Анализ и вычисление чисел трёх четвергов с чётными числами в месяце

19. Возраст некоего человека в 1989 году был равен сумме цифр года его рождения. В каком году родился этот человек и сколько ему было лет в 1989 году?

Пусть его возраст в 1989 году равнялся аb=10a+b. Год его рождения будет 19(8-а)(9-b). По условию имеем 10а+b=1+9+(8-a)+(9-a), 11а+2b=27. Так как 2b чётно, а 27 - нечётное, то 11а - нечётно, т. е ему 18 лет, а родился он в 1971 году.

20. Два не високосных года идут подряд. В первом из них понедельников больше, чем сред. Какой из семи дней недели чаще всего встречается во втором году.

Первый год содержит больше понедельников, значит, он начинается и им заканчивается; второй год начинается со вторника, значит им же заканчивается. Значит, вторников будет 53.

Если 2 февраля среда, то 1 февраля будет вторник. Вторник будет и 8, 15, 22, 29 февраля (2000 год високосный).

22. Иван Царевич сказал: «Когда послезавтра станет «вчера», тогда «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как и в тот день, когда послезавтра было завтра». В какой день недели это сказано?

Ответ: воскресенье.

23. Владелец одной фирмы придумал интересную систему отпусков для сотрудников: сотрудники фирмы уходят в отпуск на целый месяц, если этот месяц начинается и кончается одним днём недели. Кому это выгодно? Сколько месяцев сотрудники будут отдыхать с 1 января 2005 года по 31 декабря 2015 года?

Для этого в месяце должно быть 29 дней. Это возможно только в феврале високосного года. В названный промежуток попадают только два года: 2008 и 2012. Так что сотрудникам придется отдыхать всего два месяца за эти годы.

24.Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было завтра. Как вы думаете, какой сегодня день недели?

Ответ: пятница.

25. Будем называть дату особенной, если она записывается цифрами без повторений. Например, такой датой будет 5.4.2013 года. А когда была предыдущая особенная дата?

Начнем с года, запись которого состоит из различных цифр. Годы 2012 - 1989 не удовлетворяют условию. 1987 год записан разными цифрами. Месяцы 12, 11, 10, 9, 8, 7 - не удовлетворяют условию, т.к. цифры, в записи которых они присутствуют, уже есть. Можно брать месяцы 6. 5, 4, 3, 2, но ближе к 1987 году будет 6 месяц. Число, очевидно 30. Дата 30.6.1987 «особенная» в записи ее цифры без повторений и она предыдущая дате 5.4.2013.

26.В феврале 2012 года в зоопарке родился маленький кенгуру. Сегодня, 15 марта, ему исполняется 20 дней. В какой день он родился?

27.Дата 1 марта 2005 года может быть записана тремя последовательными числами, расположенными в порядке возрастания: 01.03.05. Сколько всего дат с таким свойством (включая названную) будет в нынешнем веке?

Ответ: 5.

28. В некотором месяце было 5 суббот и 5 воскресений, но только 4 пятницы и 4 понедельника. Тогда в следующем месяце будет 5 каких дней недели?

Ответ: 5 сред.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над проектом были выделены интересные особенности и закономерности календаря. Наиболее значимые из них были выделены в отдельные главы проекта. В ходе проектной работы было проведено несколько занимательных исследований, которые позволили разгадать некоторые математические фокусы, в которых можно использовать календарь.

Поэтому на основании проделанной работы и полученных результатов проекта, можно утверждать, что календарь можно использовать не только по прямому назначению, но и на уроках математики и во внеклассной работе.

Так, материалы исследований и закономерностей в календаре можно применять как нестандартные задачи на уроках геометрии при изучении темы «Прямоугольные треугольники», на уроках математики в теме «Сложение натуральных чисел», на уроках алгебры при изучении темы «Арифметическая прогрессия». Многие сведения можно использовать во внеклассной работе, например, проведя «Вечер математических фокусов, связанных с календарем». Знания, приобретенные в ходе работы над проектом, пригодятся для успешного решения олимпиадных задач по математике.

ИСТОЧНИКИ

1. Гаврилова Т.Д. Занимательная математика в 5 - 11 классах. Волгоград: Учитель, 2008.

2. Задачи международного математического конкурса «Кенгуру.

3. Интересные факты о календаре. Сайт: http://muzey-factov.ru/tag/calendar.

4. История календаря. Сайт: http://www.vizitkaservice.ru/calenh/_calenh.php.

