Главная » Мебель » Формула энного числа арифметической. Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019). Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Формула энного числа арифметической. Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019). Разность прогрессии и ее произвольные элементы

В математике любая организованная каким-либо способом совокупность чисел, которые следуют друг за другом, называется последовательностью. Из всех существующих последовательностей чисел выделяют два интересных случая: прогрессии алгебраическую и геометрическую.

Что представляет собой арифметическая прогрессия?

Сразу следует сказать, что алгебраическую прогрессию часто называют арифметической, поскольку ее свойства изучает ветвь математики - арифметика.

Эта прогрессия представляет собой такую последовательность чисел, в которой каждый следующий ее член отличается от предыдущего на некоторое постоянное число. Оно называется разностью алгебраической прогрессии. Для определенности обозначим его латинской буквой d.

Примером такой последовательности может быть следующая: 3, 5, 7, 9, 11 ..., здесь видно, что число 5 больше числа 3 на 2, 7 больше 5 тоже на 2, и так далее. Таким образом, в представленном примере d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Какие бывают арифметические прогрессии?

Характер этих упорядоченных последовательностей чисел во многом определяется знаком числа d. Выделяют следующие виды алгебраических прогрессий:

возрастающая, когда d положительное (d>0);
постоянная, когда d = 0;
убывающая, когда d отрицательное (d<0).

В примере, который приведен в предыдущем пункте, показана возрастающая прогрессия. Примером убывающей является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постоянная прогрессия, как следует из ее определения, представляет собой совокупность одинаковых чисел.

n-й член прогрессии

Благодаря тому, что каждое последующее число в рассматриваемой прогрессии отличается на константу d от предыдущего, можно легко определить n-й ее член. Для этого нужно знать не только d, но и a 1 - первый член прогрессии. Применяя рекурсивный подход, можно получить формулу алгебраической прогрессии для нахождения n-го члена. Она имеет вид: a n = a 1 + (n-1)*d. Это формула является достаточно простой, и понять ее можно на интуитивном уровне.

Также не представляет никакой сложности ее использование. Например, в прогрессии, которая приведена выше (d=2, a 1 =3), определим 35-й ее член. Согласно формуле, он будет равен: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Формула для суммы

Когда дана некоторая арифметическая прогрессия, то сумма ее первых n членов является часто возникающей задачей, наряду с определением значения n-го члена. Формула суммы алгебраической прогрессии записывается в следующем виде: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, здесь значок ∑ n 1 говорит о том, что суммируются с 1-го по n-й член.

Приведенное выражение можно получить, прибегая к свойствам все той же рекурсии, однако существует более легкий способ доказательства его справедливости. Запишем первые 2 и последние 2 члена этой суммы, выразив их в числах a 1 , a n и d, и получим: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Теперь заметим, что если сложить первый член с последним, то он будет точно равен сумме второго и предпоследнего члена, то есть a 1 +a n . Аналогичным способом можно показать, что эту же сумму можно получить, если сложить третий и предпредпоследний члены, и так далее. В случае парного количества чисел в последовательности получаем n/2 сумм, каждая из которых равна a 1 +a n . То есть получаем вышеприведенную формулу алгебраической прогрессии для суммы: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Для непарного количества членов n получается аналогичная формула, если следовать описанным рассуждениям. Только нужно не забыть добавить оставшееся слагаемое, которое находится в центре прогрессии.

Покажем, как пользоваться приведенной формулой на примере простой прогрессии, которая была введена выше (3, 5, 7, 9, 11 ...). Например, необходимо определить сумму первых 15 ее членов. Для начала определим a 15 . Воспользовавшись формулой для n-го члена (см. предыдущий пункт), получаем: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Теперь можно применить формулу суммы алгебраической прогрессии: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Любопытно привести интересный исторический факт. Формулу для суммы арифметической прогрессии впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик XVIII века). Когда ему было всего 10 лет, то учитель задал задачу, найти сумму чисел от 1 до 100. Говорят, что маленький Гаусс решил эту задачу за несколько секунд, заметив, что попарно суммируя числа с начала и конца последовательности, всегда можно получить 101, а поскольку таких сумм 50, то он быстро выдал ответ: 50*101 = 5050.

Пример решения задачи

В качестве завершения темы алгебраической прогрессии приведем пример решения еще одной любопытной задачи, закрепив тем самым понимание рассматриваемой темы. Пусть дана некоторая прогрессия, для которой известна разность d = -3, а также ее 35-й член a 35 = -114. Необходимо найти 7-й член прогрессии a 7 .

Как видно из условия задачи, значение a 1 является неизвестным, поэтому напрямую формулой для n-го члена воспользоваться не получится. Также является неудобным способ рекурсии, который в ручную тяжело реализовать, и велика вероятность допустить ошибку. Поступим следующим образом: выпишем формулы для a 7 и a 35 , имеем: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Вычтем из первого выражения второе, получим: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Откуда следует: a 7 = a 35 - 28*d. Осталось подставить известные данные из условия задачи и записать ответ: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Геометрическая прогрессия

Чтобы раскрыть тему статьи полнее, приведем краткое описание еще одного вида прогрессии - геометрической. В математике под этим названием понимают последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на некоторый множитель. Обозначим этот множитель буквой r. Он называется знаменателем рассматриваемого вида прогрессии. Примером этой последовательности чисел может быть следующая: 1, 5, 25, 125, ...

Как видно из приведенного определения, алгебраическая и геометрическая прогрессии схожи по своей идее. Отличие между ними заключается в том, что первая изменяется медленнее, чем вторая.

Геометрическая прогрессия также может быть возрастающей, постоянной и убывающей. Ее тип зависит от значения знаменателя r: если r>1, то имеет место возрастающая прогрессия, если r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Формулы геометрической прогрессии

Как и в случае алгебраической, формулы геометрической прогрессии сводятся к определению ее n-го члена и суммы n слагаемых. Ниже приведены эти выражения:

a n = a 1 *r (n-1) - эта формула следует из определения геометрической прогрессии.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно отметить, если r = 1, то приведенная формула дает неопределенность, поэтому ей пользоваться нельзя. В этом случае сумма n членов будет равна простому произведению a 1 *n.

Например, найдем сумму всего 10 членов последовательности 1, 5, 25, 125, ... Зная, что a 1 = 1 и r = 5, получаем: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1)/4 = 2441406. Полученное значение является наглядным примером того, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.

Пожалуй, первым упоминанием об этой прогрессии в истории является легенда с шахматной доской, когда друг одного султана, обучив его игре в шахматы, попросил за свою услугу зерно. Причем количество зерна должно было быть следующим: на первую клетку шахматной доски необходимо положить одно зерно, на вторую в два раза больше, чем на первую, на третью в 2 раза больше, чем на вторую и так далее. Султан охотно согласился выполнить эту просьбу, но он не знал, что ему придется опустошить все закрома своей страны, чтобы сдержать данное слово.

Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1

Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)

Введите числа a n , d, n Найти a 1

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 - вторым членом последовательности , число a 3 - третьим членом последовательности и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности , а натуральное число n - его номером .

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .

Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической прогрессией , если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.

Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .

По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)

Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии :
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Инструкция

Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.

Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.

Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.

Инструкция

Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2n - 1,

а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой

b n = (-1) n +1 . ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

Например,

если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n +1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Например,

если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n

a n = a 1 + (n - 1)d.

Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n - 2)d,

a n = a 1 + (n - 1)d,

a n +1 = a 1 + nd ,

то, очевидно,

a n =	a n-1 + a n+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Например,

a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a n = 2n - 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,

a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.

Следовательно,

a n+1 + a n-1	=	2n - 5 + 2n - 9	= 2n - 7 = a n ,
2		2

◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k

a n = a k + (n - k )d .

Например,

для a 5 можно записать

a 5 = a 1 + 4d ,

a 5 = a 2 + 3d ,

a 5 = a 3 + 2d ,

a 5 = a 4 + d . ◄

a n = a n-k + kd ,

a n = a n+k - kd ,

то, очевидно,

a n =	a n-k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a m + a n = a k + a l ,

m + n = k + l.

Например,

в арифметической прогрессии

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как

a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a k , a k +1 , . . . , a n ,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0 , то она является возрастающей;
если d < 0 , то она является убывающей;
если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b n +1 = b n · q ,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например,

если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n ,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b n = -3 · 2 n ,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Следовательно,

b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой

b n = b k · q n - k .

Например,

для b 5 можно записать

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3 ,

b 5 = b 3 · q 2 ,

b 5 = b 4 · q . ◄

b n = b k · q n - k ,

b n = b n - k · q k ,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k · b n + k

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b m · b n = b k · b l ,

m + n = k + l .

Например,

в геометрической прогрессии

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S n = nb 1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b k , b k +1 , . . . , b n ,

то используется формула:

S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и q > 1;

b 1 < 0 и 0 < q < 1;

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и 0 < q < 1;

b 1 < 0 и q > 1.

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

|q | < 1 .

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

1 < q < 0 .

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой