Теория колебаний. Основы теории колебаний

Министерство образования Российской Федерации
Ухтинский государственный технический университет

В.К. Хегай, Д.Н. Левитский,
О.Н. Харин, А.С. Попов

Основы теории колебаний
механических систем
Учебное пособие

Допущено учебно-методическим объединением вузов
по высшему нефтегазовому образованию в качестве учебного
пособия для студентов нефтегазовых вузов, обучающихся
по специальности 090800, 170200, 553600

УДК 534.01
Х-35
Основы теории колебаний механических систем / В.К. Хегай,
Д.Н. Левитский, О.Н. Харин, А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2002. – 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
В учебном пособии рассмотрены основы теории колебаний механических систем, которые опираются на общий курс теоретической механики. Особое внимание уделено применению уравнений Лагранжа второго
ряда. Пособие состоит из шести глав, каждая из которых посвящена определенному типу колебаний. Одна глава посвящена основам теории устойчивости движения и равновесия механических систем.
Для лучшего освоения теоретического материала, в пособии, приведено
большое количество примеров и задач из различных областей техники.
Учебное пособие предназначено для студентов механических специальностей, изучающих курс теоретической механики в полном объеме,
может быть также полезным и для студентов других специальностей.
Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской
государственной лесотехнической академии (зав. кафедрой д. т. н., профессор Ю.А. Добрынин); начальник комплексного отдела бурения «СеверНИПИГаз» к. т. н., доцент Ю.М. Гержберг.

© Ухтинский государственный технический университет, 2002
©Хегай В.К., Левитский Д.Н., Харин О.Н., Попов А.С., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Оглавление
Предисловие..................................................................................................................... 4
Глава I. Краткие сведения из аналитической механики........................................ 5
1.1 Потенциальная энергия системы............................................................................... 5
1.2. Кинетическая энергия системы................................................................................ 6
1.3. Диссипативная функция............................................................................................ 8
1.4. Уравнение Лангранжа................................................................................................ 9
1.5. Примеры на составление уравнений Лангранжа второго рода............................. 11
Глава II. Устойчивость движения и равновесия консервативных систем......... 20
2.1. Введение...................................................................................................................... 20
2.2. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра............................................................. 21
2.3. Уравнение возмущенного движения........................................................................ 23
2.4. Теорема Ляпунова об устойчивости движения....................................................... 26
2.5. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
консервативной системы.................................................................................................. 29
2.6. Устойчивость равновесия консервативной системы с одной
степенью свободы............................................................................................................. 30
2.7. Примеры на устойчивость равновесия консервативной системы......................... 31
Глава III. Свободные колебания системы с одной степенью свободы................. 39
3.1. Свободные колебания консервативной системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 39
3.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии
сил сопротивления, пропорциональных скорости......................................................... 42
3.3. Примеры на свободные колебания системы с одной степенью свободы............. 46
Глава IV. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы........... 59
4.1. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
в случае периодической возмущающей силы................................................................ 59
4.2. Явление резонанса...................................................................................................... 63
4.3. Явление биения.......................................................................................................... 66
4.4. Коэффициент динамичности..................................................................................... 68
4.5. Примеры на вынужденные колебания системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 70
Глава V. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы................ 78
5.1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы и их общее решение........................................................................ 78
5.2. Собственные формы.................................................................................................. 80
5.3. Примеры на свободное колебание системы с двумя степенями свободы............ 81
Глава VI. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы........ 93
6.1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы и их
общее решение................................................................................................................... 93
6.2. Динамический гаситель колебаний.......................................................................... 95
6.3. Примеры на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы..... 98
Библиографический список.......................................................................................... 107

4
Предисловие
На современном этапе развития высшей школы в практику преподавания всё шире вводятся проблемные и исследовательские формы обучения.
Динамические процессы в машинах и механизмах имеют определяющее значение как для расчёта на стадии проектирования новых конструкций, так и для определения технологических режимов в процессе эксплуатации. Трудно назвать такую область техники, в которой не были бы
актуальными проблемы изучения упругих колебаний и устойчивости равновесия и движения механических систем. Они представляют особую
важность для инженеров-механиков, работающих в области машиностроения, транспорта и других областях техники.
В пособии рассмотрены некоторые отдельные вопросы из теории
колебаний и устойчивости механических систем. Теоретические сведения
пояснены примерами.
Основное назначение настоящего методического пособия − увязать
область приложений теоретической и аналитической механики с задачами
специальных кафедр, осуществляющих подготовку инженеров-механиков.

5
Глава I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
I.I. Потенциальная энергия системы
Потенциальная энергия системы с s степенями свободы, являясь
энергией положения, зависит только от обобщённых координат

П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
где q j

(j = 1, 2,K , s) – обобщённые координаты системы.

Рассматривая малые отклонения системы от положения устойчивого
равновесия, обобщённые координаты qj можно рассматривать как величины первого порядка малости. Считая, что положение равновесия системы
соответствует началу отсчёта обобщённых координат, разложим выражение потенциальной энергии П в ряд Маклорена по степеням qj

∂П
1 S S ∂2 П
П = П (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
i =1 j =1
j
i
j
S

Имея в виду, что потенциальная энергия определяется с точностью
до некоторой аддитивной постоянной, потенциальную энергию в положении равновесия можно принять равной нулю
П (0) = 0.

В случае консервативных сил обобщённые силы определяются формулой

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) .

Так как при равновесии системы сил

(j = 1, 2,K , s) ,

То условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Следовательно,
s

6
Тогда равенство (1.2.) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид

1 S S ⎛ ∂2 П
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Обозначим

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Где cij - обобщённые коэффициенты жёсткости.
Окончательно выражение потенциальной энергии имеет вид

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i =1 j =1

Из (1.9.) видно, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщённых координат.
1.2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы, состоящей из n материальных точек,
равна

1 n
T = ∑mk vk2 ,
2 k =1

Где mk и vк − масса и скорость k -ой точки системы.
При переходе к обобщённым координатам будем иметь в виду, что
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Где r k – радиус-вектор k -ой точки системы.
−

Воспользуемся тождеством vk2 = v k ⋅ v k и заменим вектор скорости
−

V k его значением
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Тогда выражение для кинетической энергии (1.10) примет вид

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

As −1,s = ∑ mk
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Разлагая каждый из этих коэффициентов в ряд Маклорена по степеням обобщённых координат, получаем

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

Индекс 0 соответствует значениям функций в положении равновесия. Так как рассматриваются малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.14) ограничимся только первыми постоянными членами

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Тогда выражение для кинетической энергии (1.13) примет вид
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Или в общем виде

1 S
T= ∑
2 i=1

Постоянные aij – обобщённые коэффициенты инерции.
Из (1.16) видно, что кинетическая энергия системы Т – oднородная
квадратичная функция обобщённых скоростей.

8
1.3. Диссипативная функция
В реальных условиях свободные колебания системы затухают, так
как на её точки действуют силы сопротивления. При наличии сил сопротивления происходит рассеивание механической энергии.
−

Допустим, что силы сопротивления R k (k = 1, 2,..., n) , действующие
на точки системы, пропорциональны их скоростям
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Где µ k – коэффициент пропорциональности.
Обобщённые силы сопротивления для голономной системы определяем по формулам
n

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
n

(j = 1, 2,..., s) .

Так как
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Имея в виду (1.18), обобщённые силы сопротивления (1.17) перепишем в виде
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Введём диссипативную функцию, которая определяется формулой
n

Тогда обобщённые силы сопротивления определяем по формулам

(j = 1, 2,..., s) .

Диссипативную функцию по аналогии с кинетической энергией системы можно представить в виде однородной квадратичной функции
обобщённых скоростей

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i =1 j =1

Где вij – обобщенные коэффициенты диссипации.
1.4. Уравнение Лагранжа второго рода
Положение голономной системы, имеющей s степеней свободы, определяется s обобщёнными координатами qj (j = 1, 2,..., s) .
Для вывода уравнений Лагранжа второго рода воспользуемся общим
уравнением динамики
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Где Qj – обобщённая сила активных сил, соответствующая j-ой обобщённой координате;
Q uj – обобщённая сила сил инерции, соответствующая j-ой обобщённой координате;
δ q j – приращение j -ой обобщённой координаты.
Имея в виду, что все δ q j (j = 1, 2,..., s) между собой независимы,
равенство (1.23) будет справедливо лишь в случае, когда каждый из коэффициентов при δ q j в отдельности будет равен нулю, т.е.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
или

(j = 1, 2,..., s) .

Выразим Q uj через кинетическую энергию системы.
По определению обобщённой силы , имеем

Q иj = ∑ Φ k
k =1

∂ rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2,K , s) ,

D vk
где Φ k = − mk a k = − mk
– сила инерции к -ой точки системы.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Подставляя значения (1.27) и (1.28) в равенство (1.26), находим
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

С учётом равенства (1.29) выражение (1.25) перепишем в виде

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
и
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
n

11
Здесь учтено, что сумма производных равна производной от суммы,
n m v2
а ∑ k k = T – кинетическая энергия системы.
k =1
2
Имея в виду равенства (1.24), окончательно находим

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2,K , s) .

Уравнения (1.30) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
Если силы, действующие на точки системы, имеют потенциал, то
для обобщённых сил справедлива формула

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) ,

Где П – потенциальная энергия системы.
Таким образом, для консервативной системы уравнения Лагранжа

Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем.
Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подробного изложения и обоснования самих методов. Главное внимание уделено выяснению принципиальных особенностей изучаемых колебательных моделей реальных систем с использованием наиболее адекватных методов анализа.

