Послепечатная обработка полиграфических изделий и её виды. Умножение многозначных чисел. Более сложные задачи на все действия

Способ наименования (называния) с помощью немногих слов любого натурального числа называется устной нумерацией.
Когда человек знал лишь несколько первых натуральных чисел, то естественно, что каждое число он назвал своим особым именем: "один", "два", "три" и т.д.
Тот способ устной нумерации, которым мы пользуемся в настоящее время, был выработан людьми постепенно в процессе многовековой практики счета. В основу современной устной нумерации положены следующие принципы:
Принцип поразрядного счета.
Назвать какое-то натуральное число - это тоже самое, что назвать результат счета единиц, содержащихся в этом числе. Очевидно, что если в данном числе содержится очень много единиц, то сосчитать их трудно и назвать результат счета сложно.
Представьте, что вам нужно пересчитать огромную кучу каких-то предметов (пуговиц, спичек и т.п.). Если считать их по одному предмету, то это займет очень много времени. Тогда поступают так. Разложим все предметы по коробкам так, чтобы в каждой коробке было одно и тоже число предметов. Затем если этих коробок окажется много, то разложим их по ящикам, причем так, чтобы в каждом ящике было столько коробок, сколько предметов было в одной коробке. Если и ящиков окажется много, то разложим их таким же образом по еще большим упаковкам и т.д.
При таком способе счета используется не одна единица счета, а много разных: сначала в качестве единицы счета используется сам предмет - это первая единица счета, затем коробка - это вторая единица, ящик - это третья единица и т.д.
Эти единицы счета называются разрядами, а число единиц одного разряда, составляющих единицу следующего разряда, называется основанием системы нумерации.
В той нумерации, которой мы пользуемся, основанием служит число 10 - число пальцев на обеих руках человека. Поэтому наша нумерация называется десятичной.
Чтобы назвать какое-либо число, используя принцип поразрядного счета, нужно назвать, сколько единиц каждого разряда содержится в этом числе. Например, 4 единицы 3-го разряда, 5 единиц 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда - четыреста пятьдесят семь.
Однако, когда приходится иметь дело с большими числами, обойтись одним принципом
поразрядного счета трудно, т.к. число разрядов может оказаться чересчур большим. Чтобы еще уменьшить число различных слов, нужно для именования чисел, вводя еще один принцип.
Принцип поклассного объединения разрядов.
Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с 1-го, объединяют в один класс: первые три разряда (единицы, десятки и сотни) объединяют в первый класс единиц, следующая Письменная нумерация.
Письменная нумерация – это способ, позволяющий с помощью небольшого числа особых знаков записывать любое натуральное число.
В устной нумерации нам нужны особые слова для обозначения первых девяти натуральных чисел, а также слово для обозначения второго и третьего разрядов каждого класса и всех классов, начиная со второго.
В десятичной письменной нумерации для записи любого натурального числа нужны в первую очередь знаки для записи первых девяти натуральных чисел. Эти знаки называются цифрами. А вот особых знаков для обозначения разрядов и классов в нашей системе письменной нумерации нет, они и не нужны, т.к. запись натуральных чисел ведется на основе следующего важнейшего принципа: один и тот же знак (цифра) обозначает одно и то же число единиц различных разрядов в зависимости от того, на каком месте в записи числа стоит этот знак.
Так, например, цифра 3 обозначает три единицы первого разряда, если эта цифра в записи числа стоит на первом месте справа, и та же цифра 3 обозначает три единицы пятого разряда, т.е. три десятка тысяч, если эта цифра стоит на пятом месте справа ие три разряда (с 4-го по 6-й) объединяют во второй класс тысяч, затем следующие три разряда (с 7-го по 9-й) - в класс миллионов, следующие три разряда (с 10-го по 12-й) - в класс миллиардов, или биллионов, затем идут классы триллионов, квадриллионов и т.д.

Целью всякой нумерации является изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака - 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание - к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, которая лежит в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически непригодна, и ею пользуются только народы, счет которых не выходит за пределы одного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все значительнее становится потребность в счете и записи результатов счета довольно больших множеств, в измерении больших величин.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр; каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, которые отображали то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито у них достаточно высоко, с помощью иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально и вертикально, в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные - так называемые «десятки» - единицы второго разряда.

Тема: Изучение нумерации чисел.

План :

1. Цель и образовательные задачи изучения нумерации.

2. Последовательность изучения нумерации целых неотрицательных чисел.

3. Методика изучения нумерации.

Основные теоретические положения данного раздела.

В начальном курсе математики под нумерацией понимают совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел .

Различают устную и письменную нумерацию.

