Подбор и решение систем линейных неравенств. Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства. Системы линейных неравенств

Программа для решения линейных, квадратных и дробных неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения одного из неравенств нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов при подготовке к контрольным работам, родителям для контроля решения неравенств их детьми.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода неравенств

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} y + \frac{1}{7}y^2 \)

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки

С понятием системы вы познакомились в 7 классе и научились решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Далее будут рассмотрены системы линейных неравенств с одним неизвестным. Множества решений систем неравенств могут записываться с помощью промежутков (интервалов, полуинтервалов, отрезков, лучей). Также вы познакомитесь обозначениями числовых промежутков.

Если в неравенствах \(4x > 2000 \) и \(5x \leq 4000 \) неизвестное число х одно и то же, то эти неравенства рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{l} 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end{array}\right. $$

Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения х, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Данная система - пример системы линейных неравенств с одним неизвестным.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства \(x \geq -2 \) и \(x \leq 3 \) можно записать в виде двойного неравенства: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия. Так, на числовой оси множество чисел х, таких, что \(-2 \leq x \leq 3 \), изображается отрезком с концами в точках -2 и 3.

Если \(a отрезком и обозначается [а; b]

Если \(a интервалом и обозначается (а; b)

Множества чисел \(x \), удовлетворяющих неравенствам \(a \leq x полуинтервалами и обозначаются соответственно [а; b) и (а; b]

Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками .

Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде неравенств.

Решением неравенства с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений. Так, решениями неравенства х > у будут, например, пары чисел (5; 3), (-1; -1), так как \(5 \geq 3 \) и \(-1 \geq -1\)

Решение систем неравенств

Решать линейные неравенства с одним неизвестным вы уже научились. Знаете, что такое система неравенств и решение системы. Поэтому процесс решения систем неравенств с одним неизвестным не вызовет у вас затруднений.

И все же напомним: чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение этих решений.

Например, исходная система неравенств была приведена к виду:
$$ \left\{\begin{array}{l} x \geq -2 \\ x \leq 3 \end{array}\right. $$

Чтобы решить эту систему неравенств, отметим решение каждого неравенства на числовой оси и найдём их пересечение:

Пересечением является отрезок [-2; 3] - это и есть решение исходной системы неравенств.

Определение 1 . Совокупность точек пространства R n , координаты которых удовлетворяют уравнению а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n = b , называется (n - 1 )-мерной гиперплоскостью в n -мерном пространстве.

Теорема 1. Гиперплоскость делит все пространство на два полупространства. Полупространство является выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа полупространств является выпуклым множеством.

Теорема 2 . Решением линейного неравенства с n неизвестными

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n b

является одно из полупространств, на которые все пространство делит гиперплоскость

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+a n x n = b .

Рассмотрим систему из m линейных неравенств с n неизвестными.

Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. Решением системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым.

Решение систем линейных неравенств

с двумя переменными

Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными.

Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости Х 1 0 Х 2 .

37. Представление выпуклого многогранника

Определение 1. Замкнутое выпуклое ограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек , называется выпуклым n -мерным многогранником.

Определение 2 . Замкнутое выпуклое неограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклой многогранной областью.

Определение 3 . Множество А R n называется ограниченным, если найдется n -мерный шар, содержащий это множество.

Определение 4. Выпуклой линейной комбинацией точек называется выражение, гдеt i , .

Теорема (теорема о представлении выпуклого многогранника). Любую точку выпуклого многогранника можно представить в виде выпуклой линейной комбинации его угловых точек.

38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.

Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными.

Определение 1 . Точка R n называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений (ОВР) системы.

Определение 2. Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) системы.

Теорема 1 . ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным (или неограниченным) подмножеством вR n .

Теорема 2. Допустимое решение системы является опорным тогда и только тогда, когда эта точка являетсяугловой точкой ОДР.

Теорема 3 (теорема о представлении ОДР). Если ОДР - ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР (в виде выпуклой линейной комбинации опорных решений системы).

Теорема 4 (теорема о существовании опорного решения системы). Если система имеет хотя бы одно допустимое решение (ОДР), то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x }