Тождественно равные выражения. Тождественные преобразования. Примеры выражений, тождественно равных друг другу
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель: Продолжить знакомство с синонимами и антонимами
Задачи:
- закреплять и уточнять имеющиеся у детей знания об имени прилагательном;
- обобщать знания о синонимах и антонимах, развивать умение употреблять их в речи;
- расширять словарный запас через введение в речь антонимов и синонимов;
- развивать память;
- воспитывать интерес к русскому языку.
Оборудование: Мультимедийный проектор. Презентация к уроку. Карточки с таблицами. Словарь антонимов и синонимов. Смайлики. Мяч.
Ход урока
I . Организационный момент.
Ребята, я очень рада видеть вас.
Улыбнёмся мы друг другу,
Пожелаем: «В добрый час!»
И учиться снова будем,
Постараемся сейчас!
II .Чистописание.
С Т / / с т
Ст Тс
Старый друг лучше новых двух.
Слова какой части речи употребляются здесь дважды?
Что вы знаете об имени прилагательном?
III . Словарная работа.
Запишем слова под диктовку.
А пте"ка, но я"брь,те тра"дь, о гуре"ц, на ро"д, и"не й, ма ли"на.
[С комментированием ] (слайд 3)
IV . Сообщение темы урока.
Прочитайте слово, состоящее из первых букв словарных слов (антоним)
Найдите антонимы в пословице(старый-новый)
А теперь посмотрите на таблицу букв на ваших столах. В каждой строке подчеркните букву, которая повторяется 2 раза. Прочитайте слово (синоним) (слайд 4)
Как вы думаете, ребята, какова тема нашего урока? (антонимы и синонимы)
V . Работа по теме урока. Антонимы.
1. Наблюдение над употреблением в речи антонимов.
А) -Разберите слова парами так, чтобы слова были противоположными по значению.
Трусливый, дорогой, здоровый,молодой, правый, правдивый, вежливый, храбрый, дешевый, больной, старый, виновный, лживый, грубый. (слайд 5)
Б) –Сравните тигра и котёнка (слайд 6)
Что мы можем сказать об антонимах?
2. Работа над правилом – стр. 51 (слайд 7)
Один предмет можно противопоставить другому по какому-либо признаку: температуре, цвету, размеру: горячий-холодный, чёрный-белый.
Слова, противоположные по смыслу, иначе называются а н т о н и м ы.
Рассмотрите картинки, назовите прилагательные-антонимы: (слайды 8 и 9)
Дерево высокое, а куст низкий.
Шарик лёгкий, а тыква тяжёлая.
Грач чёрный, а снег белый.
Чай горячий, а мороженое холодное.
По какому признаку противопоставлены слова?
3. Самостоятельная работа.
Подберите к словам первого столбика слова из второго столбика с противоположным значением:
(проверка по слайду)(слайд 10)
4. Работа в парах.
Прочитайте пословицы. Вставьте пропущенные антонимы:
… слава лежит, а … бежит.
… дело лучше …безделья.
… всегда становится … .
На … собака лает, а … кусает.
Слова для справок : маленькое-большое, смелый-трусливый, тайное-явное, добрая-худая,
Проверка. (слайд 11)
5. Подбор антонимов к многозначным словам.
Ребята, что такое многозначные слова?
Подберите антонимы к многозначным словам (устно) :
Подберите антонимы, учитывая многозначность слов:
Открытая вражда -
Мягкий свет -
Мягкий воск -
Мягкая зима -
Резкий звук -
Резкое слово -
Острая пила -
Острое зрение -
VI . Физкультминутка: (с музыкальным сопровождением) (слайд 12)
1. Мы шагаем, мы шагаем;
Шаг влево, шаг вправо,
Шаг вперёд и шаг назад.
Мы шагаем, мы шагаем,
Слова-антонимы мы знаем!
2. Игра в мяч.
