Определение числовых промежутков интервал отрезок луч. Числовые промежутки

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Базовый учебник. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. ISBN 978-5-09-015964-7.

Дидактическая цель урока: создание условий для осознанного изучения нового материала и включение знаний учащихся в процесс познания.

Цели урока:

• Образовательные :
  • ввести понятие числового промежутка;
  • формировать умения работать с числовыми промежутками;
  • изображать на координатной прямой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству;
  • прививать навыки графической культуры.
• Воспитательные :
  • воспитание интереса к математике через использование и применение ИКТ;
  • создание условий для формирования коммуникативных навыков.
• Развивающие :
  • совершенствование умственной деятельности: анализ, синтез, классификация;
  • развитие способности самостоятельно решать учебные задачи, развитие любознательности учащихся, познавательного интереса к предмету;

Задачи урока:

• Знать:
  • понятия: числовой промежуток, числовой луч, открытый числовой луч;
  • обозначение числовых промежутков, их названия.
• Уметь:
  • изображать числовые промежутки на координатной прямой;
  • записывать числовые промежутки на математическом языке.
• Научиться делать самоанализ урока.

Приобретаемые навыки детей:

• умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать соответствующие выводы;
• развитие логического мышления, памяти, речи, пространственного воображения;
• повышение уровеня восприятия, осмысления и запоминания;
• воспитание внимательного отношения к окружающим, друг к другу, учебной дисциплины;
• умение подводить итоги своей работы, анализировать свою деятельность;

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.

Формы организации работы детей: индивидуальная, фронтальная, парная.

Формы организации работы учителя:

• используется словесно-иллюстративный метод, репродуктивный метод, практический метод, проблемный метод, беседа-сообщение;
• проверка ранее изученного материала, организация восприятия новой информации;
• постановка цели занятия перед учащимися;
• обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, ПК, линейка, карандаш, набор цветных карандашей, Презентация .

Структура и ход урока:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

7 класс Числовые промежутки Учитель математики: Бахвалова Г.С. Гимназия №52

Цели урока: 1.Ввести понятие числового промежутка; 2.Привить навыки изображения числовых промежутков на числовой прямой и умение их обозначать. 3.Развивать логическое мышление: анализировать, сравнивать. План урока: 1.Актуализация знаний: «Координатная ось». 2.Новая тема: «Числовые промежутки». 3.Обучающая самостоятельная работа. 4.Итоги урока.

Выполните задание: 1.Отметьте на числовой прямой точки с координатами: А(-2); В(5); О(0); С(5); D (-3).

Ответ: 1. А(-2); В(5); О(0); С(3); D (- 3). 0 А В С 1 0 D

Выполните задание: 2.Сравните числа: -2 и 5; 5 и 0; -2 и –3; 5 и 3; 0 и –2.

Ответ: -2 0; -2 > –3; 5 > 3; 0 > –2. Проверь себя

Выполните задание устно: 3.Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее: -2 или 5; 5 или 0; -2 или –3; 5 или 3; 0 или –2. ВЫВОД: из двух чисел на числовой прямой меньшее число расположено левее, а большее – правее.

Отметим на координатной прямой точки с координатами – 3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше –3 и меньше 2 . Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию – 3Слайд 9

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию 3Слайд 10

Число х, удовлетворяющее условию -3 ≤х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит между точками с координатами –3 и 2, либо совпадает с одной из них. Множество таких чисел обозначают [-3;2]. - 3 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

Число х, удовлетворяющее условию х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит левее точки с координатой 2, либо совпадает с ней. Множество таких чисел обозначают (-∞;2]. 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

Число х, удовлетворяющее условию х >-3 , изображается точкой, которая либо лежит правее точки с координатой -3. Множество таких чисел о бозначают (-3; +∞). - 3 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3

Самостоятельная работа ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 4 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ВЫБЕРИ ВАРИАНТ Помоги мне! А мне, а мне. Выбери меня! Ты ведь мне поможешь?

ВАРИАНТ 1 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). ; б). (-2; + ∞); в). [ 3;5) ; г).(- ∞ ;5 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а). [-1,5;6,5]; б).(3; + ∞); в). (- ∞ ;1]. 3 7 -5 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17). СПАСИБО!

ВАРИАНТ 2 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ - 3; 0) ; б). [ - 3 ; + ∞); в). (- 3; 0) ; г).(- ∞ ; 0) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел - 2 , 2 ; - 2 , 1 ; -1; 0; 0,5 ; 1; 8 , 9 принадлежат промежутку: а). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; б).(- ∞ ;0 ] ; в). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). [ -1;17 ] . 2 Помоги мне!

ВАРИАНТ 3 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). (-0,44 ;5) ; б). (10 ; + ∞); в). [ 0 ; 13) ; г).(- ∞ ; -0,44 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 3 ; 1 ]; б).(- 3; 1); в) [- 3 ; 1) ; г). (- 3 ; 1 ]; . 7 20 -8 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17 ] . Спасибо, я очень рад!

