Принцип неопределенности гейзенберга устанавливает взаимосвязь между. Соотношения неопределённости Гейзенберга

Принцип неопределенности лежит в плоскости квантовой механики, однако чтобы полноценно разобрать его, обратимся к развитию физики в целом. и Альберт Эйнштейн, пожалуй, в истории человечества. Первый еще в конце XVII века сформулировал законы классической механики, которой подчиняются все тела, окружающие нас, планеты, подвластные инерции и гравитации. Развитие законов классической механики привело научный мир к концу XIX века к мнению о том, что все основные законы природы уже открыты, и человек может объяснить любое явление во Вселенной.

Теория относительности Эйнштейна

Как оказалось, на тот момент была обнаружена лишь верхушка айсберга, дальнейшие изыскания подбросили ученым новые, совершенно невероятные факты. Так, в начале XX века было обнаружено, что распространение света (который имеет конечную скорость в 300 000 км/с) никак не подчиняется законам ньютоновской механики. Согласно формулам Исаака Ньютона, в случае если тело или волна испускается движущимся источником, его скорость будет равна сумме скорости источника и собственной. Однако волновые свойства частиц имели иную природу. Многочисленные опыты с ними продемонстрировали, что в электродинамике, молодой на тот момент науке, работает совершенно другой набор правил. Еще тогда Альберт Эйнштейн совместно с немецким физиком-теоретиком Максом Планком ввели свою знаменитую теорию относительности, описывающую поведение фотонов. Однако для нас сейчас важна не столько ее суть, сколько тот факт, что в этот момент была выявлена принципиальная несовместимость двух областей физики, совместить

которые, кстати, ученые пытаются и по сей день.

Рождение квантовой механики

Окончательно разрушило миф о всеобъемлющей классической механике изучение строения атомов. Опыты в 1911 году продемонстрировали, что атом имеет в своем составе еще более мелкие частицы (названные протонами, нейтронами и электронами). Более того, они также отказывались взаимодействовать по Изучение этих мельчайших частиц и породило новые для ученого мира постулаты квантовой механики. Таким образом, возможно, конечное понимание Вселенной лежит не только и не столько в изучении звезд, а в изучении мельчайших частиц, которые дают интереснейшую картину мира на микроуровне.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В 1920-е годы делала свои первые шаги, а ученые лишь

осознавали, что же из нее вытекает для нас. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал свой знаменитый принцип неопределенности, демонстрирующий одно из главных отличий микромира от привычного нам окружения. Состоит он в том, что невозможно измерить одновременно скорость и пространственное положение квантового объекта уже потому, что при измерении мы оказываем на него воздействие, ведь и само измерение тоже осуществляется с помощью квантов. Если совсем банально: оценивая объект в макромире, мы видим отраженный от него свет и на основании этого делаем выводы о нем. Но в уже воздействие световых фотонов (или других производных измерения) оказывает влияние на объект. Таким образом, принцип неопределенности вызвал понятные сложности в изучении и предсказании поведения квантовых частиц. При этом, что интересно, можно измерять отдельно скорость или отдельно положение тела. Но если мы будем измерять одновременно, то чем выше будут наши данные о скорости, тем меньше мы будем знать о действительном положении, и наоборот.

Само наличие у частицы волновых свойств накладывает определенные ограничения на возможность корпускулярного описания ее поведения. Для классической частицы всегда можно указать ее точное положение и импульс. Для квантового объекта имеем иную ситуацию.

Представим цуг волн пространственной протяженностью - образ локализованного электрона, положение которого известно с точностью . Длину волны де Бройля для электрона можно определить, подсчитав число N пространственных периодов на отрезке :

Какова точность определения ? Ясно, что для слегка отличающейся длины волны мы получим примерно то же самое значение N. Неопределенность в длине волны ведет к неопределенности

в числе узлов, причем измерению доступны лишь . Так как

то отсюда немедленно следует знаменитое соотношение неопределенностей В. Гейзенберга для координат - импульсов (1927 г.):

Точности ради надо заметить, что, во-первых, величина в данном случае означает неопределенность проекции импульса на ось OX и, во-вторых, приведенное рассуждение имеет скорее качественный, нежели количественный характер, поскольку мы не дали строгой математической формулировки, что понимается под неопределенностью измерения. Обычно соотношение неопределенностей для координат-импульсов записывается в виде

Аналогичные соотношения справедливы для проекций радиуса-вектора и импульса частицы на две другие координатные оси:

