Вычисляем площадь квадрата: по стороне, диагонале, периметру

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

1. Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
2. Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
4. Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

1. d = rad2*a;
2. d = rad2*radS;
3. d = rad2*P/4;
4. d = 2*R;
5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Квадрат – это геометрическая фигура, имеющая четыре стороны одинаковой длины, которые расположены под углом 90 градусов по отношению друг ко другу. Другими словами – это разновидность правильного прямоугольника. В некоторых случаях квадрат называют одним из вариантов ромба.

Диагональ квадрата – это отрезок, пересекающий центральную точку квадрата и соединяющий его противоположные углы. На одном квадрате размещаются 2 диагонали одинаковой длины.

Расчет площади квадрата с учетом длины диагонали

• Длина диагонали квадрата участвует в формуле расчета площади квадрата. Обозначим длину диагонали d, а площадь квадрата S, тогда S = d^2/2.
• Длину диагонали квадрата можно рассчитать при помощи теоремы Пифагора. Учитывая тот факт, что диагональ квадрата – это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, имеем следующую формулу расчета длины гипотенузы: a^2 + a^2 = d^2, где a – длина одной стороны равнобедренного треугольника или квадрата. Тогда d = a√2.
• Например, если принять длину диагонали квадрата равной 4 см, то его площадь будет равна: S = 4^2/2 = 8 кв. см.
• Если квадрат вписан в окружность, и известна длина диаметра окружности, то стоит уточнить, что длина диаметра круга и длина диагонали квадрата равны между собой. Поэтому, в этом случае снова выходим на расчет площади квадрата через его диагональ.

Расчет площади квадрата с учетом длины стороны квадрата

• Из рассмотренной выше теоремы Пифагора следует, что при подстановке выражения d = a√2 в формулу подсчета площади квадрата S = d^2/2 мы выходим на возможность расчета площади квадрата через длину его стороны: S = (a√2)^2/2, тогда S = a^2.
• Вычислим длину стороны квадрата, исходя из рассчитанной нами ранее площади, равной 16 см. A = √S = √8 = 2,83 см.

Расчет площади квадрата с учетом длины периметра квадрата

• Если нам известна длина периметра квадрата, и требуется рассчитать площадь фигуры, тогда нужно уточнить, что представляет собой периметр квадрата. Периметр – это значение, полученное путем суммирования всех длин сторон геометрической фигуры.
• Обозначим периметр P, тогда P = 4a. Тогда длина стороны квадрата будет равна a = P/4. Это выражение подставляем в формулу расчета площади квадрата S = a^2 и получаем S = (P/4)^2, то есть S = P^2/16.
• Например, если периметр квадрата равен 20, тогда S = 20^2/16 = 25 кв. см.

Чему равна сторона квадрата если его площадь 64?

Сторона квадрата равна восьми 🙂

Формула площади квадрата: x в квадрате:))

У квадрата все стороны равны. Площадь его равна 64. Как находится площадь квадрата? Итак, площадь квадрата равна стороне в квадрате.

х умножаем на х = 64

из 64 вычисляем корень, он равен 8

Ответ таков: сторона квадрата равна 8.

Чтобы дать правильный ответ на поставленный вопрос, необходимо знать очень много разных разделов математики, которую, как говорил один из известных учных-математиков, ...уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. Это выражение знакомо мне со школьной скамьи. Оно было написано на плакате, висевшим над классной доской много лет, а потому осталось в моей голове на всю оставшуюся жизнь. И я с ним солидарна.

Так вот, чтобы вычислить длину стороны квадрата, надо знать, какая геометрическая фигура называется квадратом. Это знание помогает вспомнить, что стороны квадрата равны, а площадь квадрата равна произведению длины двух его сторон. А дальше идт совсем простая операция - вспоминаем таблицу умножения и определяем, что число 64 получается от умножения числа 8 на само себя. Делаем вывод, что длина стороны квадрата с площадью в 64 единицы равна 8 .

Квадрат - это частный случай прямоугольника, у которого все стороны имеют одну и ту же длину, поэтому найти значение длины стороны квадрата зная его площадь не сложно. Ведь площадь прямоугольника рассчитывается по формуле S=a*b, а в случае с квадратом, сторона а равна стороне и и формула площади квадрата примет вид S=а*а. Так что нам остается только найти квадратный корень, действие обратное возведению в квадрат, от площади, то есть по условию от 64. Из таблицы умножения мы должны помнить, что 64 это произведение 8 на 8, то есть 8 в квадрате. Вот эта самая 8 и будет длиной стороны заданного квадрата.

Квадрат - это очень демократичная и симпатичная геометрическая фигура с четырьмя абсолютно равными сторонами, расположенными друг к другу под прямыми углами. Как и в любом другом прямоугольнике, площадь квадрата находится очень просто - перемножением двух сторон. А поскольку эти стороны одинаковы, то достаточно просто возвести сторону в квадрат. И мы будем иметь такое решение задачи:

• пусть С - это сторона квадрата.

С х С = 64 или по-другому: С^2 = 64. С^2 - это С в квадрате.

Проверяем: 8 х 8 = 64.

Следовательно, сторона квадрата равна 8.

Так как площадь квадрата это произведение двух сторон квадрата(или квадрат одной из сторон, так как у него все стороны равные), то надо или подобрать два таких числа (одинаковых)при умножении которых получится 64- это или 8 и 8 или -8 и -8 , но ведь сторона не может быть отрицательным числом (величина длины стороны), то делаем вывод, что длина стороны квадрата с площадью 64 равна восьми.

• так же можно извлекать квадратный корень из числа 64 , то есть решить квадратное уравнение, но опять выбрать только положительный корень(из тех же соображений, что и в предыдущем случае).

Можно еще и проверить 8 * 8=64.

Сторона равна 8.

Если подходить с позиций обычной, Евклидовой геометрии, то правильный ответ уже дан и не один раз, а десять. Но представим, что квадрат нарисован на поверхности глобуса. Тогда его площадь зависит не только от длины сторон, но и кривизны поверхности. В таком случае квадрат со сторонами 8х8 имеет площадь больше 64.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Вот решение этой задачи: х*х=64, где х=8, 8 * 8=64.

Следовательно правильным ответом на задачу: Чему равна сторона квадрата, если его площадь 64? будет число 8.

Определение площади квадрата - это, если не ошибаюсь, программа начальных классов школы.

Вспоминаем, что площадь любого прямоугольника определяется умножением двух его смежных сторон (S = a x b).

А квадрат - это тоже прямоугольник, но такой, у которого все стороны равны друг другу.

В случае квадрата: S = a x b = a x a или же а в квадрате (а^2).

У нас в условии уже есть площадь - 64. Чтобы найти сторону квадрата, нужно найти квадратный корень из 64, который равен 8.

Ответ: сторона квадрата равна 8.

Как известно, квадрат - это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Площадь прямоугольника = a*b, так как в случае с квадратом a =b, то следовательно его площадь равна a*a .

Составим и решим уравнение: a*a = 64.

Квадратный корень из 64 равен 8.

Следовательно, сторона квадрата равна 8 .

Исходя из того, что площадь квадрата равна квадрату его стороны (а у квадрата все стороны одинаковые), то следовательно получается такое уравнение х*х=64, где х=8 (то есть х в квадрате равен 64, отсюда х равен квадратному корню из 64).

Квадрат – это правильный четырехугольник, в котором все углы и стороны равны между собой.

Довольно часто эту фигуру рассматривают, как частный случай или . Диагонали квадрата равны между собой и используются в формуле площади квадрата через диагональ.
Для расчета площади рассмотрим формулу площади квадрата через диагонали:



То есть площадь квадрата равна квадрату длины диагонали поделенному на два. Учитывая, что стороны фигуры равны, можно рассчитать длину диагонали из формулы площади прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора.

Рассмотрим пример расчета площади квадрата через диагональ. Пусть дан квадрат с диагональю d = 3 см. Необходимо вычислить его площадь:

По этому примеру расчета площади квадрата через диагонали мы получили результат 4,5 .

Площадь квадрата через сторону

Найти площадь правильного четырехугольника можно и по его стороне. Формула площади квадрата очень проста:



Так как в предыдущем примере расчета площади квадрата мы рассчитали значение по диаметру, теперь попробуем найти длину стороны:
Подставим значение в выражение:
Длина стороны квадрата будет равна 2,1 cm.

Очень просто можно использовать формулу площади квадрата вписанного в окружность.

Диаметр описанной окружности будет равен диаметру квадрата. Так как квадрат считается правильным ромбом, можно использовать формулу расчета площади ромба. Она равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны, значит формула будет выглядеть так:
Рассмотрим пример расчета площади квадрата вписанного в окружность.

Дан квадрат, вписанный в окружность. Диагональ окружности равна d = 6 см. Найдите площадь квадрата.
Мы помним, что диагональ окружности равна диагонали квадрата. Подставляем значение в формулу расчета площади квадрата через его диагонали:

Площадь квадрата равна 18

Площадь квадрата через периметр

В некоторых задачах по условиям дается периметр квадрата и требуется расчет его площади. Формула площади квадрата через периметр выводится из значения периметра. Периметр – это сумма длин всех сторон фигуры. Т.к. в квадрате 4 равных стороны, то он будет равенОтсюда находим сторону фигуры Площадь квадрата по обычной формуле считается так: .
Рассмотрим пример расчета площади квадрата через периметр.

Для вычисления площади и периметра квадрата нужно разобраться в понятиях этих величин. Квадрат представляет собой прямоугольник только с четырьмя одинаковыми сторонам, которые имеют между собой угол в 90°. Периметр - это сумма длин всех сторон. Площадь - это произведение длины прямоугольной фигуры на ее ширину.

Площадь квадрата и как ее найти

Как было сказано выше, квадрат - это прямоугольник, имеющий 4 равные стороны, поэтому ответом на вопрос: «как найти площадь квадрата» является формула: S = a*a или S = a 2 , где а - сторона квадрата. Исходя из этой формулы, легко находится сторона квадрата, если известна площадь. Для этого необходимо извлечь квадрат из указанной величины.

Например, S = 121, следовательно, а = √121 = 11. Если заданное значение отсутствует в таблице квадратов, то можно воспользоваться калькулятором: S = 94, а = √94 = 9,7.

Как найти периметр квадрата


Периметр квадрата находится по легкой формуле: Р = 4а, где а - сторона квадрата.

Пример:

• сторона квадрата = 5, следовательно, P = 4*5 = 20
• сторона квадрата = 3, следовательно, Р = 4*3 = 12

Но существуют такие задачи, где заведомо обозначена площадь, а нужно найти периметр. При решении нужны формулы, которые представлены ранее.

Например: как найти периметр квадрата, если известна площадь, равная 144?


Шаги решения:

1. Выясняем длину одной стороны: а = √144 = 12
2. Находим периметр: Р = 4*12 = 48.

Нахождение периметра вписанного квадрата


Существуют еще несколько способов нахождения периметра квадрата. Рассмотрим один из них: нахождение периметра через радиус описанной окружности. Здесь появляется новый термин «вписанный квадрат» - это квадрат, чьи вершины лежат на окружности.

Алгоритм решения:



• так как на рассмотрении квадрат, формулу можно выразить таким образом: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
• затем следует уравнение сделать проще: 2a 2 = 4(r) 2 ;
• делим уравнение на 2: (a 2 ) = 2(r) 2 ;
• извлекаем корень: a = √(2r).

В итоге получаем последнюю формулу: а (сторона квадрата) = √(2r).


1. Найденная сторона квадрата умножается на 4, далее применяется стандартная формула по нахождению периметра: P = 4√(2r).

Задача:

Дан квадрат, который вписан в окружность, ее радиус равен 5. Значит, диагональ квадрата равняется 10. Применяем теорему Пифагора: 2(a 2 ) = 10 2 , то есть 2a 2 = 100. Делим полученное на два и в результате: a 2 = 50. Так как это не табличное значение, используем калькулятор: а = √50 = 7,07. Умножаем на 4: Р = 4*7,07 = 28,2. Задача решена!


Рассмотрим еще один вопрос

Часто в задачах встречается другое условие: как найти площадь квадрата, если известен периметр?

Мы уже рассмотрели все необходимые формулы, поэтому для решения задач подобного типа, необходимо умело их применять и связывать между собой. Перейдем сразу к наглядному примеру: Площадь квадрата равна 25 см 2 , найдите его периметр.


Шаги решения:

1. Находим сторону квадрата: а = √25 = 5.
1. Находим сам периметр: Р = 4*а = 4*5 = 20.

Подводя итог, важно напомнить, что такие легкие формулы применимы не только в учебной деятельности, но и повседневной жизни. Периметр и площадь фигуры дети учатся находить еще в начальной школе. В средних классах появляется новый предмет - геометрия, где теорема Пифагора находится в самом начале изучения. Эти азы математики проверяются и по окончанию школы ОГЭ и ЕГЭ, поэтому важно знать эти формулы и правильно их применять.

Напечатать