ВАРИАНТ 4 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ -4 ; -0,29 ]; б). (- ∞ ;+ ∞); в). [ 1,7 ;5 ,9) ; г).(0,01;+ ∞) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 4 ; 3 ]; б).(-4 ; 3); в) [- 4 ; 3) ; г). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). (-1;17 ] . -8 Молодец!

Вызываем тестовую программу Если у тебя остались свободные минуты,вызови тестовую программу, нажав на слово «ВЫЗЫВАЕМ» Домашняя работа Можно решить другой ВАРИАНТ

Домашняя работа 1). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они имели общие точки (2 примера). 2). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они не имели общих точек (2 примера). Завершение работы

СПАСИБО ЗА РАБОТУ!!!

План урока

Дата ________ Урок №______

Тема Числовые промежутки.

Учебно-воспитательные задачи:

1.Ознакомить учащихся с записью решения неравенств с помощью промежутков.

2. Способствовать развитию мышления, речи учащихся, умения анализировать, обобщать, выделять главное, упрощать.

3. Воспитывать аккуратность, последовательность, самостоятельность, интерес к предмету.

Цель: Научить учащихся решению неравенств с помощью промежутков.

Наглядные пособия: книга, ноутбук.(презентация 91479 )

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Методы: Словесный, наглядный, практический.

Ход урока:

1. Организационный момент:

Приветствие учеников.

2.Проверка домашнего задания:

У доски

3. Этап усвоения новых знаний:

Промежутки на числовой (координатной) прямой.

Рассмотрим координатную прямую, в этот раз координатная прямая изображена без указания начала отсчета и величины единичного отрезка.

На координатной прямой отметили точку а . Все точки, расположенные правее, отмечены штриховкой- это числа большие числа а. Такое множество точек наз. открытым лучом и обозначают - символическая запись. Читается так: «От а до плюс бесконечности». Для любого числа х из этого множества верно неравенство xa

Дать учащимся возможность самим догадаться, как обозначают такой открытый лучи и какое неравенство будет верным для всех чисел, принадлежащих ему.

Проверка: такой открытый луч обозначают , знак читается «минус бесконечность»/ Для любого числа х из этого множества верно неравенствоxa.

Рассмотреть рисунки и сравнить их с предыдущими рисунками. В чем сходство. В чем отличие? Зачем точку, соответствующую точке а закрасили черным цветом?

Так на рисунке обозначают обычный луч. Для обозначения луча при записи используют квадратную скобку [a ;), (;a ].

Такие неравенства называются нестрогими в отличие от неравенств видаxa,xa которые называют строгими.

Определите, на каких рисунках изображены лучи, а на каких – открытые лучи, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд

На этом рисунке штриховкой отмечены точки(числа), расположенные между точками a и b. Такое множество точек называют интервалом и обозначают(а; b ) .Неравенство имеет вид axb

На этом рисунке изображен тот же интервал, но на этот раз к нему присоединили его концы, точки a и b. Такое множество называется отрезком , который обозначают . Неравенство имеет вид axb

Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких – интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд11

5. Закрепление:

Слайд 9-11

4.Работа по учебнику.

№ 990 устно,

№ 991-992 у доски «цепочкой»,

5. Самостоятельная работа

6. Итог урока:

А теперь давайте подведем итог нашей работы. Какие новые понятия вы узнали сегодня на уроке? Что обозначает не закрашенный (закрашенный) кружок на числовой прямой? Когда при обозначении числового промежутка пишутся круглые (квадратные) скобки?

Что сегодня на уроке вам показалось сложным? Есть ли вопросы по новому материалу?

Выставление отметок за урок.

7. Домашнее задание:

Выучить правила № 9 94-№995

Числовой интервал

Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .

В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .

Термин промежуток используется в составе сложных терминов:

• при интегрировании - промежуток интегрирования ,
• при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
• при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .

Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:

От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия

< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия

Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия

Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

Числовые промежутки. Контекст. Определение

Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами - неравенства . В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть - значения выражения или числовой промежуток.

Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием переменной . Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы - значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.

Введём понятие числового промежутка . Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.

Числовой промежуток - это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).

Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).

Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.

Виды числовых промежутков

Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[

С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин интервал ("interval" ) - открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.

С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано - Коши (можно узнать больше в "Википедии").

Системы и совокупности неравенств

Система неравенств

Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной - это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами - двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше - как интервал и отрезок. И то, и то является системой неравенств .

Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о решении системы неравенств (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения - это частный случай).

Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется решение системы неравенств.

Все неравенства, входящие в систему объединяют фигурной скобкой - "{". Иногда их записывают в виде двойного неравенства (как показано выше) или даже цепочкой неравенств . Пример типичной записи: f ⁡ x ≤ 30 g ⁡ x ≥ 5 .

Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам: x > a x > b (1) x > a x < b (2) x < a x > b (3) x < a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a .

Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.

Представим для каждого случая графическое решение.