Представим теперь, что мы стоим на месте и мимо проходит электронная волна. Наблюдая за ней в течение времени , хотим найти ее частоту n . Насчитав колебаний, определяем частоту с точностью

откуда имеем

или (с учетом соотношения )

Аналогично неравенству (3.12) соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии системы чаще используется в виде

Рис. 3.38. Ве́рнер Карл Ге́йзенберг (1901–1976)

Поговорим о физическом смысле этих соотношений. Может сложиться представление, что в них проявляется «несовершенство» макроскопических приборов. Но приборы совсем не виноваты: ограничения носят принципиальный, а не технический характер. Сам микрообъект не может быть в таком состоянии, когда определенные значения одновременно имеют какая-то из его координат и проекция импульса на ту же ось.

Смысл второго соотношения: если микрообъект живет конечное время, то его энергия не имеет точного значения, она как бы размыта. Естественная ширина спектральных липни - прямое следствие формул Гейзенберга. На стационарной орбите электрон живет неограниченно долго и энергия определена точно. В этом - физический смысл понятия стационарного состояния. Если неопределенность в энергии электрона превышает разность энергий соседних состояний

то нельзя точно сказать, на каком уровне находится электрон. Иными словами, на короткое время порядка

электрон может перескочить с уровня 1 на уровень 2 , не излучая фотона, и затем вернуться назад. Это - виртуальный процесс, который не наблюдается и, следовательно, не нарушает закона сохранения энергии.

Похожие соотношения существуют и для других пар так называемых канонически сопряженных динамических переменных. Так, при вращении частицы вокруг некоторой оси по орбите радиусом R неопределенность ее угловой координаты влечет за собой неопределенность ее положения на орбите . Из соотношений (3.12) следует, что неопределенность импульса частицы удовлетворяет неравенству

Учитывая связь момента импульса электрона L с его импульсом L = Rp, получаем , откуда следует еще одно соотношение неопределенностей

Некоторые следствия соотношений неопределенностей

Отсутствие траекторий частиц. Для нерелятивистской частицы p = mv и Для массивных объектов правая часть исчезающе мала, что позволяет одновременно измерить скорость и положение объекта (область справедливости классической механики). В атоме же Бора импульс электрона и неопределенность положения оказывается порядка радиуса орбиты. Невозможность состояния покоя в точке минимума потенциальной энергии.

Например, для осциллятора (тело на пружине) энергию Е можно записать в виде

Основное состояние в классической механике это состояние покоя в положении равновесия:

Поэтому величина неопределенностей и имеет порядок самих значений импульса и координаты, откуда получаем

Минимум энергии достигается в точке

Вообще говоря, такие оценки не могут претендовать на точный ответ, хотя в данном случае (как и для атома водорода) он действительно точен. Мы получили так называемые нулевые колебания : квантовый осциллятор, в отличие от классического, не может оставаться в покое - это противоречило бы соотношению неопределенностей Гейзенберга. Точные расчеты показывают, что формулу Планка для уровней энергии осциллятора надо было бы писать в виде

где n = 0, 1, 2, 3, ... - колебательное квантовое число.

При решении задач на применение соотношения неопределенностей следует иметь в виду, что в основном состоянии в классической физике электрон покоится в точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Соотношения неопределенностей не позволяют ему это делать в квантовой теории, так что электрон должен иметь некоторый разброс импульсов. Поэтому неопределенность импульса (его отклонение от классического значения 0 ) и сам импульс по порядку величины совпадают

В наших предыдущих псевдолекциях мы как могли растолковали простому люду про чёртов , о том, что вся материя вокруг нас на самом деле имеет волновые свойства, даже кирпич или бутылка водки, и что лишает его вездесущности.
Сегодня мы, наконец, продолжим издеваться над обывателями и расскажем в предельно доступной форме про неопределенность, правящую миром, вызвав у тех, кто профессионально разбирается в предмете тонны ненависти и раздражения. Случайные картинки из гугла прилагаются, хотя в силу усложнения текста эти картинки стало труднее выискивать. Тем, кто не в теме, рекомендуем почитать наши предыдущие посты, потому что сейчас действительно будет сложно для понимания нахрапом. Мотивирующую картинку прилагаем.