Я бросаю одному из учеников мяч, называя при этом слово. Ученик возвращает мяч, называя к слову антоним.
VII . Работа по теме урока. Синонимы.
1. Наблюдение над употреблением в речи синонимов (упражнение 482) (слайд 13)
Сравни между собой слова в каждой группе. Чем они сходны по смыслу? Чем различаются?
- Большой, огромный, громадный, гигантский.
- Маленький, малюсенький, крошечный.
- Крутой, обрывистый, отвесный.
Как называются слова в каждой группе? (синонимы)
2. Работа над правилом - стр.52 (слайд 14)
Слова, близкие по смыслу, называются с и н о н и м ы: смелый, храбрый.
3. Узнайте животных по описанию: (слайд 15)
Трусливый, боязливый, несмелый…(заяц)
Хитрая, лукавая, плутоватая…(лиса)
Злой, сердитый, коварный…(волк)
Неуклюжий, неловкий, косолапый…(медведь)
Составьте предложения про зверей, используя слова-синонимы.
Звери живут в густом непроходимом лесу.
Разберите предложение по членам, назовите словосочетания.
Живут (где?) в лесу.
В лесу (каком?) густом непроходимом.
4. Работа по таблице. (слайд 16)
Ребята, увас на столах таблицы. Прочитайте ряды слов и определите, какие из данных рядов являются синонимическими рядами. Заполните таблицу: под номером синонимического ряда поставьте знак «+», под номером несинонимического ряда – знак «-»:
- Смелый, храбрый, мужественный.
- Глупый, неумный, недалёкий.
- Добрый, жадный, щедрый.
- Вечный, бессмертный, временный.
- Бездушный, чёрствый, отзывчивый.
5. Работа в парах.
Составьте из слов синонимические ряды:
Грустный, слабый, ломкий, стремительный, печальный, унылый, хрупкий, быстрый, скорый.
[На слайде «собираются» цветы ]
Какие получились цветы? Подберите синонимы (красивые, чудесные, прекрасные, живописные ). (слайд 17)
VIII . Работа со словарём. (слайд 18)
Существуют словари синонимов и антонимов. Например, вот этот словарь для школьников, составленный О.А.Михайловой.
[Учитель демонстрирует словарь ]
Существует множество словарей синонимов и антонимов. Например, такие. (слайд)
В этом словаре, как и в других словарях, принят алфавитный порядок.
Первая часть посвящена синонимам, а вторая – антонимам.
Найдите и прочитайте синонимы к слову учиться. [Ученик читает статью на стр. 397]
Найдите антонимы к слову серьёзный. [Ученик читает статью на стр. 478]
IX . Закрепление.
1. Выполнение теста.
Выполним тест «Верно-неверно». Поставьте знак «+» в таблице под номером того предложения, в котором высказывание верно; знак «-» - под номером того предложения, в котором высказывание неверно. (слайд 19)
- Синонимы - это слова, близкие по значению и относящиеся к одной части речи.
- Синонимы - это слова с противоположным значением.
- Синонимический ряд могут составлять слова разных частей речи.
- К слову можно подобрать только один синоним.
- Многозначное слово может входить в несколько синонимических рядов.
- Фразеологические обороты не могут иметь синонимов.
- Синоним можно подобрать к любому слову.
2.Заполните пропуски в таблице «От синонимов к антонимам» (слайд 20)
X . Итог урока.
Что такое синонимы и антонимы?
Почему в речи люди употребляют синонимы и антонимы?
Оценивание.
Возьмите со стола тот смайлик, который соответствует вашему настроению в конце урока и прикрепите его на доску. (слайд 21)
Домашнее задание:
- Упр. 483
- Подобрать пословицы с прилагательными-антонимами.
Литература
- Козырева Л.М. Слова-друзья и слова-неприятели. Ярославль: Академия развития.2001.
- Словарь синонимов и антонимов для школьников/сост. О.А.Михайлова.-Екатеринбург: У-Фактория.2007.
Получив представление о тождествах , логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.
Навигация по странице.
Что такое тождественно равные выражения?
Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:
Определение.
– это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.
Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений , так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.
В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целых выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также области допустимых значений ОДЗ переменной, и как следствие - внести уточнение в определение тождественно равных выражений.
Определение.
Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.
В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.
Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:
Определение.
Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.
По смыслу это и предыдущее определения совпадают.
Примеры тождественно равных выражений
Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений .
Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 являются тождественно равными, так как им соответствуют равные значения 3 и 3 . Также тождественно равны выражения 5 и 30:6 , как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны в силу ). А вот числовые выражения 3+2 и 3−2 не являются тождественно равными, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, а они не равны.
Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Таковыми являются выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из чисел). К примеру, при a=1 и b=2 имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 тоже тождественно равны при любых значениях переменных x , y и z . А вот выражения 2·x и 3·x не являются тождественно равными, так как, к примеру, при x=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2·x равно 2·1=2 , а выражение 3·x равно 3·1=3 .
Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a+1 и 1+a , или a·b·0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны при всех значениях переменных из этих областей, то тут все понятно – эти выражения тождественно равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Так a+1≡1+a при любых a , выражения a·b·0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Рассмотрим две равенства:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.
О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .
Понятие тождества
Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.
Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:
1. (a 2) 4 и a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .
Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.
Примеры тождеств
Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.
А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:
Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.
В ходе изучения алгебры мы сталкивались с понятиями многочлен (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и тд) и алгебраическая дробь(например $\frac{x+5}{x}$ , $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$,$\ \frac{x-y}{y-x}$ и тд). Сходство этих понятий в том, что и в многочленах, и в алгебраических дробях присутствуют переменные и числовые значения, выполняются арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Отличие этих понятий состоит в том, что в многочленах не производится деление на переменную, а в алгебраических дробях деление на переменную можно производить.
И многочлены , и алгебраические дроби в математике называются рациональными алгебраическими выражениями. Но многочлены являются целыми рациональными выражениями, а алгебраические дроби- дробно- рациональными выражениями.
Можно получить из дробно --рационального выражения целое алгебраическое выражение используя тождественное преобразование, которое в данном случае будет являться основным свойством дроби - сокращением дробей. Проверим это на практике:
Пример 1
Выполнить преобразование:$\ \frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Решение: Преобразовать данное дробно-рациональное уравнение можно путем использования основного свойства дроби- сокращения, т.е. деления числителя и знаменателя на одно и то же число или выражение, отличное от $0$.
Сразу данную дробь сократить нельзя,необходимо преобразовать числитель.
Преобразуем выражние стоящее в числителе дроби,для этого воспользуемся формулой квадрата разности :$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$
Дробь имеет вид
\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}\]
Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель --это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби
\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}=x-2\]
После сокращения мы получили, что исходное дробно-рациональное выражение $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ стало многочленом $x-2$, т.е. целым рациональным.
Теперь обратим внимание на то, что тождественными можно считать выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2\ $ не при всех значениях переменной, т.к. для того, чтобы дробно-рациональное выражение существовало и было возможно сокращение на многочлен $x-2$ знаменатель дроби не должен быть равен $0$ (так же как и множитель, на который мы производим сокращение. В данном примере знаменатель и множитель совпадают, но так бывает не всегда).
Значения переменной, при которых алгебраическая дробь будет существовать называются допустимыми значениями переменной.
Поставим условие на знаменатель дроби: $x-2≠0$,тогда $x≠2$.
Значит выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2$ тождественны при всех значениях переменной, кроме $2$.
Определение 1
Тождественно равными выражениями называются те, которые равны при всех допустимых значениях переменной.
