Главная » Отделочные материалы » Математический анализ. Математический анализ, функциональный анализ

Математический анализ. Математический анализ, функциональный анализ

Курс математического анализа. Никольский С.М.

6-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 592 с.

Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.

Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание - 2000 г.

Из предисловия:
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).

Формат: pdf

Размер: 2,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 4,2 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ................. 9

Глава 1. Введение ............................................. ..... 11

§ 1.1. Вступление .................... ...... 11

§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок..... 11

§ 1.3. Функция ...... 14

§ 1.4. Понятие непрерывности функции .... ...... 24

§ 1.5. Производная . 27

§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................................. 33

§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной

фигуры ..... 36

Глава 2. Действительное число ......... ...... 41

§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа..... ...... 41

§ 2.2. Определение неравенства................................................................ 46

§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46

§ 2.4. Основные свойства действительных чисел.................................... 49

§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.

Физические величины .... ...... 52

§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54

§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55

§ 2.8. Символика математической логики................................................ ...... 56

Глава 3. Предел последовательности .................................................... ...... 58

§ 3.1. Понятие предела последовательности.......................................... 58

§ 3.2. Арифметические действия с пределами......................................... 62

§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины..................... 64

§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последо
вательности...... ...... 66

§ 3.5. Число е......... ...... 68

§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней

множества и сечения во множестве действительных чисел.... 69

§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71

§ 3.8. Критерий Коши существования предела....................................... 76

§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чи
сел. Несчетность множества действительных чисел...................... ...... 77

Глава 4. Предел функции ......................................................................... ...... 80

§4.1. Понятие предела функции.............................................................. 80

§ 4.2. Непрерывность функции в точке ................................................. 88

§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94

§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке ................................................ 98

§ 4.5. Обратная функция.......................................................................... 101

§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции................................ 104

§ 4.7. Степенная функция х ................................................................... 109

§ 4.8. Еще о числе е .................................................................................... ПО

§ 4.9. lim ^ .................................................................................................. 111

§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................. 112

Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной

переменной .................................................................................................... 117

§ 5.1. Производная .................................................................................... 117

§ 5.2. Дифференциал функции.................................................................. .... 121

§ 5.3. Производная функции от функции ............................................... .... 124

§ 5.4. Производная обратной функции .................................................... 125

§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128

§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка ..................... .... 129

§ 5.7. ..... Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло
кальный экстремум......................................................................... 133

§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных

Экстремумов..................................................................................... .... 135

§ 5.9. Формула Тейлора............................................................................ .... 139

§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.... 146

§ 5.11. Ряд Тейлора...................................................................................... 151

§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155

§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке...................................................... 157

§ 5.14. Раскрытие неопределенностей ....................................................... .... 159

§ 5.15. Асимптота.......................................................................................... 163

§ 5.16. Схема построения графика функции .............................................. 166

§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ................... 170

Глава 6. n -мерное пространство. Геометрия кривой .............................. 172

§ 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество ............................. .... 172

§ 6.2. ..... Евклидово гг-мерное пространство. Пространство со скаляр
ным произведением.......................................................................... 173

§ 6.3. Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176

§ 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177

§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179

§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции ................ 183

§ 6.7. Длина дуги кривой........................................................................... 184

§ 6.8. Касательная...................................................................................... .... 187

§ 6.9. Основной триэдр кривой .............................................................. 188

§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость........................................................ .... 191

§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................................... 192

§ 6.12. Эволюта.............................................................................................. ... 194

§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты............................................... 196

Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих пе
ременных ....................................................................................................... 200

§ 7.1. Открытое множество........................................................................ .... 200

§ 7.2. Предел функции ................................................................................ ... 202

§ 7.3. Непрерывная функция..................................................................... .... 206

§ 7.4. Частные производные и производная по направлению................ 210

§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость................ .... 211

§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.