Устная нумерация – совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих слов составлять названия для многих чисел. В ходе изучения устной нумерации необходимо раскрыть правила счета, чтения, образования чисел; знать цифры от 0 до 9, слова – числительные – сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Правила образования названий и чтения чисел.

1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность – при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные. (один – на – дцать; две – на – дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.

Письменная нумерация – это совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих знаков обозначать любые числа. В ходе изучения письменной нумерации вводится понятие «цифры». Проводится целенаправленная систематическая работа по различению понятий «число» и «цифра». Вводятся знаки (цифры) для обозначения первых девяти чисел. Запись всех остальных чисел выполняется с использованием тех же десяти цифр (от 0 до 9), но с помощью двух или более цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи числа (т. е. поместное значение цифры или позиционный принцип записи чисел).

Устная и письменная нумерация чисел опирается на знание десятичной системы счисления.

Основные понятия десятичной системы счисления:

1. Счетная единица - то, что берем за основу счета. Каждая следующая счетная единица больше предшествующей в 10 раз (один десяток в 10 раз больше одной единицы; одна сотня в 10 раз больше одного десятка и т.д.).

2. Разряд – место цифры в записи числа.

3. Единицы I, II, III разряда и т. д.- единицы, стоящие на первом (единицы), втором (десятки), третьем (сотни) месте в записи числа, считая справа налево.

4. Разрядное число – число, состоящее из единиц одного разряда, например: 10,20,30,40,50,60… – числа, состоящие только из десятков (круглые десятки); 100, 200, 300, …- числа, состоящие только из сотен (круглые сотни); 1000, 2000, 3000 - числа, состоящие только из единиц тысяч (круглые единицы тысяч) и т.п.

5. Неразрядное число – число, состоящее из единиц разных разрядов, например, числа, состоящие из десятков и единиц (11,22,35,47,89); числа, состоящие из сотен и единиц (208, 406); состоящие из сотен и десятков (240, 560); состоящие из сотен, десятков и единиц (346, 683) и т.п.

6. Полные числа – числа, в которых имеются единицы всех разрядов, например, полное трехзначное число 134, четырехзначное 5674

7. Неполные числа – числа, в которых отсутствуют единицы того или иного разряда (в этом случае на их месте пишется нуль), например: неполные трехзначные числа 560, 404, неполные четырехзначные числа 1002, 1020, 1200, 1220 и т.п.

8. Класс – объединение по определенным признакам единиц трех разрядов. Каждая единица следующего класса больше предшествующей в тысячу раз. (Так, 1 единица класса единиц меньше в 1000 раз 1 единицы класса тысяч и т. д.)

В математике системой счисления называют набор знаков, правил операций и порядка записи этих знаков при образовании числа. Различают два типа систем счисления:

1. Непозиционная система, которая характеризуется тем, что каждому знаку независимо от формы записи числа приписывается одно вполне определенное значение (например, римская нумерация).

2. Позиционная система (например, десятичная система счисления), которая характеризуется следующими свойствами:

Каждая цифра принимает различные значения в зависимости от ее положения в записи числа (позиционный принцип записи);

Каждая цифра в зависимости от ее положения называется разрядной единицей; разрядные единицы следующие: единицы, десятки, сотни и т. д.

10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда, т. е. соотношение разрядных единиц равно десяти (10 ед.= 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. и т. д.)

Начиная, справа налево и подряд каждые 3 разрядные единицы образуют разрядные классы (единиц, тысяч, миллионов и др.).

Прибавление к девяти единицам еще одной единицы данного разряда дает единицу следующего, более высшего (старшего) разряда.

Свойства отрезка натурального ряда:

1. Натуральный ряд чисел начинается с единицы.

2. Каждое число имеет свое место. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего; каждое предыдущее на единицу меньше последующего.

3. Все числа, стоящие до выделенного числа меньше его; все стоящие после – больше изученного числа.

4. Бесконечность натурального ряда чисел.

Цель и образовательные задачи изучения нумерации

Цель изучения нумерации – усвоение общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации.

Основные образовательные задачи изучения нумерации:

1.Сформировать систему знаний:

О натуральном числе и числе «0»;

О натуральной последовательности чисел;

Об устной и письменной нумерации;

2.Ознакомить с вычислительными приемами, основанными на знании нумерации.

При изучении данной темы у учащихся должны быть сформированы следующие умения :

2. обозначать число письменно;

3. сравнивать любые числа разными способами;

4. заменять число суммой разрядных слагаемых;

5. дать характеристику любого числа.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

1. Выделить число из других понятий.

2. Правильно назвать число.

3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).

4. Знать способы обозначения чисел с помощью цифр.

5. Знать различные функции числа. (Количественная функция, функция порядка, измерительная функция.)

Миллионов составляют 1 миллиард.

Устная нумерация.

Примеры и задачи для устных вычислений.

Геометрический материал.

Более сложные задачи на все действия.

Примеры и задачи на все действия.

Порядок действий. Скобки.

Изменение частного.

Деление многозначных чисел.

Изменение произведения.

Умножение многозначных чисел.

Повторение сложения и вычитания.

Изменение разности.

Вычитание многозначных чисел.

Изменение суммы.

Письменная нумерация.

Устная нумерация.

Нумерация целых чисел любой величины.

2 . Назвать числа, в которых:

а) 3 сотни миллионов 2 десятка миллионов;

б) 8 сотен миллионов 4 десятка миллионов 5 миллионов;

в) 6 сотен миллионов 9 миллионов.

3 . Сколько миллионов, десятков и сотен миллионов в числах: 378 миллионов; 905 миллионов; 540 миллионов?

5. Назвать числа, в которых:

а) 5 сотен миллиардов 6 десятков миллиардов;

б) 8 сотен миллиардов 3 десятка миллиардов 4 миллиарда;

в) 6 сотен миллиардов 5 миллиардов;

6 . Сколько миллиардов, десятков миллиардов и сотен миллиардов в числах: 504 млрд.; 790 млрд.; 456 млрд.; 935 млрд.?

Назвать разряды чисел, в которых:

а) 345 миллиардов 248 миллионов;

б) 400 миллиардов 736 миллионов;

в) 680 миллиардов 24 миллиона.

8. Назвать числа, в которых:

а) 385 единиц первого класса;

б) 508 единиц второго класса;

в) 743 единицы третьего класса;

г) 214 единиц четвертого класса;

9. Назвать числа, в которых:

а) 56 единиц третьего класса и 380 единиц второго класса;

б) 5 единиц четвертого класса и 25 единиц третьего класса;

в) 1 единица четвертого класса, 300 единиц третьего класса, 286 единиц второго класса и 85 единиц первого класса.

10 . Назвать разряды и классы каждого числа таблицы и прочитать числа.

Каждое число таблицы записать в тетрадь.

14 . Прочитайте следующее сообщение:

На главной площади столицы королевства состоится награждение звездочетов - победителей.

Звездочет А. насчитал 3056800000 небесных тел,

звездочет В - 1317500000 , а

звездочет С - 1845800000.

Одновременно спрашивается, кто получит первый, кто второй, а кто третий приз?

15 . Написать цифрами следующие числа:

а) один миллиард один миллион;

б) триста двадцать пять тысяч шестьсот восемнадцать;

в) восемь миллионов двадцать три тысячи триста;

г) пятьсот миллионов пятьсот единиц;

д) четыре миллиарда десять миллионов одна тысяча и одна единица;

е) десять миллиардов девятьсот шесть тысяч;

ж) восемьдесят миллионов семь тысяч тридцать единиц;

16 . Какие разряды обозначают различные цифры следующих чисел:

568; 6798; 207886; 2326728; 20192837; 35796234865 ?

17 . Записать в виде одного числа:

а) 2000000 + 40000 + 400 + 30 + 5;

б) 20000000 + 3000000 + 700000 + 8000 + 200 + 5;

в) 300000000 + 4000000 + 50000 + 600 + 8;

18 . Разложить на разрядные слагаемые числа:

32750; 148004; 250070; 2435600; 750420045;

19 . Скольковсего десятков в следующих числах:

34560; 145634; 2000000; 34567280; 142345675; ?

20 . Скольковсего тысяч в каждом из следующих чисел:

32010; 60518; 212268; 504308; 760390; ?

21 . Сколько всего десятков тысяч в каждом из следующих чисел:

100000; 245624; 1000000; 34567310; 1000000000; 384104500000 ?

22. Обозначить цифрами числа, в которых:

а) шестьсот сорок восемь сотен;

б) одна тысяча двести шестьдесят два десятка;

в) тридцать пять сотен тысяч;

г) семнадцать десятков сотен;

д) две тысячи пятьсот четыре сотни три единицы;

23 . Написать:

а) шестизначное число, в котором отсутствуют единицы разряда сотен;

б) восьмизначное число, в котором нет единиц разряда тысяч;

в) десятизначное число, в котором нет единиц разряда десятеов тысяч.

24 . Написать:

а) наименьшее четырехзначное число;

б) наибольшее семизначное число;

в) наименьшее пятизначное число;

25 . Написать число, состоящее из трех классов, из двух классов, из четырех классов.

26. Записать цифрами следующие данные:

Радиограммы с космического корабля:

а) Полет проходит нормально. Из девяноста четырех миллионов ста тридцати восьми тысяч ста пятидесяти девяти километров осталось пролететь всего девяносто один миллион сто тринадцать тысяч сто пятьдесят три километра.

б) Попали в метеоритный поток. Бортовой компьютер насчитал сто восемьдесят миллиардов триста миллионов ударов о корпус корабля.

27 . Записать числа цифрами: 4 млн. 216 тыс. и 4 млн. 236 тыс.

28 . Округлить до тысяч числа: 145374 и 145680; 21450 и 21550; 76459 и 76511;

29. Округлить до миллионов числа: 3567400; 35247000; 115620000; 115450000; 28742000; 28327000;

30 . Округлить до миллиардов числа: 5780000000; 6460000000; 37047560000; 84915036000;

Билет 19

Вопрос 1. Методика обучения устной и письменной нумерации чисел в пределах 1000.

I. Устная нумерация

Задачи:

1) Введение новой счётной единицы сотни;

2) Введение новых разрядных чисел;

3) Введение неразрядных трёхзначных чисел:

Путём присчитывания 1;

Путём образования из сотен, десятков и единиц;

4) Установление общего числа единиц какого-либо разряда во всём числе.

Введение новой счётной единицы сотни:

С помощью палочек или моделей разрядных единиц под руководством учителя дети повторяют известные разрядные единицы, а затем связывают по 10 десятков в пучок и слушают ее название – сотня. Далее ведётся счёт сотнями (1 сотня, 2 сотни… 10 сотен или тысяча). На доске появляется запись и рисунки разрядных единиц

1 ед 1 см
10 ед. = 1 дес. 10 см = 1 дм

10 дес. = 1 сот. 10 дм = 1 м

Далее полезно с детьми сопоставить единицы счёта – разрядные единицы с мерами длины и ввести ленту тысячи. В роли простой единицы на ленте выступает 1 см, в роли десятка – 1 дм, в роли сотни – 1 м. По ленте можно повторить счёт сотен и отметить на ленте сотни флажками или яркими ленточками.

Введение новых разрядных чисел (чисел третьего разряда – круглых сотен), их образование и название, знакомство с новыми числительными: сто, двести…девятьсот, тысяча.

Наглядность: модели разрядных единиц (большие квадраты) и лента 1000.

Введение неразрядных трёхзначных чисел:

а) Путём присчитывания по 1 к предыдущему, выход за 100: 100 и 1- 101..

б) Путем образования из сотен, десятков и единиц. Тут же выполняется обратная задача – разложить числа на разрядные слагаемые, выяснение десятичного состава числа.

II. Письменная нумерация

Задачи:

1) Обозначение чисел цифрами в таблице разрядов. Выяснение поместного значения цифр;

2) Чтение и запись чисел, записанные вне таблицы;

3) Закрепление знаний нумерации.

1.Обозначение чисел цифрами в таблице разрядов. Обучение чтению чисел с помощью нумерационной таблицы. Наглядность: нумерационная таблица, вертикальные и горизонтальные счеты.

В результате наблюдений на этом этапе детей подводят к выводу, что сотни – единицы третьего разряда, пишется в числе на третьем месте, считая справа налево. Здесь же вводится понятие трёхзначного числа и что ноль обозначает отсутствие единиц какого-либо разряда.

2. Чтение трёхзначных чисел, записанных вне таблицы и их запись на основе знаний поместного значения цифр.

Виды упражнений:

1) Из данных чисел записать только те, в которых цифра 7 обозначает дес, ед, сот.

2) С помощью цифр 3, 0, 1 записать все трёхзначные числа (цифры в числе не повторяется)

3) Что обозначает цифра 0 в записях этих чисел?

3. Закрепление знаний нумерации:

а) В процессе изучения письменной нумерации продолжается работа по усвоению десятичного состава чисел. С этой целью теперь используются карточки с разрядными числами. (Наложением образуются числа и наоборот)

б) Ведётся также работа и по усвоению натурального следования, но теперь используют и письменные упр: запись предыдущего и последующего; прибавь 1, вычти 1; заполни промежуток – записать числа от … до …

в) Выявление наибольшего и наименьшего среди однозначных, двузначных и трёхзначные чисел.

Обратить снимание, что наименьшее записывается 1 и нулями, а наибольшее десятками.

г) При изучении нумерации дети учатся определять общее число единиц какого-либо разряда во всём числа, а не только в соответствующем разряде.

Наглядность: модели разрядных единиц.