Бесконечное пространство или бесконечное время? Описание в явно координатной форме

Итак, принимая реальность времени, можно объяснить нетривиальность устройства Вселенной. Но как долго она сможет оставаться сложной и структурированной? Может ли неравновесное состояние сохраняться бесконечно? Может быть, мы живем в “пузыре сложности” в равновесной Вселенной?

Это подводит нас к самым скользким темам в современной космологии: бесконечности пространства и времени. Нет понятия романтичнее бесконечности, но в науке эта концепция приводит к путанице. Представьте, что Вселенная бесконечна в пространстве, а одни и те же законы действуют повсеместно, но начальные условия выбраны случайно. Такова Вселенная Больцмана. Почти все в бесконечной Вселенной находится в термодинамическом равновесии. Если что-то интересное и случается, то лишь вследствие флуктуаций. Эти флуктуации возникают где-то во Вселенной, и если существует бесконечно много “где-то”, то каждая флуктуация, какой бы маловероятной она ни была, происходит бесконечное число раз.

Поэтому наша часть наблюдаемой Вселенной может быть просто статистической флуктуацией. Если Вселенная бесконечна, а протяженность нашей наблюдаемой Вселенной составляет около 93 миллиардов световых лет, то такая часть будет бесконечно повторяться в бесконечном пространстве. Так что если Вселенная представляет собой модель Больцмана, мы существуем бесконечное число раз.

Это нарушает принцип Лейбница: нет и не может быть двух идентичных мест во Вселенной. Но не только его. Представьте, что сегодняшний день мог оказаться совершенно иным. Я мог бы не родиться. Вы женились бы на своей первой подружке. Некто, не вняв совету друзей, сел нетрезвым за руль и сбил насмерть ребенка. Ваш кузен родился в другой, неблагополучной, семье и совершил в итоге массовое убийство. Разумные динозавры эволюционировали, решили проблему климатических изменений, и млекопитающие не взяли верх над пресмыкающимися. Все это могло случиться и изменить нынешнюю конфигурацию Вселенной. Каждая такая конфигурация – возможная конфигурация атомов. Поэтому в бесконечном пространстве каждая из них возникает бесконечное число раз.

Ужасающая перспектива! Встает, например, вопрос: почему я должен заботиться о последствиях своих решений, если все другие решения уже приняты другими экземплярами меня в других областях бесконечной Вселенной? Я могу воспитать своего ребенка в этом мире, но должен ли я заботиться о других детях, страдающих из-за других меня?

Кроме этих этических вопросов есть и касающиеся полезности науки. Если случается все, что может случиться, то области, требующие объяснений, значительно сокращаются. Принцип достаточного основания требует наличия рациональной причины в каждом случае, когда во Вселенной реализуется один сценарий, а не другой. Но если во Вселенной уже все сценарии реализованы, объяснять ничего не надо. Конечно, наука сможет дать нам понимание локальных условий, но и это бесперспективно, потому что истинный закон будет гласить: все, что может произойти, происходит бесконечное число раз, прямо сейчас. Это своего рода reductio ad absurdum ньютоновой парадигмы, примененной к космологии, – еще один пример космологической ошибки. Я называю это бесконечной трагедией Больцмана.

Одна из ее причин в том, что предсказательная сила физики значительно снижается: значение понятия вероятности уже не то, что вы думаете. Предположим, вы проводите эксперимент, для которого квантовая механика предсказывает исход А в 99 % случаев, Б – в 1 % случаев. Эксперимент поставлен тысячу раз. Примерно в 990 случаев можно ожидать результата А. Поставив на А, вы чувствовали бы себя уверенно, потому что А выпадет примерно в 99 из 100 случаев, а Б – в 1 из 100 случаев. Хороший шанс подтвердить предсказания квантовой механики! Но в бесконечной Вселенной бесконечное число копий эксперимента. Бесконечное число раз вы наблюдаете результат А, бесконечное число – Б. Так что предсказание квантовой механики о том, что один из исходов эксперимента наблюдается в 99 раз чаще другого, в бесконечной Вселенной не поддается проверке.

В квантовой космологии это называется проблемой измерения . Почитав и расспросив знатоков, я пришел к выводу, что проблема нерешаема. Я предпочитаю принять как факт: квантовая механика доказывает, что мы живем в конечной Вселенной, содержащей лишь один экземпляр меня.

Мы можем избежать трагедии бесконечной Вселенной, отрицая, что Вселенная бесконечна в пространстве. Принимая во внимание, конечно, что мы можем наблюдать ее до определенного расстояния, можно смело высказать гипотезу, что Вселенная конечна, но неограниченна, как полагал Эйнштейн. Следовательно, Вселенная имеет топологически замкнутую поверхность в виде сферы или тора.

Это не противоречит наблюдениям. Какая топология истинна, зависит от средней кривизны пространства. Если кривизна положительна (случай сферы), существует лишь одна возможность – трехмерный аналог поверхности сферы в двумерной топологии. Если средняя кривизна пространства нулевая (случай плоскости), то для конечной Вселенной есть лишь одна возможность: трехмерный аналог поверхности тора (пончика) в двумерной топологии. Если кривизна отрицательна (случай седла), для ее топологии существует бесконечный ряд возможностей. (Они слишком сложны, чтобы их описывать здесь.) Их каталогизация – триумф математики конца XX века.