Итак, понимание того безумия, которое творится в квантовой физике, было бы очень неполным без одного открытия, который сделал в 1927 молодой немецкий физик Вернер Гейзенберг. Кстати на тот моемент ему было 26 лет, подумайте об этом. Впрочем, его гениальность не помогла отвертеться от участия в немецком ядерном проекте во время второй мировой, и что характерно теория относительности и квантовая физика считались тогда еврейскими лженауками - в общем, бытовые проблемы человечества снова и снова мешали и будут мешать ученым разгадывать тайны мироздания.

Примерно в 20-е и 30-е годы прошлого века в научных кругах шла эпическая битва за правильное понимание законов квантового мира. Проклятых либералов возглавлял Нильс Бор, а консерваторов - лично дедушка Альберт, который, напомню, до конца жизни не верил в квантовую физику. Одним из камней преткновения оказалось вычисление местоположения электрона в атоме и его скорости в определенный момент времени. По странным и непонятным причинам ученые никак не могли вывести формулу для расчета обоих значений одновременно. Эйнштейн говорил, что все эти теоретики неучи и двоечники, потому что чего-то упускают, и бог, знаете ли, не играет со Вселенной в азартные игры. Нильс Бор попивал пивко и утверждал, что классическая физика вообще не применяется для таких случаев как движение электронов. И тут вундеркинд Гейзенберг заявил: все нормально, мужики, так и должно быть.

Давайте вместе ужаснемся открытию на примере. Если пнуть ногой мяч с точно рассчитанной силой, то удивительная и не всем доступная наука физика, в частности классическая механика, легко ответит нам на вопрос, где будет находиться мяч через пять секунд после пинка и какова его скорость. Это же элементарно: расстояние равно время умножить на скорость. Садись, Вовочка, пять по физике!
Теперь мы пнём электроном. По специальным (но все же классическим) формулам считаем его скорость и местоположение на пятой секунде полета и проверяем экспериментом. И получается что-то невероятное. Мы поймали частицу в двух метрах от начала полета, но полученная по результатам эксперимента скорость вообще не такая, да еще и каждый раз разная. И наоборот, чем точнее мы рассчитываем скорость (а вернее импульс, который равен массе, умноженной на скорость), тем хуже себе представляем, где находится частица.

Давайте раз и навсегда разберемся с импульсом, а то эта вещь хоть и из школьной физики, но сильно затрудняет понимание. Импульс это такая характеристика движущегося тела, равная массе этого тела, умноженную на его скорость. Его еще называют количеством движения и измеряют в килограммах на метр в секунду. Чем больше масса движущегося тела, тем больше его импульс. В принципе, косвенно импульс намекает, как больно нам прилетит в лоб брошеный булыжник, и степень этой боли будет зависеть как от массы булыжника, так и от его скорости к моменту прилета в нашу башку. Импульс имеет важное свойство - они никуда не пропадает при столкновении, а передается другому телу, тем самым создавая всемирный закон сохранения импульса.

Не в меру умный Гейзенберг объяснил монстрам классической физики, что это не "фигня какая-то", а фундаментальное свойство нашего мира.
И нарисовал им поясняющую формулу: Δx * Δv > h/m , которая означает, что если мы умножим неопределенность положения частицы (длина отрезка координаты, где кажется находится частица) на неопределенность ее скорости (разница между верхней и нижней предполагаемой скоростей этой частицы), то всегда получим число большее нуля, равное массе частицы, поделенной на постоянную Планка (это такая цифра, у которой ноль целых, тридцать три нуля после запятой, а потом уже цифра 6 и другие). Проверьте сами: если мы точно знаем, где находится частица, то есть Δx=0, то тогда ее скорость равна невозможному значению, математической бесконечности, потому что для ее расчета нам придется поделить число из правой части формулы на ноль. А на ноль делить нельзя…

Можете себе представить, как тряхануло весь ученый мир - остальной народ ничего не понял, так как готовился ко Второй Мировой, занимался коллективизацией, пытался вылезти из Великой Депрессии и т.д. и т.п.
Оказалось, что природа защитила свои секреты вот таким вот законом, который никому никогда не обойти. Мы можем узнать вероятные значения параметров частицы с заданной точностью, но никогда не предскажем точно оба параметра. Кроме того принцип Гейзенберга распространяется не только на импульс и местонахождение - он также справедлив для энергии частицы и момента времени, когда частица этой энергией обладает.
Вот формула для самых любознательных читателей: ΔЕ*Δt > h

Цитируя одного замечательного автора: "если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц ".