5. Иченская М.А. Отдыхаем с математикой. Волгоград: Учитель, 2008.

6. Полный энциклопедический справочник школьника. - М., 2008.

7. Календарь (печатное издание). Сайт: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%E0%EB%E5%ED%E4%E0%F0%FC_(%EF%E5%F7%E0%F2%ED%EE%E5_%E8%E7%E4%E0%ED%E8%E5).

8. Календарь онлайн. Сайт: http://calendar-online.ru/index.php.

9. Кордина Н.Е. Виват, математика! Занимательные задания и упражнения. Волгоград: Учитель, 2010.

10. Лепёхин Ю.В. Олимпиадные задания по математике 5 - 6 классы. Волгоград: Учитель, 2010.

11. Нетрусова Н. «Про календарь и треугольники». Математика: приложение к газете «1 сентября» - 2000 - № - 14.

12. Трошин В.В. Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике. М: «Глобус» 2007.

13. Трошин В.В. «Занимательные дидактические материалы по математике». М: «Глобус» 2008.

1. Врач Кате прописал 3 таблетки, указав, что каждую таблетку надо пить через 10 минут. На какое время хватит этих таблеток?

2. На каждой стороне прямоугольного торта поставлено по одной розочке из крема, через все пары розочек сделали разрезы ножом. Сколько кусочков получилось? Нарисуй.

3. Умножьте свой размер обуви на 2, прибавьте к произведению 39, умножьте полученную сумму на 50, прибавьте к произведению 38, вычтите из суммы год своего рождения. Вы получите четырехзначное число, первые 2 цифры которого обозначают номер обуви, а 2 последующие (крайние правые) – возраст в конце календарного года (1988).

Пусть, например, - номер обуви число “а”, тогда:

1. 2 х а = 2а
2. 2а + 39 =
3. (2 а + 39) х 50 =
4. (2 а + 39) х 50 + 38 = 100 а + 1988

а = 35 (35 х 2 + 39) х 50 + 38 – 1962 = 5488 – 1962 = 3526

(35 – размер обуви, 26 – лет на 1988 (конец года))

4. Запишите номер своего дома или квартиры и выполните следующие действия:

а) умножьте это число на 2, затем прибавьте 3, полученное число умножить на 50, к произведению прибавьте свой возраст и число 65. Если из полученного числа вычесть 215, то получится число, две последние цифры которого обозначают возраст, а оставшиеся номер дома.

Пример: Пусть ученику 9 лет, а номер его дома 32

5. Чтобы подняться на 3 этаж дома надо пройти 48 ступенек. Сколько ступенек надо пройти, чтобы подняться на шестой этаж этого дома? (Число ступенек между этажами одинаковое).

6. К числу 319572 приписать справа три различных цифры, которые входят в данное число и зачеркнуть две цифры так, чтобы получилось наибольшее число.

7. Сумма четырех последовательных чисел равна 196. Найти эти числа.

8. При делении числа на 2 получаем остаток 1, при делении на 3, остаток 2. Какой остаток будет получен при делении этого числа на 6?

9. Циферблат надо разделить на 6 частей любой формы, - так чтобы сумма чисел на каждом участке была одна и та же.

10. Перед вами восемь цифр 10777771. Образуйте из них две даты рождения великих математиков Эйлера и Гаусса. Известно, что Эйлер родился раньше Гаусса на 70 лет.

10. Сумма двух чисел равна 462. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

12.На какое однозначное число надо умножить 12345679, чтобы в результате получилось новое число, записанное одними единицами.

13. В автобусе попался билет № 524127. Попробуйте, не меняя цифр, расставить между ними знаки математических действий, чтобы в итоге получилось 100.

14. На складе имеются гвозди в ящиках по 24 кг, 23 кг, 17 кг и 16 кг. Можно ли со склада отправить 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

15. Марина потратила половину имеющихся в нее денег, после чего у нее осталось 50 рублей. Сколько денег было у Марины?

16. В пакете содержится 3 кг 600 гр крупы. Имеются двухчашечные весы и гиря 200 гр. Как разделить крупу, сделав лишь три взвешивания, на три пакета: 2 пакета по 800 гр, и один пакет 2 кг?

17. Могут ли три человека, имея двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за 3 часа, если скорость мотоцикла 50 км/час, а пешехода - 5 км/час.