Предложение Эйнштейна – это гипотеза, которая должна быть подтверждена. Если Вселенная замкнута и достаточно мала, свет должен обогнуть ее несколько раз, и мы должны увидеть несколько изображений одних и тех же далеких галактик. Это до сих пор не обнаружено. Есть, однако, веские причины считать, что космологическая теория моделируется в пространстве-времени, пространство которого замкнуто. Если Вселенная не замкнута, она бесконечна. Это противоречит интуиции и означает, что в космосе есть граница. Она бесконечно далеко, но, тем не менее, информация не может ее преодолеть. Следовательно, пространственно бесконечная Вселенная не может считаться самодостаточной системой и должна считаться частью большей системы, которая включает любую информацию, приходящую от границы.

Если бы границы находились на конечном расстоянии от нас, вы могли бы представить, что вне видимой Вселенной есть еще пространство. Информация о границе может быть передана через то, что поступает из мира за пределами этой границы.

Бесконечно удаленная граница не позволяет представить мир за ней. Мы просто должны указать, какая информация приходит, а какая исходит от нас, но выбор произволен. Не может быть дальнейших объяснений. Следовательно, ничто не может быть объяснено в рамках любой модели Вселенной с бесконечно удаленными границами. Принцип замкнутости объяснений нарушается, и с ним нарушается принцип достаточного основания.

Здесь есть технические тонкости. Но этот аргумент решающий, хотя его, насколько я могу судить, и игнорируют космологи, считающие, что Вселенная пространственно бесконечна. Я не вижу иного выхода кроме этого: любая модель Вселенной должна быть пространственно замкнутой и без границ. Нет ничего бесконечно далекого, как нет и бесконечного пространства.

Теперь поговорим о бесконечности времени.

Литература по космологии полна дум о будущем. Если Вселенная похожа скорее на модель Лейбница, чем Больцмана, то, может быть, время ее существования конечно? Возможно, в долгосрочной перспективе умрем не только мы, но и Вселенная? Предположение о том, что она конечна в пространстве, избавляет нас от парадоксов, присущих Вселенной Больцмана. Однако не от всех. Пространственно конечная и закрытая Вселенная может жить бесконечно долго, и если она не сожмется, то будет расширяться вечно. Есть бесконечно много времени для достижения теплового равновесия. Если так, не важно, сколько времени это займет. Все равно останется время для появления флуктуаций и создания невероятных структур. Таким образом, мы можем утверждать, что все, что может произойти, произойдет бесконечное число раз. Это снова приводит к парадоксу больцмановского мозга. Если должны выполняться принципы достаточного основания и тождества неразличимых, Вселенная должна избежать такого парадоксального конца.

В научной литературе предпринимались попытки рассуждений о далеком будущем Вселенной. Но чтобы рассуждать о далеком будущем, вы должны сделать некоторые существенные предположения. Одно из них – что законы природы не должны изменяться, поскольку если бы они менялись, мы оказались бы неспособны предсказать что-либо. И неоткрытых явлений, которые могут изменить ход истории Вселенной, не должно быть. Например, могут существовать силы настолько слабые, что мы до сих пор их не обнаружили, но, тем не менее, они вступают в игру на больших расстояниях и больших временных интервалах, превышающих нынешний возраст Вселенной. Это возможно. Но такой сценарий сводит на нет любое предсказание, сделанное исходя из имеющихся знаний. Не должно быть сюрпризов вроде космических “пузырей”, идущих на нас со скоростью света из-за горизонта.

Итак, мы можем надежно вывести следующее.

Галактики перестанут порождать звезды . Галактики – гигантские машины для превращения водорода в звезды. И не очень эффективные: типичная спиральная галактика ежегодно производит лишь около одной звезды. Сейчас Вселенная (возраст – почти 14 миллиардов лет) в основном состоит из изначального водорода и гелия. Несмотря на то, что водорода много, из него выйдет конечное число звезд. Даже если весь водород превратится в звезды, всегда будет последняя звезда. И это верхний предел. Скорее всего, неравновесные процессы, участвующие в звездообразовании, прекратятся задолго до того, как закончится водород.

Последние звезды выгорят . У звезд ограниченный срок жизни. Массивные звезды живут несколько миллионов лет и умирают, превращаясь в сверхновые. Большинство звезд живут миллиарды лет и заканчивают как белые карлики. Наступит время, когда погаснет последняя звезда. И что тогда?

Вселенная будет заполнена материей и темной материей, излучением и темной энергией. Что произойдет во Вселенной в долгосрочной перспективе, во многом зависит от темной энергии, о котором мы знаем меньше всего. Она ассоциируется с пустым пространством. По последним данным, она составляет около 73 % всей массы-энергии Вселенной. Ее природа пока не известна, однако мы наблюдаем ее влияние на движение далеких галактик. В частности, темная энергия нужна для объяснения недавно обнаруженного ускорения всеобщего расширения. Кроме этого, мы ничего не знаем о темной энергии. Она может быть просто космологической постоянной или экзотической формой энергии с постоянной плотностью. Хотя плотность темной энергии находится примерно на одном уровне, мы не знаем, действительно ли это так – или же она меняется медленнее, чем мы регистрируем.

Варианты будущего Вселенной сильно различаются в зависимости от плотности темной энергии. Рассмотрим сначала сценарий, в котором плотность темной энергии сохраняется по мере расширения Вселенной. Если плотность постоянна, то она ведет себя как космологическая постоянная Эйнштейна. Она не уменьшается, несмотря на то, что Вселенная продолжает расширяться. Плотность остального – вся материя и все излучение – уменьшается, поскольку Вселенная расширяется и плотность энергии этих источников неуклонно снижается. Спустя несколько десятков миллиардов лет все станет незначительным, кроме плотности энергии, связанной с космологической постоянной.

Скопления галактик вследствие экспоненциального расширения расформируются настолько быстро, что вскоре они смогут видеть друг друга. Фотоны, оставив одно скопление и распространяясь со скоростью света, движутся недостаточно быстро для того, чтобы догнать другие скопления. Наблюдатели в каждом скоплении окружены горизонтом, скрывающем соседей. Каждое скопление превратится в замкнутую систему. Каждый горизонт как ящик, стенки которого отделяют подсистему от Вселенной. Поэтому методы физики “в ящике” применимы к такой подсистеме, и мы можем применять к ним методы термодинамики.

В этом месте проявляется новый эффект квантовой механики, за счет которого внутри каждого горизонта пространство заполнено газом фотонов в тепловом равновесии: своеобразный туман, образованный аналогично тому, как образуется излучение черной дыры Хокинга. Температура и плотность горизонта излучения экстремально низки, но остаются неизменными по мере расширения Вселенной. Между тем, все остальное, включая материю и реликтовое излучение, становится все менее плотным, и спустя достаточно большое время единственное, что будет наполнять Вселенную – это излучение горизонта. Вселенная должна навсегда прийти в равновесие. Будут, конечно, возникать флуктуации и их рецидивы, и время от времени то одна, то другая конфигурация Вселенной будет в точности повторяться (в том числе парадокс больцмановского мозга, который я описал в главе 16 как reductio ad absurdum ньютоновой парадигмы). Согласно этому сценарию, кажущаяся сложность нашей Вселенной – лишь короткая вспышка перед переходом к вечному равновесию.

Мы почти с уверенностью можем сказать, что мы не больцмановские мозги, поскольку тогда, наверное, мы не видели бы большую упорядоченную Вселенную. Это означает, что сценарий будущего Вселенной не соответствует действительности. Принцип достаточного основания, действуя через принцип тождества неразличимых, также его отвергает.

Самый простой способ избежать смерти Вселенной – остановить ее расширение. Это возможно, если плотность материи достаточна, чтобы вызвать сжатие. Материя гравитационно притягивает материю, и это замедляет расширение, так что если есть достаточно много материи, Вселенная сожмется до сингулярности. Или, возможно, квантовые эффекты остановят коллапс, превратив сжатие в расширение, и приведут к возникновению новой Вселенной. Но, вероятно, материи для замедления расширения окажется мало.

Следующий простейший способ избежать “тепловой смерти” реализуется в сценарии, в котором космологическая константа не является постоянной. В то время как имеются доказательства того, что темная энергия (которая для наших целей отождествляется с космологической постоянной) не менялась за время жизни нашей Вселенной, нет доказательств того, что она не будет меняться в долгосрочной перспективе. Это изменение может быть следствием более глубоких законов, которые действуют настолько медленно, что их следствия видны лишь на длительных временных масштабах, или изменение может быть просто следствием общей тенденции изменения самих законов. Действительно, принцип взаимного воздействия гласит, что космологическая константа должна находиться под влиянием Вселенной, на которую она сама решительно влияет.

Космологическая постоянная может уменьшиться до нулевого значения. Если так, то расширение Вселенной замедлится, но, скорее всего, не обратит его в сжатие. Вселенная может существовать вечно, однако быть статичной. По крайней мере, это поможет избежать парадокса больцмановского мозга.

Будет ли Вселенная без космологической постоянной вечно расширяться или коллапсирует, зависит от начальных условий. Если энергии расширения окажется достаточно для преодоления взаимного гравитационного притяжения всей материи во Вселенной, последняя не будет сжиматься. Но даже если Вселенная вечна, есть широкие возможности для перерождения, поскольку каждая черная дыра может привести к появлению зародыша Вселенной. Как отмечалось в главе 11, имеются надежные теоретические указания на то, что это должно произойти. Если так, наша Вселенная, которая еще далеко не при смерти, уже произвела миллиард миллиардов потомков. Каждая из новых Вселенных произведет потомство, и то обстоятельство, что она после этого может погибнуть, уже несущественно.

Есть возможности для возрождения, в котором участвуют не только черные дыры, но вся Вселенная. Эта гипотеза исследовалась в классе космологических моделей, называемых циклическими. Данную задачу решает один из видов циклической модели Пола Стейнхардта из Принстонского университета и Нила Турока из института “Периметр”. Предполагается, что космологическая постоянная уменьшается до нуля, а затем продолжает уменьшаться до значительных отрицательных величин. Это приводит к коллапсу Вселенной. Тем не менее Стейнхардт и Турок утверждают, что коллапс сопровождается расширением. Это может происходить благодаря эффектам квантовой гравитации, или конечная сингулярность может не быть достигнута из-за экстремальных значений темной энергии.

Теоретические указания на то, что космологическая сингулярность не будет достигнута из-за квантовых эффектов, ведущих к новому расширению Вселенной, сильнее, чем в случае сингулярности, связанной с черной дырой. В теории петлевой квантовой гравитации исследованы несколько моделей квантовых эффектов вблизи космологической сингулярности. Выяснилось, что такой отскок является универсальным феноменом. Следует, однако, оговориться, что это лишь модели и они основываются на существенных допущениях. Ключевым является предположение, что Вселенная пространственно-однородна. Мы знаем надежно, что однородные области – без гравитационных волн и черных дыр – не могут порождать новые Вселенные.

В худшем случае в сильно неоднородных областях не произойдет отскока. Они просто свернутся в сингулярность, где время остановится. Тем не менее это дает нам принцип, позволяющий определить, в каких частях Вселенной произойдет отскок и Вселенная воспроизведет себя. Если отскок может происходить лишь в более однородных областях, при рождении новых Вселенных, сразу после отскока, эти Вселенные также будут высоко однородны. Это позволяет предсказать, что ранняя Вселенная сразу после отскока в высшей степени однородна и в ней нет ни черных, ни белых дыр, нет никаких гравитационных волн (случай нашей Вселенной).

Но чтобы цикличный сценарий был научным, необходимо по крайней мере одно проверяемое предсказание, с помощью которого гипотезы могут быть протестированы. Существует по меньшей мере два сценария, связанных со спектром флуктуаций МФИ. Циклические сценарии предлагают объяснение тех флуктуаций, которые не требуют короткого периода экстремально быстрой инфляции (это нередко принимается в качестве основной причины флуктуаций). Наблюдаемый спектр флуктуаций успешно воспроизводится, но между предсказаниями циклической и инфляционной моделей есть два отличия, и эти предсказания могут быть экспериментально проверены сейчас или в ближайшем будущем. Во-первых, будут ли наблюдаться в спектре МФИ гравитационные волны? Инфляционная модель утверждает, что да, а циклические модели это отрицают. Последние предсказывают, что спектр реликтового излучения не целиком случаен, то есть что форма такого спектра будет отклоняться от формы распределения Гаусса.

Циклические модели – удачные примеры того, как постулирование фундаментального характера понятия времени (в том смысле, что время не начинается с Большого взрыва, а существовало прежде) ведет к космологии, способной делать надежные предсказания. Флуктуации МФИ также описываются в рамках теорий, предполагающих, что в ранней Вселенной скорость света была выше нынешней. Эти теории с переменной скоростью света выбирают выделенное понятие времени так, что оно нарушает принцип теории относительности. Они не так популярны, но также предлагают объяснение флуктуаций МФИ, не привлекая для этого инфляцию.

Роджер Пенроуз предложил другой сценарий: Вселенная дает начало новой Вселенной. Пенроуз принимает сценарий вечной Вселенной Больцмана с фиксированной космологической постоянной и спрашивает, что произойдет бесконечное время спустя. (Лишь Роджер мог задать такой вопрос!) Что если после того, как все элементарные частицы, обладающие массой (в том числе протоны, кварки и электроны) распадутся, останутся лишь фотоны с другими безмассовыми частицами? Если так, то переход к вечности обнаружить невозможно, поскольку фотоны, распространяющиеся со скоростью света, во времени не нуждаются. Для фотона вечность поздней Вселенной неотличима от ранней – разница лишь в температуре. Правда, эта разница огромна. Пенроуз считает, что это не имеет значения. В рамках реляционного описания фотонного газа имеют значение лишь соотношения между объектами, которые существуют в это время, так как отсутствует чувствительность к общей шкале. Поздняя Вселенная, заполненная газом холодных фотонов и других безмассовых частиц, неотличима от ранней, заполненной горячим газом тех же частиц. Согласно принципу тождества неразличимых, поздняя Вселенная – то же самое, что вновь рожденная.

Сценарий Пенроуза осуществляется лишь по окончании бесконечного периода времени и не решает парадокс больцмановского мозга. Однако он предсказывает, что в остатках Большого взрыва присутствуют следы прежней Вселенной. Хотя большая часть информация будет уничтожена в течение бесконечного времени, проведенного в состоянии теплового равновесия, один носитель информации никуда не исчезнет – гравитационное излучение. Информация, переносимая гравитационными волнами, не исчезает и в циклических моделях. Она сохраняется в момент отскока и передается новой Вселенной.

Самым мощным из сигналов, передаваемым с помощью гравитационных волн, является отпечаток столкновения больших черных дыр, которые находились в центре давно потухших галактик. Эти сигналы, как рябь на воде, расходятся по новой Вселенной. Следовательно, полагает Пенроуз, круги должны быть заметны в МФИ, структура которого была зафиксирована на раннем этапе эволюции нашей Вселенной. Это тени событий в прежней Вселенной.

Кроме того, Пенроуз предполагает наличие множества концентрических кругов, происходящих от скопления галактик, в которых произошли столкновения более одной пары галактических черных дыр. Это поразительное предсказание весьма отличается от сделанных на основе большинства космологических сценариев для МФИ.

Сейчас идет спор о том, можно или нет наблюдать в МФИ концентрические круги Пенроуза. Однако, как мы видим, космологические сценарии, в рамках которых наша Вселенная произошла от существовавшей до Большого взрыва, способны к предсказаниям, которые могут быть подтверждены или опровергнуты. Напротив, в сценариях, в которых Вселенная – это один из множества одновременно существующих миров, нет и скорее всего не будет никаких проверяемых предсказаний.

В главе 10 я утверждал: рациональное объяснение того, почему конкретные законы и начальные условия, реализованные в нашей Вселенной, требует, чтобы выбор был сделан несколько раз. В противном случае мы могли бы знать, почему именно такой выбор сделан, ведь нет причин для выбора одинаковых начальных условий и одинаковых законов природы, сделанного много раз подряд. Я рассматривал два сценария с множеством Больших взрывов – одновременный и последовательный. Лишь в последнем случае мы можем построить космологическую модель, которая ответила бы, почему выбраны именно эти законы, и при этом осталась бы научной в смысле способности к экспериментально проверяемым предсказаниям. В данной главе я вернулся к этому вопросу, и мы увидели: лишь в случае последовательного перерождения Вселенных могут быть получены предсказания, проверяемые в эксперименте.

Таким образом, когда мы работаем с временем как с фундаментальным понятием, космологическая модель становится научной, а идеи проверяемыми. Те, кто обременен метафизическими предположениями, будто цель науки – открывать вечные истины, могут думать, что, устранив время и сделав Вселенную похожей на математический объект, они придут к научной космологии. Но, оказывается, все наоборот. Чарльз С. Пирс больше века назад понял: мы можем объяснить законы природы, если они эволюционируют.

Другие статьи по предмету Авиация, Астрономия, Космонавтика

Пространство без бесконечности

А, действительно, если Вселенная не бесконечна…

Может такое быть?

Оказывается, может.

И даже не в том понимании, что она занимает часть пространства. Вселенная может занимать и всё пространство, но это пространство не имеет мест в математике обозначаемых знаком? (бесконечность).

Чтобы понять это, нам предстоит сделать всего три шага.

Сначала изобразим такое пространство в общих контурах, а затем начнём прорисовывать все детали.

Итак, шаг первый.

Одномерное пространство.

В обыденном понимании оно представляется нам чем-то типа числовой прямой.

На прямой отметим начало отсчёта точку О и от неё в одну сторону со знаком плюс (+), в другую со знаком минус (-), через равные интервалы, называемые единицей измерения, сделаем разметку +1, +2, +3, …,+ ? и, соответственно, -1, -2, -3, …, - ?. То есть и с одной, и с другой стороны стоят знаки? это одномерное бесконечное пространство.

Здесь задаём наш вопрос: Может ли существовать одномерное пространство, не содержащее??

Оказывается, может.

В первоначальной зарисовке будем приводить лишь те примеры, которые нам будут необходимы и достаточны для понимания сути и дальнейшего логического описания следующих шагов. При этом постараемся избегать ввода каких-либо новых определений.

Начертим окружность.

Это тоже одномерное пространство.

Но как не размечайте такое пространство, если за единицу измерения возьмём определённую конечную величину, то знак? нигде в таком пространстве поставить не удастся.

Данная окружность локальный пример одномерного пространства, не содержащего знака?.

Шаг второй.

Двухмерное пространство.

На плоскости проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Разметим их точно также, как и прямую на первом шаге, за точку отсчёта каждой взяв точку пересечения. Таким образом определим двухмерное бесконечное пространство.

Здесь опять задаём наш вопрос: Может ли существовать двухмерное пространство, не содержащее??

Оказывается, тоже может.

Возьмите в руки глобус.

Как не размечайте его поверхность, знак? поставить нигде не удастся.

Данная сфера локальный пример двухмерного пространства, не содержащего?.

Переходим к третьему шагу.

Через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых проводим третью прямую, перпендикулярную двум первым. Разметим её точно также, как и на первых двух шагах. Получим трёхмерное бесконечное пространство, точнее способ его отображения декартову систему координат.

Задаём первоначальный вопрос: Может ли существовать пространство, не содержащее знака??

Оказывается, может.

Локального примера, подобного примерам на первых двух шагах, здесь привести не удастся.

Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства пространства, не содержащего знака?, в глобальном понимании.

Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.

Вернёмся к одномерному пространству.

Как можно отобразить окружность на прямой?

На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми интервалами по длине как и на прямой делаем разметку. При этом точка М получает два значения +m и m.

Такая разметка определяет и способ счёта одномерного идеально-определённого пространства (не содержащего?).

Чтобы отобразить окружность на прямой, разорвём окружность в точке М и, совместив точки О окружности и прямой, развернём полуокружности ОМ на прямую. Получим отрезок прямой [-m,+m], который и отобразит окружность на прямой и определит способ счёта одномерного идеально-определённого пространства на прямой.

То есть при движении по окружности от точки О в плюсовую сторону мы достигнем точки М со значением +m, которая на прямой будет иметь одновременно значение m, и при дальнейшем движении уйдём в отрицательную область отрезка [-m,+m], а при дальнейшем движении вернёмся в точку О на прямой.

В повседневной жизни человеку чаще всего приходится иметь дело с конечными величинами. Поэтому наглядно представить себе ничем не ограниченную бесконечность бывает очень сложно. Это понятие окутано ореолом таинственности и необычности, к которому примешивается благоговение перед Вселенной, границы которой определить практически невозможно.

Пространственная бесконечность мира принадлежит к наиболее сложным и спорным научным проблемам. Древние философы и астрономы пытались разрешить этот вопрос посредством самых простых логических построений. Для этого достаточно было допустить, что можно достичь предполагаемого края Вселенной. Но если в этот момент вытянуть руку, то граница отодвигается на какое-то расстояние. Эту операцию можно повторять бесчисленное количество раз, что доказывает бесконечность Вселенной.

Бесконечность Вселенной трудно себе представить, но не менее сложно , как мог бы выглядеть ограниченный мир. Даже у тех, кто не сильно продвинут в изучении космологии, в этом случае возникает естественный вопрос: а что находится за границей Вселенной? Впрочем, подобные рассуждения, построенные на здравом смысле и житейском опыте, не могут служить прочным основанием для строгих научных выводов.

Современные представления о бесконечности Вселенной

Современные ученые, исследуя множественные космологические парадоксы, пришли к выводу, что существование конечной Вселенной в принципе противоречит законам физики. Мир за пределами планеты Земля, по всей видимости, не имеет границ ни в пространстве, ни во времени. В этом смысле бесконечность предполагает, что ни количество заключенного во Вселенной вещества, ни ее геометрические размеры нельзя выразить даже самым большим числом («Эволюция Вселенной», И.Д. Новиков, 1983).

Даже если принять во внимание гипотезу о том, что Вселенная около 14 млрд лет назад образовалась в результате так называемого Большого взрыва, это вполне может означать лишь, что в те чрезвычайно отдаленные времена мир прошел через очередной этап закономерной трансформации. В целом же бесконечная Вселенная никогда не появлялась в ходе первоначального толчка или необъяснимого развития какого-то нематериального объекта. Предположение о бесконечной Вселенной ставит крест на гипотезе Божественного творения мира.

В 2014 году американские астрономы опубликовали результаты самых последних исследований, которые подтверждают гипотезу о существовании бесконечной и плоской Вселенной. С высокой точностью ученые измерили расстояние между галактиками, расположенными на расстоянии в несколько миллиардов световых лет друг от друга. Оказалось, что эти колоссальные по размерам космические звездные скопления расположены по кругам, имеющим постоянный радиус. Построенная исследователями космологическая модель косвенно доказывает, что Вселенная бесконечна как в пространстве, так и во времени.

Краткое содержание работы

Пространство без бесконечности

А, действительно, если Вселенная не бесконечна…

Может такое быть?

Оказывается, может.

И даже не в том понимании, что она занимает часть пространства. Вселенная может занимать и всё пространство, но это пространство не имеет мест в математике обозначаемых знаком ∞ (бесконечность).

Чтобы понять это, нам предстоит сделать всего три шага.

Сначала изобразим такое пространство в общих контурах, а затем начнём прорисовывать все детали.

Итак, шаг первый.

Одномерное пространство.

В обыденном понимании оно представляется нам чем-то типа числовой прямой.

На прямой отметим начало отсчёта – точку О и от неё в одну сторону со знаком плюс (+), в другую со знаком минус (-), через равные интервалы, называемые единицей измерения, сделаем разметку +1, +2, +3, …,+ ∞ и, соответственно, -1, -2, -3, …, - ∞. То есть и с одной, и с другой стороны стоят знаки ∞ – это одномерное бесконечное пространство.

Здесь задаём наш вопрос: «Может ли существовать одномерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, может.

В первоначальной зарисовке будем приводить лишь те примеры, которые нам будут необходимы и достаточны для понимания сути и дальнейшего логического описания следующих шагов. При этом постараемся избегать ввода каких-либо новых определений.

Начертим окружность.

Это тоже одномерное пространство.

Но как не размечайте такое пространство, если за единицу измерения возьмём определённую конечную величину, то знак ∞ нигде в таком пространстве поставить не удастся.

Данная окружность – локальный пример одномерного пространства, не содержащего знака ∞.

Шаг второй.

Двухмерное пространство.

На плоскости проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Разметим их точно также, как и прямую на первом шаге, за точку отсчёта каждой взяв точку пересечения. Таким образом определим двухмерное бесконечное пространство.

Здесь опять задаём наш вопрос: «Может ли существовать двухмерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, тоже может.

Возьмите в руки глобус.

Как не размечайте его поверхность, знак ∞ поставить нигде не удастся.

Данная сфера – локальный пример двухмерного пространства, не содержащего ∞.

Переходим к третьему шагу.

Через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых проводим третью прямую, перпендикулярную двум первым. Разметим её точно также, как и на первых двух шагах. Получим трёхмерное бесконечное пространство, точнее способ его отображения – декартову систему координат.

Задаём первоначальный вопрос: «Может ли существовать пространство, не содержащее знака ∞?»

Оказывается, может.

Локального примера, подобного примерам на первых двух шагах, здесь привести не удастся.

Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства – пространства, не содержащего знака ∞, в глобальном понимании.

Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.

Вернёмся к одномерному пространству.

Как можно отобразить окружность на прямой?

На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой – О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ – половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми ин......

Теория тяготения, созданная Эйнштейном, дала мощный толчок развитию космологии, которая получила целый ряд принципиальной важности результатов, связанных с пониманием пространства-времени и прежде всего с проблемой их бесконечности. Релятивистская космология показала чрезвычайную сложность решения этой проблемы, сделала невозможным наивный подход к ней и поставила вопрос о необходимости глубокого анализа самого понятия «бесконечность».

До появления релятивистской космологии во взгляде на бесконечность господствовал в достаточной степени наивный подход – бесконечность понималась как то, что не имеет конца ни в какую сторону. Это понимание, идущее из глубокой древности, сохранялось неизменным в течение более чем двух тысячелетий. Правда, в математике, начиная со второй половины XIX века, становится всё более ясной сложность и глубина понятия бесконечности. Но среди не математиков продолжало господствовать благодушное отношение к бесконечности, а трудности, с которыми столкнулась математика, рисовались как некие «математические тонкости». Такое наивно-благодушное отношение к проблеме бесконечности, проявлявшееся в мнении о том, что нам известно содержание понятия бесконечность, сохраняется у некоторых философов до последнего времени.

ОТО показала, что пространство неразрывно связано с материей и в общем случае является неэвклидовым. А для неэвклидового – «искривлённого» - пространства не совпадают понятия бесконечности и безграничности, неявно отождествлявшиеся ещё со времён известного рассуждения пифагорейца Архита. Древнегреческий философ Архит приводил следующий наглядный образ такого понимания бесконечности. Если бросить копьё, а затем подойти к месту, где оно упало, и снова бросить копьё, повторяя эту операцию вновь и вновь, то мы нигде не натолкнёмся на границу, которая не позволила бы нам продолжать броски. Отсутствие такого препятствия демонстрирует возможность бесконечного движения в пространстве, считал Архит. Понимание бесконечности пространства как возможности неограниченного прибавления всё новых единиц расстояния дополняется трактовкой бесконечности времени как беспредельного прибавления отрезков длительности. Математическим образом такого понимания бесконечности служит натуральный ряд чисел. Гегель, а вслед за ним Энгельс называли такую чисто количественную бесконечность «дурной» бесконечностью.

В самой действительности мы можем иметь случай, когда трёхмерное пространство положительной кривизны конечно (или, как чаще говорят, закрыто, замкнуто) и вместе с тем безгранично: существо, обитающее в таком пространстве, перемещаясь в нём, не натолкнётся ни на какие границы и, тем не менее, сможет установить его конечность путём определения кривизны.

Релятивистская космология отправляется от основного уравнения тяготения Эйнштейна. Оно решается при некоторых предпосылках, основанных на известных эмпирических данных, и полученные решения («модели вселенной») исследуются и сопоставляются с опытом. Полученные модели могут быть поделены на две большие группы: модели однородной и изотропной вселенной и модели анизотропной неоднородной вселенной. Наиболее разработанной является первая группа.

В 1922 году советский учёный А. А. Фридман выдвинул гипотезу расширяющейся вселенной. Она была настолько необычна, что даже Эйнштейн вначале отрицательно отнёсся к ней. Академик Я.Б. Зельдович заметил, что работа Фридмана даёт более впечатляющий пример предвидения, чем классический пример предсказания Леверье. Ведь Леверье пользовался небесной механикой, которая ещё до его работы была блестяще разработана и подтверждена. А работа Фридмана была первым (и спустя многие десятилетия после выдвижения гипотезы единственным) правильным применением теории относительности к космологии).

Предсказанная Фридманом нестационарность вселенной была доказана установлением красного смещения. В 1929 году американский астроном Хаббл обнаружил, что в спектрах далёких галактик спектральные линии смещены к красному концу. Это означает, что галактики «удаляются» от нас со скоростью, линейно зависящей от расстояния. Разбегание галактик не следует представлять себе как некое обычное движение в неизменяющемся со временем пространстве и искать для этого движения особые динамические причины. Это не движение объектов в неизменном пространстве, а эффект, обусловленный неизвестными нам ранее свойствами самого пространства – нестационарностью его метрики. Объяснение разбегания галактик, даваемое релятивистской космологией, в принципе аналогично объяснению релятивистских эффектов сокращения длины и замедления времени.

В рамках модели Фридмана вопросы о конечности и бесконечности пространства и времени в определённом смысле становятся эмпирически проверяемыми. Нестационарный мир Фридмана может иметь как положительную кривизну (закрытая модель), так и отрицательную кривизну (открытая модель). Он может иметь одну особую временную точку – начало времени (расширяющаяся вселенная), но он может иметь и бесконечно много особых точек. В этом случае ни одна из них не может считаться за начало времени, а их наличие просто означает, что во вселенной периоды расширения, начинающиеся с некоторого момента, когда плотность всех видов материи была бесконечной, сменяются периодами сжатия, когда галактики «сбегаются» - красное смещение сменяется фиолетовым -, плотность вновь принимает бесконечное значение, а затем вновь начинается расширение и т. д. (пульсирующая вселенная).

Конечность времени, о котором говорит модель расширяющейся вселенной, вводя начало отсчёта времени, не есть вывод о безусловной конечности времени вообще, а намёк на подход к границам меры, указание на возможность перехода к качественно новым типам отношений, где может оказаться необходимым радикальный пересмотр известных физических законов и самого понятия времени.

Выбор той или иной модели вселенной зависит от средней плотности вещества и полей во вселенной. Сравнение фактической плотности ρ с (критической плотностью) позволяет произвести выбор указанных вариантов. При ρ > имеем пространство положительной кривизны, то есть замкнутое и конечное (но безграничное) и бесконечно много временных особых точек: вселенная будет пульсировать. При ρ < имеем пространство отрицательной кривизны, то есть открытое и бесконечное и одну особую точку, с которой началось расширение вселенной. Эмпирические данные ведут к решению вопроса в пользу открытой модели, но окончательного приговора пока вынести нельзя.

Некоторые отечественные философы, познакомившись с такого рода данными науки, встали на точку зрения их неприятия. Диалектический материализм, рассуждали они, утверждает бесконечность пространства и времени, и всё, что не согласуется с этим положением, есть проявление идеализма. В советском учебнике по философии середины 60-х годов можно встретить такое утверждение: «Одной из попыток опровергнуть представление о бесконечности мира является идеалистическая теория «расширяющейся вселенной» (как будто бывают научные теории материалистические и идеалистические. – авт.) … Эта реакционная, откровенно фидеистская теория не выдерживает критики…» Приведённое рассуждение – образчик того, как не надо бороться с идеализмом. Почему теория расширяющейся вселенной должна считаться идеалистической, реакционной, откровенно фидеистской? За неё в своё время ухватились идеалисты. Но они, как и церковники, хватаются за любую научную теорию, ломающую устоявшиеся представления, и бороться с ними путём отрицания того, за что они «хватаются», - значит фактически помогать им. Такого рода «критика» - есть свидетельство естественнонаучной неграмотности критика.

Наиболее соответствующей реальному положению дел в решении вопроса о бесконечности пространства-времени представляется позиция, которую отстаивал в своё время эстонский учёный Г. И. Наан. Здесь мы имеем дело с последовательно нетрадиционным путём, так как решительно отрицается наличие некоторого философского эталона бесконечности, с которым надо сравнивать конкретные данные физики, астрономии, математики. Задача философии, согласно Наану, не в том, чтобы дать окончательное решение проблемы бесконечности в дополнение к естествознанию, которое такого решения дать не может, а в том, чтобы подвергнуть исследованию само происхождение наших понятий о бесконечности и указать тот путь, по которому должно идти осмысление всё новых и новых данных науки. Сегодня речь должна идти не об исчерпывающем решении проблемы бесконечности, а о совершенствовании методологических средств её решения. Идя по этому пути, мы будем подходить ко всё более полному выяснению того, что такое бесконечность. Сейчас мы таким понятием не располагаем. И если даже предположить на мгновение, что нам каким-то образом стало известно то конкретное понимание бесконечности, которым будут владеть наши потомки, это мало бы нам помогло. По образному выражению Наана, мы смогли бы воспользоваться этим понятием не в большей мере, чем первобытный дикарь найденным в лесу реактивным самолётом.

Итак, важнейший гносеологический вывод состоит в том, что при решении нашей проблемы нельзя предполагать имеющиеся у нас сегодня понятия конечного и бесконечного не подлежащими сомнению эталонами, с которыми надо лишь сопоставлять меняющиеся научные данные, признавая те, что не противоречат нашим эталонам, и отбрасывая противоречащие. Наоборот, надо, исходя из этих данных, уточнять сами понятия, рассматривая каждую новую ступень в развитии естествознания как ещё один шаг по пути этого углубления и уточнения. Поэтому ясно, что нельзя результаты, полученные релятивистской космологией, рассматривать как дающие уже сегодня окончательное решение проблемы бесконечности пространства-времени.

И ещё одно принципиальное замечание. Данные релятивистской космологии имеют отношение к вопросу о конечности или бесконечности Метагалактики, то есть вселенной. В философии же идёт речь о бесконечности Вселенной, или мира в целом.