Градиент............................................................................................ 215

§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........................... 220

§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222

§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.................................................. 226

§ 7.10. Замкнутые и открытые множества.................................................. 227

§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций

на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229

§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233

§7.13. Формула Тейлора............................................................................. 234

§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237

§ 7.15. Теоремы существования неявной функции ................................... .... 241

§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247

§ 7.17. Отображения..................................................................................... .... 251

§7.18. Гладкая поверхность........................................................................ 255

§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация...................... 257

§ 7.20. Локальный относительный экстремум............................................ 259

§ 7.21. Замена переменных в частных производных ................................... ... 267

§ 7.22. Система зависимых функций ............................................................ 270

Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272

§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по

Частям................................................................................................ ... 272

§ 8.2. Комплексные числа........................................................................... .... 278

§ 8.3. Комплексные функции ...................................................................... 283

§ 8.4. Многочлены ...................................................................................... .... 285

§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.... 288

§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293

§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294

§ 8.8. Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295

§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.................... 297

§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 298

§ 8.11. Тригонометрические подстановки................................................... ... 301

§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных

функциях ........................................................................................... 302

Глава 9. Определенный интеграл Римана.................................................. 303

§ 9.1. Вступление ....................................................................................... 303

§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции .................................... .. 304

§ 9.3. Суммы Дарбу.................................................................................... . 305

§ 9.4. Основная теорема ............................................................................ .. 306

§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно
тонной функции на [а, Ь] 309

§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310

§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем ................................................... . 312

§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-
Лейбница.......................................................................................... 314

§ 9.9. Вторая теорема о среднем............................................................... 318

§ 9.10. Видоизменение функции ................................................................. .. 318

§ 9.11. Несобственные интегралы .............................................................. 319

§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций ............ 323

§ 9.13. Интегрирование по частям............................................................ 325

§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд....................................................... 327

§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330

§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331

§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга..................................................... 332

Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближен
ные методы ..................................................................................................... 333

§ 10.1. Площадь в полярных координатах ................................................. 333

§ 10.2. Объем тела вращения...................................................................... .. 334

§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой............................................................. 335

§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения ............................................ 337

§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339

§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340

§ 10.7. Формула Симпсона .......................................................................... 341

Глава 11. Ряды .............................................................................................. 343

§ 11.1. Понятие ряда................................................................................... 343

§ 11.2. Действия с рядами............................................................................ 345

§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346

§ 11.4. Ряд Лейбница.................................................................................... . 350

§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350

§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными

Членами............................................................................................. .. 354

§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся

рядов на отрезке............................................................................. .. 362

§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов.. 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних

арифметических............................................................................... 371

§ 11.11. Степенные ряды ............................................................................... 372

§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............ 377

§ 11.13. Степенные ряды функций e z , cosz, smz комплексной пере
менной.............................................................................................. 380

Глава 12. Кратные интегралы ................................................................... 383

§ 12.1. Введение ........................................................................................... 383

§ 12.2. Мера Жордана................................................................................. ..... 385

§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390

§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди
наты................................................................................................... .... 392

§ 12.5. Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393

§ 12.6. Понятие кратного интеграла........................................................... 394

§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ... .. 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери
мом множестве. Другие критерии.............................................................. 403

§ 12.9. Свойства кратных интегралов....................................................... .... 404

§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным

переменным ....................................................................................... 406

§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру...................................... 412

§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя.................... 414

§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415

§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле..................................... 417

§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420

§ 12.16. Полярные координаты в плоскости .............................................. .... 424

§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.......... 426

§ 12.18. Гладкая поверхность ...................................................................... 428

§ 12.19. Площадь поверхности ..................................................................... ..... 431

Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирова
ние по параметру. Несобственные интегралы ........................................ 438

§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода........................................ 438

§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода........................................ 439

§ 13.3. Поле потенциала .............................................................................. .... 442

§ 13.4. Ориентация плоской области ........................................................ 450

§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный

Интеграл............................................................................................. .... 451

§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода ........................................ .... 454

§ 13.7. Ориентация поверхностей ............................................................. 457

§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461

§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.................. 463

§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................ 466

§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472

§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476

§ 13.13. Несобственный интеграл ............................................................... 478

§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла.................... 485

§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области ........ 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортого
нальные системы ................................................................................................. 498

§ 14.1. Пространство С непрерывных функций....................................... 498

§ 14.2. Пространства l! (L) ......................................................................... 500

§ 14.3. Пространство L 2 (L 2) ....................................................................... .... 504

§ 14.4. Пространство Ь" р (П) (Ь Р (П)) ........................................................... .... 507

§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве ............... 507

§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произве
дением............................................................................................... ... 507

§ 14.7. Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515

§ 14.8. Полнота системы функций в С, L 2 (L 2) и L (L) ........................... .... 517

Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519

§ 15.1. Предварительные сведения ........................................................... 519

§ 15.2. Сумма Дирихле................................................................................ 525

§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье................................................ 527

§ 15.4. Теоремы об осцилляции ................................................................. ..... 530

§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес
кой системы функций....................................................................... 534

§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье........................................ 541

§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544

§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье............................................................ 546

§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548

§ 15.10. Теорема Вейерштрасса..................................................................... 549

§ 15.11. Многочлены Лежандра.................................................................... 550

Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции ............................... .... 553

§ 16.1. Понятие интеграла Фурье............................................................. 553

§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его

функции ............................................................................................ 556

§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-

и синус-преобразования Фурье...................................................... 558

§ 16.4. Производная преобразования Фурье............................................ .... 562

§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D ................................................. 563

§ 16.6. Пространство S ................................................................................ 570

§ 16.7. Пространство S f

1.1. Множества. Операции над множествами
1.2.* Функции
1.3.* Конечные множества и натуральные числа. Последовательности
1.4. Логические символы

2.1. Свойства действительных чисел
2.2.* Свойства сложения и умножения
2.3.* Свойство упорядоченности
2.4.* Свойство непрерывности действительных чисел
2.5. Расширенная числовая прямая
2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности
2.7. Ограниченные и неограниченные множества
2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств
2.8. Свойства Архимеда
2.9. Принцип вложенных отрезков

3.1. Определение предела последовательности
3.2 Бесконечные пределы
3.3. Простейшие свойства предела Последовательности
3.4. Ограниченность сходящихся последовательностей
3.5. Монотонные последовательности
3.6. Теорема Больцано - Вейерштрасса
3.7. Критерий Коши сходимости последовательности
З.8. Бесконечно малые последовательности
3.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями
3.11.* Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел
3.12.* Верхний и нижний пределы последовательностей

4.1. Действительные функции
4.2. Способы задания функций
4.3. Элементарные функции и их классификация
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Обобщение понятия предела функции
4.7. Свойства пределов функций
4.8.* Замена переменной при вычислении пределов
4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.10. Пределы монотонных функций
4.11. Критерий Коши существования предела функции

5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций
5.2. Свойства функций непрерывных в точке

6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций
6.3. Обратные функции

7.1. Многочлены и дробно-рациональныг функции
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

8.1. Некоторые замечательные пределы
8.2. Сравнение функций
8.3. Эквивалентные функции
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

9.1. Определение производной
9.2. Дифференциал функции
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
9.4. Физический смысл производной и дифференциала
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их производные

10.1. Производные высших порядков
10.2. Высшие производные суммы и произведения функций
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
10.4. Дифференциалы высших порядков

11.1. Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях

12.1. Неопределенности вида 0/0
12.2. Неопределенности вида ∞/∞

13.1. Вывод формулы Тейлора
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)

14.1. Признак монотонности функции
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба
14.4. Асимптоты
14.5. Построение графиков функций

15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции

16.1. Понятие кривой
16.2.* Параметрически заданные кривые
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции
16.5. Длина дуги кривой
16.6. Плоские кривые
16.7. Физический смысл производной вектор-функции

17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой

КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич −

доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии наук, действительный член Академии педагогических и социальных наук.

Широко известны его учебники по математическому анализу “Курс математического анализа” и “Краткий курс математического анализа”, созданные на основе лекций,

в течение 35 лет читаемых Львом Дмитриевичем

в Московском физико-техническом институте.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЮБИЛЕЙНОМУ (ЧЕТВЕРТОМУ)

Уважаемые читатели!