18. Жил-был царь. И было у него 3 волшебных сундука, где он хранил золотые монеты для своих детей. Выросли дети и решил он подарить своим детям эти монеты. Старшему сыну он дал из 1 сундука 1/2 всех монет, среднему – 2/4 всех монет, а младшему – 2/3 всех монет. Затем подарил старшей дочери из 1 сундука 4 монеты, средней дочери из 2 сундука 10 монет, младшей дочери дал всего 2 монеты из 3 сундука. И осталось у царя в 1 сундуке 26 монет, во 2-м сундуке 14 монет, а в 3-м сундуке – 16 монет. Сколько монет было в каждом сундуке первоначально?

19. Некто продает свою лошадь по числу гвоздей в подкове, которых у нее 16. За 1 гвоздь он просит 1 коп., за 2-ой – 2 коп., за 3-й – 4 коп., за 4-й – 8 коп. И всего за каждый следующий гвоздь вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается: во сколько он оценил свою лошадь?

15. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина несет по половине, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин, хлеба?

20. Фермеры купили в магазине телевизор, швейную машинку, фотоаппарат и электробритву, за все уплачено 480 рублей. Швейная машинка + фотоаппарат + электробритва стоят вместе 125 руб., телевизор + фотоаппарат + электробритва стоят 420 руб., швейная машинка + фотоаппарат стоят 100 руб. Сколько стоит каждая покупка в отдельности?

21. На какое число надо разделить 87912, чтобы получить тоже пятизначное число записанное теми же цифрами, но в обратном порядке?

22. Когда велосипедист проехал 6/10 всего пути, то оказалось, что он проехал на 5 км больше половины пути. Сколько километров осталось проехать велосипедисту?

23. 1 резинка, 2 карандаша и 3 блокнота стоят 38 копеек. 3 резинки, 2 карандаша и 1 блокнот стоят 22 копейки. Сколько стоит комплект из резинки, карандаша и блокнота?

24. Туристы прошли 1/10 намеченного пути. Если бы они прошли еще 8 км, то прошли бы половину пути. Определите всю длину пути.

25. “Который теперь час?” - спросил Андрей у отца. “А вот сосчитай: до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошли от их начала”. Который был тогда час?

26. Брат и сестра получили в наследство 90000 руб. Если сестра отдаст брату из своей доли 10000 руб., то брат окажется вдвое богаче сестры. Сколько денег в наследство досталось брату и сколько сестре?

27. В ящике 64 кубика. 5 мальчиков договорились брать по половине от имеющихся: 1 взял половину от 64, второй – половину от оставшихся и т.д. Сколько кубиков взял пятый мальчик?

28. В корзине лежат яблоки. Утром мама взяла половину всех яблок, а я взял 2 яблока. В обед мама взяла половину остатка, а сестра взяла одно яблоко. На ужин в корзине осталось 3 яблока. Сколько яблок было в корзине?

29. Во время экскурсии группе учеников нужно было переплыть через бухту. На берегу стояло несколько лодок. Когда ученики стали усаживаться, то заметили, что если в каждую лодку сядет по 6 человек, то для четырех учеников не хватит места, а если по 8, то одна лодка останется лишней. Сколько было учеников и сколько лодок?

30. В некотором месяце три четверга пришлись на четные числа. Какой день недели был 26 числа этого месяца?

31. Сторож работает 4 дня, а на пятый день отдыхает. Он начинает работать в понедельник. После отдыха в воскресенье. Через сколько дней он будет отдыхать в воскресенье?

32. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

33. Из корзины взяли 6 яблок. После этого в корзине осталось половина первоначального числа яблок. Сколько яблок в корзине?

34. Банка вмещает 1/2 кг меда. Сколько надо взять таких банок, чтобы разлить 6 ? кг меда?

35. У мальчика спросили: сколько лет отцу? Он ответил так: “Я втрое моложе папы, но зато втрое старше своей сестры, а папе и сестре 50 лет”. Сколько лет отцу?

36. Известно, что 4 персика, 2 груши и 1 яблоко вместе весят 550 гр., а персик, 3 груши и 4 яблока вместе весят 450 гр. Сколько весят персик, груша и яблоко?

37. Маша и Катя весят 40 кг, Катя и Света весят 50 кг, Света и Даша весят 60 кг, Даша и Галя весят 70 кг, Галя и Маша – 80 кг. Сколько весит каждая из девочек?

38. С огорода принесли репу, брюкву и редьку, всего 18 кг. Сколько овощей каждого вида принесли, если известно, что брюквы принесли в 2 раза, а репы в 3 раза больше, чем редьки?

