Математические понятия особенности математических понятий. Особенности формирования у школьников основных математических понятий в современных условиях. Методика изучения математических понятий
Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.
В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.
Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.
Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.
Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .
Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:
1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.
2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.
3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2 <1000».
4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.
В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.
Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.
Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.
Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.
В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:
· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.
· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.
Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.
Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:
· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.
· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.
· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.
Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.
· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.
На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.
· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.
2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах
Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.
Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».
Лекция 7. Математические понятия
1. Группы понятий, изучаемых в начальном курсе математики. Особенности математических понятий.
2. Объем и содержание понятия.
3. Отношения между понятиями.
4. Операции с понятиями: обобщение, ограничение, определение и деление понятия.
5. Правила, необходимые при формулировке определения понятий через род и видовое отличие.
6. Контекстуальные и остенсивные определения. Описание, сравнение.
Группы понятий, изучаемых в начальном курсе математики. Особенности математических понятий.
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Как же изучать такое обилие самых разных понятий?
Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах . Языковой формой понятия является слово или группа слов .
Составить понятие об объекте - это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов.
Математические понятия обладают рядом особенностей . Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования , но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. B математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.
Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.
2. Объем и содержание понятия
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные .
Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Любое понятие характеризуется словом, объемом и содержанием.
Объем понятия а - это множество всех объектов, которые можно назвать данным словом (термином)
Пример. Выделим объем и содержание понятия «прямоугольник».
Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т. д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь : если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
1.2. Виды и определения математических понятий в начальной математике
При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.
Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.).
Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления.
Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.
Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов.
Логический класс объектов – это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают.
Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются.
По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.
Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см».
Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента.
Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы».
Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом «и». Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми.
В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.
В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из остальных. В силу этого признаки связаны союзом «или». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными.
Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные.
Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.
Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона.
Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школьники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.
Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.
Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы.
Например, понятие «квадрат» имеет меньший объем, чем объем понятия «прямоугольник» так как любой квадрат - это прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Поэтому понятие «квадрат» имеет большее содержание, чем понятие «прямоугольник»: квадрат имеет все свойства прямоугольника и некоторые другие (у квадрата все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны).
В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.
Например, рассмотрим понятия «квадрат» и «прямоугольник». Объем понятия «квадрат» есть частью объема понятия «прямоугольник». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.
Например, для вида «квадрат» ближайшим родом будет род «прямоугольник», для прямоугольника ближайшим родом будет род «параллелограмм», для «параллелограмма» - «четырехугольник», для «четырехугольника» - «многоугольник», а для «многоугольника»- «плоская фигура».
В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа.
Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.
Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие. Словесное определение понятия называется термином.
Например, «число», «треугольник», «круг», «уравнение» - термины.
Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.
Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение.
В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения.
Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий.
Например: «Пропедевтика есть вступление в любую науку». Здесь приравнивают один к одному два понятия – «пропедевтика» и «вступление в любую науку».
В определении «Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны» имеем совпадение понятий.
В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.
Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.
Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.
Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.
Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой - маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.
Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.
Остенсивные определния - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.
Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.
В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.
На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.
Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».
В математике используются разные явные определения. Наиболее распространенное из них - определение через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим.
Примеры определений через род и видовой признак: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельные», «Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны», «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые», «Квадратом называется прямоугольник, в которым стороны равны», « Квадратом называется ромб, у которого прямые углы».
Рассмотрим определения квадрата. В первом определении ближайшим родом будет «прямоугольник», а видовым признаком – «все стороны равны». В втором определении ближайший род «ромб», а видовой признак – «прямые углы».
Если же взять не ближайший род («параллелограмм»), то видовых признаков квадрата будет два «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые».
В родовидовом отношении находятся понятия «сложение (вычитание, умножение, деление)» и «арифметическое действие», понятие «острый (прямой, тупой) угол» и «угол».
Примеров явных родовидовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.
Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими.
Примеры генетических определений: «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».
К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.
Например, «Натуральный ряд чисел - это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».
Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.
Например, единицы времени год, месяц, час, минута.
Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а ×1= а, а× 0=0
В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.
дипломная работа
1.1 Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий
Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.
Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).
Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.
o должно проводится по одному признаку;
o классы должны быть не пересекающимися;
o объединение всех классов должно давать всё множество;
o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).
Выделяют следующие виды классификации:
1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.
Пример. Понятие «треугольник».
2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.
Выделим цели обучения классификации:
1) развитие логического мышления;
2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.
Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.
Воспитание у дошкольника чувства гражданственности
Впервые слово «патриот» появилось в период Французской революции 1789 - 1793гг. Патриотами тогда себя называли себя борцы за народное дело, защитники республики в противовес изменникам, предателям родины из лагеря монархистов...
Деление понятий
Чтобы осмысленно оперировать понятиями, правильно их использовать в решении теоретических и практических задач необходимо уметь выявлять две основные логические характеристики: объем и содержание понятия...
Деление понятий
Классификация - распределение предметов по группам (классам), при котором каждый класс имеет свое постоянное место. Классификация является разновидностью деления понятия...
