Уравнение пересекающихся прямых второго порядка. Уравнение пары пересекающихся прямых. Исследование формы эллипса по его уравнению

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы.Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы.Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической . Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1 0 . Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n (А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2 0 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y - y o = k (x - x o), (2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a , где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x o , y o) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

3 0 . Уравнение прямой в отрезках

x/a + y/b = 1, (2.3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4 0 . Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x 1 , y 1) и B(x 2 , y 2):

. (2.4)

5 0 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x 1 , y 1) параллельно данному вектору a (m, n)

. (2.5)

6 0 . Нормальное уравнение прямой

rn о - р = 0, (2.6)

где r - радиус- произвольной точки M(x, y) этой прямой, n о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x 1 , y 1) имеет вид:

y-y 1 = l (x-x 1),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k 1 x + b 1 задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k 1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A 1 /A 2 = B 1 /B 2 и B 1 /B 2 ¹ C 1 /C 2; прямые пересекаются, если A 1 /A 2 ¹ B 1 /B 2 .

Расстояние d от точки M о (x о, y о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = ê r о n о - р ê , где r о - радиус-вектор точки M о или, в координатной форме, d = ê x о cos a + y о sin a - р ê .

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения a 11 , a 12 , a 22 есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a>b, тогда фокусы F 1 и F 2 находятся на оси Оx на расстоянии
c= от начала координат. Отношение c/a = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a .

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F 1 и F 2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью , b - мнимой полуосью . Параметр c= есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = e >1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых y = ± b/a x называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней , ее уравнение x 2 - y 2 = a 2 , а уравнение асимптот y = ± x. Гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 называются сопряженными .

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y 2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x 2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой y 2 = 2рx имеет фокус F(р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола, уравнение которой x 2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия
F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая, уравнение которой Ax+By+C = 0, разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x 2 -4x+y 2 +6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 o .

Решение. Будем искать в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми
y= k 1 x+b 1 и y= kx+b определяется формулой tg j = . Так как угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45 o , то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Имеем два значения k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые, уравнения которых: x - 5y + 2 = 0 и
5x + y - 16 = 0.

Пример 1.6 . При каком значении параметра t прямые, уравнения которых 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t : t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Пример 1.7 . Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
x 2 +y 2 =10 и x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Решая первое уравнение, находим значения x 1 = 3, x 2 = 1. Из второго уравнения - соответствующие значения y : y 1 = 1, y 2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.

Пример 1.8 . Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой x = y, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область - внутренность полукруга.

Пример 1.9. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Решение. Пусть М(с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с . Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, откуда
c = ab/ ; значит, сторона квадрата - 2ab/ .

Пример 1.10. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ее точек М(12, 3 ), составить уравнение гиперболы.

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b 2 =9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Пример 1.11. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р , предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y 2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30 o , то уравнение прямой имеет вид: y = x.большим количеством графиков

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений y 2 =2рx, y = x, откуда x = 6р, y = 2 р. Значит, расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2 р) равно 4 р.

распадающиеся линии:

x 2 - а 2 = 0 - пары параллельных прямых,

x 2 + а 2 = 0 - пары мнимых параллельных прямых,

x 2 = 0 - пары совпадающих параллельных прямых.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

S = a 11 + a 22 , (a ij = a ji ).

Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ

Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, - группы аффинных преобразований (См. Аффинные преобразования) - эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии (См. Проективная геометрия), в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,

невырождающиеся линии

(x 1 , x 2 , x 3 - однородные координаты):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 = 0 - действительный овал,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0 - мнимый овал,

вырождающиеся линии:

x 1 2 - x 2 2 = 0 - пара действительных прямых,

x 1 2 + x 2 2 = 0 - пара мнимых прямых,

x 1 2 = 0 - пара совпадающих действительных прямых.

А. Б. Иванов.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Линии второго порядка" в других словарях:

Плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы … Большой Энциклопедический словарь

Плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы. * * * ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,… … Энциклопедический словарь

Плоские линии, прямоуг. координаты точек к рых удовлетворяют алгебр. ур нию 2 й степени. Среди Л. в. п. эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы … Естествознание. Энциклопедический словарь

Плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… … Математическая энциклопедия

Множество точек 3 мерного действительного (или комплексноро) пространства, координаты к рых в декартовой системе удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, в таких… … Математическая энциклопедия

Слово это, весьма часто употребляемое в геометрии кривых линий, имеет не вполне определенное значение. Когда это слово применяется к незамкнутым и неразветвляющимся кривым линиям, то под ветвью кривой подразумевается каждая непрерывная отдельная… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Линии второго порядка, два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды этой кривой, параллельные другому. С. д. играют важную роль в общей теории линий второго порядка. При параллельном проектировании эллипса в окружность его С. д.… …

Линии, которые получаются сечением прямого кругового Конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия… … Большая советская энциклопедия

Линии, к рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения… … Математическая энциклопедия

Раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Краткий курс аналитической геометрии. Учебник. Гриф МО РФ , Ефимов Николай Владимирович. Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой или второй степени. На плоскости это прямые и линии второго порядка. В…

уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Уравнение x 2 + y 2 = − 1 может

служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность.

Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка

Уравнение эллипса

				1 (a ≥b >0 )

с полуосями длины a иb . В частности, приa = b уравнение окружности

x 2+ y 2= a 2

с центром в начале координат и радиусом a .

Уравнение гиперболы

				1 (a ≥b >0 )

с полуосями a иb .

Уравнение параболы

y2 = 2 px(p> 0 ) .

Уравнение пары пересекающихся прямых

a2 x2 − b2 y2 = 0 , (0 < a, b) или y= ± b a x.

Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

x 2 −a 2 =0 (a ≥0 ) , или x = ±a . y 2 −b 2 = 0, (b ≥ 0) или y = ±b .

Уравнение, определяющее точку

Эллипс

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Теорема 1.7.1

Если известны: расстояние между фокусами F 1					и F 2 эллипса, равное2 c и сумма расстояний
от любой точки на эллипсе до фокусов, равное					2 a , то в прямоугольной декартовой системе
координат, где ось Ox проходит через фокусы					F 1 иF 2 (отF 1 кF 2 ), а начало координат
посередине между ними, уравнение эллипса имеет вид
				1 , гдеb 2 = a 2 − c 2 .

Доказательство

	−c
Во введенной системе координат фокусы расположены на оси								Ox и имеют координаты
F 1 (− c , 0 ) иF 2 (c , 0 ) . Пусть точкаM (x , y ) принадлежит эллипсу (рис. 1.7.1). Тогда
MF = (x+ c) 2		Y2 , MF= (x− c) 2

2 a =(x +c ) 2 +y 2 +(x −c ) 2 +y 2 ,

перенося первый радикал из правой части в левую, запишем

2 a −(x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 .

Возведем обе части уравнения в квадрат

4 a 2 +(x +c ) 2 +y 2 −4 a (x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2

и раскроем квадраты в левой и правой частях

4 a 2 +x 2 +2 cx +y 2 +c 2 −4 a (x +c ) 2 +y 2 =x 2 −2 xc +c 2 +y 2 .

Приводя подобные члены, получим уравнение

4 a2 + 4 cx= 4 a (x+ c) 2 + y2 ,

обе части которого разделим на 4 и снова возведем в квадрат. тогда уравнение примет вид

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2[ x 2+ 2 cx + c 2+ y 2] .

Последнее уравнение можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные члены,

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2x 2+ 2 a 2cx + a 2c 2+ a 2y 2, − (a 2− c 2) x 2= − a 2(a 2− c 2) + a 2y 2.

Поскольку из определения эллипса следует, что 2 a > 2 c , то числоa 2 − c 2 > 0 и его можно обозначить, какb 2 = a 2 − c 2 . Тогда уравнение эллипса запишется в виде

− b 2x 2= − a 2b 2+ a 2y 2, или a 2b 2= b 2x 2+ a 2y 2.

