Расчет скользящих средних пример. Сглаживание с помощью скользящей средней. Как считается взвешенная скользящая средняя

Сможет найти опцию, позволяющую выбрать метод расчета. Вариантов дается три: SMA (простая), EMA (экспоненциальная) и WMA (взвешенная). Эта статья посвящена рассмотрению взвешенной скользящей средней .

В чем суть взвешенной средней?

Тогда как простая скользящая средняя есть всего лишь среднее арифметическое значений за указанное трейдером в настройках количество периодов (по умолчанию чаще всего стоит 20 периодов), взвешенная средняя учитывает, что значения последних периодов (то есть наиболее актуальные данные) важнее, чем значения первых. Особенно использование такого индикатора уместно, если на данный момент на рынке существует явно выраженная тенденция к росту или падению стоимости актива. Визуально формула вычисления WMA имеет такой вид:

Важно отметить, что экспоненциальная средняя (EMA) тоже в некоторой мере является взвешенной – принцип повышение веса показателя со временем сохраняется. Однако расчет EMA немного иной:

Популярностью среди трейдеров пользуются именно взвешенные скользящие средние – они считаются значительно более гибкими. Простая скользящая средняя – «топорный» инструмент, который чаще всего используется как составной элемент более хитроумного индикатора.

Как считается взвешенная скользящая средняя?

Для расчета используется следующая формула:

Пусть формула выглядит пугающе, но она удивительно проста: значение P – это цена актива в определенном периоде, значение W – удельный вес. Вручную посчитать взвешенную среднюю не составит труда, что мы и докажем следующим примером:

Дата	Цена актива

Необходимо определить значение взвешенной скользящей средней 6 мая за последние 5 периодов.

Подставляем значения в формулу:

Видно, что значение WMA больше, и это является отражением ярко выраженного тренда к возрастанию значений:

Естественно, в реальности за пять периодов средняя не считается, так как такой анализ дает слишком субъективный результат. Однако более массивные расчеты проводить вручную проблематично и попросту долго, поэтому можно поблагодарить компьютеры, что они делают эту работу за нас.

Преимущества и недостатки взвешенных средних

Преимущество взвешенной средней уже было проиллюстрировано – этот индикатор более гибко реагирует на последние тенденции изменений цены актива. К недостаткам же относятся следующие моменты:

• Запаздывание при входе в тренд и выходе из него все равно остается довольно ощутимым, пусть и в меньшей степени, чем при использовании простых средних. Кстати, чтобы избавиться от этого недостатка рекомендуется использовать экспоненциальные индикаторы EMA, которые на данный момент считаются наиболее совершенной моделью скользящей средней.

• Взвешенная средняя сильно меняется при появлении ложного сигнала (так как именно последнему сигналу уделяется особое внимание). В этом плане простая скользящая средняя более совершенна.

• WMA неэффективна при позиционной торговле, так как выглядит более сглаженной из-за низкого шума рынка. Использовать такую среднюю лучше при среднесрочной и краткосрочной торговле. Какими инструментами пользоваться при торговле на больших таймфреймах, расскажет эта статья - .

Стратегия торговли на взвешенных средних

Чтобы проиллюстрировать работу скользящих средних, необходимо привести в пример одну из стратегий, которая основана на этом индикаторе – называется «Взвешенный Тейлор» (Weighted Taylor).

Условия торговли следующие:

• Выбирается дневной таймфрейм - лучше, если активом является валютная EURUSD. Если запаса депозита недостаточно для торговли на таких больших таймфреймах, рисковать не стоит – следует снизить размер сделки.

• Устанавливают 5 взвешенных средних с периодами 5 (голубая), 15 (оранжевая), 30 (желтая), 60 (розовая), 90 (красная). График выглядит так:

• Устанавливается RSI с периодом 5 и двумя уровнями (60 и 40).

• Устанавливается MACD со следующими параметрами: быстрая EMA 5, медленная EMA 13, простая SMA Также ставятся два красных уровня: 0,005 и -0,005.