Опять же, читатель, лениво прочитавший все вышенаписанное, скажет, мол, товарищи, это все математика и абстракции, мы живем в мире, где поезд выходит из города А в город Б со скоростью, которую нужно рассчитать согласно условиям учебника. Где факты, подтверждающие формулы всех этих немцев и евреев?

Во-первых, мы действительно не можем наблюдать непосредственно этот эффект, потому что различия становятся заметны на очень малых расстояниях (на это нам намекает постоянная Планка в формуле с ее тридцатью тремя нулями после запятой). А во-вторых, принцип неопределенности не так и чужд нашей Вселенной, а очень многое объясняет, почему вещи устроены так как сейчас, а не иначе.
Например, становится ясно, почему существует твердая материя.

Не могу не процитировать еще одного хорошего автора: "что случится с электроном, если его начнут слишком сильно прижимать к ядру. Это будет означать, что его местоположение станет известным с большой степенью точности. Но, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, чем больше мы уверены в местоположении частицы, тем меньше мы уверены в ее импульсе. Это очень похоже на то, как если бы мы засунули пчелу в спичечный коробок. Встряхните коробок — пчела разозлится и будет с остервенением колотиться о стены своей тюрьмы. Вот электроны в атомах и есть те самые пчелы в коробках. <…> Когда мы ступаем по земле, наш вес сжимает атомы, из которых она состоит. Это сжатие заставляет электроны хоть чуть-чуть, но приблизиться к ядрам. А принцип неопределенности Гейзенберга понуждает их воспротивиться и оттолкнуться от ядер ".

Еще один пример действия квантовой неопределенности мы уже встречали в нашей . Теперь стало немного понятнее, почему вакуум не может существовать с точки зрения квантовой физики: вакуум это поле с нулевой энергией и нулевым количеством частиц. А этого одновременно быть не может, поэтому природе приходится создавать квантовую пену, лишь бы обойти дурацкий запрет на точное знание всех параметров частиц.

Тем не менее, многие люди, включая даже настоящих ученых, полагают, что неопределенность измерения можно объяснить классическими средствами. Ведь что получается, говорят эти люди, если мы пытаемся измерить местоположение частицы, то для этого мы должны как-то обнаружить ее в пространстве и для этого мы ставим для нее преграду или ловим потоком других частиц (фотонами, например). Если в макромире освещение фонариком предмета не приведет к изменению параметров предмета, то в микромире ситуация другая. Длина волны фотона сопоставима с длиной волны разыскиваемой частицы и их "столкновение" фатально для системы.

Если фотон имеет очень большую длину волны, мы не можем точно определить положение частицы. Фотоны с большой длиной волны ударяют слабо, поэтому измерение не слишком влияет на электрон, а значит, мы можем определить его скорость достаточно точно. С другой стороны, чтобы как следует понять, где находится частица, нужно ударить ее фотоном с маленькой длиной волны. Фотон с маленькой длиной волны очень энергичный, а значит, сильно ударяет частицу. В результате мы не можем определить ее скорость достаточно точно. (тоже цитата)

На картинке как раз примеры длин электромагнитных волн - ну и какой именно волной ловить частичку, когда в случае красного света она просто потеряется между началом и концом одного "гребня", а в случае с ультрафиолетом - столкнется с практически твердой преградой и отскочит к черту на кулички.

Действительно, кажется, что проблема неопределенности в ограничениях, связанных с измерением - мы не можем измерить технически, а не вообще. Но на самом деле свойство неопределенности фундаментально и не зависит от времени, места, способа измерения параметров частицы. Неопределенность есть даже тогда, когда мы ее не измеряем (но это не значит, что существует некий Вселенский Измеритель наподобие Бога, Аллаха, Летающего Макаронного Монстра, Невидимого Розового Единорога или Ктулху, которые сидят с линейкой и решают, что измерить в каждый момент времени - координаты или импульс).

Интереснейшим практическим следствием неопределенности является туннельный эффект.
Если по каким-то причинам местонахождение частицы становится все более и более определенным, то скорость частицы становится, как мы знаем, непредсказуемой. Строго говоря, непредсказуемым становится импульс частицы. Вследствие этого обычного квантового явления неопределенность импульса может дать частице дополнительную энергию и такая частица иногда может сделать очень странную вещь: пройти сквозь непреодолимый барьер. В макромире это выглядело бы как прохождение сквозь стену или выпрыгивание из ямы без видимых причин.

Но туннелирование в самом деле существует. И мы им пользуемся в таких достижениях прогресса как туннельный диод или сверхпроводники. Тот же радиоактивный распад существует благодаря эффекту туннелирования: альфа-частицы отрываются от тяжелого ядра не за счет собственных сил - ядро их на самом деле очень крепко держит (мы как-то уже рассказывали ) - а как раз из-за существования ненулевой вероятности прорваться через энергетический барьер. И существование термоядерного синтеза внутри звезд (из-за которого наше солнце светит) также обусловлено туннелированием. Вот ведь как все на самом деле-то, котаны.

Как мы уже говорили, Эйнштейну очень не нравились всякие неопределенности в физике. И в то время, когда Нильс Бор пытался создать хоть какое-то подобие квантовой теории, Эйнштейн всячески изводил его провокационными вопросами. Так в 30-е годы Эйнштейн и два его единомышленника - Подольский и Розен - предложили так называемый ЭПР-парадокс (по первым буквам фамилий хитрых физиков), гипотетический эксперимент, который доказывал, что неопределенность Гейзенберга можно обойти. Те, кто немного разбирались в том, что происходит, запасались попкорном и издалека наблюдали как физики троллят друг друга. Заголовок газеты тех времен гласил: "Эйнштейн атакует квантовую теорию: Учёный и двое его коллег находят её „неполной“, хотя и „корректной“

Попробуем упрощенно разобрать суть парадокса. Допустим Гейзенберг немного прав, и мы почему-то не можем измерить импульс и координаты частицы одновременно. Но попробуем пойти в обход. Давайте столкнем две частицы, и после удара они разлетятся, получив некоторые общие характеристики. Такие частицы физики называют "запутанными ". Отбросив сложную матчасть, вспомним закон сохранения импульса из классической механики - суммарный импульс тел до соударения равен суммарному импульсу после соударения . Итак, частицы сталкиваются, и они разлетаются, поделив импульс, как биллиардные шары после столкновения. Затем мы измеряем координату у первой частицы и импульс у второй. Таким образом узнаем и координату первой частицы (которую измерили непосредственно), и ее импульс (который просто вычислили, измерив импульс у второй частицы и отняв ее от первоначального импульса до соударения).

Осознайте, насколько коварен был Эйнштейн! Поставить подобный эксперимент в те годы было затруднительно (коллайдеры еще не изобрели). Нильс Бор практически на одной вере в чудеса заявил, что эксперимент не получится, потому что частица приобретает значения импульса только после измерения, а не в момент столкновения. Но Эйнштейн казался таким логичным - ведь это будет святотатство - нарушение закона сохранения импульса. Противостояние физиков перешло в затяжную стадию с перевесом в пользу Эйнштейна.

И только спустя 30 лет, один физик по имени Белл придумал специальную формулу, с помощью которой можно было бы проверить, кто прав Эйнштейн или Бор. А еще 22 года спустя (в 1982 году) французские ученые сумели поставить эксперимент и проверили результаты по формулам Белла. Оказалось, что прав был Нильс Бор: Никакой "объективной физической реальности", о которой грезил Эйнштейн, в микромире не существует.

На картинке еще одно более сложное, но все-таки популярное объяснение ЭПР-парадокса (разбирайтесь сами).

Квантовая запутанность крайне сложная вещь - о ней и прочих страшных вещах (квантовая нелокальность, квантовые компьютеры, все эти необъяснимые спины, запрет Паули, неравества Белла и т.д.) мы как-нибудь попробуем рассказать в следующих ликбезах от дружного коллектива Quantuz, если, конечно, рейтинги статей дадут нам понять, что народу эта тема все еще интересна. Искренне просим прощения за возможные неточности в изложении. Напоминаем, что наша цель как можно более популярно объяснить людям, почему физика интереснее "битвы экстрасенсов".
Помните, что если вы что-то не поняли, то это нормально. Квантовую физику мало кто понимает целиком. Не унывайте.

Все изображения взяты из гугла (поиск по картинкам) - авторство определяется там же.
Незаконное копирование текста преследуется, пресекается, ну, и сами знаете. ..

ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ:

Принцип неопределённости – фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты её центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Количественно принцип неопределённости формулируется следующим образом. Если ∆x – неопределённость значения координаты x центра инерции системы, а ∆p x – неопределённость проекции импульса p на ось x, то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка ħ. Аналогичные неравенства дожны выполняться для любой пары т. н. канонически сопряженных переменных, например для координаты y и проекции импульса p y на ось y, координаты z и проекции импульса p z. Если под неопределённостями координаты и импульса понимать среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений, то принцип неопределённости для них имеет вид:

∆p x ∆x ≥ ħ/2, ∆p y ∆y ≥ ħ/2, ∆p z ∆z ≥ ħ/2

Ввиду малости ħ по сравнению с макроскопическими величинами той же разномерности действие принципа неопределённости существенно в основном для явлений атомных (и меньших) масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Из принципа неопределённости следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определенно значение другой. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению таких динамичных переменных; при этом неопределённость в измерениях связано не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами материи.

Принцип неопределённости, открытый в 1927 г. немецким физиком В. Гейзенбергом, явился важным этапом в выяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики. Существенной чертой микроскопических объектов является их корпускулярно-волновая природа. Состояние частицы полностью определяется волновой функцией (величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (электрона, протона, атома, молекулы) и вообще любой квантовой системы). Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экпериментов по определению, например, координаты имеют вероятностный характер.

(Пример: движение электрона представляет собой распространение его собственной волны. Если стрелять пучком электронов через узкое отверстие в стенке: узкий пучок пройдёт через него. Но если сделать это отверстие ещё меньше, такое, чтобы его диаметр по величине сравнялся с длиной волны электрона, то пучок электронов разойдётся во все стороны. И это не отклонение, вызванное ближайшими атомами стенки, от которого можно избавиться: это происходит вследствие волновой природы электрона. Попробуйте предсказать, что произойдёт дальше с электроном, прошедшим за стенку, и вв окажетесь бессильными. Вам точно известно, в каком месте он пересекает стенку, но сказать, какой импульс в поперечном направлении он приобретёт, вы не можете. Наоборот, чтобы точно определить, что электрон появится с таким-то определённым импульсом в первоначальном направлении, нужно увеличить отверстие настолько, чтобы электронная волна проходила прямо, лишь слабо расходясь во все стороны из-за дифракции. Но тогда невозможно точно сказать, в каком же точно месте электрон-частица прошёл через стенку: отверстие-то широкое. Насколько выигрываешь в точности определения импульса, настолько проигрываешь в точности, с какой известно его положение.

Это и есть принцип неопределённости Гейзенберга. Он сыграл исключительно важную роль при построении математического аппарата для описания волн частиц в атомах. Его строгое толкование в опытах с электронами такого: подобно световым волнам электроны сопротивляются любым попыткам выполнить измерения с предельной точностью. Этот принцип меняет и картину атома Бора. Можно определить точно импульс электрона (а следовательно, и его уровень энергии) на какой-нибудь его орбите, но при этом его местонахождение будет абсолютно неизвестно: ничего нельзя сказать о том, где он находится. Отсюда ясно, что рисовать себе чёткую орбиту электрона и помечать его на ней в виде кружка лишено какого-либо смысла.)

Следовательно, при проведении серии одинаковых опытов, по тому же определению координаты, в одинаковых системах получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, т. е. будут появляться чаще. Относительная частота появления тех или иных значений координаты пропорционально квадрату модуля волновой функции в соответствующих точках пространства. Поэтому чаще всего будут получаться те значения координаты, которые лежат вблизи максимума волновой функции. Но некоторый разброс в значениях координаты, некоторая их неопределённость (порядка полуширины максимума) неизбежны. То же относится и к измерению импульса.

Таким образом, понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопической системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является принцип неопределённости.

Несколько иной смысл имеет принцип неопределённости для энергии ε и времени t:

∆ε ∆t ≥ ħ

Если система находится в стационарном состоянии, то из принципа неопределённости следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить только с точностью, не превышающей ħ/∆t, где ∆t – длительность процесса измерения. Причина этого – во взаимодействии системы с измерительным прибором, и принцип неопределённости применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерительным прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до ħ/∆t.

См. также «Физический портал»

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) в квантовой механике - фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана , так и для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Согласно принципу неопределённостей, частица не может быть описана как классическая частица, то есть например у нее не могут быть одновременно точно измерено положение и скорость (импульс) , так же как у обычной классической волны и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки), ни определённым значением импульса (включая его направление; в примере с частицей в коробке модуль импульса определен, но не определено его направление).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике есть в математическом смысле есть непосредственное прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье .

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что (или p x = k x в системе единиц ), то есть импульс в квантовой механике - это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей наших приборов или органов чувств.

Определение

Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - приведённая постоянная Планка .

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Варианты и примеры

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений, в случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Интерпретации

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»