Все прямые лежащие в перпендикулярных плоскостях. Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2019)

Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория

Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача

Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

• Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

• Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
• Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

Теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение . Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямой t " Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.

Построить прямую t по условиям: t " E, t ^ Σ (рис. 7.4).

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h 2 // х, f 1 // x;

2) строятся проекции t 1 и t 2 искомой прямой t, где t 2 " Е 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 . В итоге t 1 , t 2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.

Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2), проходящих через точку Е: h 2 " E 2 , h 2 // х, h 1 " E 1 , h 1 ^ t 1 ; f 1 " E 1 , f 1 // х, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Плоскость (h , f) – решение задачи.

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Прямая перпендикулярна к плоскости , когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ ». Если в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ , тогда запись имеет вид с ⊥ γ .

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 1

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10 - 11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.

Теорема 2

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Теорема 3

Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ .

Доказательство

При a → = (a x , a y , a z) являющимся вектором прямой a , при n → = (n x , n y , n z) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a → = (a x , a y , a z) и n → = (n x , n y , n z) . Отсюда получаем, что a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z , t является действительным числом.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

Пример 1

Доказать перпендикулярность заданной прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 с плоскостью x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Решение

Знаменатели канонических уравнений являются координатами направляющего вектора данной прямой. Отсюда имеем, что a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) является направляющим вектором прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

В общем уравнении плоскости коэффициенты перед переменными x , y , z являются координатами нормального вектора данной плоскости. Отсюда следует, что n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) - это нормальный вектор плоскости x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

2 - 1 = t · 1 2 = t · 2 (2 + 1) 2 = t · (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1 , тогда векторы a → и n → связаны выражением a → = (2 - 1) · n → .

Это и есть коллинеарность векторов. отсюда следует, что прямая x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 перпендикулярна плоскости x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 .

Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

Пример 2

Определить, перпендикулярны ли прямая y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 и плоскость x 1 2 + z - 1 2 = 1 .

Решение

Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

Из прямой y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 видно, что направляющий вектор a → - это произведение нормальных векторов плоскости y - 1 = 0 и x + 4 z - 2 = 0 .

Отсюда получаем, что a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

Координаты вектора a → = (4 , 0 , - 1) .

Уравнение плоскости в отрезках x 1 2 + z - 1 2 = 1 является эквивалентным уравнению плоскости 2 x - 2 z - 1 = 0 , нормальный вектор которой равен n → = (2 , 0 , - 2) .

Следует произвести проверку на коллинеарность векторов a → = (4 , 0 , - 1) и n → = (2 , 0 , - 2) .

Для этого запишем:

4 = t · 2 0 = t · 0 - 1 = t · (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Отсюда делаем вывод о том, что направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости. Значит, y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 - это прямая, не перпендикулярная к плоскости x 1 2 + z - 1 2 .

Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 6.3).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляров к плоскости выбирают горизонталь и фронталь плоскости. В этом случае, пользуясь свойством проецирования прямого угла на комплексном чертеже, фронтальную проекцию перпендикуляра проводим под углом 90 0 к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали.

Рассмотрим алгоритм построения перпендикуляра n к плоскости Р(D АВС) (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).

АВ b , то есть АВ принадлежит плоскости b и АВ ^ плоскости a . Плоскость b ^ плоскости a .

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q(D АВС) (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

Выводы

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.