На рисунке изображены график функции y f x и касательная

Здравствуйте, друзья! Для вас очередная статья с разбором типовых задач входящих в состав экзамена по математике. Здесь представлены задачи с параллелограммами. Ставятся вопросы о вычислении углов. В мы уже вычисляли углы, там процесс сводился к решению прямоугольного треугольника.

Для решения данных заданий достаточно знать свойства и прямых плюс применить немного логики. Вычислять можно устно, решения простые. Если кратко обозначить теоретические моменты, то озвучить можно следующие «истины»:

— Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам.

— Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

— Биссектриса делит угол пополам.

*Да, ещё величины углов могут быть заданы относительно. Например, углы параллелограмма относятся как 2:3. Тут вам поможет введение коэффициента пропорциональности.

Рассмотрим задачи:

27805. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60 0 . Ответ дайте в градусах.

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Это следует из свойств и признака параллельности прямых:

Сумма внутренних односторонних углов равна 180º

Таким образом, тупой угол параллелограмма равен 120 0 .

27806. Сумма двух углов параллелограмма равна 100 0 . Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Рассуждая логически получим следующее:

1. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит речь идёт не об этих углах.

2. Сумма двух тупых (противолежащих) углов будет всегда больше 180 градусов, значит остаются только два острых угла. Только их сумма может быть равна 100 градусам.

Так как они равны, значит угол будет равен 50-ти градусам. Таким образом, один из оставшихся (тупой угол) будет равен 130 0 .

27807. Один угол параллелограмма больше другого на 70 0 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Понятно, что речь идёт о тупом угле. Он будет больше острого на 70 0 . Введём переменную. Пусть острый равен х градусов, тогда тупой равен х+70 0 . Получается, что

Значит тупой угол (больший) равен 55 0 +70 0 =125 0 .

27808. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26 0 и 34 0 . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Получается, что острый угол параллелограмма равен 26 0 +34 0 =60 0 .

Таким образом больший угол будет равен 180 0 –60 0 =120 0 .

27822. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ дайте в градусах.

Имеем: острый угол относится к тупому как 3:7. Введём коэффициент пропорциональности х. Так сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит

Значит больший угол будет равен 7∙18=126 градусов.

27823. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Построим указанные в условии биссектрисы:

Известно, что

Так как из указанных углов проведены биссектрисы, то получим:

282851. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 0 . Найдите угол ACD . Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую

проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}

Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.

1. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) x0 . f(x) в точке x0.

Ответ: 1

2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 .

Ответ: 0,75

3. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 f(x) в точке x 0 .

Ответ: -0,5

4. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: 2

5. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,75

6. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: 1,4

7. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,25

8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: 0,4

9. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,8

10. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -1,25

11. На рисунке изображен график функции y = f (x ). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной в точке 8.

Ответ: 1,25

12. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку из отрезка [− 2; 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 1

13. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку из отрезка , в которой производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 3

14. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 2). Найдите точку из отрезка [− 10; − 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

Ответ: -7

15. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0.

Ответ: -4

16. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 6

17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 8

18. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 7

19. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6; 6). Найдите количество решений уравнения f "(x)=0 на отрезке [− 4,5; 2,5].

Ответ: 4

20. На рисунке изображён график функции y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (2; 13). Найдите точку максимума функции f(x).

Ответ: 9

21. На рисунке изображён график функции y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 3). Найдите точку минимума функции f(x).

Ответ: -2

22. На рисунке изображён график функции y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Ответ: 9

23. На рисунке изображён график функции y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку максимума функции f(x).

Ответ: -1

24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 8

25. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 5

1 2 3

Данная статья является продолжением двух предыдущих. В статье « » была изложена теория и рассмотрен один из способов нахождения производной по данному графику функции и касательной, проведенной в определённой точке графика.

Там же я обещал вам рассмотреть ещё один способ решения подобных задач. Напомню, что задания такого типа входят в состав экзамена по математике. В статье « » мы рассмотрели формулу, благодаря которой находится уравнение прямой.

Представленная в указанных статьях теория необходима, так как тот способ, который представлен ниже, непосредственно с ней связан. Итак, кратко:

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

где k – угловой коэффициент прямой.

То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид:

После подстановки координат в данное уравнение оно приводится к виду:

Таким образом, в случае, когда даны две точки, через которые проходит касательная (прямая) к графику функции, необходимо найти уравнение этой прямой. Решением задачи будет являться коэффициент k (он равен производной).

На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x о . Найдите значение производной функции f (x ) в точке x о .

Как уже сказано, значение производной функции f (x ) в точке x о равно коэффициенту k из уравнения прямой y = kx + b .

Во всех подобных задачах будут даны две точки, через которые проходит касательная, в данном случае это (–6;–2) и (–1; 8). Подставляем координаты в формулу уравнения прямой:

Проверка:

– 2 = 2 (–6) + 10 → – 2 = – 2 Верно

8 = 2 (–1) + 10 → 8 = 8 Верно

Уравнение прямой найдено верно. Если вы знаете другие способы нахождения уравнения прямой, то используйте (их, кстати, около шести).

Таким образом, f ′(x ) = k = 2.

Как видите, вычисления просты.

Ответ: 2

Вывод: если вы видите перед собой подобную задачу, где на координатной плоскости обозначены две точки, через которые проведена касательная, то:

1. Определите координаты точек. Точки могут быть и не обозначены (не выделены), но на координатной сетке будет отчётливо видно, как (через какие точки) проходит прямая.

2. Найдите уравнение прямой (касательной) по представленной формуле или другим способом.

3. Проверьте полученное уравнение, подставив в него координаты точек.

4. Запишите ответ (коэффициент k ).

На этом всё. Будет полезный материал в следующей статье!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.