Вся картинка выглядит так:

Торговать нужно следующим образом: в первую очередь обращать внимание на скользящие средние. Долгосрочные взвешенные средние имеют более сглаженный вид – как правило, когда краткосрочные пересекают их, это свидетельствует о зачатке тренда. По нашему примеру видно, что на рынке затишье, однако, голубая (самая краткосрочная) поменяла направление и стремится к розовой и красной (самым долгосрочным), поэтому трейдеру следует быть настороже.

Далее обращаем внимание на индикатор RSI. Если зеленая линия находится в коридоре 40-60, открывать позицию не рекомендуется (наш пример именно таков), потому как этот интервал характеризуется большим уровнем рыночного шума и ложных сигналов.

Индикатор MACD используется для поиска точек входа на . При этом обратить внимание стоит на «красный коридор» - принцип тот же, что и у RSI: заключать сделки нельзя . На нашем примере линия индикатора находится именно в этом коридоре.

Так, открывать позицию следует только тогда, когда все 3 индикатора дают один и тот же сигнал.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

2.3.1. Задание*

В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k =3.

2.3.2. Выполнение задания

Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8.

Таблица 17. Спроса на товар

2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**

Задание 1

В таблице 18 представлены данные об объеме y потребления энергии за четыре года (время t измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k окна сглаживания.

2.4.2. Выполнение задания 1

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T п =4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r (1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что T п =4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T п =4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u 1 (t ) для k =4. Средняя точка t ср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t =1, 2, 3, 4) t ср =2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t =2. Для второго окна t ср =3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t =3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна t ср необходимо применить к u 1 (t ) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u 2 (t )=[u 1 (t -1)+u 1 (t )]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u 2 нужен только в случае четного k . Для нечетного k средняя точка окна сглаживания t ср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.

Таблица 18. Расчет тренда и циклической составляющей

t	y	u 1	u 2	S 1 =y -u 2	S 2	S 3	S	T+E =Y -S	T	E
							0,581	5,419	5,902	-0,483
	4,4	6,100					-1,977	6,377	6,088	0,289
		6,400	6,250	-1,250	-1,275	-1,294	-1,294	6,294	6,275	0,019
		6,500	6,450	2,550	2,708	2,690	2,690	6,310	6,461	-0,151
	7,2	6,750	6,625	0,575	0,600	0,581	0,581	6,619	6,648	-0,029
	4,8	7,000	6,875	-2,075	-1,958	-1,977	-1,977	6,777	6,834	-0,057
		7,200	7,100	-1,100			-1,294	7,294	7,020	0,273
		7,400	7,300	2,700			2,690	7,310	7,207	0,104
		7,500	7,450	0,550			0,581	7,419	7,393	0,026
	5,6	7,750	7,625	-2,025			-1,977	7,577	7,580	-0,003
	6,4	8,000	7,875	-1,475			-1,294	7,694	7,766	-0,072
		8,250	8,125	2,875			2,690	8,310	7,952	0,358
		8,400	8,325	0,675			0,581	8,419	8,139	0,280
	6,6	8,350	8,375	-1,775			-1,977	8,577	8,325	0,252
				Сумма	0,075	0,000	-1,294	8,294	8,512	-0,218
	10,8			Среднее	0,019	0,000	2,690	8,110	8,698	-0,588

Задание 2

Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.

2.4.4. Выполнение задания 2

Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T »u 2) рассчитываем S

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S 2: S 3 = S 2 -S 2 ср, где через S 2 ср обозначено среднее значение S S получены копированием S 3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T +E =Y -S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T (t )=0,186t +5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E =Y -T -S , – значения случайной компоненты E .

На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.

Задание 3

В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.

2.4.6. Выполнение задания 3

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд со­держит циклическую компоненту с периодом T п =4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффи­циента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что T п =4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) пе­риоду циклической составляющей: k=T п =4.

В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты рас­чета приближений тренда u 1 (t ) и u 2 (t ), полученные так же, как в таблице 18.

Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультиплика­тивную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется про­порционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T »u 2) рас­считываем S 1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее зна­чение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S 2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S 3 = S 2 /S 2 ср, где S 2 ср – среднее значение S 2 . Значения циклической компоненты S получены копированием S 3 по всем периодам.

Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE =Y /S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), по­лучим формулу для тренда: T (t )=-2,77t +90,57. По этой формуле вычислим зна­чения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E =Y /(TS )). Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs =Y -TS .

На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсо­лютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значе­ний t близка к единице. По­этому оценки тренда и циклической составляю­щей вполне приемлемы.

Таблица 20. Данные о прибыли компании

t	y	u 1	u 2	S 1	S 2	S 3	S	T *E =Y /S	T	E	Eabs
							0,914	78,804	87,792	0,898	-8,212
		81,5					1,202	83,182	85,019	0,978	-2,208
			81,25	1,108	1,088	1,082	1,082	83,153	82,245	1,011	0,982
				0,800	0,806	0,802	0,802	79,819	79,472	1,004	0,278
		76,5	77,75	0,900	0,918	0,914	0,914	76,615	76,699	0,999	-0,077
			75,75	1,215	1,208	1,202	1,202	76,527	73,926	1,035	3,127
				1,081			1,082	73,914	71,152	1,039	2,989
			71,5	0,811			0,802	72,336	68,379	1,058	3,173
			68,5	0,905			0,914	67,859	65,606	1,034	2,059
		64,5	65,75	1,217			1,202	66,545	62,833	1,059	4,463
			63,25	1,075			1,082	62,827	60,059	1,046	2,995
			59,5	0,807			0,802	59,865	57,286	1,045	2,067
		52,5	54,75	0,950			0,914	56,914	54,513	1,044	2,194
			50,25	1,194			1,202	49,909	51,740	0,965	-2,201
				Сумма	4,021		1,082	46,196	48,966	0,943	-2,998
				Среднее	1,005		0,802	37,415	46,193	0,810	-7,038

3. Задание на самостоятельную работу

1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравни­вая значение R 2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n =10 d н =0,88 d в =1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?

2. В таблице 22** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:

1) построить график y (t ) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую со­ставляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?

2) определить компоненты ряда.

Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку

3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2.

Таблица 23. Уровни ряда

t

y

Практическая работа №5. Использование фиктивных
переменных при решении задач эконометрики

Теоретическая часть

Практическое моделирование экономических ситуаций подразумевает разработку прогнозов. С помощью средств Excel можно реализовать такие эффективные способы прогнозирования, как: экспоненциальное сглаживание, построение регрессий, скользящее среднее. Рассмотрим подробнее использование метода скользящего среднего.

Использование скользящих средних в Excel

Метод скользящей средней – один из эмпирических методов для сглаживания и прогнозирования временных рядов. Суть: абсолютные значения ряда динамики меняются на средние арифметические значения в определенные интервалы. Выбор интервалов осуществляется способом скольжения: первые уровни постепенно убираются, последующие – включаются. В результате получается сглаженный динамический ряд значений, позволяющий четко проследить тенденцию изменений исследуемого параметра.

Временной ряд – это множество значений X и Y, связанных между собой. Х – интервалы времени, постоянная переменная. Y – характеристика исследуемого явления (цена, например, действующая в определенный период времени), зависимая переменная. С помощью скользящего среднего можно выявить характер изменений значения Y во времени и спрогнозировать данный параметр в будущем. Метод действует тогда, когда для значений четко прослеживается тенденция в динамике.

Например, нужно спрогнозировать продажи на ноябрь. Исследователь выбирает количество предыдущих месяцев для анализа (оптимальное число m членов скользящего среднего). Прогнозом на ноябрь будет среднее значение параметров за m предыдущих месяца.

Задача. Проанализировать выручку предприятия за 11 месяцев и составить прогноз на 12 месяц.

