Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями. Сложение обыкновенных дробей. Основное свойство дроби

§ 1 Десятичные дроби

На этом уроке вы узнаете о понятии десятичной дроби, познакомитесь с ее историей, научитесь читать и записывать десятичные дроби, переводить обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100,1000 и т.д. в десятичную и наоборот.

Итак, что же такое десятичная дробь? Оказывается, это форма записи обыкновенной дроби, у которой в знаменателе стоит 10, 100, 1000, 10000 и так далее, т.е. 1 с несколькими нулями. Сначала пишут целую часть, затем числитель дробной части, и целую часть от дробной, отделяют запятой.

Например, 12 целых 7 десятых записывают в виде 12,7. Другой пример: 8 целых 156 тысячных равно 8,156. А как же быть, если целая часть отсутствует? Т. е. дробь правильная? Тогда целую часть записывают в виде 0! Например, 17 сотых = 0,17.

§ 2 Перевод обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную дробь и наоборот

Внимание! Чтобы правильно записать десятичную дробь, числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе дробной части. Таким образом, дробь

Другой пример: как записать в десятичной записи дробь 3 миллионных?

Чтобы правильно читать десятичные дроби, необходимо запомнить, как называется каждый разряд в дробной части. На первом месте после запятой пишутся десятые доли, на втором - сотые, дальше тысячные, потом десятитысячные, затем стотысячные и т.д.

Например, вот это число (1234,5678) читается так: 1234 целых 5678 десятитысячных.

Теперь вы знаете, как переводить обыкновенную дробь в десятичную. А как же наоборот? Тоже достаточно просто! К примеру, десятичную дробь 1,5 прочитаем, как одна целая пять десятых и можно записать так:

дробь 1,05 читается как одна целая пять сотых и записывается как: 1

а дробь 1 ,005 читается как одна целая пять тысячных и запишется как:

§ 3 История возникновения десятичных дробей

Оказывается, уже в древнем Китае пользовались десятичной системой мер и обозначали дробь словами, используя меры длины: чи, цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки.

Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков. Затем в 15 веке крупный ученый того времени Джемшид Гиясэддин аль - Каши впервые изложил учение о десятичных дробях, он ввел новую запись для десятичных дробей, когда целая и дробная части пишутся в одну строку и отделяются друг от друга либо вертикальной чертой, либо чернилами разных цветов. Примерно в то же время математики Европы пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге «Математический канон» французский математик Франсуа Виет в записи десятичной дроби дробную часть подчеркивал и записывал выше строки целой части числа. В России первые систематические сведения о десятичных дробях встречаются в “Арифметике” Магницкого. Запятая же в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой. Современную запись десятичных Иоганн Кеплердробей, т.е. отделение целой части от дробной запятой, предложил Иоганн Кеплер. В странах, где говорят по английский и в настоящее время вместо запятой пишут точку.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.: ил.

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Скрыть Показать

Основное свойство дроби

Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

Взаимно обратные числа

Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .

Определение обыкновенной дроби

Определение 1

Обыкновенные дроби используют для описания числа долей. Рассмотрим пример, с помощью которого можно дать определение обыкновенной дроби.

Яблоко разделили на $8$ долей. В этом случае каждая доля представляет одну восьмую долю целого яблока, т. е. $\frac{1}{8}$. Две доли обозначаются $\frac{2}{8}$, три доли -- $\frac{3}{8}$ и т.д., а $8$ долей -- $\frac{8}{8}$. Каждая из представленных записей называется обыкновенной дробью .

Приведем общее определение обыкновенной дроби.

Определение 2

Обыкновенной дробью называется запись вида $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$-- любые натуральные числа.

Часто можно встретить следующую запись обыкновенной дроби: $m/n$.

Пример 1

Примеры обыкновенных дробей:

\[{3}/{4}, \frac{101}{345},\ \ {23}/{5}, \frac{15}{15}, {111}/{81}.\]

Замечание 1

Числа $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $-\frac{13}{37}$, $\frac{4}{\frac{2}{7}}$, $\frac{2,4}{8,3}$ не являются обыкновенными дробями, т.к. не подходят под вышеприведенное определение.

Числитель и знаменатель

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя.

Определение 3

Числителем обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ называется натуральное число $m$, которое показывает количество взятых равных долей из единого целого.

Определение 4

Знаменателем обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ называется натуральное число $n$, которое показывает, на сколько равных долей разделено единое целое.

Рисунок 1.

