Прямая окружность имеет две общие точки если. Урок "взаимное расположение прямой и окружности". Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд
Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).
Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r .
Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).
Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).
Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:
Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.
Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.
В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ r, а так как 2r = D, то АВ
Если круг перегнуть по диаметру (рис. 87), то обе части круга и окружности совместятся. Диаметр делит круг и окружность на две равные части.
Два круга (две окружности) называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совместились.
Поэтому два круга (две окружности) с равными радиусами равны.
2. Дуга окружности.
Часть окружности называется дугой.
Слово «дуга» иногда заменяется знаком \(\breve{ }\). Дуга обозначается двумя или тремя буквами, из которых две ставятся на концах дуги, а третья - у какой-нибудь точки дуги. На чертеже 88 обозначены две дуги: \(\breve{ACB}\) и \(\breve{ADB}\).
В том случае, когда дуга меньше полуокружности, она обычно обозначается двумя буквами. Так, дугу АDВ можно обозначить \(\breve{AB}\) (рис. 88). О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.
Если передвинуть дугу АС (рис. 89, а) так, чтобы она скользила поданной окружности, и если при этом она совпадает с дугой МN, то \(\breve{AC}\) = \(\breve{NM}\).
На чертеже 89, б дуги АС и АВ не равны между собой. Начинаются обе дуги в точке А, но одна дуга \(\breve{AB}\) составляет только часть другой дуги \(\breve{AC}\).
Поэтому \(\breve{AC}\) > \(\breve{AB}\); \(\breve{AB}\)
Построение окружности по трем точкам
Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.
Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).
Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.
Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.
Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.
Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.
Примечание . Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.
Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.
Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.
Это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O ), называемой центром .
Прямые (OA , OB , OС. . .), соединяющие центр с точками окружности - это радиусы .
Из этого получаем:
1. Все радиусы одной окружности равны.
2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.
3. Диаметр равен двум радиусам.
4. Точка , лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.
5. Диаметр , перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
6. Дуги , заключенные между параллельными хордами , равны.
При работе с окружностями применяют следующие теоремы:
1. Теорема . Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.
Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:
Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.
Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой .
Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия .
2. Теорема . Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.
Как следствие данной теоремы получаем:
Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.
Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности .
Отметим на предложенной три любые точки A, B и С, начертим через них две хорды , например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.
Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.
Окружность: определение и основные средства описания
Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.
Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.
Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.
Свойства хорд
- Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
- Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
- Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.
Длина окружности: общее понятие и основные формулы
Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.
Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.
Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.
Что такое окружность: основные постулаты
- не иметь общих точек;
- иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
- иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.
2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.
3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.
4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.
5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?
- одинаковая кривизна линии в любой из точек;
- относительно точки О;
- зеркальная симметрия относительно диаметра.
6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.
7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.
Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него
Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.
- При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
- Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
- Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
- Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является
Основные утверждения об окружности и четырехугольниках
- Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
- Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
- Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
- Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
- Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.