Сформируем сглаженные временные ряды методом скользящего среднего посредством функции СРЗНАЧ. Найдем средние отклонения сглаженных временных рядов от заданного временного ряда.

Относительные отклонения:

Средние квадратичные отклонения:

При расчете отклонений брали одинаковое число наблюдений. Это необходимо для того, чтобы провести сравнительный анализ погрешностей.

После сопоставления таблиц с отклонениями стало видно, что для составления прогноза по методу скользящей средней в Excel о тенденции изменения выручки предприятия предпочтительнее модель двухмесячного скользящего среднего. У нее минимальные ошибки прогнозирования (в сравнении с трех- и четырехмесячной).

Прогнозное значение выручки на 12 месяц – 9 430 у.е.



Применение надстройки «Пакет анализа»

Для примера возьмем ту же задачу.

На вкладке «Данные» находим команду «Анализ данных». В открывшемся диалоговом окне выбираем «Скользящее среднее»:

Заполняем. Входной интервал – исходные значения временного ряда. Интервал – число месяцев, включаемое в подсчет скользящего среднего. Так как сначала будем строить сглаженный временной ряд по данным двух предыдущих месяцев, в поле вводим цифру 2. Выходной интервал – диапазон ячеек для выведения полученных результатов.

Установив флажок в поле «Стандартные погрешности», мы автоматически добавляем в таблицу столбец со статистической оценкой погрешности.

Точно так же находим скользящее среднее по трем месяцам. Меняется только интервал (3) и выходной диапазон.

Сравнив стандартные погрешности, убеждаемся в том, что модель двухмесячного скользящего среднего больше подходит для сглаживания и прогнозирования. Она имеет меньшие стандартные погрешности. Прогнозное значение выручки на 12 месяц – 9 430 у.е.

Составлять прогнозы по методу скользящего среднего просто и эффективно. Инструмент точно отражает изменения основных параметров предыдущего периода. Но выйти за пределы известных данных нельзя. Поэтому для долгосрочного прогнозирования применяются другие способы.

Средние линии – это графические построения на графике, которые строятся на основе средних значений цены за определенный промежуток времени. Moving Average встроен в торговую платформу МТ4, с его помощью можно осуществлять сглаживание скользящих средних, именно об этом мы и поговорим в этой статье.

Сглаживание скользящих средних

Moving Average позволяет осуществлять сглаживание скользящих средних. В чем преимущества этой функции? Дело в том, что при построении простой экспоненциальной средней (SMA) используются цены, обладающие одинаковой важностью, в то время как экспоненциальные скользящие средние больше полагаются на последние котировки. Последние строятся по определенной формуле, где большую роль играют последние события на рынке, а не те изменения, которые происходили ранее.

Разновидности средних линий

Всего Moving Average предлагает построение четырех линий, которые строятся по определенному принципу.

• Simple – простая скользящая средняя. Это самая простая линия, которая строится по формуле, где все цены обладают равнозначными значениями. 2. Exponential – экспоненциальная скользящая средняя, которая строится по формуле, в которой главную роль играет последний бар. Она подходит для ведения краткосрочной торговли.
• Smoothed – сглаженная скользящая средняя. Данная скользящая используется для долгосрочной торговли. Для того чтобы она изменила свое направление, необходим существенный скачок.
• Linear Weighted – взвешенная скользящая средняя, при построении которой большее значение уделяется более новым изменениям на рынке.

Что лучше: простая скользящая средняя или сглаженная

Увеличив период скользящей средней, в расчете будет принимать участие больше значений стоимости. Чем больше период, тем менее чувствительная скользящая средняя и наоборот. Но что же лучше: простая скользящая средняя или сглаженная?

Для примера возьмем значение периода 15. Для построения линий будут учитываться значения баров от 1 до 15, как только появится 16 бар, в расчетах будут принимать участие бары в диапазоне 2-16. При этом, при построении обычной скользящей средней цены будут обладать одинаковым значениям, в то время как в сглаженной все будет зависеть от последнего бара.

У каждой скользящей свои плюсы и минусы, которые обязательно стоит учитывать при выборе наиболее подходящего для торговли вида. Выбор скользящей средней напрямую зависит от используемой валютной пары, тайм-фрейма и торговой стратегии. У всех скользящих линий есть один общий недостаток, который заключается в небольшом запаздывании.

Применение скользящих средних

Самый простой способ использования данного инструмента заключается в построении двух скользящих средних с разными периодами. Линия с небольшим периодом будет более подвижной. В момент, когда на рынке происходит смена господствующего тренда, быстрая скользящая линия пересекает медленную, что, в свою очередь, является сигналом для создания ордера.

На представленной ниже картинке вы можете увидеть, как описанная выше ситуация выглядит на валютном графике.

Метод скользящей средней  метод изучения в рядах динамики основной тенденции развития явления.

Суть метода скользящей средней состоит в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем  средний уровень из того же числа уровней, начиная со второго, далее  начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

Средняя из нечетного числа уровней относится к середине интервала. Если интервал сглаживания четный, то отнесение средней к определенному времени невозможно, она относится к середине между датами. Для того чтобы правильно отнести среднюю из четного числа уровней, применяется центрирование, т. е. нахождение средней из средней, которую относят уже к определенной дате.

Покажем применение скользящей средней на следующем примере. Пример 3.1 . На основе данных об урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. проведем сглаживание ряда методом скользящей средней.

Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. и расчет скользящих средних

1 . Рассчитаем трехлетние скользящие суммы. Находим сумму урожайности за 1989–1991 гг.: 19,5  23,4  25,0  67,9 и записываем это значение в 1991 г. Затем из этой суммы вычитаем значение показателя за 1989 г. и прибавляем показатель за 1992 г.: 67,9 – 19,5  22,4  70,8 и это значение записываем в 1992 г. и т. д.

2 . Определим трехлетние скользящие средних по формуле простой средней арифметической:

Полученное значение записываем в 1990 г. Затем берем следующую трехлетнюю скользящую сумму и находим трехлетнюю скользящую среднюю: 70,8: 3  23,6, полученное значение записываем в 1991 г. и т. д.

Аналогичным образом рассчитываются четырехлетние скользящие суммы. Их значения представлены в графе 4 таблицы данного примера.

Четырехлетние скользящие средние определяются по формуле простой средней арифметической:

Это значение будет отнесено между двумя годами - 1990 и 1991 гг., т. е. в середине интервала сглаживания. Для того чтобы найти четырехлетние скользящие средние центрированные, необходимо найти среднюю из двух смежных скользящих средних:

Эта средняя будет отнесена к 1991 г. Аналогичным образом рассчитываются остальные центрированные средние; их значения записываются в графу 6 таблицы данного примера.

4. Метод аналитического выравнивания

Уравнение прямой при аналитическом выравнивании ряда динамики имеет следующий вид:

где - выровненный (средний) уровень динамического ряда; a 0 , a 1 - параметры искомой прямой; t - обозначение времени. 

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a 0 и a 1:

где у  исходный уровень ряда динамики ; n  число членов ряда.

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т. е. начало времени перенести в середину рассматриваемого периода.

Если то

Исследование динамики соц.-экон. явлений и установление основной тенденции развития дают основание для прогнозирования (экстраполяции)  определения будущих размеров уровня экономического явления. Используют следующие методы экстраполяции:

■ средний абсолютный прирост  с/показатель, исчисляемый для выражения средней скорости роста (снижения) соц.-эк. процесса. Определяется по формуле:

■ средний темп роста;

■ экстраполяцию на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле.Метод аналитического выравнивания-метод исследования динамики соц.-экон. явлений, позволяющий установить основные тенденции их развития.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на ПримерЕ 4.1 . Исходные и расчетные данные определения параметров уравнения прямой: