Вариации в статистике. Понятие вариации в статистике. Числовые характеристики вариационного ряда
Вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.
Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение его причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Средняя величина дает обобщенную характеристику признака изучаемой совокупности,но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагается около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом велика, это весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.
Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:
В первой бригаде 95, 100, 105 (???????х1=100 шт.);
Во второй бригаде - 75, 100, 125 (?х2=100 шт.)
Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет 1=2=100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде гораздо меньше, чем во второй.
Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей:
- * размах вариации;
- *среднее линейное отклонение;
- * дисперсия;
- * среднее квадратическое отклонение;
- *коэффициент вариации.
Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариацииR, представляющим собой разность максимальным и минимальным значениями признака:
R = хmax- хmin.
В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде - R1= 10 шт. (т.е.105-95); во второй бригаде - R2=50 шт. (т.е 125-75), что в 5 раз больше.
Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3Ч125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3Ч105).
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение.
>Cреднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (x -).
Среднее линейное отклонение:
* для несгруппированных данных
где n - число членов ряда;
*для сгруппированных данных
где?f - сумма частот вариационного ряда.
В формулах (2.1) и (2.2) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль - алгебраическая сумма отклонений вариантов отих средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
> Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется поформула простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
*простая дисперсия для несгруппированных данных
*взвешенная дисперсия для вариационного ряда
Техника вычисления дисперсии по формулам (2.3) и (2.4) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.
Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:
- 1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;
- 2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз (iраз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2раз.
Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака.
- >Среднее квадратическое отклонение у равно корню квадратному из дисперсии:
- *для несгруппированных данных
*для вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
>Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
Решение задач
Задача 3.6
Пользуясь формулой Стерджесса, определите интервал группировки сотрудников фирмы по уровню доходов, если общая численность составляет 20 человек, а минимальный и максимальный доход соответственно равен 5000 и 30000 рублей.
Согласно формуле Стерджессаn = 1 + 3,322 - lgN,
где n - число групп;
N - число единиц совокупности, определим число групп в коллективе фирмы.
n = 1 + 3,322 - lg 20 = 1 + 3,322 -1,3?3.
Вариация признака (уровень дохода сотрудников) проявляется в сравнительно узких границах и распределение будет носить равномерный характер. Совокупность сотрудников разделится на 3 группировки с равными интервалами. Величина равного интервала определяется по следующей формуле:
h = R/n = (xmax-xmin)/n,
где xmax и xmin- максимальное и минимальное значение признака в совокупности;
n - число групп.
h = (30000 - 5000)/3 = 8333,33.
Итак, величина интервала определена, теперь можно определить границы групп:
- 5000 - 13333,33 1-я группа
- 13333,33 - 21666,66 2-я группа
- 21666,66 - 30000 3-я группа.
Задача 7.4
По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов:
Определите:
- а) средний балл оценки знаний студентов;
- б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;
- в) сделайте выводы о характере данногораспределении.
Средний балл найдем по формуле
ар= (2х6 + 3х75 + 4х120 + 5х99)/300 = 1212/300 = 4,04. Средний балл по итогам сессии достаточно высокий и равен 4.
Мода (Mo) - значение признака наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е., это один из вариантов признака, который в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).
В дискретном ряду модальное значение определяется визуальнопо максимальной частоте. Соответственно, Mo= 4,т.к в данной совокупности именно эту оценку получило самое большое число студентов в группе.
Медиана (Ме) - значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.
Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения.
Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы по формуле:
N = (300+1)/2 = 150,5
Затем используют кумулятивные частоты Sfили частость Sd.
Зная, чтоN = 150,5, накапливаем частоты до тех пор, пока кумулятивная частотаSfне будет равна этому номеру или превысит его. Следовательно, на 2 балла сдали 6 человек + 75 человек, сдавшие на 3 балла - это 81человек, + 120 человек, сдавшие на 4, равно 201 человек. Таким образом, медиана данного ряда распределения равна 4 баллам, т.е. половина студентов сдали на 2, 3 и 4,а половина на 4 и 5.
Вывод: средний балл,модальное значение и медиана совпадают и равняются 4 баллам. Это говорит о симметричном распределении частот множества.
2. Вариация альтернативного признака
3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий
4. Правило сложения дисперсий для альтернативного признака
Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака уотдельных единиц совокупности называются вариацией признака. По степенивариации признака можно судить о процессах развития изучаемых явлений, о типичности средних величин. Дело в том, что средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывая строения совокупности.
Она не показывает, как относительно нее располагаются варианты осредняемого признака — сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но водном случае все индивидуальные значения могут мало отличаться от нее, а в другом - эти отличия могут быть велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, что имеет большое значение для характеристики надежности средней величины.
Для определения меры вариации признака в статистике исполь-зуются абсолютные и относительные показатели вариации .
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадрата чес кое отклонение.
Размах вариации (R) является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:
где X max - максимальное значение признака в совокупности;
X min - минимальное значение признака в совокупности.
Величина размаха вариации зависит только от крайних значений учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ограничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариации необходимы показатели, дающие обобщенную характер всех колебаний варьирующего признака.
Среднее линейное отклонение является простейшим показате-лем такого типа и представляет собой среднюю величину абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней ариф-метической величины.
Среднее линейное отклонение для несгруппированных дан-ных определяется по формуле (5.2):
Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных рассчитывается так (5.3):
Следует отметить, что среднее линейное отклонение не всегда улавливает степень вариации значений признака. Поэтому в статисти-ке применяется более чувствительный обобщающий показатель - дисперсия . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклоне-ний индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах отклонений.
Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по формуле (5.4):
Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так (5.5):
Для расчета дисперсии применяется также следующая формула (5.6):
Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко-рень квадратный из дисперсии (5.7) или (5.8):
Среднее квадратическое отклонение также как и среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Однако величине среднеквадратическое отклонение во всех случаях превыша-ет среднее линейное, так как более чутко реагирует на вариацию. Для симметричных и умеренно асимметричных распределений имеет ме-сто следующее соотношение (5.9):
Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднееквад-ратическое отклонение выражаются в именованных числах, т. е. име-ют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени ва-риации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уров-нем средних, а также для сравнения вариации двух различных призна-ков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относи-тельные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции (5.10)
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) (5.11):
Коэффициент вариация (5.12):
Коэффициент вариации позволяет не только получить обоб-щающую характеристику вариации признака в совокупности, но и дает возможность сделать выводы об однородности совокупности.Со-вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.Средние величины, рассчитанные по однородной совокупности, являются ее достаточно надежными характеристиками.
Вариация альтернативного признака
В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюдения). Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до-ля единиц в совокупности, обладающих данным признаком, q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p + q = 1.
Среднее значение альтернативного признака определим по формуле средней арифметической (5.13):
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле (5.14):
Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия — произведению доли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис-персии альтернативного признака, означающее максимальную неод-нородность совокупности, равно 0,25 при p = q = 0,5.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме определяются следующие показатели:- средняя взвешенная, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана, размах вариации;
- квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации;
- среднее линейное отклонение, коэффициент осцилляции.
Инструкция . Чтобы рассчитать показатели вариации, выберите вид ряда, укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (). Если предварительно требуется сгруппировать ряд (т.е. построить вариационный ряд), то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Группировка .
Проверка гипотезы о виде распределения ряда осуществляется через калькулятор Изучение формы распределения ряда .
Классификация показателей вариации
- К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется, как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (медиане).
- Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
| Показатель | Формула |
| Средняя арифметическая простая | |
| Мода |  |
 |
|
| Размах вариации | R=X max -X min |
 ;  |
|
 ;  |
|
| Среднее квадратическое отклонение | |
Числовые характеристики вариационного ряда
Числовые характеристики вариационных рядов вычисляют по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным), поэтому их называют также статистическими характеристиками или оценками. На практике часто оказывается достаточным знание сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик положения (центральной тенденции); характеристик рассеяния или вариации (изменчивости); характеристик формы (асимметрии и крутости распределения).Самой известной и наиболее употребляемой характеристикой любого вариационного ряда является его средняя арифметическая, называемая также выборочным средним . Средняя арифметическая характеризует значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения, т.е. центральную тенденцию распределения. В статистическом анализе кроме средней арифметической, называемой аналитической средней, широко применяют структурные, или порядковые, средние, к которым относятся медиана и мода.
Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми. Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она также не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.
Таблица - Числовые характеристики вариационного ряда
| Характеристики положения | Среднее арифметическое (выборочное среднее) | |
| Мода | Mo = x j , если m j = m max | |
| Me = x k+1 , если n = 2k+1;
Me = (x k + x k+1)/2, еслиn = 2k |
||
| Характеристики рассеяния | Выборочная дисперсия |  |
| Выборочное среднее квадратичное отклонение | ||
| Исправленная дисперсия | ||
| Исправленное среднее квадратичное отклонение | ||
| Среднее абсолютное отклонение |  |
|
| Вариационный размах | R = x max - x min | |
| Квартильный размах | R Q = Q в – Q н | |
| Характеристики формы | Коэффициент асимметрии |  |
| Коэффициент эксцесса |  |
Для получения полного представления о вариационном ряде (определив центральную тенденцию распределения с помощью характеристик положения) далее оценивают рассеяние (вариацию, изменчивость) исследуемого признака вокруг этих величин. Простейшим и, весьма приближенным показателем вариации (изменчивости), является вариационный размах . Размах вариации наиболее полезен, если нужен быстрый и общий взгляд на изменчивость при сравнении большого количества выборок.
Но наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической. К таким оценкам относятся выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение . Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, согласно определению, дисперсия выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, если использовать в качестве меры вариации признака среднее квадратичное отклонение. При малых объемах выборки дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при объемах n ≤ 30 используют исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратичное отклонение .
Другой часто используемой характеристикой меры рассеяния признака является коэффициент вариации . Достоинством коэффициента вариации является то, что это безразмерная характеристика, позволяющая сравнивать варьирование несоизмеримых вариационных рядов. Кроме того, чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Совокупности с коэффициентом вариации V> 30-35% принято считать неоднородными.
Наряду с дисперсией используют и среднее абсолютное отклонение . Достоинством среднего линейного отклонения является его размерность, т.к. выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины. Дополнительным и простым показателем рассеяния значений признака является квартильный размах. Квартильный размах включает в себя медиану и 50% наблюдений, отражающих центральную тенденцию признака, исключая наименьшие и наибольшие значения.
К характеристикам формы относят коэффициент асимметрии и эксцесс. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то распределение имеет симметричную форму. Если распределение асимметрично, одна из ветвей полигона частот имеет более пологий спуск, чем другая. Если асимметрия правосторонняя, то справедливо неравенство:,что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. Если асимметрия левосторонняя, то выполняется неравенство: , означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения. Чем больше значение коэффициента асимметрии, тем более асимметрично распределение (до 0,25 асимметрия незначительная; от 0,25 до 0,5 умеренная; свыше 0,5 – существенная).
Эксцесс является показателем крутости (островершинности) вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Если эксцесс положителен, то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине. Если эксцесс отрицателен - то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от минимального до максимального значения. Чем больше абсолютная величина эксцесса, тем существеннее распределение отличается от нормального.
Типы вариации
Вариация – колеблемость или изменяемость величин признака у единиц совокупности.Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям.
Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные моменты времени. Так, со временем изменяются средняя продолжительность жизни, мнения людей и т.д.
Принципы определения показателей вариации
Для ранжированного ряда показатели вариации определяются по простым формулам (например, средняя величина определяется по формуле средней арифметической простой). Для вариационных рядов показатели вариации определяются по агрегатным формулам (с использованием частот). В этом случае показатели вариации являются взвешенными (например, взвешенная средняя).Тема 5
Основные вопросы: 1. Понятие вариации.
2. Показатели вариации.
3. Относительные показатели вариации.
4. Виды дисперсии.
1. Понятие вариации. При изучении совокупности явления нельзя ограничиваться только нахождением средней величины. Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, показывают типичные характеристики для изучаемой совокупности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признаков вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупности колеблемость признаков может быть большой или малой. Поэтому возникает необходимость в измерении вариации отдельных вариантов по отношению к средней величине.
Определение : Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация в переводе с латинского означает «колеблемость», «изменчивость», «непостоянство». Предполагая, что большинство социально-экономических явлений и процессов варьируют в некотором масштабе, статистика разработала методологию расчета показателей вариации, которые, в свою очередь, могут быть абсолютными, относительными и средними.
Величины признаков колеблются, варьируют под действием различных причин и условий, которые в статистике называют факторами. Нередко эти факторы действуют в противоположных направлениях и сами, в свою очередь, варьируют. Среди них есть существенные факторы, определяющие величину вариантов данного признака у всех единиц совокупности. Но есть и несущественные, которые на одни единицы совокупности могут оказывать влияние, на другие нет.
Например, вариация оценок студентов на экзамене в вузе вызывается, в частности, различными способностями студентов; временем, затраченным ими на самостоятельную работу; посещаемостью занятий; различием социально-бытовых условий и т.д. Но на оценку могут влиять и какие-либо привходящие, чисто случайные причины, например, временное недомогание.
Вариация, порождаемая существенными факторами, носит систематический характер, то есть наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация называется систематической. В систематической вариации проявляются взаимосвязи между явлениями, их признаками, в такой связи – один как причина, другой как следствие его действия.
Вариация, обусловленная случайными факторами, называется случайной вариацией. Здесь не наблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака от случайных факторов; все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивой связи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.
Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией. Следовательно, общая вариация слагается из систематической и случайной вариации.
2. Показатели вариации. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное (абсолютное) отклонение (с.л.о.), дисперсия, среднее квадратическое отклонение (с.к.о.), коэффициент вариации.
1) Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака:
Он характеризует пределы изменения признака.
Средний размах: – это есть средняя арифметическая из ряда размахов, полученных из серии равных по объему наблюдений. Используется в контроле качества.
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.
Простейший показатель такого типа СЛО.
2). Среднее линейное отклонение (СЛО) – представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (учитывает только крайние значения признака и не учитывает все промежуточные).
– СЛО для несгруппированных данных: 
,
где – число членов ряда.
Т.е. – СЛО равно средней арифметической из абсолютных отклонений (модулей) признака всех единиц совокупности от средней арифметической.
– СЛО для сгруппированных данных: 
,
где – сумма частот вариационного ряда.
В формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе в числителе всегда будет ноль – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической.
Поэтому СЛО применяют редко, только в случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. Например, анализ состава рабочих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
3) Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней арифметической (не имеет единиц измерения).
В общем виде взвешенная дисперсия исчисляется по формуле:
или простая дисперсия:
.
Дисперсия альтернативного признака:
4) Среднее квадратическое отклонение (СКО) ‑ это есть квадратный корень из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:
– для несгруппированных данных;
– для сгруппированных данных (для вариационного ряда).
3. Относительные показатели вариации (коэффициент вариации). В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией зарплаты, выраженной в рублях.
Для осуществления такого сравнения, а также сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (КВ).
КВ – представляет собой выраженное в процентах отношение СКО к средней арифметической.
,
это и есть коэффициент вариации. Это относительная мера вариации и позволяет сравнивать степень варьирования в разных вариационных рядах.
4. Виды дисперсии.
Определение : Дисперсия – это средний квадрат отклонений всех значений признака ряда распределения от средней арифметической.
Свойства дисперсии:
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю ();
2) Дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число (
);
3) Если все варианты умножить на число , дисперсия увеличится в раз 
;
4) Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонений от любого числа на – свойство минимальности дисперсии от средней (
).
Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство, переходят к дисперсии от средней.
Виды дисперсий для сгруппированных данных, условия их применения в статистических исследованиях.
Если совокупность данных сгруппирована на группы по какому-то признаку, то в этом случае выделяются 3 вида дисперсий:
Общая дисперсия
Вариация определяет различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период (момент времени). Причиной вариации бывают разные условия существования разных единиц совокупности. Например, даже близнецы в процессе жизни приобретают различия в росте, весе, а также в таких признаках, как уровень образования, доход, количество детей и т.д.
Вариация возникает в результате того, что сами значения признака складываются под суммарным влиянием разнообразных условий, которые разным образом сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина любого варианта объективна.
Вариация характерна всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков. Исследования вариации в статистике имеют огромное значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Нахождение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для внедрения научно обоснованных управленческих решений.
Средняя величина дает обобщенную характеристику признака совокупности, но она не раскрывает её строения. Среднее значение не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредненного признака, распределены ли они вблизи средней или отклоняются от нее. Средняя в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном варианте все индивидуальные значения отличаются от нее незначительно, а в другом - эти отличия велики, т.е. в первом случае вариация признака мала, а во втором - велика, это имеет очень важное значение для характеристики значимости средней величины.
Для того, чтобы руководитель организации, управляющий, научный работник могли изучать вариацию и управлять ей, статистикой разработаны специальные методы исследования вариации (система показателей). С их помощью вариация находится, характеризуются ее свойства. К показателям вариации относятся : размах вариации, среднее линейное отклонение, коэффициент вариации.
Вариационный ряд и его формы
Вариационный ряд - это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.
Существуют следующие формы вариационного ряда :
- Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.
- Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значение f - признака частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.
- Интервальный ряд .
Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:
Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида — среднее линейное отклонение.
