Ортогональная система. Лечебные движения для восстановления двигательных функций и при болях в спине двигательных функций. "Ортогональная система функций" в книгах

Лечебные движения для восстановления двигательных функций и при болях в спине двигательных функций Восстановление двигательных функций Упражнений для восстановления позвоночника очень много. Их можно либо придумать самому, либо найти в самых разных видах гимнастики.

Ортогональная система функций

система функций {(φ n (x )}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х ) на отрезке [а , b ], т. е. таких, что

Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx , sin nx ; n = 1, 2,..., - О. с. ф. с весом 1 на отрезке [-π, π]. Бесселя функции n = 1, 2,..., J ν (x ), образуют для каждого ν > - 1 / 2 О. с. ф. с весом х на отрезке .

Если каждая функция φ (х ) из О. с. ф. такова, что х) на число

Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи (См. Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(х ) у" ]" + q (x ) y = λу , удовлетворяющих граничным условиям у (а ) + hy" (a ) = 0, y (b ) + Hy" (b ) = 0, где h и Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом ρ (х ) на отрезке [a , b ].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф. - Ортогональные многочлены - был открыт П. Л. Чебышев ым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.- задача о разложении функции f (x ) в ряд вида п (х )} - О. с. ф. Если положить формально п (х )} - нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φ п (х ) ρ(х ) и интегрируя от а до b , получим:

Коэффициенты С п , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φ n (x )}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма х):

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида

Ряд ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) с коэффициентами С п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x ) по нормированной О. с. ф. {φ n (x )}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x ) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x ) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций φ k (x ), то есть C n φ n (x) сходится в среднем к функции f (x )]. 2) Для всякой функции f (x ), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(х ), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a , b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям φ n (x ), n = 1, 2,....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. - разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Ортогональная система функций" в других словарях:

- (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций, принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b)(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x)наз. весом О. с. ф.,* означает… … Физическая энциклопедия

Система функций??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Большой Энциклопедический словарь

Система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х) некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… … Энциклопедический словарь

Система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… … Естествознание. Энциклопедический словарь

См. в ст. Ортогональная система функций. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

1) О. с. векторов множество ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением (. , .) такое, что при (ортогональность) и (нормируемость). М. И. Войцеховский. 2) О. с. ф у н к ц и и система функций пространства… … Математическая энциклопедия

Построение для заданной системы функций {fn (х)}, интегрируемых с квадратом на отрезке [ а, Ъ]функций ортогональной системы {jn(x)} путем применения нек рого процесса ортогонализации или же путем продолжения функций fn(x).на более длинный… … Математическая энциклопедия

Равно нулю:

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой .

Ортогонализация

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ортогональная система" в других словарях:

1) О … Математическая энциклопедия

- (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций, принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b)(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x)наз. весом О. с. ф.,* означает… … Физическая энциклопедия

Система функций??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Большой Энциклопедический словарь

Система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х) некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… … Энциклопедический словарь

Система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя … Большая советская энциклопедия

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… … Википедия

ортогональная многоканальная система - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ortogonal multiplex …

система координат (фотограмметрического) снимка - Правая ортогональная пространственная система координат, фиксируемая на фотограмметрическом снимке изображениями координатных меток. [ГОСТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрия … Справочник технического переводчика

система - 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации