Формула проекции перемещения через координаты. Траектория. Сложение векторов, перпендикулярных друг другу

Скорость (v) - физическая величина, численно равна пути (s), пройденного телом за единицу времени (t).

Путь

Путь (S) - длина траектории, по которой двигалось тело, численно равен произведению скорости (v) тела на время (t) движения.

Время движения

Время движения (t) равно отношению пути (S), пройденного телом, к скорости (v) движения.

Средняя скорость

Средняя скорость (vср) равна отношению суммы участков пути (s 1 s 2 , s 3 , ...), пройденного телом, к промежутку времени (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за который этот путь пройден.

Средняя скорость - это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.

Средняя скорость при неравномерном движении по прямой: это отношение всего пути ко всему времени.

Два последовательных этапа с разными скоростями: где

При решении задач - сколько этапов движения столько будет составляющих:

Проекции вектора перемещения на оси координат

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Проекция вектора на ось равна нулю, если вектор перпендикулярен оси.

Знаки проекций перемещения: проекцию считают положительной, если движение от проекции начала вектора к проекции конца происходит по направлению оси, и отрицательной, если против оси. В данном примере

Модуль перемещения - это длина вектора перемещения:

По теореме Пифагора:

Проекции перемещения и угол наклона

В данном примере:

Уравнение координаты (в общем виде):

Радиус-вектор - вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с положением тела в данный момент времени. Проекции радиус-вектора на оси координат определяют координаты тела в данный момент времени.

Радиус-вектор позволяет задать положение материальной точки в заданной системе отсчета :

Равномерное прямолинейное движение - определение

Равномерное прямолинейное движение - движение, при котором тело за любые равные промежутки времени, совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном прямолинейном движении . Скорость - векторная физическая величина, которая показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени.

В векторном виде:

В проекциях на ось ОХ:

Дополнительные единицы измерения скорости:

1 км/ч = 1000 м/3600 с,

1 км/с = 1000 м/с,

1 см/с = 0,01 м/с,

1 м/мин =1 м/60 с.

Измерительный прибор - спидометр - показывает модуль скорости.

Знак проекции скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

График проекции скорости представляет собой зависиость проекции скорости от времени:

График скорости при равномерном прямолинейном движении - прямая, параллельная оси времени (1, 2, 3).

Если график лежит над осью времени (.1), то тело движется по направлению оси ОХ. Если график расположен под осью времени, то тело движется против оси ОХ (2, 3).

Геометрический смысл перемещения.

При равномерном прямолинейном движении перемещение определяют по формуле . Такой же результат получим, если вычислим площадь фигуры под графиком скорости в осях. Значит, для определения пути и модуля перемещения при прямолинейном движении необходимо вычислять площадь фигуры под графиком скорости в осях:

График проекции перемещения - зависимость проекции перемещения от времени.

График проекции перемещения при равномерном прямолинейном движении - прямая, выходящая из начала координат (1, 2, 3).

Если прямая (1) лежит над осью времени, то тело движется по направлению оси ОХ, а если под осью (2, 3), то против оси ОХ.

Чем больше тангенс утла наклона (1) графика, тем больше модуль скорости.

График координаты - зависимость координаты тела от времени:

График координаты при равномерном прямолинейном движении - прямые (1, 2, 3).

Если с течением времени координата увеличивается (1, 2), то тело движется по направлению оси ОХ; если координата уменьшается (3), то тело движется против направления оси ОХ.

Чем больше тангенс угла наклона (1), тем больше модуль скорости.

Если графики координат двух тел пересекаются, то из точки пересечения следует опустить перпендикуляры на ось времени и ось координат.

Относительность механического движения

Под относительностью мы понимаем зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Например, покой относителен; движение относительно и положение тела относительно.

Правило сложения перемещений. Векторная сумма перемещений

где - перемещение тела относительно подвижной системы отсчета (ПСО); - перемещение ПСО относительно неподвижной системы отсчета (НСО); - перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета (НСО).

Векторное сложение:

Сложение векторов, направленных вдоль одной прямой:

Сложение векторов, перпендикулярных друг другу

По теореме Пифагора

Траектория - это линия, которую тело описывает при движении.

Траектория пчелы

Путь - это длина траектории. То есть длина той, возможно, кривой линии, по которой двигалось тело. Путь скалярная величина ! Перемещение - векторная величина ! Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора. Путь и перемещение - это существенно разные физические величины.