Тождественным преобразованием является любая замена исходного выражения на тождественно равное ему.К таким преобразованиям относятся выполнение действий: сложения, вычитания, умножение, вынесение общего множителя за скобку, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сокращение алгебраических дробей, приведение подобных слагаемых и т.д. Необходимо учитывать,что ряд преобразований, такие как, сокращение, приведение подобных слагаемых могут изменить допустимые значения переменной.
Приемы, использующиеся для доказательств тождеств
Привести левую часть тождества к правой или наоборот с использованием тождественных преобразований
Привести обе части к одному и тому же выражению с помощью тождественных преобразований
Перенести выражения, стоящие в одной части выражения в другую и доказать, что полученная разность равна $0$
Какое из приведенных приемов использовать для доказательства данного тождества зависит от исходного тождества.
Пример 2
Доказать тождество ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Решение: Для доказательства данного тождества мы используем первый из приведенных выше приемов, а именно будем преобразовывать левую часть тождества до ее равенства с правой.
Рассмотрим левую часть тождества:$\ {(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)$- она представляет собой разность двух многочленов. При этом первый многочлен является квадратом суммы трех слагаемых.Для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых используем формулу:
\[{(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Для этого нам необходимо выполнить умножение числа на многочлен.Вспомним, что для этого надо умножить общий множитель,стоящий за скобками на каждое слагаемое многочлена,стоящего в скобках.Тогда получим:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Теперь вернемся к исходному многочлену,он примет вид:
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Обратим внимание, что перед скобкой стоит знак «-» значит при раскрытии скобок все знаки, которые были в скобках меняются на противоположные.
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Приведем подобные слагаемые,тогда получим, что одночлены $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно уничтожатся, т.е. их сумма равна $0$.
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Значит путем тождественных преобразований мы получили тождественное выражение в левой части исходного тождества
${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Заметим, что полученное выражение показывает, что исходное тождество --верно.
Обратим внимание, что в исходном тождестве допустимы все значения переменной, значит мы доказали тождество используя тождественные преобразования, и оно верно при всех допустимых значениях переменной.
После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тождественно равные выражения: определение
Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:
Определение 1
Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.
Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.
Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.
Определение 2
Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.
Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.
Можно указать еще и такое определение:
Определение 3
Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.
Примеры выражений, тождественно равных друг другу
Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.
Для начала возьмем числовые выражения.
Пример 1
Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны (6 и 6).
Пример 2
Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10 , (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражений нужно знать свойства степени).
Пример 3
А вот выражения 4 - 2 и 9 - 1 равными не будут, поскольку их значения разные.
Перейдем к примерам буквенных выражений. Тождественно равными будут a + b и b + a , причем от значений переменных это не зависит (равенство выражений в данном случае определяется переместительным свойством сложения).
Пример 4
Например, если a будет равно 4 , а b – 5 , то результаты все равно будут одинаковы.
Еще один пример тождественно равных выражений с буквами – 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, будучи умноженными на 0 , они дадут 0 . Неравные выражения – 6 · x и 8 · x , поскольку они не будут равны при любом x .
В том случае, если области допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях a + 6 и 6 + a или a · b · 0 и 0 , или x 4 и x , и значения самих выражений будут равны при любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Так, a + 8 = 8 + a при любом значении a , и a · b · 0 = 0 тоже, поскольку умножение на 0 любого числа дает в итоге 0 . Выражения x 4 и x будут тождественно равными при любых x из промежутка [ 0 , + ∞) .
Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.
Пример 5
Например, возьмем два выражения: x − 1 и x - 1 · x x . Для первого из них областью допустимых значений x будет все множество действительных чисел, а для второго – множество всех действующих чисел, за исключением нуля, ведь тогда мы получим 0 в знаменателе, а такое деление не определено. У этих двух выражений есть общая область значений, образованная пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x - 1 · x x и x − 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, за исключением 0 .
Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x - 1 · x x и x − 1 будут равными при любом x, которое не является 0 . Значит, на общей области допустимых значений эти выражения будут тождественно равны друг другу, а при любом действительном x говорить о тождественном равенстве нельзя.
Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