Числитель располагается над дробной чертой, а знаменатель --под дробной чертой. Например, числителем обыкновенной дроби $\frac{5}{17}$ является число $5$, а знаменателем -- число $17$. Знаменатель показывает, что предмет разделен на $17$ долей, а числитель -- что взято $5$ таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменателем обыкновенной дроби может быть единица. В таком случае считают, что предмет неделим, т.е. представляет собой единое целое. Числитель такой дроби показывает, сколько целых предметов взято. Обыкновенная дробь вида $\frac{m}{1}$ имеет смысл натурального числа $m$. Таким образом получаем обоснованное равенство $\frac{m}{1}=m$.

Если переписать равенство в виде $m=\frac{m}{1}$, то оно даст возможность любое натуральное число $m$ представить в виде обыкновенной дроби. Например, число $5$ можно представить в виде дроби $\frac{5}{1}$, число $123 \ 456$ -- это дробь $\frac{123\ 456}{1}$.

Таким образом, любое натуральное число $m$ можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем $1$, а любую обыкновенную дробь вида $\frac{m}{1}$ можно заменить натуральным числом $m$.

Дробная черта как знак деления

Представление предмета в виде $n$ долей является делением на $n$ равных частей. После деления предмета на $n$ долей его можно разделить поровну между $n$ людьми -- каждый получит по одной доле.

Пусть имеется $m$ одинаковых предметов, разделенных на $n$ долей. Эти $m$ предметов можно поровну разделить между $n$ людьми, если раздать каждому человеку по одной доле от каждого из $m$ предметов. При этом каждый человек получит $m$ долей $\frac{1}{n}$, которые дают обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$. Получаем, что обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ может применяться для обозначения деления $m$ предметов между $n$ людьми.

Связь между обыкновенными дробями и делением выражается в том, что дробную черту можно понимать как знак деления, т.е. $\frac{m}{n}=m:n$.

Обыкновенная дробь дает возможность записывать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело.

Пример 2

Например, результат деления $7$ яблок на $9$ человек можно записать как $\frac{7}{9}$, т.е. каждый получит семь девятых долей яблока: $7:9=\frac{7}{9}$.

Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

Результатом сравнения двух обыкновенных дробей может быть или их равенство, или их не равенство. При равенстве обыкновенных дробей их называют равными, в другом случае обыкновенные дроби называют неравными.

равными , если справедливым является равенство $a\cdot d=b\cdot c$.

Обыкновенные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ называют неравными , если равенство $a\cdot d=b\cdot c$ не выполняется.

Пример 3

Выяснить, являются ли равными дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$.

Равенство выполняется, значит, дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ являются равными: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

Данный пример можно рассмотреть на примере яблок: одно из двух одинаковых яблок разделено на три равные доли, второе -- на $6$ долей. При этом видно, что две шестых доли яблока составляют $\frac{1}{3}$ долю.

Пример 4

Проверить, являются ли равными обыкновенные дроби $\frac{3}{17}$ и $\frac{4}{13}$.

Проверим, выполняется ли равенство $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Равенство не выполняется, значит, дроби $\frac{3}{17}$ и $\frac{4}{13}$ не равны: $\frac{3}{17}\ne \frac{4}{13}$.

При сравнении двух обыкновенных дробей, если выясняется, что они не равны, можно узнать, какая из них больше, а какая -- меньше другой. Для этого используют правило сравнения обыкновенных дробей: нужно привести дроби к общему знаменателю и затем сравнить их числители. У какой дроби числитель будет больше, та дробь и будет являться большей.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, которые отвечают обыкновенным дробям, можно отобразить на координатном луче.

Чтобы на координатном луче отметить точку, которая соответствует дроби $\frac{m}{n}$, необходимо от начала координат в положительном направлении отложить $m$ отрезков, длина которых составляет $\frac{1}{n}$ долю единичного отрезка. Такие отрезки получают при делении единичного отрезка на $n$ равных частей.

Чтобы отобразить на координатном луче дробное число, нужно единичный отрезок разделить на части.

Рисунок 2.

Равные дроби описываются одним и тем же дробным числом, т.е. равные дроби представляют собой координаты одной и той же точки на координатном луче. Например, координатами $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{4}{12}$ описывается одна и та же точка на координатном луче, так как все записанные дроби равны.

Если точка описывается координатой с большей дробью, то она будет находится правее на горизонтальном направленном вправо координатном луче от точки, координатой которой является меньшая дробь. Например, т.к. дробь $\frac{5}{6}$ больше дроби $\frac{2}{6}$, то и точка с координатой $\frac{5}{6}$ находится правее точки с координатой $\frac{2}{6}$.

Аналогично, точка с меньшей координатой будет лежать левее точки с большей координатой.