Обозначения пути и перемещения вы можете встретить разное:

Сумма перемещений

Пусть в течение промежутка времени t 1 тело совершило перемещение s 1 , а в течение следующего промежутка времени t 2 - перемещение s 2 . Тогда за все время движения перемещение s 3 - это векторная сумма

Равномерное движение

Движение с постоянной по модулю и по направлению скоростью. Что это значит? Рассмотрим движение машины. Если она едет по прямой линии, на спидометре одно и то же значение скорости (модуль скорости), то это движение равномерное. Стоит машине изменить направление (повернуть), это будет означать, что вектор скорости изменил свое направление. Вектор скорости направлен туда же, куда едет машина. Такое движение нельзя считать равномерным, несмотря на то, что спидометр показывает одно и то же число.

Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения тела

Можно ли движение на карусели считать равномерным (если не происходит ускорение или торможение)? Нельзя, постоянно изменяется направление движения, а значит и вектор скорости. Из рассуждений можно сделать вывод, что равномерное движение - это всегда движение по прямой линии! А значит при равномерном движении путь и перемещение одинаковы (поясни почему).

Нетрудно представить, что при равномерном движении за любые равные промежутки времени тело будет перемещаться на одинаковое расстояние.

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение ) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы и ), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия .

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А x и В x . Длина отрезка А x В x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S x = A x B x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S x = x – x 0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Здесь x 0 , y 0 , z 0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х 0 и у 0 , то есть А(х 0 , у 0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора , с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s x CB = s y

По теореме Пифагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Страница 8 из 12

§ 7. Перемещение при равноускоренном
прямолинейном движении

1. Используя график зависимости скорости от времени, можно получить формулу перемещения тела при равномерном прямолинейном движении.

На рисунке 30 приведен график зависимости проекции скорости равномерного движения на ось X от времени. Если восставить перпендикуляр к оси времени в некоторой точке C , то получим прямоугольник OABC . Площадь этого прямоугольника равна произведению сторон OA и OC . Но длина стороны OA равна v x , а длина стороны OC - t , отсюда S = v x t . Произведение проекции скорости на ось X и времени равно проекции перемещения, т. е. s x = v x t .

Таким образом, проекция перемещения при равномерном прямолинейном движении численно равна площади прямоугольника, ограниченного осями координат, графиком скорости и перпендикуляром, восставленным к оси времени.

2. Получим аналогичным образом формулу проекции перемещения при прямолинейном равноускоренном движении. Для этого воспользуемся графиком зависимости проекции скорости на ось X от времени (рис. 31). Выделим на графике малый участок ab и опустим перпендикуляры из точек a и b на ось времени. Если промежуток времени Dt , соответствующий участку cd на оси времени, мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура cabd мало отличается от прямоугольника и ее площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку cd .

На такие полоски можно разбить всю фигуру OABC , и ее площадь будет равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время t численно равна площади трапеции OABC . Из курса геометрии вы знаете, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты:S = (OA + BC )OC .

Как видно из рисунка 31, OA = v 0x , BC = v x , OC = t . Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой: s x = (v x + v 0x )t .

При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела в любой момент времени равна v x = v 0x + a x t , следовательно,s x = (2v 0x + a x t )t .

Отсюда:

Чтобы получить уравнение движения тела, подставим в формулу проекции перемещения ее выражение через разность координат s x = x – x 0 .

Получим: x – x 0 = v 0x t + , или

По уравнению движения можно определить координату тела в любой момент времени, если известны начальная координата, начальная скорость и ускорение тела.

3. На практике часто встречаются задачи, в которых нужно найти перемещение тела при равноускоренном прямолинейном движении, но время движения при этом неизвестно. В этих случаях используют другую формулу проекции перемещения. Получим ее.

Из формулы проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения v x = v 0x + a x t выразим время:

t = .

Подставив это выражение в формулу проекции перемещения, получим:

s x = v 0x + .

Отсюда:

s x = , или
–= 2a x s x .

Если начальная скорость тела равно нулю, то:

2a x s x .

4. Пример решения задачи

Лыжник съезжает со склона горы из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с 2 за 20 с и дальше движется по горизонтальному участку, проехав до остановки 40 м. С каким ускорением двигался лыжник по горизонтальной поверхности? Какова длина склона горы?

Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим по направлению скорости лыжника на каждом этапе его движения (рис. 32).

Запишем уравнение для скорости лыжника в конце спуска с горы:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

В проекциях на ось X получим: v 1x = a 1x t . Поскольку проекции скоростии ускорения на ось X положительны, модуль скорости лыжника равен: v 1 = a 1 t 1 .

Запишем уравнение, связывающее проекции скорости, ускорения и перемещения лыжника на втором этапе движения:

–= 2a 2x s 2x .

Учитывая, что начальная скорость лыжника на этом этапе движения равна его конечной скорости на первом этапе

v 02 = v 1 , v 2x = 0 получим

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Отсюда a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с 2 .

Модуль перемещения лыжника на первом этапе движения равен длине склона горы. Запишем уравнение для перемещения:

s 1x = v 01x t + .

Отсюда длина склона горы равна s 1 = ;

s 1 == 100 м.

Ответ: a 2 = 0,125 м/с 2 ; s 1 = 100 м.

Вопросы для самопроверки

1. Как по графику зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения на ось X

2. Как по графику зависимости проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения на ось X от времени определить проекцию перемещения тела?

3. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении?

4. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела, движущегося равноускоренно и прямолинейно, если начальная скорость тела равна нулю?

Задание 7

1. Чему равен модуль перемещения автомобиля за 2 мин, если за это время его скорость изменилась от 0 до 72 км/ч? Какова координата автомобиля в момент времени t = 2 мин? Начальную координату считать равной нулю.

2. Поезд движется с начальной скоростью 36 км/ч и ускорением0,5 м/с 2 . Чему равны перемещение поезда за 20 с и его координата в момент времени t = 20 с, если начальная координата поезда 20 м?

3. Каково перемещение велосипедиста за 5 с после начала торможения, если его начальная скорость при торможении равна 10 м/с,а ускорение составляет 1,2 м/с 2 ? Чему равна координата велосипедиста в момент времени t = 5 с, если в начальный момент времени он находился в начале координат?

4. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается при торможении в течение 15 с. Чему равен модуль перемещения автомобиля при торможении?

5. Два автомобиля движутся навстречу друг другу из двух населенных пунктов, находящихся на расстоянии 2 км друг от друга. Начальная скорость одного автомобиля 10 м/с и ускорение 0,2 м/с 2 , начальная скорость другого - 15 м/с и ускорение 0,2 м/с 2 . Определите время и координату места встречи автомобилей.

Лабораторная работа № 1

Исследование равноускоренного
прямолинейного движения

Цель работы:

научиться измерять ускорение при равноускоренном прямолинейном движении; экспериментально установить отношение путей, проходимых телом при равноускоренном прямолинейном движении за последовательные равные промежутки времени.

Приборы и материалы:

желоб, штатив, металлический шарик, секундомер, измерительная лента, цилиндр металлический.

Порядок выполнения работы

1. Укрепите в лапке штатива один конец желоба так, чтобы он составлял небольшой угол с поверхностью стола.У другого конца желоба положите в него цилиндр металлический.

2. Измерьте пути, проходимые шариком за 3 последовательных промежутка времени, равных 1 с каждый. Это можно сделать по‑разному. Можно поставить мелом на желобе метки, фиксирующие положения шарика в моменты времени, равные 1 с, 2 с, 3 с, и измерить расстояния s_ между этими метками. Можно, отпуская каждый раз шарик с одной и той же высоты, измерить путь s , пройденный им сначала за 1 с, затем за 2 с и за 3 с, а затем рассчитать путь, пройденный шариком за вторую и третью секунды. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3. Найдите отношения пути, пройденного за вторую секунду, к пути, пройденному за первую секунду, и пути, пройденного за третью секунду, к пути, пройденному за первую секунду. Сделайте вывод.

4. Измерьте время движения шарика по желобу и пройденныйим путь. Вычислите ускорение его движения, используя формулуs = .

5. Используя экспериментально полученное значение ускорения, вычислите пути, которые должен пройти шарик за первую, вторую и третью секунды своего движения. Сделайте вывод.

Таблица 1

Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v 0).

Рис. 14. Проекция вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, численно равна площади S под графиком

Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершенного этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.

Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения s x можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d и b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.

Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от v ах до v cx .

За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.

На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.

Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v 0x и ВС = v x , а высотой - отрезок OB = t. Следовательно,

Поскольку v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можно записать:

Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.

По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.

Вопросы

1. Пользуясь рисунком 14, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.
2. Запишите уравнение для определения проекции вектора перемещения тела при его прямолинейном равноускоренном движении.

Упражнение 7