Такое уравнение эллипса называется каноническим.

Исследование формы кривой

	Если в уравнении эллипса				1 заменитьx на− x ,	то его вид не изменится. Это
	означает, что если точка M (x , y )		принадлежит кривой, то точка			M 1 (− x , y ) также принадлежит

этой кривой. Следовательно, кривая симметрична относительно оси ординат. Эллипс симметричен и

относительно оси абсцисс, потому что его уравнение не меняется при замене y на− y . Учитывая

это, достаточно изучить вид кривой в первой четверти, то есть при условии x , y ≥ 0 .
При x , y ≥ 0 можно задать кривую в виде явного уравнения			a 2− x 2,	(0 ≤x ≤a ) . Из
этого уравнения ясно, что кривая проходит через точки B (0 , b )	и A (a , 0 ) . Эти точки называются
вершинами эллипса.
Эллипс - ограниченная кривая, которая находится внутри прямоугольника				0 ≤ x ≤a
явного уравнения эллипса ясно, что ордината y при непрерывном возрастании				0 ≤ y ≤b
					на отрезке

[ 0 , a ] монотонно убывает. Следовательно, эллипс есть непрерывная замкнутая кривая, в первой

четверти она выпукла вверх, в любой ее точке можно провести касательную. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей.

Числа a иb называютсяполуосями эллипса. Посколькуb 2 = a 2 − c 2 , тоa > b и эллипс вытянут вдоль осиOx . При этомa называетсябольшей полуосью , аb -меньшей полуосью эллипса. Вид кривой показан на рисунке 1.7.2.

	− a	−c
			−b

При a = b эллипс представляет собой окружность радиуса Уравнение этой окружности

a с центром в начале координат.

x 2+ y 2= a 2.

Эксцентриситетом эллипса называется числоε = a c . Для эксцентриситета эллипса

справедливо неравенство 0 < ε <1 , поскольку из определения эллипса следует, чтоc > a > 0 . Эксцентриситет окружностиε = 0 , поскольку для окружностиa = b иc = 0 .

Учитывая то, что эксцентриситет окружности ε = 0 , можно сделать вывод, что чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше он вытянут относительно одной из осей симметрии.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Теорема 1.7.2

Если известны: расстояние между фокусами F 1 иF 2 гиперболы, равное2 c и разность расстояний от любой ее точки до фокусов, равное2 a , то в прямоугольной декартовой системе

координат, где ось Ox проходит через фокусыF 1 иF 2 (отF 1				F 2 ), а начало координат
посередине между фокусами, уравнение гиперболы имеет вид						1 , гдеa , b > 0 и

b 2= c 2− a 2.

b 2 = c 2 − a 2

Доказательство

−c

Во введенной системе xOy координаты фокусов равныF 1 (− c , 0 ) ,F 2 (c , 0 ) . Если точкаA (x , y )

принадлежит гиперболе, то справедливо AF 1 − AF 2 = 2 a , илиAF 1 − AF 2 = ±2 a (рис. 1.7.3).

Подставив в последнее равенство координаты точек A , F 1 , F 2 , получим

(x +c ) 2 +y 2 −(x −c ) 2 +y 2 = ±2a ,

или (x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 ± 2a .

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат

(x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 ±4 a (x −c ) 2 +y 2 +4 a 2

и упростим его, раскрыв все квадраты

x 2 +2 cx +c 2 +y 2 =x 2 −2 cx +c 2 +y 2 ±4 a (x −c ) 2 +y 2 +4 a 2

и приведя подобные члены

4 cx− 4 a2 = ± 4 a (x− c) 2 + y2 .

Последнее уравнение разделим на 4 и снова возведем в квадрат c 2x 2− 2 cxa 2+ a 4= a 2(x 2− 2 cx + c 2+ y 2) .

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получим уравнение

(c 2− a 2) x 2− a 2y 2= a 2(c 2− a 2) ,

в котором c 2 − a 2 > 0 , поскольку2 c > 2 a из определения гиперболы. Из этого следует, что можно ввести обозначение и записать уравнение гиперболы в видеb 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 .

Разделив на a 2 b 2 , получим уравнение гиперболы

a x 22 − b y 2 2= 1 ,

которое называется каноническим.

Исследование формы кривой.

Из вида уравнения ясно,		что гипербола симметрична относительно оси Ox и осиOy . При
x = 0 получим уравнение					которое не имеет вещественных корней. Следовательно,
кривая не пересекает ось	Oy . При				y = 0 получим уравнение			1 , корни которогоx = ± a .
Следовательно, кривая пересекает ось Ox в точкахA 1 (a , 0 ) и						A 2 (− a , 0 ) . Эти точки называются

вершинами гиперболы.

Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

в котором
.

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией ) второго порядка .

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

1)
(эллипс);

2)
(мнимый эллипс);

3)
(пара мнимых пересекающихся прямых);

4)
(гипербола);

5)
(пара пересекающихся прямых);

6)
(парабола);

7)
(пара параллельных прямых);

8)
(пара мнимых параллельных прямых);

9)
(пара совпадающих прямых).

Уравнения 1)–9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат
к канонической
осуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точкиО на некоторый угол  и последующего параллельного переноса системы координат.

Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат

,

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах

и определитель третьего порядка

являются инвариантами.

Значение инвариантов s, ,  можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах

Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек
этой плоскости, называемыхфокусами эллипса , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а , половину расстояний между фокусами – с . Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси О x симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением

, (8.4.2)

называемым каноническим уравнением эллипса , где
.

Рис. 8.1

При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центрего симметрии – центром эллипса . Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b , а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса . Вершины эллипса имеют координаты (а , 0), (–а , 0), (0, b ), (0, –b ).

Эксцентриситетом эллипса называется число

. (8.4.3)

Поскольку 0  c < a , эксцентриситет эллипса 0   < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе  к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  эллипс становится более вытянутым.

Пусть
– произвольная точка эллипса,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам

Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением (8.4.2) называются две прямые

.

Директрисы эллипса расположены вне эллипса (рис. 8.1).

Отношение фокального радиуса точки M эллипса к расстоянию  этого эллипса (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра эллипса).

Гиперболой (рис. 8.2) называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек иэтой плоскости, называемыхфокусами гиперболы , есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть расстояние между фокусами равно 2с , а указанный модуль разности расстояний равен 2а . Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола задается уравнением

, (8.4.4)

называемым каноническим уравнением гиперболы , где
.

Рис. 8.2

При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями , а центр симметрии – центром гиперболы . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , расположенный, как показано на рис. 8.2, называется основным прямоугольником гиперболы . Числа 2a и 2b – оси гиперболы, а числа a и b – ее полуоси . Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы

.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы . Вершины гиперболы имеют координаты (а , 0), (–а , 0).

Эксцентриситетом гиперболы называется число

. (8.4.5)

Поскольку с > a , эксцентриситет гиперболы  > 1. Перепишем равенство (8.4.5) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: чем меньше , больше вытягивается основной прямоугольник, а вслед за ним и сама гипербола вдоль оси Ox .

Пусть
– произвольная точка гиперболы,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам

Директрисами гиперболы с каноническим уравнением (8.4.4) называются две прямые

.

Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (рис. 8.2).

Отношение фокального радиусаточки M гиперболы к расстоянию от этой точки до отвечающей фокусудиректрисы равно эксцентриситету  этой гиперболы (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра гиперболы).

Параболой (рис. 8.3) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F (фокуса параболы ) этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы параболы ), также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [FD ], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. 8.3. Пусть длина отрезка [FD ] равна p . Тогда в выбранной системе координат
иканоническое уравнение параболы имеет вид

. (8.4.6)

Величина p называется параметром параболы .

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы . Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . Если парабола задана своим каноническим уравнением (8.4.6), то осью параболы является ось Ox . Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

Пример 1. Точка А = (2, –1) принадлежит эллипсу, точка F = (1, 0) является его фокусом, соответствующая F директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этого эллипса.

Решение. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние от точкиА до директрисы
в соответствии с соотношением (8.1.8), в котором


, равно

.

Расстояние от точкиА до фокуса F равно

,

что позволяет определить эксцентриситет эллипса

.

Пусть M = (x , y ) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние
от точкиМ до директрисы
по формуле (8.1.8) равно

а расстояние от точкиМ до фокуса F равно

.

Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем

,

Пример 2. Кривая задана уравнением

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

Решение. Квадратичная форма
имеет матрицу

.

Ее характеристический многочлен

имеет корни  1 = 4 и  2 = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

.

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений
и ортонормировать их.

При
эта система имеет вид

Ее общим решением является
. Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора
. Нормируя его, получим вектор

.

При
также построим вектор

.

Векторы иуже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицыА . Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

.

Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле
, где
– матрица квадратичной формы в базисе
:

Матрица Р найдена верно.

Выполним преобразование переменных

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами
:

где
.

Получили каноническое уравнение эллипса

.

В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

,

,

каноническая система координат
имеет начало
и направляющие векторы
.

Пример 3. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой

Решение. Поскольку

,

в соответствии с табл. 8.1 заключаем, что это – гипербола.

Так как s = 0, характеристический многочлен матрицы квадратичной формы

Его корни
и
позволяют записать каноническое уравнение кривой

где С находится из условия

,

.

Искомое каноническое уравнение кривой

.

В задачах этого параграфа координаты x , y предполагаются прямоугольными.

8.4.1. Для эллипсов
и
найдите:

а) полуоси;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

8.4.2. Составьте уравнения эллипса, зная его фокус
, соответствующую директрисуx = 8 и эксцентриситет . Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса.

8.4.3. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0) и (0, 1), а большая ось равна двум.

8.4.4. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси a и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.5. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси а и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.6. Точка
принадлежит гиперболе, фокус которой
, а соответствующая директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этой гиперболы.

8.4.7. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус
и директриса
.

8.4.8. Даны вершина параболы
и уравнение директрисы
. Составьте уравнение этой параболы.

8.4.9. Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке

и директриса задана уравнением
.

8.4.10. Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцентриситет
, фокус
и соответствующую директрису
.

8.4.11. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:

г)
;

8.4.12.

является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

8.4.13. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

является гиперболой. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот.

8.4.14. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

,

является параболой. Найдите параметр этой параболы, координаты вершин и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы.

8.4.15. Каждое из следующих уравнений приведите к каноническому виду. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат:

8.4.16. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой.

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты x 0 , y 0 а - произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и , получим

Преобразуем это уравнение:

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

.

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

.

Ему удовлетворяют координаты единственой точки . В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).

11.3. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2c , а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов - через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c , т. е. a > c .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a >с , то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса .

Эллипс - кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса . Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2 (см. рис. 51). Длины отрезков F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2 называются фокальными радиусами точ­ки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

Прямые называются

Теорема 11.1. Если - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось - на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

11.4. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 расстояние между ними через 2с , а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a . По определению 2a < 2с , т. е. a < c .

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты и

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы или , т.е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(11.9)

(11.10)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.

1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью : и . Положив в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью , отрезок - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью , число b - мнимой полуосью . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы .

3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда возрастает, то и воз­растает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

(11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на гиперболе (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель - есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины и , гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы.

асимптотами которой служат оси координат

Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

(11.12)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Используем формулы поворота осей координат:

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (11.10) следует, что т.е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы и для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и .

Прямые - называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая - между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2a - на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

11.5. Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или .

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При имеем у = 0. Следователь­но, парабола проходит через начало коор­динат.

4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точ­ка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения , , (p>0 ) также определяют параболы, они изображены на рисунке 62

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , B и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны a и b . Поместим в центре эллипса O 1 начало новой системы координат , оси которой и полуосями a и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответству­ющие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2 . Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (B¹ 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол a , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол a так, чтобы коэффициент при х" · у" обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод : общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.