучающая: Составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Провести первичное закрепление и первичный контроль усвоения алгоритма;

– развивающая: Развивать логическое мышление, вычислительные навыки;

– воспитательная: содействовать воспитанию у студентов самостоятельности, самопознания, самосозидания и самореализации.

Задачи:

Должен знать: нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Должен уметь: применять полученные знания на практике

Формируемые компетенции :

– общие: ОК 1-9

– профессиональные: ПК 1.1. – ПК 4.3.

Обеспечение занятия: карточки, ОК

Внутридисциплинарные связи: занятие по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции» связано с такими темами как: «Определение производной ее геометрический и физический смысл», «Производные основных элементарных функций», «Вторая производная, ее физический смысл», «Нахождение скорости и ускорения с помощью производной», «Дифференцирование сложных функций», «Признак постоянства, возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум», «Исследование функции с помощью производной», «Применение производной к построению графиков», «Применение производной к исследованию и построению функций», «Выпуклость графика функции, точки перегиба», «Решение упражнений по теме: «Производная и ее приложение»

Методы обучения: активные: словесные, наглядные

Ход занятия

Организация занятия (3 мин. ).

Сообщение темы и целей занятия. (4 мин .)

Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (7мин .)

Для изучения новой темы нам необходимо повторить пройденный материал. Сделаете вы это, выполнив устно следующие задания. В тетрадь запишите только ответы к каждому пункту. (3мин.)

По графику функции у=f(x) найдите:

1.Область определения функции.

2. Абсциссы точек, в которых f`(x)=0

3. Абсциссы точек, в которых f`(x) не существует.

4. Наибольшее значение функции. (Унаиб.).

5. Наименьшее значение функции (Унаим.).

Преподаватель: Какие точки называются стационарными?

Обучающийся: Стационарными называются точки, в которых производная функции f / (x)=0.

Преподаватель: Чтобы найти стационарные точки надо: найти производную функции f / (x) и решить уравнение f / (x)=0

Сообщение и усвоение новых знаний с закреплением полученных знаний. (41 мин .)

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у= f (x ) на отрезке [ a ; b ]

найти f "(x);

найти точки, в которых f "(x)=0 или f "(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

вычислить значения функции y=f "(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке , которые можно обозначить так: max y(x) и min y(x).

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Найдем критические точки.

Так как производная функции определена для любого х , решим уравнение

Закрепление нового материала. Решение задач.

1 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=2-8x+6 на отрезке[-1;4]

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-1;4]

3. Найди у(-1)

2 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=+4x-3 на отрезке

Найди стационарные точки, решив уравнение у´=0

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-3;2]

3. Найди у(-3)

И в отобранных точках на втором шаге

Отбери среди найденных значений наибольшее и наименьшее.

Решение задания из учебника

Самостоятельная работа

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 + 4x на отрезке [-3;6].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -12, max y(x)= -5; б) min y(x)= -4, max y(x)= 60; в) min y(x)= -12, max y(x)= 4

[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 -2х на отрезке .

Варианты ответа:

а) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; б) min y(x)= -1, max y(x)= 8; в) min y(x)= -3/4, max y(x)= -1

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 3х 2 + 6x на отрезке [-2;2].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -4, max y(x)= 0; б) min y(x)= -20, max y(x)= 0; в) min y(x)= -3, max y(x)= 24

[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х 2 - 2х на отрезке [-1;3].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -0,5, max y(x)= 12; б) min y(x)= 4, max y(x)= 5; в) min y(x)= 0, max y(x)= 5

[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]

Подведение итогов занятия. (5 мин .)

Чем мы занимались сегодня на уроке?

Что понравилось, какие виды деятельности?

Анализ работы студентов, выставление оценок

Рефлексия занятия. (5 мин.)

Продолжите предложения:

Я сегодня узнал…

Мне была интересна задача…

Самая сложная задача для меня заключалась…

Мне занятие понравилось….

Мне занятие не понравилось…

Задание для внеаудиторной самостоятельной работы. (5 мин. )

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y =

на отрезке [ ;]

Включать теорию

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Функции с логарифмами (наибольшее и наименьшее значение). В этой статье речь пойдёт о задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Есть группа задач, входящих в ЕГЭ — это задачи с логарифмами. Задания связанные с исследованием функции разнообразны. Кроме логарифмических функций могут быть: функции , с тригонометрическими функциями, дробно-рациональные функции и прочие.

В любом случае рекомендую ещё раз просмотреть теорию изложенную в статье « » . Если вы этот материал поняли и имеете хороший навык нахождения производных, то любую задачу в этой теме решите без труда.

Напомню алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем принадлежат ли полученные корни (нули производной) данному отрезку. Отмечаем те, которые принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на границах отрезка и в точках (полученных в предыдущем пункте) принадлежащих данному отрезку.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции у=5х–ln (х+5) 5 на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

*Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю.

Точка х= – 4 принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь, что наименьшим значением функции на данном отрезке является "– 20".

Но вычислять их не обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо конечная десятичная дробь (это условие ЕГЭ в части В). А значения с логарифмами: – 22,5 – ln 0,5 5 и – ln3125 такого ответа не дадут.

х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (– 5: – 4) и (– 4; + ∞ ).

Теперь информация для тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних расчётов?

Итак, если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в скобках у нас будет единица или число е. В противном случае, мы не сможем получить оговоренное значение. А это возможно только при х = – 4.

Значит, в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln (х+3) 3 на отрезке [–2,5;0].

Найдите наибольшее значение функции у=ln (х+5) 5 – 5х на отрезке [–4,5;0].

Найдите наибольшее значение функции у=х 2 –13х+11∙lnх+12 на отрезке .

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную, приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное уравнение, получим

Точка х = 1, принадлежит заданному интервалу.

Точка х = 22/4 ему не принадлежит.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом является целое число либо конечная десятичная дробь, значит, наибольшее значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не получим, так как натуральный логарифм данных дробей такого результата не даст.

Кроме того, убедится в том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (0 :1 ) и (1 ; + ∞ ).

Как решить такой тип задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма у нас будет единица или число е.

Это возможно только при х = 1.

Значит в точке х = 1 (или 14/14) значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции у = 2х 2 –13х+9∙lnх+8 на отрезке .

Отмечу, что способ решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для экономии времени при вычислении задания на самом ЕГЭ. И только в том случае, когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при решении без производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов, которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить. Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его просто забудете или вам попадёт такой тип задания на ЕГЭ, который видите впервые.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке ;
• на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):