Исследование эффективности использования домашних заданий в процессе физического воспитания
Под самостоятельной деятельностью понимается совокупность действий, объединенных общей целью и выполняющих определенную общественную функцию (В.Н. Шаулин, 1986). В нашем случае, мы имеем дело с физкультурной деятельностью, то есть деятельностью...
Межпредметные связи в обучении
Межпредметные связи могут помочь школьникам понять окружающий мир, его свойства, основные явления и процессы, происходящие в нем и те закономерности, которым они подчиняются. Таким образом...
Методы и приемы обучения иностранному языку на старшем этапе
В последнее время очень актуальным становится обращение отечественных и зарубежных исследователей, таких как А.А. Щукин, И.П. Подласый, М.А. Данилов, И.П. Пидкасистый, И.Я. Лернер и др...
Организация проектной деятельности учащихся по средствам телекоммуникаций
Впервые употребил слово «проект» в 1908 году заведующий отделом воспитания сельхозшкол Д. Снезден в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов предлагалось связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства...
Особенности логопедической работы по преодолению аграмматической дисграфии у учащихся общеобразовательной школы
Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. Куссмауль в 1877 г. Затем появилось много работ, в которых давались описания детей с различными нарушениями чтения и письма...
Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах
Определить объект - выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении...
В современных педагогических исследованиях, связанных с проблемами совершенствования функционирования педагогических систем, повышения эффективности образовательного процесса, одним из аспектов, вызывающих наибольший интерес...
Психолого-педагогические аспекты решения проблем межличностных отношений подростков
Каждый возраст хорош по-своему. И в то же время, каждый возраст имеет свои особенности и сложности. Не является исключением и подростковый возраст. Подростковый возраст -- определенный отрезок жизни между детством и зрелостью...
Работа с одаренными детьми
28. Треугольник - пятиугольник геометрические фигуры Пары понятий можно произносить вслух, а можно предъявлять в виде карточек или напечатанными на отдельном листе. Отвечать дети могут устно или письменно. Задание 4...
Современные проблемы воспитания детей в семье и пути их решения
В Малом энциклопедическом словаре понятие семьи трактуется как «основанная на браке или кровном родстве малая группа, члены которой связаны общностью быта, взаимной помощью, моральной и правовой ответственностью» . М.И.Демков отмечает...
Формирование познавательных универсальных учебных действий на основе индивидуализации и дифференциации обучения химии в основной общеобразовательной школе
Как и любой социальный институт, общеобразовательная школа подвержена перманентной модернизации. В настоящий момент общественно-политический запрос к общеобразовательной школе заключается в таком построении процесса обучения...
Экспериментальное исследование чувства гражданственности у детей дошкольного возраста
Педагогу, начинающему заниматься проблемой формирования гражданской компетентности, прежде всего необходимо знание терминологии, ключевых понятий гражданского и патриотического образования...
План:
1. Понятие как форма мышления. Содержание и объем понятия.
2. Определение понятия, виды определений. Классификация понятий.
3. Методика изучения понятий в курсе средней школы (пропедевтика, введение, усвоение, закрепление, предупреждение ошибок).
1. Познание окружающего мира осуществляется в диалектическом единстве чувственной и рациональной форм мышления. К чувственным формам мышления относятся: ощущение, восприятие, представление. К рациональным формам мышления относятся: понятия, суждения, умозаключения. Ощущение и восприятие-первые сигналы действительности. На их основе образуются общие представления, а от них в результате сложной умственной деятельности мы переходим к понятиям.
Понятие - это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки (свойства) объектов реального мира.
Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Например, формальное понятие куба (различные кубы, размеры, цвета, материалы). При наблюдении их возникает восприятие объекта, следовательно, возникает представление об этих объектах в сознании. Затем, выделяя существенные признаки, формируется понятие.
Итак, понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений, и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов.
Всякое понятие имеет две логические характеристики: содержание и объем.
Объемом понятия называется совокупность объектов, обозначаемых одним и тем же термином (названием).
Например, термин (название) - трапеция.
1) четырехугольник,
2) одна пара противолежащих сторон параллельна,
3) другая пара противолежащих сторон не параллельна,
4) сумма углов прилежащих к боковой стороне равна .
Объем понятия – все мыслимые трапеции.
Между содержанием понятия и объемом существует следующая связь: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник». А содержание первого понятия больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами присущими только равнобедренным треугольникам (боковые стороны равны, углы при основании равны). Итак, если увеличить содержание, то уменьшится объем понятия.
Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называют видовым, а второе родовым.
Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Ромб - видовое, параллелограмм - родовое.
Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Квадрат - видовое, прямоугольник - родовое.
Но, квадрат-это ромб, у которого угол прямой .
То есть понятие рода и вида относительны.
Каждое понятие связано со словом-термином, которое соответствует данному понятию. В математике понятие часто обозначается символом ( ║). Термины и символы - это средства, которые служат для выражения и фиксирования математических понятий, для передачи и обработки информации о них.
2. В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы распознать объект, установить принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него некоторых существенных свойств.
Определение понятия - формулировка предложения, в котором перечисляются необходимые и достаточные признаки понятия. Таким образом, содержание понятия раскрывается через определение.
Виды определений понятий.
1.Определение через ближайший род и видовое отличие .
Подчеркнем, что в качестве видового отличия всегда берется несущественный признак родового понятия, который для определяемого понятия является уже существенным.
Свойства объекта в таком определении раскрываются путем показа операций его конструирования.
Пример, треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (Погорелов, 7 класс). Это определение подсказывает учащимся, как построить треугольник равный данному.
3.Определения - условные соглашения . Те же конструктивные определения, но основанные на некотором соглашении. Такие определения используются в школьном курсе математики при расширении понятия числа.
Например, 
.
4. Индуктивные (рекурсивные). Указываются некоторые базисные объекты некоторого класса и правила, позволяющие получить новые объекты этого же класса.
Например. Числовая последовательность каждый член, которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
5. Отрицательные определения. Они не задают свойства объекта. Они выполняют как бы классификационную функцию. Например, скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не принадлежат плоскости и не пересекаются .
6. Аксиоматическое определение . Определение через систему аксиом. Например, определение площади и объема.
Виды ошибок при определении понятий.
1) Определение должно быть соразмерно - в нём должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию (параллелограмм-это четырехугольник, параллелограмм-это многоугольник).
2) Определение не должно содержать «порочного круга» - первое определяется через второе, а второе через первое (прямой угол равен девяносто градусов, один градус-это одна девяностая прямого угла).
3) Определение должно быть достаточным. В определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия (смежными называются углы, которые в сумме дают ).
4) Определение не должно быть избыточным, то есть в определении не должно быть указано лишних признаков определяемого понятия. Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Это определение избыточно, ибо достаточно равенства двух смежных сторон.
5) Определение не должно быть тавтологией, то есть повторяющей в любой словесной форме ранее сказанное. Например, равными треугольниками называются треугольники, которые равны между собой.
Логическая структура видовых отличий.
1. Видовые отличия могут быть связаны союзом «и» - конъюнктивная структура определения.
2. Видовые отличия связаны союзом «или» - дизъюнктивная структура определения.
3. Видовые отличия связаны словами «если…., то …» - импликативная структура.
Классификация – это распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому происходит классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.
При проведении классификации необходимо соблюдать следующие правила:
1) В качестве основания классификации можно брать лишь один общий признак всех объектов данного понятия, он должен оставаться неизменным в процессе классификации.
2) Каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.
3) Классификация должна быть соразмерной, то есть объединение классов объектов составляют объем понятия (нет объекта, который не попал бы ни в один класс).
4) Классификация должна быть непрерывной, то есть в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему (к данному) родовому понятию (виду).
В настоящее время в школьных учебниках термин классификация не употребляется, требования не указываются. Но это не значит, что учитель не классифицирует понятия. Классифицировать можно числа, функции, алгебраические выражения, геометрические преобразования, многоугольники, многогранники. Её можно оформлять в виде схемы, таблицы.
Учащихся следует подготавливать к построению классификации постоянно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы, таблицы. На втором заполнение этих схем, таблиц. На третьем самостоятельное конструирование.
Виды классификаций:
1. Классификация по видоизмененному признаку. Например, треугольник. Основание классификации: величина внутренних углов, члены: прямоугольные, остроугольные, тупоугольные.
2. Дихотомическая классификация (dicha и tome(греч)- «сечение на две части»). Оно представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два противоречащих друг другу видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое не обладает им.
Например, 
3. При формировании понятия следует соблюдать три этапа: введение, усвоение, закрепление.
I. Введение может осуществляться двумя путями:
а) конкретно-индуктивный-все признаки понятия рассматриваются на примерах или задачах, после чего вводится термин и определение.
б) абстрактно-дедуктивным-сразу дается определение, а потом на примерах обрабатываются признаки.
II. Усвоение.
Здесь прослеживаются две цели:
1) выучить определение.
2) Научить учащихся определять подходит ли объект под рассматриваемые понятия или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях.
Для реализации второй цели необходимо:
1) указывать систему необходимых и достаточных свойств объектов данного класса.
2) установить, обладает данный объект выделенными свойствами или нет.
3) заключить о принадлежности объекта к данному понятию.
III. Закрепление-решение более сложных задач, включающих рассматриваемые понятия.
Замечание 1 . Формулируя определение понятия, следует обратить внимание на то, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. В первую очередь следует обращать внимание на следующие слова: «каждый», «не более» и т.д.
Замечание 2 . На этапе закрепления понятия следует предлагать задания не только на распознавание объекта, но и на отыскание следствий. Например, известно, что четырехугольник - трапеция ( и её основания). Назовите следствия, вытекающие из данных условий в силу определения трапеции.