39. Две куклы и три машины вместе стоят 286 рублей. Машина и кукла вместе стоят 120 рублей. Сколько стоит кукла и машина в отдельности?

40. Велосипедист ехал 6 часов с одинаковой скоростью. Когда он еще проехал 11 км с той же скоростью, его путь стал равен 83 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

41. В стакан входит 320 гр меда. Какова масса двух стаканов меда, если известно, что масса пустого стакана 110 гр?

42. При составлении расписания уроков на среду трое учителей высказали пожелание, чтобы их уроки были по математике 1 или 2, по естествознанию 1 или 3, по русскому языку 2 или 3. Сколькими способами можно составить расписание так, чтобы учесть пожелания всех учителей?

43. Мышке до норки по дорожке 20 шагов. Кошке до мышки по той же дорожке 5 прыжков. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шага, а кошачий прыжок по длине равен 10 мышиным шагам. Мышка находится по дорожке между кошкой и норкой Догонит ли кошка мышку?

44. Летела стая гусей, а навстречу им еще гуси. Гусь говорит: “Здравствуйте, сто гусей”. А ему отвечают: “Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да еще сколько, да еще полстолька, да еще четверть столько, да ты, гусь, вот тогда нас было бы сто гусей”. Сколько гусей было в стае?

45. Машинка и кукла стоят 1000 руб. 3 машинки и 2 куклы стоят 2700 рублей. Найди цену машинки и цену куклы.

46. Из двух одинаковых квадратов сложили прямоугольник. Найди сумму длин его сторон, если сумма длин сторон квадрата равна 16 см.

47. Из четырех одинаковых квадратов сложили один большой квадрат. Найти сумму длин сторон большого квадрата, если сумма длин сторон маленького квадрата равна 20 см.

48. Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найти эти числа.

49. Для покупки 8 воздушных шариков у Тани не хватает 200 руб. Если она купит 5 шариков, то у нее останется 1000 рублей. Сколько денег было у Тани? Сколько стоит один шарик?

50. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

51. Чашка и блюдце вместе стоят 2500 руб., а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 руб. Найдите цену чашки и цену блюдца.

52. Фермер купил корову, козу, овцу и свинью, заплатив 1325 руб. Коза, свинья и овца вместе стоят 1225 руб., а коза и свинья стоят вместе 275 руб. Найди цену каждого животного.

53. Коля сказал: “У меня 10 марок, а у тебя сколько, Саша?” Саша ответил: “У меня столько же марок, сколько у тебя, и еще половина всех моих марок”. Сколько марок у Саши?

54. Бабушке нужно зажарить 6 котлет, а на сковороду помещается только 4 котлеты. Каждую котлету нужно жарить 5 мин. на одной стороне и 5 мин. на другой стороне. Сколько времени потребуется для того, чтобы зажарить 6 котлет на этой сковороде? Как можно это сделать за 15 мин.?

55. Внук спросил дедушку: “Сколько тебе лет?” Дедушка ответил: “Если проживу еще половину того, что я прожил, да еще 1 год, то мне будет 100 лет”. Сколько лет дедушке?

56. У Миши были кубики. Он решил разложить их в одинаковые ряды по 4 кубика в каждом, но при этом 1 кубик остался лишним. Тогда Миша решил разложить кубики в одинаковые ряды по 3 кубика в каждом. Опять один кубик остался лишним. Удалось Мише разложить свои кубики в одинаковые ряды, только положив в каждом ряду по 5 кубиков. Сколько кубиков было у Миши, если известно, что их было меньше, чем 30?

57. Олимпийский факел доставляют на место игр тысячи бегунов, передавая его из рук в руки. На сколько километров в среднем переносили факел в сутки, если расстояние в 5 568 км было преодолено за 29 дней?

58. Теплоход отошел от пристани в 8 час и дошел до места в 15 час. На пути у него было две остановки по 35 мин каждая. Сколько времени теплоход находился в движении?

59. Автомашина прошла сначала 160 км, потом половину этого расстояния. После этого оставалось пройти в 2 раза меньше того, что пройдено. За сколько часов машина прошла весь путь, если средняя скорость ее была 60 км/ч?

60. В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В той школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном классе.

61. Найти число, которое будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4, дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.

62. 3 яйца африканского страуса и 60 куриных яиц составляют массу 9 кг. Какова масса яйца страуса, если известно, что оно в 20 раз превосходит массу куриного яйца?

