Теорема Виета. Примеры решения. Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения
Начальный уровень
Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)
В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.
Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.
Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.
Пример 1.
Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на
Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса
Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!
Пример 2.
Домножим левую и правую часть на:
Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!
Пример 3.
Домножим все на:
Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:
Пример 4.
Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:
Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!
Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:
Примеры:
Ответы:
- квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- квадратное.
Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:
- Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
- Неполные квадратные уравнения
- уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:
Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.
Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.
Решение неполных квадратных уравнений
Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!
Неполные квадратные уравнения бывают типов:
- , в этом уравнении коэффициент равен.
- , в этом уравнении свободный член равен.
- , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения
Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.
А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.
Давай попробуем решить несколько примеров.
Пример 5:
Решите уравнение
Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!
Пример 6:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 7:
Решите уравнение
Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней!
Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:
Ответ:
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:
Решите уравнение
Вынесем общий множитель за скобки:
Таким образом,
У этого уравнения два корня.
Ответ:
Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Здесь обойдемся без примеров.
Решение полных квадратных уравнений
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9:
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Пример 12:
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14:
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.
Решения различных типов квадратных уравнений
Методы решения неполных квадратных уравнений:
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений:
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Ответ: .
Ответ:
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример №1:
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример №2:
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример №3:
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример №4:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример №5:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:
Решения заданий для самостоятельной работы:
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Задание 4.
Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведу итог:
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 1:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 2:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата
Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней . Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.
Например, пусть мы, используя , решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)
Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.
Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.
Обратная теорема Виета
Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).
Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.
Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – . Это умение важно, так как экономит много времени.
Пример . Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).
Решение
: Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Примеры
. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).
Решение
:
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)? Ответ: \(1\) и \(14\).
б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)? Ответ: \(1\) и \(-4\).
в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).
г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)? \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)? \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)? Да. Ответ: \(78\) и \(10\).
Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).
Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с , то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).
Например , пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос:
По теореме Виета можно решить любые ?
Ответ:
К сожалению, нет. Если в уравнении не целые или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом
. К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.
Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.
Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Достоинства формулы:
1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.
2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.
3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.
4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.
5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.
Недостатки:
1
. Формула не универсальна.
Теорема Виета 8 класс
Формула
Если x 1
и x 2
- корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0
, то:
Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 - корни уравнения x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Обратная теорема
Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q
связаны условиями:
То x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 + px + q = 0 .
Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:
X 1 = 2 - ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Искомое уравнение имеет вид: x 2 - 4x + 1 = 0.
Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.
Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.
Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.
Доказательство теоремы
Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся , а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.
Вторая формулировка и доказательство
Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.