У Вас в руках электронная версия четвертого издания классического учебника в двух томах члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук, выдающегося математика и педагога Льва Дмитриевича Кудрявцева «Краткий курс математического анализа» - последний труд автора, начатый им в 2010 г. Это издание приурочено к 90-летнему юбилею Л. Д. Кудрявцева, который широко отмечается российской и зарубежной математической общественностью на Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» 25–29 марта 2013 г. в РУДН.

Все доклады, пленарные и секционные (в 9 секциях), охватывают современные достижения в основных областях научных, педагогических и общественных интересов Льва Дмитриевича. Участники конференции - первые читатели данной версии учебника, частично переработанного и дополненного по сравнению с предыдущим третьим изданием.

В настоящем издании автором существенно переработан параграф 52, а также совместно с сыном Николаем Львовичем Кудрявцевым, доцентом кафедры математического анализа МГУ, исправлены замеченные опечатки. Кроме того, в отличие от предыдущих изданий, в конце каждого тома добавлены контрольные вопросы к каждому параграфу. Вопросы к параграфам 49–55 взяты из «Рекомендуемых вопросов по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленных Львом Дмитриевичем и изданных МФТИ в 1994 г.; вопросы к остальным параграфам составлены Н. Л. Кудрявцевым.

Выходу в свет электронной версии юбилейного издания способствовали усилия члена-корреспондента РАН, ректора МФТИ Н. Н. Кудрявцева; профессора, зав. кафедрой высшей математики МФТИ Е. С. Половинкина; зам. председателя НМС по математике

Министерства образования и науки РФ, зам. председателя Оргкомитета, профессора МГУ А. Г. Яголы; генерального директора издательства «ФИЗМАТЛИТ» М. Н. Андреевой и всего коллектива этого издательства. Большой труд вложен Н. Л. Кудрявцевым.

Оргкомитет конференции выражает большую признательность всем, способствовавшим выходу этого издания, и призывает читателей присылать свои отзывы, замечания и пожелания для дальнейших изданий учебника по адресу [email protected].

Зам. председателя Оргкомитета конференции, ученый секретарь НМС по математике Министерства образования и науки РФ,

профессор МИРЭА

С. А. Розанова

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

УДК 517 ББК 22.161.1

К 88

К у д р я в ц е в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Диф-

ференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 444 с. - ISBN 978-5-9221-1453-0.

Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.

Предыдущее 3-е, переработанное издание учебника вышло в 2005 г. В 4-м издании переработан параграф, посвященный функциональным пространствам, добавлены контрольные вопросы и исправлены найденные опечатки. В список контрольных вопросов включены «Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленные Л.Д. Кудрявцевым и изданные МФТИ в 1994 г. По остальным темам вопросы подготовлены Н.Л. Кудрявцевым.

Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.

Р е це н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, академик В. А. Ильин ; профессор МФТИ, академикС. М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1453-0		c ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2008, 2009, 2013
ISBN 978-5-9221-1452-3		c ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2008, 2009, 2013
ISBN 978-5-9221-1452-3		c Н. Л. Кудрявцев, Д. Л. Кудрявцев, 2013

Г л а в а 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . 17

§ 1. Функции и множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.1. Множества (17). 1.2. Функции (19).

§ 3. Элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 3.1. Числовые функции (39). 3.2. Понятие элементарной функции (40). 3.3. Многочлены (41). 3.4. Разложение многочленов на множители (44). 3.5. Рациональные дроби (46). 3.6. Графики рациональных функций (52). 3.7. Степенная функция (55).

3.8. Показательная и логарифмическая функции (57). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (58). 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (60).

Числовые множества. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (62). 4.2. Верх-
няя и нижняя грани (63).	4.3. Арифметические свойства
верхних и нижних граней (65).	4.4. Принцип Архимеда (67).
4.5. Принцип вложенных отрезков (68).		4.6. Счетность
рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (70).
Предел числовой последовательности. . . . . . . .

5.1. Определение предела числовой последовательности (74).

5.2. Единственность предела последовательности (77). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (78). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (81). 5.5. Бесконечно малые

последовательности (82). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (84). 5.7. Монотонные последовательности (87). 5.8. Принцип компактности (90). 5.9. Критерий Коши (93).

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (95). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (101).

§ 6. Предел и непрерывность функций. . 102

6.1. Первое определение предела функции (102). 6.2. Определение непрерывности функции (108). 6.3. Второе определение предела функции (109). 6.4. Условие существования предела функции (111). 6.5. Предел функции по объединению множеств (112). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (112). 6.7. Свойства пределов функций (114).

6.8. Бесконечно малые (118). 6.9. Непрерывные функции (119).

6.10. Классификация точек разрыва (122). 6.11. Пределы монотонных функций (123). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (126). 6.13. Предел и непрерывность сложных функций (127). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (128).

§ 7. Свойства непрерывных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130

7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (130). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (131). 7.3. Обратные функции (133).

7.4. Равномерная непрерывность (136).

§ 8. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1. Многочлены и рациональные функции (139). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (140). 8.3. Степенная функция (147). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (148). 8.5. Элементарные функции (149).

§ 9. Сравнение функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149

9.1. Замечательные пределы (149). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (152). 9.3. Эквивалентные функции (155).

§ 10. Производная и дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157

10.1. Определение производной (157). 10.2. Дифференциал функции (159). 10.3. Геометрический смысл производной

и дифференциала (161). 10.4. Физический смысл производной

и дифференциала (163). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (164). 10.6. Производная обратной функции (166). 10.7. Производная

и дифференциал сложной функции (167). 10.8. Гиперболические функции и их производные (169). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (169).

§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . 170

11.1. Производные высших порядков (170). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций

и функций, заданных параметрически (172). 11.3. Дифференциалы высших порядков (173).

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.1. Теорема Ферма (174). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (176).

§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. . . . . . . . 181 13.1. Неопределенности вида0 0 (181). 13.2. Неопределенности вида∞ ∞ (182).

§ 14. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 14.1. Вывод формулы Тейлора (187). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (191). 14.3. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (193).

§ 15. Исследование функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 15.1. Признак монотонности функций (195). 15.2. Локальные экстремумы функций (196). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (203). 15.4. Асимптоты (207). 15.5. Построение графиков функций (208).

§ 16. Векторные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210

17.1. Понятие кривой (220). 17.2. Касательная к кривой (225). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (227).

§ 18. Кривизна кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232

18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (232).

18.2. Формула для кривизны (233). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (235). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (238). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (238).

Г л а в а 2. Интегральное исчисление функций одной пере-

менной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . . 242 19.1. Первообразная и неопределенный интеграл (242). 19.2. Основные свойства интеграла (244). 19.3. Табличные интегралы (246). 19.4. Формула замены переменной (247). 19.5. Формула интегрирования по частям (251).

§ 20. Интегрирование рациональных дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (251). 20.2. Общий случай (253).

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей. . . . . . . . . . . . 254 21.1. Рациональные функции от функций (254). 21.2. Интегра-

	R x,	ax + b			, ...,	ax + b				(254). 21.3. Инте-
		cx + d				cx + d

гралы от дифференциального бинома (256).

от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (260).

§ 23. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261 23.1. Определенный интеграл Римана (261). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (263). 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (265). 23.4. Нижний и верхний интегралы (268). 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (269). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (271).

§ 24. Свойства интегрируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

24.1. Основные свойства определенного интеграла
24.2. Интегральная теорема о среднем (282).
Определенный и неопределенный интеграл. . . . . .
25.1. Дифференцирование определенного интеграла по преде-
лам интегрирования (286). 25.2. Существование		первообраз-

Формулы замены переменной и	интегрирования
в определенном интеграле. . . . . .	. . . . . . . . . . . . .
26.1. Формула замены переменной	(290). 26.2. Формула инте-
грирования по частям (291).
Площади и объемы. . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
27.1. Понятие площади плоского множества (294).
мер неограниченного множества положительной конечной пло-
щади (296). 27.3. Понятие объема (297).
Геометрические и физические приложения определенного инте-
грала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .

28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (298).

28.2. Вычисление площадей в полярных координатах (301).

28.3. Вычисление длины кривой (303). 28.4. Площадь поверхности вращения (304). 28.5. Объем тел вращения (307).

28.6. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (308).

§ 29. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313 29.1. Определение несобственных интегралов (313). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (318). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (322). 29.4. Критерий Коши (327). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (328). 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (332). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (335).

Математический анализ, функциональный анализ

Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГНТИУ, 1938 (djvu)
Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматлит, 1961 (djvu)
Балк М.Б., Петров В.А., Полухин А.А. Задачник-практикум по теории аналитических функций. М.: Просвещение, 1976 (djvu)
Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. М,: Мир, 1965 (djvu)
Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть 1. Л.-М.: ГРОТЛ, 1937 (djvu)
Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть I (12-е изд.). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть II (9-е изд.). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов (5-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu)
Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974 (djvu)
Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1971 (djvu)
Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965 (djvu)
Будылин А.М. Ряды и интегралы Фурье. Л.: СПбГУ, 2002 (pdf)
Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М.: Наука, 1965 (djvu)
Бэр Р. Теория разрывных функций. М.-Л.: ГТТИЛ, 1932 (djvu)
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых, том 1. 1922 (djvu)
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых, том 2. Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа. Часть I. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа. Часть II. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ (2-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu)
Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла (2-е изд.). М.: Наука, 1973 (djvu)
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
Выгодский М.Я. Основы исчисления бесконечно-малых (3-е изд.). М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гарди Г. Интегрирование элементарных функций. М.-Л.: ОНТИ, 1935 (djvu)
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967 (djvu)
Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. (Обобщенные функции, выпуск 4). М.: Физматлит, 1961 (djvu)
Гельфанд И.М., Граев М., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. (Обобщенные функции, выпуск 5). М.: Физматлит, 1962 (djvu)
Гельфанд И.М., Граев М., Пятецкий-Шапиро И. Теория представлений и автоморфные функции (Обобщенные функции, выпуск 6). М.: Физматлит, 1966 (djvu)
Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu)
Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, выпуск 1) (2-е изд.). М.: Физматлит, 1959 (djvu)
Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, выпуск 2). М.: Физматлит, 1958 (djvu)
Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений (Обобщенные функции, выпуск 3). М.: Физматлит, 1958 (djvu)
Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса. Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.). М.: Наука, 1963 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 1. Теория аналитических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 1. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными производными. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
Де Брёйн Н.Г Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956 (djvu)
Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу (4-е изд.). М.: Просвещение, 1973 (djvu)
Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов (6-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu)
Демидович Б.П. (ред.) Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов (10-е изд.). М.: Наука, 1978 (djvu)
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1966 (djvu)
Demidov A.S. Generalized Functions in Mathematical Physics: Main Ideas and Concepts. New York: Nova Science, 2001 (pdf)
Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948 (djvu)
Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 1. М.: Мир, 1971 (djvu)
Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 2. М.: Мир, 1972 (djvu)
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964 (djvu)
Егорова И.А. Задачник-практикум по математическому анализу. Часть III. Функции нескольких переменных. М.: Учпедгиз, 1962 (djvu)
Еругин Н.П. Неявные функции. Л.: ЛГУ, 1956 (djvu)
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1966 (djvu)
Зельдович Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики (3-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982 (djvu)
Зигмунд А. Тригонометрические ряды, том 1. М.: Мир, 1965 (djvu)
Зигмунд А. Тригонометрические ряды, том 2. М.: Мир, 1965 (djvu)
Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967 (djvu)
Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для первого курса, ПетрГУ (pdf)
Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т. Неопределенные и определенные интегралы (Математика в нефтегазовом образовании, вып. 3, часть 1). М.: МГУНГ им. И.М. Губкина, 2005 (pdf)
Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматлит, 1959 (djvu)
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Части 1, 2, 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных. Интегральное исчисление функций одной независимой переменной, интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). Харьков: ХГУ, 1967 (djvu)
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть II. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных (5-е изд.). Харьков: Вища школа, 1973 (djvu)
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть III. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной. Интегрирование дифференциальных уравнений (4-е изд.). Харьков: Вища школа, 1974 (djvu)
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть IV. Кратные и криволинейные интегралы (2-е изд.). Харьков: ХГУ, 1971 (djvu)
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть V. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными. (2-е изд.). Харьков: ХГУ, 1972 (djvu)
Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976 (djvu)
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971 (djvu) (djvu)
Каченовский М.И., Бохан К.М., Карпенко К.М. Сборник контрольных работ по математическим дисциплинам. Выпуск I. М.: Учпедгиз, 1958 (djvu)
Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1964 (djvu)
Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969 (djvu)
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементты теории функций и функционального анализа (4-е изд.). М.: Наука, 1976 (djvu)
Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966 (djvu)
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 (djvu)
Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматлит, 1963 (djvu)
Коши Г.А.Л. Дифференциальное и интегральное исчисление. СПб: Императорская Академия Наук, 1831 (djvu)
Крейн С.Г., Ушакова В.Н. Математический анализ элементарных функций. М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1. М.: Наука, 1967 (djvu)
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1970 (djvu)
Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973 (djvu)
Ландау Э. Основы анализа. М.: ИЛ, 1947 (djvu)
Лащенов К.В. Задачник-практикум по математическому анализу. Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Учпедгиз, 1963 (djvu)
Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953 (djvu)
Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (djvu)
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир, 1967 (djvu)
Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973 (djvu)
Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике (2-е изд.). Мн.: Выш. школа, 1969 (djvu)
Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1935 (djvu)
Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление (7-е изд.). М.: Высш. шк., 1961 (djvu)
Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu)
Лузин Н.Н. Интегральное исчисление (7-е изд.). М.: Высш. шк., 1961 (djvu)
Лузин Н.Н. О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций. М.-Л.: АН СССР, 1935 (djvu)
Лузин Н.Н. Современное состояние теории функций действительного переменного. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. М.: ИЛ, 1956 (djvu)
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального (2-е изд.). М.: Наука, 1965 (djvu)
Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М.: Мир, 1972 (djvu)
Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968 (djvu)
Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. М.: Наука, 1970 (djvu)
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике (4-е изд.). М.: Наука, 1973 (djvu)
Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1971 (djvu)
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971 (djvu)
Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 (djvu)
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной (3-е изд.). М.: Наука, 1974 (djvu)
Незбайло Т.Г. Новая теория вычисления неопределенного интеграла. СПб.: Корона-Век, 2007 (pdf)
Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. Том I. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (djvu)
Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1963 (djvu)
Парфентьев Н.Н. Исследования по теории роста функций. Казань, КазУн, 1910 (djvu)
Погорелов А.И. Контрольные работы по математическому анализу. М.: Учпедгиз, 1951 (djvu)
Погорелов А.И. Сборник задач по высшей математике. М.: Учпедгиз, 1949 (djvu)
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 1. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций. М.: Наука, 1978 (djvu)
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 2. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. М.: Наука, 1978 (djvu)
Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 1. Рига: Зинатне, 1974 (djvu)
Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 2. Рига: Зинатне, 1977 (djvu)
Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 3. Рига: Зинатне, 1981 (djvu)
Рудин У. Основы математического анализа (2-е изд.). М.: Мир, 1976 (djvu)
Рывкин А.З., Куницкая Е.С. Задачник-практикум по математическому анализу. Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Учпедгиз, 1962 (djvu)
Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949 (djvu)
Сборник контрольных работ по математическим дисциплинам (для студентов-заочников, окончивших учительские институты). М.: Учпедгиз, 1958 (djvu)
Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Математический анализ. Часть 1. Челябинск: ЧелГУ, 1999 (pdf)
Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Математический анализ. Часть 2. Челябинск: ЧелГУ, 1999 (pdf)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 1 (23-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2 (21-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1 (10-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 2 (9-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 4, часть 1 (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 4, часть 2 (6-е издание). М.: Наука, 1981 (djvu)
Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 5. М.: ГИФМЛ, 1959