Колобок двигается в лабиринте по следующему принципу

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха с 3 по 5 апреля. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. В течение скольких часов температура 5 апреля была больше −3 градусов Цельсия?

Данному условию удовлетворяет время с 9 до 24(полночь), что соответствует 15 часам.

Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его величину. Ответ выразите в градусах.

Как видим дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет четвертую часть от окружности. С учетом того, что окружность составляет 360 градусов, то дуга равна 90 градусов. А так как величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, то получаем 45 градусов.

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен лабиринт. Жук вползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться или ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которым он еще не полз. Считая, что выбор чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придет к одному из выходов. Результат округлите до сотых.

С учетом того, что вероятность пойти в различных направлениях на перекрестках одинакова, мы получаем следующие значения (задача просто расписать дорожку к каждому из выходов, учитывая, что, например, если два пути, то вероятность пойти в одном направлении 0,5, если три, то 1/3 и тд. Обратный путь считать не надо):

Г: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}$$

В: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

Б: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}$$

А: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

$$\frac{1}{3}\cdot0,25(1+0,5+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot0,5)=$$ $$\frac{1}{12}(\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=$$ $$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно, что $$\angle ALC=130^{\circ}$$, а $$\angle ABC=103^{\circ}$$. Найдите $$\angle ACB$$. Ответ дайте в градусах.

$$\angle ALB=180^{\circ}-\angle ALC=50^{\circ}$$; $$\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-103^{\circ}-50^{\circ}=27^{\circ}$$; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=23^{\circ}$$

Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен график производной функции $$y=f"(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?

В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его ребра уменьшить в два раза?

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$$ при $$a=0,1$$.

$$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}=$$ $$\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}}{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=$$ $$a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-1-\frac{1}{3}}=$$ $$a^{-1}=\frac{1}{0,1}=10$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий $$v=4$$ моля воздуха при давлении $$p_{1}=1,2$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$$, где α=5,75- постоянная, T =300 К-температура воздуха, $$p_{1}$$ (атм)-начальное давление, а $$p_{2}$$ (атм)-конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления $$p_{2}$$ (в атм) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 20 700 Дж?

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}\Leftrightarrow $$$$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}=\frac{20700}{23\cdot300}=3\Leftrightarrow $$$$\frac{p_{2}}{1,2}=2^{3}=8\Leftrightarrow $$$$p_{2}=1,2\cdot8=9,6$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 ч после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Пусть х - расстояние в один конец. Скорость по течению составляет 24+2=26, против течения 24-2=22. Стоянка длилась 4 часа, следовательно само плавание составило 16-4=12. Данное время получается суммирование времени по течени и против течения:

$$\frac{x}{26}+\frac{x}{22}=12\Leftrightarrow$$$$\frac{24x}{11\cdot13\cdot2}=12\Leftrightarrow $$$$x=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot2}{24}=143$$

Тогда расстояние туда/обратно составило 143-143=286 км.

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Пусть $$x+\frac{\pi}{3}=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac{5}{2}\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow $$$$-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^{2}y-8\sin y+3=0$$;

$$\sin y=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$$ - решений нет;

$$\sin y=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

Построим единичную окружность, отметим корни в общем виде и промежутке и найдем частные случаи корней:

Очевидно, что корни, попадающие в данные отрезки это $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$