Как решить уравнение с десятичными дробями. Как решать уравнения с дробями

Уравнения с дробями сами по себе не трудны и очень интересны. Рассмотрим виды дробных уравнений и способы их решения.

Как решать уравнения с дробями – икс в числителе

В случае, если дано дробное уравнение, где неизвестное находится в числителе, решение не требует дополнительных условий и решается без лишних хлопот. Общий вид такого уравнения – x/a + b = c, где x – неизвестное, a,b и с – обычные числа.

Найти x: x/5 + 10 = 70.

Для того чтобы решить уравнение, нужно избавиться от дробей. Умножаем каждый член уравнения на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5. 5x и 5 сокращается, 10 и 70 умножаются на 5 и мы получаем: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Найти x: x/5 + x/10 = 90.

Данный пример – немного усложненная версия первого. Тут есть два варианта решения.

• Вариант 1: Избавляемся от дробей, умножая все члены уравнения на больший знаменатель, то есть на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Вариант 2: Складываем левую часть уравнения. x/5 + x/10 = 90. Общий знаменатель – 10. 10 делим на 5, умножаем на x, получаем 2x. 10 делим на 10, умножаем на x, получаем x: 2x+x/10 = 90. Отсюда 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Нередко встречаются дробные уравнения, в которых иксы находятся по разные стороны знака равно. В таких ситуация необходимо перенести все дроби с иксами в одну сторону, а числа в другую.

• Найти x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Переносим 2x/5 направо с противоположным знаком: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Сокращаем 5x/5 и получаем: x = 130.

Как решить уравнение с дробями – икс в знаменателе

Данный вид дробных уравнений требует записи дополнительных условий. Указание этих условий является обязательной и неотъемлемой частью правильного решения. Не приписав их, вы рискуете, так как ответ (даже если он правильный) могут просто не засчитать.

Общий вид дробных уравнений, где x находится в знаменателе, имеет вид: a/x + b = c, где x – неизвестное, a, b, c – обычные числа. Обратите внимание, что x-ом может быть не любое число. Например x не может равняться нулю, так как делить на 0 нельзя. Именно это и является дополнительным условием, которое мы должны указать. Это называется областью допустимых значений, сокращенно – ОДЗ.

Найти x: 15/x + 18 = 21.

Сразу же пишем ОДЗ для x: x ≠ 0. Теперь, когда ОДЗ указана, решаем уравнение по стандартной схеме, избавляясь от дробей. Умножаем все члены уравнения на x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Часто встречаются уравнения, где в знаменателе стоит не только x, но и еще какое-нибудь действие с ним, например сложение или вычитание.

Найти x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Мы уже знаем, что знаменатель не может равняться нулю, а значит x-3 ≠ 0. Переносим -3 в правую часть, меняя при этом знак “-” на ”+” и получаем, что x ≠ 3. ОДЗ указана.

Решаем уравнение, умножаем все на x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Переносим иксы направо, числа налево: 24 = 3x => x = 8.

Название работы: Урок математики в 5 классе «Действия с десятичными дробями».

Место выполнения работы: МКОУ «СОШ №3» г. Поворино Воронежской области

Тема урока:

«Действия с десятичными дробями».

Учебные цели урока :

формировать умения и навыки решения уравнений на действия с десятичными дробями, умения составлять уравнения для решения задач.

Развивающие цели урока:

активизировать мыслительную деятельность учащихся;

развивать навыки самостоятельной работы;

умение с полной ясностью излагать свои мысли;

прививать аккуратность;

работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся.

Воспитательные цели урока:

С помощью интересных форм работы повысить активность учащихся на уроке, добиваться сознательного усвоения материала. Воспитывать стремление добиваться правильного выполнения упражнений и задач, ответственное отношение к учению, уверенность в своих силах. Расширять знания детей об окружающем мире. Следить за осанкой учащихся при письме.

Тип урока:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

Рисунки, карточки с заданиями для индивидуальной работы, сундучок, удочка для игры «Рыбалка», «рыбки» с заданиями.

Мотивация урока.

Человек живет на планете не один. Одному не выжить. Когда кто – то отстал или не понял материал, ему необходима помощь. Эта помощь может прийти от друзей.

Девиз урока : «Была бы охота – заладится любая работа».

Ход урока.

1 этап. Мотивационно – ориентировочный: разъяснение цели деятельности

учащихся.

Сегодня на уроке мы должны с вами закрепить умение решать уравнения на действия с десятичными дробями и задачи. Оказывается, что в жизни

Уравнения нам всякие нужны,

Уравнения нам всякие важны.

Правила учи, тогда сверкнёт удача.

Если будешь уравнения уметь решать,

Точно смысл их понимать

Станет лёгкой даже трудная задача.

Я приглашаю вас совершить сегодня на уроке путешествие по реке Знаний к

острову Прогресс. Мы отправимся в путь на катерах «Победа» и «Удача».

Думаю, что лоцманы помогут провести наши катера кратчайшим путем, и мы

нигде не сядем на мель, выдержим все испытания, которые встретятся у нас на

пути, и вместе преодолеем трудности.

2 этап. Актуализация опорных знаний.

Разминка для ума.

Каждое путешествие, а тем более морское, требует закалки и тренировки.

Давайте проведем разминку для ума.

Вопросы для разминки .

1)Что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.)

2)Что называется корнем уравнения?

(Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения)

3)Что значит решить уравнение?

(Решить уравнение – значит найти его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня))

4)Как найти неизвестные:

а) слагаемое; множитель;

б) уменьшаемое; делимое;

в) вычитаемое; делитель.

Что ещё применяется при решении уравнений (кроме перечисленного)?

(Свойства сложения, вычитания, умножения и деления)

Для чего ещё применяют эти свойства?

(Для быстрого счёта)

Давайте посмотрим презентацию, в которой рассказывается о том, как подписывают десятичные дроби при различных действиях с ними.

Устный счёт

(задания заранее выписать на доске, а лучше спроецировать на экран через компьютер)

Раз, два, три, четыре, пять,

Бегать, прыгать мы не будем,

Будем весь урок решать.

1. Вычислите:

9,37 – (1,37+7,93) =

(65,4 + 289) – 25,4 =

85,4+ (2,49 – 15,4) =

(2,56 – 4,4) – 1,56 =

2. Известно, что 39,86 + 57,18 = 97,04

Пользуясь этим, найдите:

1)97,04 – 39,86 =

2)97,04 – 67,18 =

3)х + 67,18 = 97,04;

4)97,04 – у = 57,18;

5)39,86 + у = 97,04;

6)х – 39,86 = 57,18

3. В дно реки забили столб высотой 9 м так, что 3 м будут в земле, а 2 м – над

водой. Какова глубина реки? Составить уравнение для решения задачи.

Решение:

х метров – глубина реки.

3 + х + 2 = 9,

х = 4.

Ответ: глубина реки – 4 метра.

3 этап. «Методы сотрудничества»

Путешествие: выполнение заданий, контроль и оценка полученных результатов.

Я вижу, что вы готовы к путешествию. Выходя в плавание, мы должны с вами

приобрести билеты. За ними мы и отправимся в кассу.

1-й вариант будет покупать билеты на катер «Победа», а 2-й – на катер «Удача».

Учащиеся решают уравнения, поочередно выходя к доске или комментируя

(в зависимости от сложности задания).

Если кто – то не может решить устно, то вычисления можно сделать письменно.

Если уравнение решено неверно, то члены команд (1 в. и 2в.) могут его исправить, тем самым они помогут своему товарищу приобрести билет.

1 . х + 3,7 = 8,5, 4 . m - 9,4 = 1,8, 7 . 39,5 + x = 86,4,

х = 8,5 – 3,7, m = 1,8 + 9,4, x = 86,4 – 39,5,

х = 4,8. m = 11,2. x = 46,9.

Ответ: 4,8. Ответ: 11,2. Ответ: 46,9.

2. 1,56 + у = 2,18, 5. 2,041 – n = 0,786, 8. 300 – у = 206,

у = 2,18 – 1,56, n = 2,041 – 0,786, у = 300 – 206,

у = 0,62. n = 1,255. у = 94.

Ответ: 0,62. Ответ: 1,255. Ответ: 94.

3. 8, 5 – z = 3, 6, 6. p – 769, 8 = 230, 7, 9. t – 0,307 = 0,308,

z = 8, 5 – 3, 6, p = 230, 7 + 769, 8, t = 0,308 + 0,307,

z = 4, 9. p = 1000, 5. t = 0,615.

Ответ: 4, 9. Ответ: 1000,5. Ответ: 0,615.

10. 16,6 = m – 3,4, 11. 5,9 = 8,1 – k ,

m = 16, 6 + 3,4, k = 8,1 – 5,9,

m = 20. k = 2, 2.

Ответ: 20. Ответ: 2,2.

Итак, все заняли свои места на катерах, мы плывем дальше.

Все члены команд и пассажиры должны принять участие в движении катеров, а для этого необходимо подливать горючее в мотор. Каждое правильно решенное уравнение - это часть горючего, необходимого для работы мотора. Если кто – то допустит ошибку, то катер сядет на мель. Обычно при этом бывают сильные толчки. Кто – то рискует получить ссадину или царапину. Старайтесь!

1. (х + 2,7) – 1,2 = 4,2, 2. 1,15 – (0,35 + у) = 0,39,

х + 2,7 = 4,2 + 1,2, 0,35 + у = 1,15 – 0,39,

х + 2,7 = 5.4, 0,35 + у = 0,76,

х = 5,4 – 2,7, у = 0,76 – 0,35,

х = 2,7. у = 0,41.

Ответ: 2.7. Ответ: 0,41.

3. 12,5 + у – 8,5 = 6,5, 4. z – 3,5 – 6,4 = 1,6,

4 + у = 6,5, z – (3,5 + 6,4) = 1,6,

у = 6,5 – 4, z – 9,9 = 1,6,

у = 2,5. z = 1,6 + 9,9,

Ответ: 2,5. z = 11,5

Ответ: 11,5

5. 2,8 – t + 3,5 = 5,3, 6. 5,2 + у + 8,7 = 15,9,

6,3 – t = 5,3, 13,9 + у = 15,9,

t = 6, 3 - 5,3, у = 15,9 – 13,9,

t = 1. у = 2.

Ответ: 1. Ответ: 2.

Но что с мотором? Барахлит? Оказывается боцман неверно рассчитал количество горючего и нам надо исправить его ошибку.

Задача .

В бензобаке было налито несколько литров бензина. После того, как в него долили ещё 12,6 литров, а потом сожгли 5,7 литров, то в нем стало 19,9литров. Сколько литров бензина было в бензобаке?

Решение.

Х литров бензина было в бензобаке.

Боцман решил так:

х + 12,6 = 19,9 – 5,7,

х + 12,6 = 14,2,

х = 14,2 + 12,6,

х = 26,8.

Где ошибка? В чём причина?

Правильное решение:

х + 12,6 – 5,7 = 19,9,

х + 6,9 = 19,9,

х = 19,9 – 6,9,

х = 13.

Ответ: в бензобаке было 13 литров бензина.

Ребята!

Небрежно проделанные расчеты порой приводят к неудачным ситуациям.

Физкультминутка.

1.Посмотреть в окно, сделать разгрузку для глаз.

2. А теперь проведем разминку.

Уважаемый наш боцман

Смотрит влево…Смотрит вправо.

А потом опять вперед. Тут немного отдохнет

Шея не напряжена и расслаблена…

Боцман смотрит вверх! Выше всех, все дальше вверх!

Возвращается обратно. Расслабление приятно!

А теперь посмотрим вниз. Мышцы шеи напряглись.

Возвращаемся обратно. Расслабление приятно.

Шея не напряжена и расслаблена!

Мы давно уже в пути.

Конечно, проголодались, и нашим «рыбакам» предстоит поймать рыбу на обед.

Игра «Рыбалка».

Задачки прикреплены к рыбкам сзади.

Ученик вылавливает их удочкой с магнитом.

1. а – 36,81 = 0, 3. х – 2,45 = 0,

а = 36,81. х = 2,45.

2. в – 0 = 49,63, 4. у – 0 = 6,48,

в = 49,63. у = 6,48.

Наше путешествие подходит к концу, т.к. мы видим землю. Перед нами остров Прогресс. Ой, что там темнеет на берегу? Сундук. Наверняка, в нём сокровища.

О! В нем слова «Ваши знания - ….»

А теперь работа для дешифровальщиков.

Вы должны найти корень уравнения, выписать соответствующую ответу букву, получить слово, которого нет.

(Ребята решают уравнения на нахождение неизвестных компонентов, каждому ответу находят соответствующую букву, из букв потом складывают слово «клад»)

1. х + 3,9 = 100,1, 2. у – 1,9 = 8,1,

х = 96,2. у = 10.

К Л

3.1,5 + z = 6,6, 4.20,05 – а = 1,35,

z = 5, 1. а = 18,7.

А Д

Итак, «Ваши знания – это КЛАД».

4 этап. Подведение итогов.

Наше путешествие заканчивается. Я надеюсь, что поход вас не утомил, а знания

полученные сегодня, пригодятся в жизни, ну, например, на предстоящей

контрольной работе.

Что узнали нового? Что понравилось?

Сегодня мы убедились, что без умения решать уравнения многого в математике не достигнешь.

Чтобы стать хорошим математиком, совсем не обязательно быть гением.

Для этого надо лишь одно: научиться свободно решать уравнения, а для этого распознавать в них неизвестные компоненты.

Торопись, ведь дни проходят,

Ты у времени в гостях.

Не рассчитывай на помощь,

Помни: всё в твоих руках.

Уравнения различные

Изучает математика.

Потруднее биологии,

Но полегче, чем грамматика.

И хитрить нам с ней бессмысленно,

И ругать её беспочвенно.

Королева – математика.

Помогает в жизни очень нам.

Вот закончилась игра,

Результат узнать пора.

Кто же лучше всех трудился

И на уроке отличился?

Выставляются оценки отвечавшим детям.

5 этап. Задание на дом.

Повторить правила, каждый ученик получает уравнения на карточках (индивидуальное задание каждому ученику).

О, мудрецы времён!

Дружней вас не сыскать.

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Использованная литература:

1. Материалы газеты «Математика» .
2. Интернет-ресурсы.

Урок-сказа ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Денисова Светлана Ивановна

учитель математики

МОУ «Средняя школа №1»

г. Кимры Тверской области

И было у него три сестры

Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей

медного царства

серебряного царства

золотого царства

Целый год жил без сестер, и сделалась ему скучно. Решил он проведать сестриц

и отправился в путь дорогу

Вышли они к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост

(y - 0,371)+ 5,44= 27,7

(0,127 + m) – 9,8= 3,2

(x + 0,379) – 1,97=1,83

Если их правильно решить, то камень повернется и освободит дорогу

2,4 – 3x = 0,21 (2)

2,5x + 0,8x = 99 (2)

5x – 7,35 = 0,3 (3)

7,2y – 0,3y = 27,6 (3)

Она долго враждовала с Кощеем и согласилась помочь Ивану-царевичу, но только в том случае, если его воины решат шесть уравнений

5,8y – 2,7y = 62 (1)

0,65 + 2x = 5,9 (1)

Прощаясь с Иваном-царевичем, Баба Яга рассказала ему о силе уравнения.

Коль нужно тебе какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух корни уравнения. Мигом исполнится.

Кощей подстерег Ивана –царевича и его воинов, схватил их и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на шесть замков.

3,5:x – 2 = 1,5 (1)

(x – 0,5) * 5 =0,4 * 2 – 0,3 * 2 (1)

y: 0,2 + 0,35 = 3,6 (2)

(0,3 + x) * 4 = 0,3 * 3 + 0,7 * 3 (2)

m: 0,12 * 0,2 = 7,2 (3)

(0,7 + x) * 5 = 0,8 * 5 + 0,6 * 5 (3)

Иван-царевич произнес «волшебные слова», назвал корни всех уравнений. Двери подземелья открылись. Стали воины перед воротами Кощеева дворца

y + 0,0015: 0,001 = 1,5

После этого Иван-царевич вместе с Еленой прекрасной проведали его сестриц, приехали домой и стали жить –поживать и добра наживать

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.