Центральная поворотная симметрия центр симметрии. Проект "виды симметрии". Осевая и центральная симметрии

Со-сто-я-щий из зве-ньев оди-на-ко-вой дли-ны и ис-поль-зу-ю-щий пол-зу-ны, пе-ре-дви-га-ю-щи-е-ся по крас-но-му непо-движ-но-му стерж-ню, ре-а-ли-зу-ет на плос-ко-сти осе-вую сим-мет-рию. Дей-стви-тель-но, по-ло-же-ние од-но-го из зе-лё-ных шар-ни-ров за-да-ёт по-ло-же-ние и дли-ну про-ти-во-по-лож-ной сто-ро-ны сво-е-го тре-уголь-ни-ка, а тре-уголь-ни-ки, на-хо-дя-щи-е-ся по раз-ные сто-ро-ны от стерж-ня, все-гда рав-ны. Зна-чит, при лю-бом по-ло-же-нии ме-ха-низ-ма два зе-лё-ных шар-ни-ра сим-мет-рич-ны от-но-си-тель-но крас-но-го стерж-ня.

Возь-мём фигу-ру - кри-во-ли-ней-ный тре-уголь-ник - и по-смот-рим, во что она пе-рей-дёт под дей-стви-ем на-ше-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чит-ся сим-мет-рич-ная фигу-ра . Она, в том чис-ле, рав-на из-на-чаль-ной, но по-дру-го-му ори-ен-ти-ро-ва-на. Т.е., ес-ли счи-тать плос-кость бес-ко-неч-ным ли-стом бу-ма-ги с на-ри-со-ван-ной на нём фигу-рой, то чтобы сов-ме-стить фигу-ру и её об-раз, необ-хо-ди-мо сло-жить лист по оси сим-мет-рии, при этом у од-ной его по-ло-вин-ки по-ме-ня-ет-ся верх с ни-зом.

При-ме-ним те-перь к уже по-лу-чив-ше-му-ся тре-уголь-ни-ку наш ме-ха-низм, ре-а-ли-зу-ю-щий сим-мет-рию, с осью, па-рал-лель-ной оси пер-во-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чив-ший-ся тре-уголь-ник име-ет ту же ори-ен-та-цию, что и са-мый пер-вый, и по-лу-ча-ет-ся из него па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, т.е. сдви-гом. Двой-ной па-рал-ле-ло-грамм с дву-мя крас-ны-ми за-креп-лён-ны-ми шар-ни-ра-ми ре-а-ли-зу-ет это пре-об-ра-зо-ва-ние на плос-ко-сти. Итак, ре-зуль-та-том двух осе-вых сим-мет-рий с па-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся про-сто сдвиг. Вер-но и об-рат-ное - лю-бой па-рал-лель-ный пе-ре-нос мож-но раз-ло-жить в две осе-вые сим-мет-рии с па-рал-лель-ны-ми ося-ми. Как нетруд-но за-ме-тить, та-кое раз-ло-же-ние не един-ствен-но.

Та-кой ре-зуль-тат по-сле-до-ва-тель-ных отоб-ра-же-ний на-зы-ва-ет-ся в ма-те-ма-ти-ке ком-по-зи-ци-ей, а в тер-ми-но-ло-гии функ-ций - слож-ной функ-ци-ей. Так же, как и в ана-ли-ти-че-ской за-пи-си, ре-зуль-тат ком-по-зи-ции мож-но по-лу-чить, ли-бо по-сле-до-ва-тель-но вы-пол-няя со-став-ля-ю-щие её дей-ствия, ли-бо как-то пре-об-ра-зо-вав и при-ме-нив уже в «упро-щён-ном» ви-де. При этом пре-об-ра-зо-ван-ный объ-ект внешне мо-жет быть со-вер-шен-но не по-хож на из-на-чаль-ные, из ко-то-рых он по-лу-чал-ся.

А что же бу-дет, ес-ли оси сим-мет-рий не па-рал-лель-ны ?

Ком-по-зи-ци-ей двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся по-во-рот с цен-тром в точ-ке пе-ре-се-че-ния осей. При этом угол, на ко-то-рый по-во-ра-чи-ва-ет-ся фигу-ра, ра-вен удво-ен-но-му уг-лу меж-ду ося-ми. Как и в слу-чае со сдви-гом, вер-но и об-рат-ное - лю-бой по-во-рот на плос-ко-сти рас-кла-ды-ва-ет-ся на две осе-вые сим-мет-рии.

Шар-нир-ный ме-ха-низм, ос-но-ван-ный на ром-бе, ре-а-ли-зу-ет пре-об-ра-зо-ва-ние по-во-ро-та плос-ко-сти.

А те-перь к плос-ко-сти (на при-ме-ре на-шей фигу-ры) при-ме-ним по-сле-до-ва-тель-но па-рал-лель-ный пе-ре-нос, а за-тем по-во-рот. Мож-но ли ка-ким-то од-ним пре-об-ра-зо-ва-ни-ем сов-ме-стить ис-ход-ную и ко-неч-ную фигу-ры?

Раз-ло-жим ис-поль-зо-ван-ный по-во-рот на две сим-мет-рии . Из этой кар-тин-ки вид-но, что этап по-лу-че-ния се-ро-го тре-уголь-ни-ка и по-том при-ме-не-ния к нему од-ной сим-мет-рии мож-но за-ме-нить про-сто на од-ну сим-мет-рию. А та-кая кар-тин-ка - ком-по-зи-ция двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми - нам уже зна-ко-ма, это есть про-сто по-во-рот.

На-ри-су-ем тре-уголь-ник на сто-ле. По-ло-жив ли-сток бу-ма-ги по-верх, об-ве-дём фигу-ру. Под-ни-мем ли-сто-чек и от-пу-стим , чтобы он слу-чай-ным об-ра-зом опу-стил-ся на стол, но при этом не пе-ре-вер-нул-ся. Тем са-мым по-лу-че-но, как го-во-рят ма-те-ма-ти-ки, «в об-щем ви-де» дви-же-ние плос-ко-сти - пре-об-ра-зо-ва-ние, со-хра-ня-ю-щее рас-сто-я-ния и не ме-ня-ю-щее ори-ен-та-цию. Ко-неч-но, мог-ло так слу-чить-ся, что фигу-ры от-ли-ча-ют-ся па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, но ве-ро-ят-ность, что ли-сто-чек ля-жет так ак-ку-рат-но, очень ма-ла. Во всех дру-гих слу-ча-ях это - про-сто по-во-рот с неко-то-рым цен-тром на неко-то-рый угол!

§ 1 Понятие поворот и центральная симметрия

Поворот (вращение) - это движение, при котором хотя бы одна точка плоскости остается неподвижной.

Давайте рассмотрим поворот стрелки часов. Стрелка на циферблате показывает на точку А. Через какое-то время она передвигается на точку А1, при этом место прикрепления стрелки к циферблату точка О остается неподвижным. Таким образом, стрелка часов совершает поворот.

В данном случае показан поворот точки А вокруг точки О. При повороте точка А переходит в точку А1.

Точка О (неподвижная точка) - центр поворота.

Точка А - подвижная точка.

Угол АОА1 - угол поворота, расстояние ОА равно расстоянию ОА1.

Поворот может быть как по часовой так и против часовой стрелки.

§ 2 Правила построения центрально-симметричных точек

Построим поворот точки В на 900 относительно точки О. Для этого, отмечаем на плоскости точки О и В на некотором расстоянии друг от друга.

Проводим луч ОВ. От луча ОВ с помощью транспортира строим угол 900. На полученном луче отмечаем точку В1 так, что ОВ = ОВ1.

Таким образом, мы построили поворот точки В в точку В1 , точка О - центр поворота, угол ВОВ1 - угол поворота.

Поработаем еще. Отметим на плоскости точку О. Проведем через точку О прямую ОС. На прямой обозначим отрезок ОС1 равный ОС, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол СОС1. Это значит что точка С1 получена при помощи поворота точки С на угол 1800 с центром поворота О.

В данному случае точки С и С1 называются симметричными относительно точки О. Точка О - центр симметрии. Следовательно, поворот фигуры на 1800 с центром в точке называют центральной симметрией. А точки, которые лежат на одной прямой с центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него называют центрально-симметричными.

§ 3 Правила построения центрально-симметричных фигур

Центрально-симметричными могут быть и фигуры. Две фигуры F и F" называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

F F1

§ 4 Практическое задание

Перейдем к практическому заданию. Попробуем выполнить построение центрально-симметричных отрезков. Построим отрезок АВ. Отметим центр симметрии точку О, не принадлежащую отрезку АВ. Выполним поворот точки А в точку А1, точки В в точку В1 на 1800 относительно центра О. Соединим точки А1 и В1. Отрезки АВ и А1В1 - центрально-симметричные отрезки.

Точку, при повороте вокруг которой на 1800 фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры. А саму фигуру центрально-симметричной.

Некоторые четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — являются центрально-симметричными фигурами. Центром симметрии для них является точка пересечения диагоналей. Центром симметрии окружности является центр этой окружности. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других центрально-симметричных фигур у прямой центров симметрии бесконечно много - любая точка прямой.

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «поворот» и «центральная симметрия», научились строить центрально-симметричные фигуры и выполнять поворот точки относительно центра, узнали о центрально-симметричных фигурах.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Мнемозина, 2013 г.

Использованные изображения:

При изучении темы «Поворот» учащимся дается задание: нарисовать на альбомном листе фигуру, выбрать центр поворота и угол поворота. Построить новую фигуру. Техника работы может быть различной. Например, дети часто используют апп ликацию. На нашей виртуальной выставке вторая работа выполнена в этой технике. А вот на 3 рисунке ученик использовал готовое изображение (аппликация) и вторую подвижную фигуру нарисовал самостоятельно.

Особенно интересны работы, выполненные с помощью карандашей, фломастеров или красок. Конечно, при составлении этих работ дети предварительно изготовили шаблон. Этот шаблон-трафарет помог им при выполнении творческих работ по другим темам "Симметрия относительно прямой", " Симметрия относительно точки ", "Параллельный перенос".

Детям особенно нравиться делать динамические модели. Их можно покрутить и выполнить поворот по часовой стрелке и против часовой стрелки. На представленной выставке только одна работа статическая на первом рисунке. Остальные работы динамические.

Для изготовления динамической модели одну фигуру надо нарисовать на альбомном листе. Вторую фигуру вырезать по шаблону из белого картона. Некоторые ребята вторую подвижную фигуру для большей надежности еще оклеили бесцветной пленкой. Например, красивая рыба в верхнем ряду. Ей уже больше 10 лет, а она выглядит, как новенькая. Не потускнели и не выгорели яркие краски. Для обозначения центра ученики используют маленькую круглую точку из картона, скрепляют подвижную фигуру с альбомным листом с помощью обычных швейных ниток. Некоторые дети использовали металлические гайки. Правда этот вариант не очень эстетично выглядит.

Есть в копилке лучших работ по теме "Поворот" работы, выполненные на фанере с помощью прибора для выжигания. Среди них есть подвижные модели и статические рисунки. Для динамических моделей надо выполнить значительно больший объем работ, ведь подвижную фигура необходимо выпилить. Вот, какая трудоемкая работа!

Лучшие работы оформляются на стенде в классе. А работы на фанере стоят в шкафах. После Выставки в кабинете я архивирую творческие работы в тематические папки, они пополняют методическую базу кабинета. Эта папка представляется на Выставках в гимназии, проходящих в рамках различных методических мероприятий, семинарах. Например, Выставка творческих работ учащихся в рамках Дня открытых дверей в гимназии, на который традиционно приглашаются родители обучающихся.

Цели урока:

повторение действий с десятичными дробями;

знакомство учащихся с понятием поворот и центральная симметрия;

формирование навыка построения симметричных точек относительно центра;

воспитание устойчивого интереса к изучению математики через применение различных видов деятельности на уроке;

воспитание графической культуры;

развитие мыслительной деятельности, анализа и синтеза через практическую деятельность на уроке;

развитие внимания, познавательного интереса.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку.

План урока.

Организационный момент.

Повторение действий с десятичными дробями.

Изучение нового материала, первоначальное закрепление.

Итог урока, домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение о требованиях к уроку, необходимых инструментах и пособиях.

Что изучает математика в 6 классе.

2. Повторение.

1) Вспомнить правила действий с десятичными дробями, привести примеры.

2) Устный счет (используется “Математический тренажер”, 6 класс, стр. 10 , задание на ИД).

3) Письменная работа № 14, 15 по первой строчке в каждом номере (у доски 1 ученик по желанию работает на оценку).

№14 а) 2, 31+ 15, 7= 18, 01

в) 4, 327 – 2, 05 = 2, 277

д) 15, 6 + 0, 671 = 16, 271

№15 а) 91, 05 · 3, 2 = 291, 36

в) 268, 8: 5,6 = 48

д) 7, 02 · 0, 0055 = 0, 03861

3. Изучение нового материала.

Тема нашего урока “Поворот и центральная симметрия” (Слайд 1)

В геометрии рассматриваются вопросы, связанные с движением фигур. Мы сегодня познакомимся с поворотом и центральной симметрией.

1) Возьмем на плоскости точки О и А. Повернем точку А вокруг точки О на некоторый угол. Точка А перейдет в точку А 1 . (Слайд 2). Сделаем такое же построение в тетради, заполним пропуски в тексте.

При этом точка О (неподвижная точка) будет являться центром поворота, точка А – подвижная точка, а угол поворота - это угол АОА 1 . Поворот может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.

Таким образом мы можем дать определение поворота:

Опр. Поворо"т (враще"ние) - движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости остаётся неподвижной (щелчок мышью).

2) Рассмотрите рисунок (щелчок мышью ). Здесь также показаны повороты точек. Опишите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной точек относительно центра. (Устная работа по рисунку 2 из учебника)

3) Поворот - естественный процесс, происходящий в природе, окружающем нас мире.

Рассмотрите рисунки, дайте характеристику каждому повороту. (Слайд 3, 4)

4) Выполним письменно задание №1. (Слайд 5)

Постройте образ отрезка MN= 4 см при повороте на угол 90° вокруг точки О по часовой стрелке.

(Обсуждается алгоритм выполнения поворота и поэтапно вместе с анимацией выполняется построение в тетрадях. Учитель контролирует выполнение заданий и оказывает необходимую помощь).

Сравните отрезки MN и M 1 N 1 .

5) На следующем слайде вы видите различные орнаменты (Слайд 6). Все они состоят из одинаково повторяющихся элементов. Укажите эти элементы. Обратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Что их объединяет? (Каждый из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки).

6) Рассмотрим следующий поворот. (Слайд 7)

Отметим на плоскости точки О и А, проведем прямую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол АОА 1 . Это значит, что точку А 1 можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О. Точки А и А 1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.

Рассмотрим рисунок желтой и красной рыбы. Они симметричны относительно точки О.

Опр . Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называют центрально симметричными фигурами.

Как расположены центрально-симметричные точки, относительно центра симметрии?

(Лежат на одной прямой с центром симметрии)

7) Устно №1 стр.7 рис.7. (Слайд 8). Укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.

(Слайд идет в обычном режиме или рисунок выносится на интерактивную доску, чтобы можно было выполнить необходимое построение).

8) Устно ( Слайд 9 ). Укажите, какие фигуры на рисунках имеют центр симметрии.

4. Итог урока.

Ответьте на вопросы:

Как вы поняли, что такое поворот?

Как используя поворот, получить центрально-симметричные точки?

Как построить центрально- симметричные точки?

локальная симметрия

Плавающая симметрия

Организация фасадов на основе "симметричного ядра"

Вам хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой будут практически одинаковыми.
Это представление – правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии.
Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются (остаются инвариантными) определенные признаки при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, химическими, информационными и т. д.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. Например, если провести прямую через высоту равнобедренного треугольника к основанию, и части треугольника, расположенные по разные стороны от этой прямой, поменять местами, то мы получим тот же (в смысле формы и размеров) равнобедренный треугольник; пятиконечная звезда при повороте на угол 72 градуса вокруг центральной точки (точки пересечения ее лучей) займет первоначальное положение. В приведенных примерах рассматриваются разные виды симметрии. В первом случае речь идет об осевой симметрии. Части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея ввиду оба случая (плоскости и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Заметим, что вы можете встретиться и с другим названием этого вида симметрии. Например, в биологии указанный вид симметрии называют билатеральным, а плоскость симметрии – билатеральной плоскостью.

Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия рассматривалась в примере с пятиконечной звездой. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией.

Еще одним видом симметрии, о которой мы пока не говорили, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Здесь можно высказать только предположения.
Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии.
Во-вторых, окружающие человека люди, растения, животные и вещи симметричны. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что природные объекты (в отличие от рукотворных) только почти симметричны. Но это не всегда воспринимает глаз человека. Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные.
Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.
Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом.
Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать «несостоявшаяся» симметрия.
Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т. е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.

Казанский собор в Санкт-Петербурге

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Попробуйте привести еще примеры антисимметричных архитектурных сооружений. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.

Екатерининский дворец в Царском селе

В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства. Завершая наш разговор, мы можем констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.