63. В одном ящике лежит 10 пар коричневых и 10 пар черных носков, в другом 10 пар черных и 10 пар коричневых перчаток. По сколько носков и перчаток достаточно извлечь из каждого ящика, чтобы из них можно было выбрать одну (какую – либо) пару носков и одну пару перчаток.

64. Разместить 16 офицеров. В каждом из 4 полков выбрано по 4 офицера разных званий (полковник, майор, капитан, лейтенант). Требуется разместить этих 16 офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду был офицер каждого звания и представитель каждого полка.

65. Раздели круглый сыр тремя разрезами на 8 одинаковых частей.

66. Раздели линией циферблат на две части так, чтобы сумма этих чисел во всех частях были равными?

67. У Тани было несколько 5-копеечных монет. Оля решила купить мороженое за 13 коп., а продавец мог дать сдачу лишь 3-копеечными монетами. Сколько пятикопеечных монет дала Таня продавцу и сколько 3-х копеечных монет она получила от него?

68. Пошел дождь. Под водосточную труду поставили пустую бочку. В нее вливалось каждую минуту 8 л воды, а через щель в бочке выливалось 3 л воды в минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин, 2 мин, 3 мин. Успеет ли бочка наполниться, если ее объем 400 л, а дождь шел 1 ч 10 мин?

69. Автомашина за 3 дня прошла 980 км. За первые 2 дня она прошла 725 км. Сколько прошла автомашина в каждый из этих дней, если во 2 день она прошла больше, чем в 3 на 123 км.

70. В первой канистре был в 5 раз больше бензина, чем во второй. Весь бензин из этих канистр вылили в пустой бензобак автомашины. Если в этот бак долить еще 7 л бензина, то он станет полным. Сколько литров бензина было в каждой канистре, если емкость бензобака 55 л?

71. На одной чаше весов стоит банка с вареньем, а на другой гиря в 1 кг. Весы находятся в равновесии. Сколько граммов варенья находится в банке, если пустая банка легче варенья в 4 раза?

Литература.

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов.- М.: Просвещение, 1989.
2. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5-6 классах: Книга для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1991.
3. Ушакова Т.В. Решаем примеры по математике. – СПб.: Издательский Дом “Литера”, 2007.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задания районного брейн-ринга по математике

Первый тур Каждое задание первого тура оценивается в один балл

1. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения. Ответ: Парусник вернется в пятницу в 16 часов.

2. Разбейте циферблат часов с помощью отрезков на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была одной и той же.

Сумма чисел в каждой части 26

3. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

Ответ: 2 минуты. Карлсон съест варенье за 3 минуты. За 1 минуту он съест 600:3=200 г варенья. Малыш за 1 минуту съест 600:6=100 г варенья. Вместе за 1 минуту они съедят 200+100=300 г варенья. Все варенье они съедят 600:300=2 минуты.

4. Какая получится собака из 16,38 кг и хвойного дерева? Ответ: Пудель

Второй тур Каждое задание второго тура оценивается в два балла

1. Какой получится струнный инструмент, если на участке в 10 кв.м. звучит одна и та же нота? Ответ: Арфа

2. Как из двух равных трапеций сложить параллелограмм?

3. Старший брат идёт от школы до дома 30 минут, а младший брат за 40 минут. Через сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вышел из школы на 5 минут раньше?

Ответ: 15 минут Старший брат половину дороги проходит за 30:2=15 минут, а младший это же расстояние проходит за 40:2=20 минут Разница в 5 минут, значит старший брат догонит младшего через 15 минут.

4. Можно ли купюру в 50 рублей разменять 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей?

Ответ:нет Система уравнений: 5 х + у = 50 х + у = 15 где х - количество 5-рублёвых монет, у - рублёвых. Решаем, получаем 4 х = 35, но т.к. количество монет не может быть дробным, данная система уравнений решения не имеет.

5. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Ответ:0 часов В сутках 24 часа, из них Стрекоза: 24:2=12ч-спала 24:3=8ч-танцевала 24:6=4ч-пела 24-12-8-4=0ч-готовилась к зиме

Третий тур Каждое задание этого тура оценивается в три балла

Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела их перебрать. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем – ещё не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла таблички местами так, чтобы на каждом мешке оказалась неверная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку об этом и она, достав только единственное зерно из одного мешка, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?

Золушке нужно вынуть зернышко из мешка с надписью "смесь« и определить, что находится в этом мешке. Если из мешка с надписью «смесь» она достанет зерно проса, то значит в мешке с надписью "просо" лежит уже не просо, а мак, и тогда в мешке с надписью "мак"лежит смесь.

2. В некотором месяце три четверга пришлись на чётные числа. Какой день недели был 26 числа этого месяца?

Ответ: воскресенье Если первый четный четверг приходится на 2 число месяца, то остальные четверги будут 9,16,23,30.Всего 5 четвергов, 3 из которых приходятся на четные числа. В этом случае 26 число месяца приходится на воскресенье. Если первый четный четверг приходится на 4 число месяца, то остальные четверги будут 11,18,25.Всего 4 четверга, из которых только два приходятся на четные числа, то есть условие задачи не выполняется.

1. Две космических ракеты вылетают одновременно навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 20152016 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая - со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи?

Ответ: 500 км. Ракеты сближаются со скоростью равной сумме их скоростей, то есть со скоростью 30000 км/ч. За 1/60 часа с этой скоростью будет пройдено Верно ли, что рыцарей на острове больше половины?" В результате ровно половина жителей ответила на этот вопрос утвердительно. Кого на острове больше – рыцарей, или лжецов?

Ответ: Поровну.

Если бы рыцарей на острове в самом деле было больше половины, то все они ответили бы на вопрос утвердительно, что противоречит условию задачи. Значит, утвердительно на вопрос отвечали лжецы, и их на острове ровно половина.

5. Дан равносторонний треугольник ABC точка M внутри него. Всегда ли можно составить треугольник из отрезков MA , MB и MC .

Ответ: да, всегда. Для отрезков MA , MB и MC требуется заметить неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других). Продолжим отрезок AM до пересечения со стороной BC в точке N . Сумма углов ANB и ANC равна 180 градусов, значит один из этих углов тупой или прямой. Пусть это угол ANB . В треугольнике ABN угол N больше угла B , значит, AN < AB . Кроме того, по неравенству треугольника BC < BM + MC . Итак, AM < AN < AB = BC < BM + MC .

6. Высота АН и биссектриса B L треугольника АВС пересекаются в точке М . Известно, что угол ВАН равен 18 градусов, а угол ВСА – 54 градуса. Найдите угол АСМ .

Ответ: 360. Считаем углы в прямоугольном треугольнике AHB : , отсюда . Значит, в треугольнике ABC углы A и C равны. Биссектриса BL является высотой и медианой. В свою очередь ML высота и медиана в треугольнике AMC , значит, треугольник равнобедренный и остается вычислитьhttps://pandia.ru/text/80/088/images/image007_91.gif" align="right" width="390 height=122" height="122">Ответ: да, можно. Будем формировать стопки с карточками в вершинах правильного семиугольника. Первый рисунок показывает, что в любой паре соседних стопок есть две карточки, отличающиеся на 1 (для числа 7 число 8 в соседней вершине на втором рисунке). Второй – в любой паре стопок, расположенных через одну. Третий – через две. Числа 23, 24 и 25 можно поместить в любую стопку. Итак, распределение по стопкам: {1, 8, 15, 22}, {2, 12, 20}, {3, 9, 18}, {4, 13, 16}, {5, 10, 21}, {6, 14, 19}, {7, 11, 17, 23, 24, 25}.

8. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться произведение трех трехзначных чисел, для записи которых использовалось девять различных цифр?

Ответ: пять нулей. Пример: https://pandia.ru/text/80/088/images/image009_81.gif" width="253" height="36 src=">. Оценка. Пусть A , B , C трехзначные числа, для записи которых использовались различные цифры. Для делимости на 5 необходимо, чтобы число оканчивалось на цифру 5 или на 0. Значит, не более двух из них делятся на 5. При этом если такое число одно, то оно делится не более чем на 54 (натуральное число, делящееся на 55 не менее чем четырёхзначное) и всё произведение оканчивается не более чем на четыре нуля. Допустим, что число A оканчивается на 5, а число B на 0. Заметим, что B не может делиться на 25. Действительно, если число B делится на 25 и оканчивается на 0, то https://pandia.ru/text/80/088/images/image011_77.gif" align="right" width="251 height=127" height="127">Точка E AC тогда и только тогда, когда AE = EC . Треугольники BAE и DCE равны по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что равны их третьи стороны BE = ED и точка E лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD .