Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теория вероятностей на уроках математики

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Рассмотрим три гипотезы:

Н1-выбор первой урны

Н2-выбор второй урны

Н3-выбор третьей урны

олная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =1\3

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Ответ: 23\36

П.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, . n) или, отбрасывая левую часть Nutrend enduro bcaa 120caps купить .

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1-изделие произведено машиной I

H2 - изделие произведено машиной II

H3 - изделие произведено машиной III

P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45

Р(А/Н1) =0,01,

Р(А/Н2) =0,015

Р(А/Н3) =0,02

Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,

Р(Н1/А) = 0,01*0,30÷0,015=0, 20

Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§9. Формула Бернулли

Закон больших чисел

Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом σ, состоит только из двух элементов - А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).

Допустим теперь, что опыт σ в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление σ рассматривать как некий новый опыт η. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту η, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.

Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах σ, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем - А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)

Условие, что все три раза опыт σ проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие - исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.

Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта η (т.е. для трехкратного осуществления опыта σ). Пространство Ω элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.

Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n – число повторений исходного опыта σ (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту σ.

Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.

Тогда справедлива формула Бернулли.

Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m

Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?

В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна 1\2.

Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(1\2) в 3степени*(1\2) в 7степени=10*9*8÷1*2*3*(1÷2в 10степени) =15\128

Ответ: 15\128

При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.

Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.

Пример №1 . Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй - 20 %, третий - 30 % деталей.
Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго - 5 %, третьего - 2 %. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.

Решение . Обозначим события: A - «выбранная деталь бракована», H i - «выбранная деталь получена от i-го поставщика», i =1, 2, 3 Гипотезы H 1 , H 2 , H 3 образуют полную группу несовместных событий. По условию
P(H 1) = 0.5; P(H 2) = 0.2; P(H 3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H 2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события A равна
P(A) = P(H 1) · P(A|H 1) + P(H 2) · P(A|H 2) + P(H 3) · P(A|H 3) = 0.5 · 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна 0.036.

Пусть в условиях предыдущего примера событие A уже произошло: выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса .
Мы начинали анализ вероятностей, имея лишь предварительные, априорные значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).

Схема переоценки гипотез
Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез H 1 , H 2 , …, H n (полная группа несовместных событий). Априорные вероятности гипотез мы обозначали P(H i) условные вероятности события A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Если опыт уже произведен и в результате него наступило событие A, то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности P(H i |A), i = 1, 2,…, n. В обозначениях предыдущего примера P(H 1 |A) - вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракованной, была получена от первого поставщика.
Нас интересует вероятность события H k |A Рассмотрим совместное наступление событий H k и A то есть событие AH k . Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Приравняем правые части этих формул
P(H k) · P(A|H k) = P(A) · P(H k |A),

отсюда апостериорная вероятность гипотезы H k равна

В знаменателе стоит полная вероятность события A. Подставив вместо P(A) ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:
(1.12)
Формула (1.12) называется формулой Байеса и применяется для переоценки вероятностей гипотез.
В условиях предыдущего примера найдем вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу известные нам по условию априорные вероятности гипотез P(H i) условные вероятности P(A|H i) рассчитанные в процессе решения совместные вероятности P(AH i) = P(H i) · P(A|H i) и рассчитанные по формуле (1.12) апостериорные вероятности P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n (табл. 1.3).

Таблица 1.3 - Переоценка гипотез

Гипотезы H i	Вероятности
	Априорные P(H i)	Условные P(A|H i)	Совместные P(AH i)	Апостериорные P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - деталь получена от первого поставщика	0.5	0.04	0.02
H 2 - деталь получена от второго поставщика	0.2	0.05	0.01
H 3 - деталь получена от третьего поставщика	0.3	0.02	0.006
Сумма	1.0	-	0.036	1

Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий H 1 , H 2 , H 3 , образующих полную группу:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
В четвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответствующих значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 - есть полная вероятность события A (по формуле полной вероятности).
В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.12):

Аналогично рассчитываются апостериорные вероятности P(H 2 |A) и P(H 3 |A), причем числитель дроби - совместные вероятности, записанные в соответствующих строках колонки 4, а знаменатель - полная вероятность события A, записанная в последней строке колонки 4.
Сумма вероятностей гипотез после опыта равна 1 и записана в последней строке пятой колонки.
Итак, вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика, равна 0.555. Послеопытная вероятность больше априорной (за счет большого объема поставки). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от второго поставщика, равна 0.278 и также больше доопытной (за счет большого количества брака). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от третьего поставщика, равна 0.167.

Пример №3 . Имеются три одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй - три белых и один черный; в третьей - два белых и два черных шара. Для опыта наугад выбрана одна урна и из нее вынут шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Рассмотрим три гипотезы: H 1 - выбрана первая урна, H 2 - выбрана вторая урна, H 3 - выбрана третья урна и событие A - вынут белый шар.
Так как гипотезы по условию задачи равновозможны, то

Условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно равны:
По формуле полной вероятности

Пример №4 . В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,46. Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение. Здесь первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым - стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события: A - стрелок поразит мишень; H 1 - стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом; H 2 - стрелок возьмет винтовку без оптического прицела. Используем формулу полной вероятности. Имеем

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, и используя формулу классической вероятности, получаем: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Условные вероятности заданы в условии задачи: P(A|H 1) = 0;81 и P(A|H 2) = 0;46. Следовательно,

Пример №5 . Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекаются два шара и добавляется в урну 1 белый шар. Найдите вероятность того, что наудачу взятый шар окажется белым.
Решение. Событие “извлечен белый шар” обозначим через A. Событие H 1 - наудачу извлекли два белых шара; H 2 - наудачу извлекли два черных шара; H 3 - извлекли один белый шар и один черный. Тогда вероятности выдвинутых гипотез

Условные вероятности при данных гипотезах соответственно равны: P(A|H 1) = 1/4 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент один белый и три черных ша-ра, P(A|H 2) = 3/4 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент три белых и один черный шар, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент два белых и два черных шара. В соответствии с формулой полной вероятности

Пример №6 . Производится два выстрела по цели. Вероятность попадания при первом выстреле 0,2, при втором - 0,6. Вероятность разрушения цели при одном попадании 0,3, при двух - 0,9. Найдите вероятность того, что цель будет разрушена.
Решение. Пусть событие A - цель разрушена. Для этого достаточно попадания с одного выстрела из двух или поражение цели подряд двумя выстрелами без промахов. Выдвинем гипотезы: H 1 - оба выстрела попали в цель. Тогда P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - либо первый раз, либо второй раз был совершен промах. Тогда P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Гипотеза H 3 - оба выстрела были промахи - не учитывается, так как вероятность разрушения цели при этом нулевая. Тогда условные вероятности соответственно равны: вероятность разрушения цели при условии обоих удачных выстрелов равна P(A|H 1) = 0,9, а вероятность разрушения цели при условии только одного удачного выстрела P(A|H 2) = 0,3. Тогда вероятность разрушения цели по формуле полной вероятности равна.

Рассмотрим зависимое событие , которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез , которые образуют полную группу . Пусть известны их вероятности и соответствующие условные вероятности . Тогда вероятность наступления события равна:

Эта формула получила название формулы полной вероятности . В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий , (произошло событие и или произошло событие и после него наступило событие или произошло событие и после него наступило событие или …. или произошло событие и после него наступило событие ) . Поскольку гипотезы несовместны, а событие – зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг) :

Задача 1

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение : рассмотрим событие – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
– будет выбрана 1-ая урна;
– будет выбрана 2-ая урна;
– будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен , следовательно:

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий , то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению :
– вероятность извлечения чёрного шара при условии , что будет выбрана 1-ая урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным : .

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит (событие достоверно) .

По формуле полной вероятности:

– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ :

Задача 2

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада­ния в мишень для данного стрелка соответственно равны и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу­чайно выбранной винтовки?

Задача 3

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение : в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности : .
Контроль:

Задача 4

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

4) Имеются три одинаковые с виду урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей только черные шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

Решение

Событие A – достали черный шар. Событие A

H

H

H

Так как урны с виду одинаковы, то:

A для каждой гипотезы.

Черный шар достали из первой урны:

Аналогично:

Ответ:

5) Имеются две урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй урне 9 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение

Событие A – из второй урны достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – из первой урны во вторую переложили белый шар;

H 2 – из первой урны во вторую переложили черный шар.

Вероятности гипотез:

Найдем условные вероятности события A . Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне стало 10 белых и 6 черных шаров. Значит, вероятность достать из нее черный шар равна:

Аналогично:

По формуле полной вероятности:

Ответ:

6) Имеются три урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей урне 15 черных шаров (белых шаров нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар достали из второй урны.

Решение

Событие A – из наугад выбранной урны достали один шар.

Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – шар достали из первой урны;

H 2 – шар достали из второй урны;

H 3 – шар достали из третьей урны.

Априорные вероятности гипотез равны:

В задаче 4 найдены условные вероятности события A и его полная вероятность:

Найдем по формуле Байеса апостериорную вероятность гипотезы H 2 .

Черный шар достали из второй урны:

Сравним и :

Таким образом, если известно, что достали черный шар, то вероятность того, что его достали из второй урны уменьшается (это соответствует условию – во второй урне меньше всего черных шаров).

Ответ: .

Формула Бернулли

7) В семье шесть детей. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди этих детей одна девочка.

Решение

Событие A – родилась девочка.

P = P (A ) = 0,49;

q = 1 – p = 1 – 0,49 = 0,51.

Формула Бернулли:

Всего шесть детей, значит n =6.

Надо найти вероятность того, что среди них точно одна девочка, значит m = 1.

Ответ:

8) Отрезок AB разделен точной C в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошено 6 точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Найти вероятность того, что более одной точки окажется правее точки C .

Решение

Событие A – случайная точка попала на отрезок CB (правее точки C ).

Так как C делит AB в отношении 2:1, то:

2CB =AC ;

2CB +CB =AC +CB ;

3CB =AB ;

Опираясь на геометрическое определение вероятности, получаем:

Формула Бернулли.

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

, (3.4.1)

т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.4.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

Применяя к событию теорему умножения, получим:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

Выбор первой урны,

Выбор второй урны,

Выбор третьей урны

и событие – появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то

.

Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны:

По формуле полной вероятности

.

Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

В самолет не попало ни одного снаряда,

В самолет попал один снаряд,

В самолет попало два снаряда,

В самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны:

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Заметим, что первую гипотезу можно было бы и не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Пример 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени , в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывается с вероятностью , при работе только первого из них – с вероятностью , при работе только второго - , при отказе обоих регуляторов – с вероятностью . Первый из регуляторов имеет надежность , второй - . Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя.