В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер 3. Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

3. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

4. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

6. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

7. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

11. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

12. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

14. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого, . Дайте ответ в градусах.

15. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах.

16. В прямоугольном параллелепипеде известно, что, . Найдите длину ребра.

17. В прямоугольном параллелепипеде ребро, ребро, ребро. Точка - середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и.

18.. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины, и.

19. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: AB = 3,AD = = 5, AA1 = 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точкиA, B и C1.

20. В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1 ребро BC = 4, ребро ребро BB1 = 4. Точка K - середина ребра CC1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B1, A1 и K.

21. В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1 ребро CD = 2, ребро ребро CC1 = 2. Точка K - середина ребра DD1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C1, B1 и K.

Вариант 11608780 1. За да ние 8 73897. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а высо та равна. Ответ: 13,5 2. За да ние 8 284571. В правильной четырехугольной пирамиде точка центр основания, вершина,. Най ди те длину от рез ка. Ответ: 3 3. За да ние 8 318474. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер,. Най ди те синус угла между пря мы ми и. Ответ: 0,6 4. За да ние 8 275863. Най ди те квад рат рас сто я ния между вер ши на ми и мно го гран ни ка, изоб ра жен но го на ри сун ке. Все дву гран ные углы мно го гран ни ка пря мые. Ответ: 61 5. За да ние 8 25581. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все дву гран ные углы пря мые). Ответ: 92 6. За да ние 8 74793. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 7,5. Най ди те объем ис ход ной приз мы. Ответ: 30 2016-07-10 1/10

7. За да ние 8 5077. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхно сти шара. Ответ: 12 8. За да ние 8 25741. Най ди те объем V части ци лин дра, изоб ра жен ной на ри сун ке. В от ве те ука жи те. Ответ: 3,75 9. За да ние 8 27213. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы пря мые). Ответ: 114 10. За да ние 8 284356. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Объем пи ра ми ды равен,. Най ди те пло щадь тре уголь ни ка. Ответ: 3 11. За да ние 8 282363. Найдите угол многогранника, изображенного на ри сун ке. Все дву гран ные углы мно го гран ни ка пря мые. Ответ дайте в гра ду сах. Ответ: 60 2016-07-10 2/10

12. За да ние 8 285549. Вы со та ко ну са равна 72, а диа метр ос но ва ния 108. Най ди те об ра зу ю щую ко ну са. Ответ: 90 13. За да ние 8 27198. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В от ве те ука жи те. Ответ: 144 14. За да ние 8 245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки, правильной треугольной призмы, площадь основания которой равна 4, а бо ко вое ребро равно 3. Ответ: 4 15. За да ние 8 74355. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилин дра равен 114. Ответ: 38 16. За да ние 8 270567. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой по верх но сти равна 2. Най ди те вы со ту ци лин дра. Ответ: 2 17. За да ние 8 285155. В пра виль ной тре уголь ной пи ра ми де ме ди а ны ос но ва ния пе ре се ка ют ся в точке. Пло щадь тре уголь ни ка равна 13, объем пи ра ми ды равен 52. Най ди те длину от рез ка. Ответ: 12 18. За да ние 8 325025. Шар, объём ко то ро го равен Ответ: 210, впи сан в куб. Най ди те объём куба. 2016-07-10 3/10

19. За да ние 8 74689. Объем прямоугольного параллелепипеда, описан но го около сферы, равен 1000. Най ди те ра ди ус сферы. Ответ: 5 20. За да ние 8 513708. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на ри сун ке (все дву гран ные углы пря мые). Ответ: 94 21. За да ние 8 324459. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба. Ответ: 16 22. За да ние 8 278867. Най ди те квад рат рас сто я ния между вер ши на ми и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранни ка пря мые. Ответ: 29 2016-07-10 4/10

23. За да ние 8 245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки, правильной шестиугольной призмы, площадь ос но ва ния ко то рой равна 6, а бо ко вое ребро равно 3. Ответ: 1 24. За да ние 8 27126. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, де лен ный на. Ответ: 4,5 2016-07-10 5/10

25. За да ние 8 27183. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вер ши ны. Ответ: 1,5 26. За да ние 8 4963. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описан но го около этой приз мы. Ответ: 8,5 27. За да ние 8 75225. Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого се че ния равен 90. Вы чис ли те объем ко ну са, де лен ный на. Ответ: 11979 28. За да ние 8 284360. Диа метр ос но ва ния ко ну са равен 6, а длина об ра зу ю щей 5. Най ди те вы со ту ко ну са. Ответ: 4 29. За да ние 8 507880. Площадь поверхности куба, описанного около сферы, равна 96. Най ди те ра ди ус сферы. Ответ: 2 30. За да ние 8 274451. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 43. Найдите угол. Ответ дайте в гра ду сах. Ответ: 60 31. За да ние 8 325365. Пло щадь ос но ва ния ко ну са равна 36π, вы со та 3. Най ди те пло щадь осе во го се че ния ко ну са. Ответ: 18 32. За да ние 8 25801. Най ди те объем V части ко ну са, изоб ра жен ной на ри сун ке. В от ве те ука жи те. Ответ: 243 2016-07-10 6/10

33. За да ние 8 25551. Най ди те объем мно го гран ни ка, изоб ра жен но го на ри сун ке (все дву гран ные углы пря мые). Ответ: 7 34. За да ние 8 4907. В цилиндрический сосуд налили 1200 см 3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем де та ли? Ответ вы ра зи те в см 3. Ответ: 1000 35. За да ние 8 73395. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 16. Ребро, пер пен ди ку ляр ное этой грани, равно 5. Най ди те объем па рал ле ле пи пе да. Ответ: 80 36. За да ние 8 27196. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе ука жи те. Ответ: 45 37. За да ние 8 4935. В сосуд, име ю щий форму пра виль ной тре уголь ной приз мы, на ли ли 2300 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до от мет ки 27 см. Най ди те объем де та ли. Ответ вы ра зи те в см 3. Ответ: 184 2016-07-10 7/10

38. За да ние 8 245369. В пра виль ной ше сти уголь ной приз ме все ребра равны 1. Най ди те угол. Ответ дайте в гра ду сах. Ответ: 60 39. За да ние 8 76377. Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их по верх но стей. Ответ: 75 40. За да ние 8 5061. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен равна 2. Ответ: 36, а высота 41. За да ние 8 27189. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы пря мые). Ответ: 40 42. За да ние 8 5051. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь по верх но сти па рал ле ле пи пе да равна 16. Най ди те его диа го наль. Ответ: 3 43. За да ние 8 77155. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все дву гран ные углы пря мые). Ответ: 162 2016-07-10 8/10

44. За да ние 8 284355. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Пло щадь тре уголь ни ка ABC равна 3, MS = 1. Най ди те объем пи ра ми ды. Ответ: 1 45. За да ние 8 25821. Най ди те объем V части ко ну са, изоб ра жен ной на ри сун ке. В от ве те ука жи те. Ответ: 607,5 46. За да ние 8 74843. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 3, а боковые ребра равны плос ко сти ос но ва ния под углом 30. Ответ: 243 и наклонены к 47. За да ние 8 281867. Найдите угол многогранника, изображенного на рисун ке. Все дву гран ные углы мно го гран ни ка пря мые. Ответ дайте в гра ду сах. Ответ: 45 48. За да ние 8 25531. Най ди те объем мно го гран ни ка, изоб ра жен но го на ри сун ке (все дву гран ные углы пря мые). Ответ: 56 2016-07-10 9/10

49. За да ние 8 27061. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь по верх но сти уве ли чит ся на 54. Най ди те ребро куба. Ответ: 4 50. За да ние 8 75175. Вы со та ко ну са равна 3, об ра зу ю щая равна 6. Най ди те его объем, де лен ный на. Ответ: 27 2016-07-10 10/10

взятые из различных материалов ЕГЭ 2010 года.
1.

Известны длины ребер AB = 3, AD = 4, CC 1 = 4. Найдите угол между плоскостями BDD 1 и AD 1 B 1 .

(Еще вариант: AB = 5, AD = 12, CC 1 = 4 или еще: AB = 8, AD = 6, CC 1 = 2)
2 .

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1B 1C 1D 1 известны ребра: AB = 5, AD =12, CC 1 = 3. Найдите угол между плоскостями BDD 1 и AD 1 B 1 .
3 .

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F 1 B 1 и плоскостью AF 1 C 1 .

(Другой вариант: найти расстояние от точки С до прямой SA;

Еще вариант: найти расстояние от точки С до прямой SF).
4.

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1 (другой вариант: до прямой AD 1).

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найдите расстояние от точки A 1 до прямой BC 1 .
7.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной . Длины всех боковых ребер равны 3, точка – M - середина ребра AS. Через прямую BM параллельно диагонали AC проведена плоскость. Определите величину острого угла (в градусах) между этой плоскостью и плоскостью SAC.

Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с острым углом в 60 градусов. Найдите острый угол между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, если отношение высоты призмы к стороне ее основания равно
.
9.

, SC = 17. (Другой вариант: AB =
, SC = 17;).

Найдите угол, образованной плоскостью основания и прямой AS и BC.
10.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB =
, SC = 10. Точка N – середина ребра BC. Найдите угол между плоскостью основания и прямой AT, где T – середина отрезка SN)

(Еще вариант: AB =
, SC = 5. Точка N – середина ребра CD).
11.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB =
, SC = 34. (Другой вариант: AB =
, SC = 25). Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M – точка пересечения медиан грани SBC.
12.

AA 1 = 4, A 1 D 1 = 6, C 1 D 1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD 1 и прямой EF , проходящей через середины ребер AB и B 1 C 1 .
13.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого AB = 4, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF , проходящей через середины ребер AA 1 и C 1 D 1 .
14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого AA 1 = 4, A 1 D 1 = 6, C 1 D 1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD 1 и прямой EF , проходящей через середины ребер AB и B 1 C 1 .
15 .

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью AA 1 C и прямой A 1 B, если AA 1 = 3, AB = 4. BC = 4.

(Другой вариант: плоскостью A 1 BC и прямой BC 1 , если AA 1 =8, AB = 6. BC = 15).
16.

В тетраэдре ABCD , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD .
17 .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , сторона основания равна 1, а боковое ребро равно Найдите расстояние от точки C до прямой SA
18.

К диагонали A 1 C куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD .

Найдите угол между этими перпендикулярами.

(Другой вариант: провели перпендикуляры из вершин A и B).
19 .

Диагональ A 1 C куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины ребер AB и DD 1 . Найдите величину этого угла.

(Другой вариант: грани проходят через вершины B и D)