Свободные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью.
Рассмотрим теперь другой пример электрической нелинейной консервативной системы, а именно - контур с индуктивностью, зависящей от протекающего по нему тока. Этот случай не имеет наглядного и простого нерелятивистского механического аналога, так как зависимость самоиндукции от тока эквивалентна для механики случаю зависимости массы от скорости.

С электрическими системами подобного типа мы встречаемся тогда, когда в индуктивностях используются сердечники из ферромагнитного материала. В таких случаях для каждого данного сердечника можно получить зависимость между намагничивающим нолем и потоком магнитной индукции. Кривая, изображающая эту зависимость, называется кривой намагничения. Если пренебречь явлением гистерезиса, то примерный ее ход можно представить графиком, изображенным на рис. 1.13. Так как величина поля Н пропорциональна току, текущему в катушке, то по оси абсцисс можно прямо в соответствующем масштабе откладывать ток.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Основы теории колебаний, Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н., 1978 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Начала теоретической физики, Механика, теория поля, элементы квантовой механики, Медведев Б.В., 2007
• Курс физики, Ершов А.П., Федотович Г.В., Харитонов В.Г., Прууэл Э.Р., Медведев Д.А.
• Техническая термодинамика с основами теплопередачи и гидравлики, Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М., 1988

6.1. Колебательная система с одной степенью свободы – описание с помощью фазовой плоскости. Математический маятник, колебательный контур.
6.2. Метод медленно меняющихся амплитуд. Пример анализа колебательной системы.
6.3. Метод гармонического баланса. Пример анализа колебательной системы.
6.4. Автоколебательные системы. Предельный цикл. Синхронизация колебаний.
6.5. Параметрическая генерация и усиление колебаний.
6.6. Колебательные системы с двумя степенями свободы, парциальные и нормальные частоты, затягивание и синхронизация колебаний.
6.7. Колебания в системах со многими степенями свободы, ортогональность нормальных колебаний, вынужденные колебания, автоколебания, соотношения Менли – Роу.
6.8. Собственные и вынужденные колебания в распределенных системах.

7. Физика волновых процессов.

7.1. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде.
7.2. Распространение волн в диспергирующих средах, волны в жидкостях и газах.
7.3. Распространение электромагнитных волн в анизотропной среде.
7.4. Генерация гармоник. Условие фазового синхронизма, соотношения Менли – Роу.
7.5. Нелинейные волны в диспергирующей и диссипативной среде. Солитоны.
7.6. Приближение геометрической оптики, квазиоптическое приближение.
7.7. Прямоугольный волновод. Электрические и магнитные волны: классификация и структура поля. Волна H 10 .

Программная инженерия

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.

1. Инструментарий для написания графических приложений.
2. 2D и 3D моделирование в рамках графических систем. Проблемы геометрического моделирования.
3. Виды геометрических моделей их свойства, параметризация моделей; геометрические операции над моделями.
4. Алгоритмы визуализации: отсечения, развертки, удаления невидимых линий и поверхностей, закраски. Способы создания фотореалистических изображений; основные функциональные возможности современных графических систем.
5. Организация диалога в графических системах; классификация и обзор современных графических систем.
6. Основные этапы решения задач на ЭВМ. Критерии качества программы. Жизненный цикл программы. Постановка задачи и спецификация программы.
7. Способы записи алгоритма; программа на языке высокого уровня; стандартные типы данных; представление основных управляющих структур программирования.
8. Процедуры и функции. Массивы. Утверждения о массивах. Записи. Файлы. Прямой и последовательный доступ.
9. Базы данных: назначение и основные компоненты системы баз данных; обзор современных систем управления базами данных (СУБД); уровни представления баз данных.
10. Базы данных: модели данных; иерархическая, сетевая и реляционная модели данных; схема отношения; язык манипулирования данными для реляционной модели.
11. Базы данных: поиск, сортировка, индексирование базы данных, создание форм и отчетов; физическая организация базы данных; хешированные, индексированные файлы; защита баз данных; целостность и сохранность баз данных.
12. Методы и технологии проектирования средств телекоммуникаций; протоколы канального, сетевого, транспортного и сеансового уровней; конфигурации локальных вычислительных сетей и методы доступа в них.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

13. Основные законы теории электрических и магнитных цепей. Переходные процессы во временной области.
14. Анализ установившегося режима в цепях синусоидального тока. Трехфазные цепи, многополюсные цепи. Законы Кирхгофа для анализа цепей.
15.Апериодические сигналы и их спектры. Основные понятия и модели теории электромагнитного поля. 16. Основные характеристики, области применения ЭВМ различных классов; функциональная и структурная организация процессора.
17. Организация памяти ЭВМ; основные стадии выполнения команды; организация прерываний в ЭВМ. 18. Организация ЭВМ и систем: организация ввода-вывода; периферийные устройства; архитектурные особенности организации ЭВМ различных классов.
19. Организация ЭВМ и систем: параллельные системы; понятие о многомашинных и многопроцессорных вычислительных системах.
20. Назначение и функции операционных систем; мультипрограммирование; режим разделения времени.
21. Операционные системы: универсальные операционные системы и ОС специального назначения; классификация операционных систем; модульная структура построения ОС и их переносимость.
22. Операционные системы: средства обработки сигналов; понятие событийного программирования; средства коммуникации процессов; способы реализации мультипрограммирования; понятие прерывания; многопроцессорный режим работы; управление памятью.
23. Операционные системы: совместное использование памяти; защита памяти; механизм реализации виртуальной памяти; стратегия подкачки страниц; принципы построения и защита от сбоев и несанкционированного доступа.
24. Принципы многоуровневой организации локальных и глобальных сетей ЭВМ.
25. Сети ЭВМ с моноканалом и кольцевые; проектирование сетей ЭВМ по принципу "клиент- сервер"; конфигурации глобальных сетей ЭВМ и методы коммутации в них.
26. Обеспечение безопасности телекоммуникационных связей и t административный контроль; проблемы секретности в сетях ЭВМ и методы криптографии.

ФИЗИКА

1. Современные проблемы физики конденсированного состояния вещества.
2. Физические основы высокотемпературной и комнатнотемпературной сверхпроводимости.
3. Основы теории фазовых переходов II и высшего рода.
4. Низкоразмерные структуры: фуллерены, нанотрубки, графен. Классификация и свойства.
5. Современные перспективы развития физики наноструктур и наноматериалов.
б. Основы нелинейной физики. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы. Физическая природа турбулептности.
7. Физические проблемы управляемого термоядерного синтеза.
8. Единая теория слабого и электромагнитного взаимодействия. Стандартная модель. Великое объединение.
9. Современная таблица истинно элементарных частиц.
10. Симметрии и законы сохранения в физике.
11. Основы физики вакуума. Нелинейные явления в вакууме и сверхсильных электромагнитных полях. 12. Основные проблемы космологии. Реликтовое излучение
13. Проблемы темной материи (скрытой массы) и темной энергии.
14. Экзопланеты и поиск жизни во Вселенной.
15. Специфические свойства состояния в квантовой физике.
16. Основы квантовой электроники. Мазеры. Лазеры. Новые инфолазерные технологии: фотоника.
17. Физические основы спинтроника.
18. Нанотехнологии. Классификация и краткая характеристика.
19. Метаматериалы.
20. Место физики в современной науке.

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений, с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин и механизмов.

Исследование поведения любой механической системы всегда начинается с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической модели обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Так, исследуя систему, состоящую из груза, подвешенного на нити, пренебрегают размерами груза, массой и податливостью нити, сопротивлением среды, трением в точке подвеса и т.д.; при этом получается известная физическая модель - математический маятник.

Ограниченность физических моделей играет существенную роль при исследовании колебательных явлений в механических системах.

Физические модели, которые описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принято называть линейными.

Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:

С помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является, с математической точки зрения, элементарной задачей и поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели.

Основные понятия и определения

Колебания системы считаются малыми, если отклонения и скорости можно рассматривать как величины первого порядка малости по сравнению с характерными размерами и скоростями точек системы.

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Равновесие системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3. 8).

Рис. 3. 8 Различные виды равновесия

Равновесное положение системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено весьма малым начальным отклонением и (или) малой начальной скоростью, совершает движение около этого положения.

Критерий устойчивости положения равновесия консервативных систем с голономными и стационарными связями устанавливается по виду зависимости потенциальной энергии системы от обобщённых координат. Для консервативной системы c
степенями свободы, уравнения равновесия имеют вид

, т.е.
, где
.

Сами уравнения равновесия не дают возможности оценить характер устойчивости или неустойчивости положения равновесия. Из них лишь следует, что положению равновесия соответствует экстремальное значение потенциальной энергии.

Условие устойчивости положения равновесия (достаточное) устанавливается теоремой Лагранжа – Дирихле:

если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво.

Условием минимума любой функции является положительность второй производной от неё, при равенстве первой производной нулю. Поэтому

.

Если же вторая производная тоже равна нулю, то для оценки устойчивости необходимо вычислить последовательные производные

,

и если первая не равная нулю производная имеет чётный порядок и при этом положительна, то потенциальная энергия при
имеет минимум, а следовательно, это положение равновесия системы устойчиво. Если же эта производная имеет нечётный порядок, то при
нет ни максимума, ни минимума. Оценка состояния равновесия системы в положении, когда она не имеет минимума потенциальной энергии, приводится в специальных теоремах А. М. Ляпунова.