Главная » Дизайн интерьера » Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения. X, Y, Z – кто это такие

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения. X, Y, Z – кто это такие

Мы живем в XXI веке – веке высоких технологий и стремительного развития. Мир вокруг нас изменяется, и преобразования затрагивают все сферы нашего общества. Кто-то стремится идти в ногу с инновациями, кто-то, наоборот, придерживается консервативной позиции. То, какую стратегию поведения выбирает человек в изменяющихся условиях, зачастую зависит не только от личных убеждений, но и от таких факторов, как социальное окружение, воспитание, принадлежность к поколению.

Проблема «отцов и детей» существует в нашем мире давно, и вопрос взаимопонимания между поколениями регулярно поднимается в различной литературе, как художественной, так и научной. И в современном мире разрыв между поколениями становится все более заметным, так как кардинально меняются условия, при которых растут и воспитываются представители разных поколений. Это, несомненно, оказывает значительное влияние на их ценности и установки: меняется мышление, образ жизни, отношение людей к отдыху и труду.

Многие утверждают, что представители разных поколений с трудом понимают друг друга, ведь выросли в кардинально отличающихся условиях. Считается, что молодое поколение, которое выходит сейчас на рынок труда, имеет другие трудовые ценности, другие требования к работе и другие ожидания.

Но действительно ли представители разных поколений значительно отличаются друг от друга в вопросе трудовых ценностей? Ответим на этот вопрос, рассмотрев современные исследования по этой теме.

X, Y, Z – кто это такие?

В 1991 году американские ученые Нейл Хоув и Вильям Штраус опубликовали книгу о теории поколений, в которой описали свои идеи о том, что примерно каждые 20 лет в мире происходит смена поколений, на «арену» выходят люди с новыми ценностями, новым складом ума, которые обладают другими жизненными траекториями .

В последнее время теория поколений приобрела популярность, и часто мы можем слышать упоминания о поколениях X, Y и Z, которые на данный момент являются наиболее активными работниками и потребителями экономических товаров и услуг.

Что это за поколения? Что отличает их друг от друга? Попробуем разобраться.

Определение границ поколений – непростая задача. Некоторые ученые устанавливают их, основываясь только на временных промежутках, то есть отталкиваясь от года рождения, кто-то делает упор на схожих ценностях и установках, общности условий воспитания. Стоит отметить, что большое влияние на процесс определения поколений оказывают социальные, культурные и экономические условия, которые могут сильно различаться в разных странах. Какое-либо поворотное событие, влияющее на процесс развития общества, может происходить в разных странах с разницей в десятилетия. Так, например, широкое распространение Интернета происходило в Америке в 90е годы прошлого века, а в нашей стране началось только в новом тысячелетии. Очевидно, что такие значимые события оказывают воздействие на развитие общества и проводят границы между поколениями.

Таким образом, границы поколений X, Y и Z не определены стабильно и несколько варьируются в зависимости от стран и подходов ученых. Итак, определим основные характеристики представителей поколений X, Y, Z.

Поколение X – это поколение людей, родившихся после 1965 года. Верхняя граница поколения варьируется у разных авторов, некоторые ученые устанавливают ее на уровне 1976 года , другие говорят о 1980 или 1984 годе .

Американские ученые говорят о людях этой эпохи как о «потерянном поколении». В то время в Америке началась «эпоха разводов», и на многих людей это семейное событие оказало большое влияние. В России годы взросления представителей поколения X выпали на годы перестройки, и эта эпоха оказала важное воздействие на формирование личностей. Для поколения Х характерен высокий уровень скептицизма, социального и политического безразличия, безынициативности, но в то же время, они являются очень образованным и грамотным поколением. В сравнении с предыдущим поколением, которое привыкло действовать сообща, представители иксов нацелены на упорную работу и индивидуальный успех. Они привыкли строить свою карьеру на протяжении всей жизни, постепенно двигаясь в выбранном направлении.

Поколение Y , которое также называют сетевым поколением или поколением миллениалов, родились примерно с 1985 по 1995 год. Характерной особенностью этого поколения можно назвать широкое распространение Интернета, поп-культуры, мобильной связи в период их взросления, что оказало большое влияние на их ценности и установки. Игреки привыкли постоянно находиться на связи, для них важна коммуникация, сотрудничество, кооперация. Они не готовы провести всю жизнь на одном месте, стремятся к разнообразию работы, поэтому готовы к обучению и переобучению в течение жизни. Игреки характеризуются большей гибкостью, они быстро подстраиваются под изменяющиеся условия, но, в то же время, меняют условия сами, они готовы диктовать свои правила, если видят, что это принесет большую пользу и повысит эффективность.

Существуют и другие точки зрения, некоторые утверждают, что игреки привыкли потреблять: информацию, поп-культуру, продукцию. Они не стремятся к тому, чтобы начинать работать, не хотят взрослеть, для них характерна «концепция вечной молодости» и постоянный нарциссизм .

Поколение Z – это люди, родившиеся в период с 1995 по 2010. Сейчас представители этого поколения еще не вышли на рынок труда, поэтому пока сложно говорить об их трудовых установках и ценностях, однако можно отметить некоторые характерные особенности. Представители поколения Z выросли в окружении современных технологий, они менее коммуникабельны, чем предыдущее поколение, более ориентированы на себя, собственный мир. Из-за этого некоторые ученые называют данное поколение “Generation MeMeMe”, подчеркивая их ориентированность на собственные мысли и чувства, а не на других людей. Из-за развития электронных технологий зеты привыкли к визуальному восприятию информации. Это дает возможность предполагать, что с течением времени на рынке появятся новые способы обучения и новые технологии работы, которые привнесут представители поколения Z.

Еще раз отметим, что границы поколений являются условными, так, например, человек, родившийся в 1995 году, будет ближе к тому, кто родился в 1994, то есть представителю другого поколения, чем к тому, кто родился в 2005 – представителю своего поколения. Поэтому ученые отмечают, что границы рассчитываются с допущением +- 3 года, и для людей, находящихся на стыке поколений, зачастую характерны особенности и тех, и других.

Сравнение трудовых ценностей

Изучением трудовых ценностей в современном мире занимались многие отечественные и зарубежные социологи, однако стоит отметить, что никто из них не подразделял изучаемое население на поколения X, Y и Z, возможно, потому что такое деление весьма условное. Кроме того, существует проблема отсутствия информации о трудовых ценностях поколения Z. Дело в том, что на данный момент представителям поколения Z от 5 до 20 лет, а массовые опросы обычно охватывают население от 18 лет, именно поэтому пока не существует релевантной информации о трудовых ценностях и убеждениях этого поколения. Поэтому определим различия в трудовых ценностях поколений X и Y.

Итак, рассмотрим, какие трудовые ценности характерны для представителей поколения X.

По исследованиям В.С. Магуна , для представителей данного поколения основной трудовой ценностью является хороший заработок. Помимо этого, большую ценность представляют интерес работы и надежность места работы. Также и другие исследователи подтверждают, что главенствующее положение в пирамиде трудовых ценностей занимает высокий заработок .

Можно ли утверждать, что меркантильность – основная черта иксов? Думаю, что такие выводы будут поспешными и необоснованными. А.Н. Дёмин утверждает, что в сознании поколения X престижность работы неизменно связана с высокой заработной платой. Деньги – это не самоцель, они служат средством для удовлетворения потребностей и носят инструментальный характер, способствуя достижению высокого положения в обществе.

В целом, можно предполагать, что стремление к финансовому благополучию и желание надежного места работы может быть следствием происходящих в стране в 90х годах изменений. Переход к рыночной экономике, нестабильность экономической ситуации в стране, кризис 1998 года – эти события могли оказать значительное воздействие на трудовые установки людей.

Помимо вышеназванных ценностей, среди широко распространенных ответов о важных характеристиках места работы присутствуют следующие: возможность приносить пользу обществу, способность самому распоряжаться своим временем и желание соответствия работы уровню компетенции человека . Можно сказать, что к концу 90-х годов в сознании россиян происходит трансформация, которая является следствием трансформации общества. Люди становятся более свободными, они хотят обладать большей самостоятельностью и простором для действий, кроме того, хотят приносить пользу не только себе и своей семье, но и другим людям. В обществе разрушаются прежние границы и снимаются ограничения. Если раньше, в советское время, слишком большой заработок считался подозрительным, а открытие собственного дела порицалось обществом, то теперь труд становится свободным от условностей и строгих правил . Естественно, что в таких условиях люди стремятся к большей реализации своих возможностей и желают зарабатывать столько, сколько позволяет их уровень знаний и навыков.

Кэрол Журкевич говорит о том, что для поколения Х важна возможность личностного роста . Однако отечественные исследователи не подтверждают этого. Можно объяснить данное различие тем, что общества развиваются с неодинаковой скоростью, поэтому факторы труда, которые были важны для Америки еще 10 лет назад, в нашей стране становятся важными только сейчас.

Совпадают ли трудовые ценности поколения Х с ценностями их «последователей», поколения У?

На первом месте для поколения игреков также остается хорошая оплата труда . Следующие за этим позиции – это возможность карьерного роста и возможность самореализации, чего не было в ответах поколения иксов. Работа продолжает восприниматься людьми как средство достижения успеха, путь к тому, чтобы занять достойное положение в обществе. Но теперь важную роль играет не только материальный достаток, но и другие составляющие труда – самореализация, положение в обществе.

Кроме заработной платы и самореализации поколение игреков предъявляет высокие требования к качеству труда: им необходимы хорошие условия работы, социальные гарантии, трудовая этика .

В этом заключается значительное отличие от предыдущего поколения, представители которого не называли данные ценности в числе приоритетных. Это значит, что трудовые ценности поколения игреков, которые формировались в совершенно иных экономических и политических условиях, нежели ценности иксов, в некоторой мере отличны друг от друга. У нового поколения формируются позитивные установки по отношению к труду, они готовы работать, совершенствовать свои знания и реализовывать навыки, это предопределяет высокие притязания на достойную оплату труда и качественные условия труда.

Но можно ли с уверенностью утверждать, что различия в трудовых ценностях разных поколений действительно существуют?

Полагаю, не существует таких гарантий, так как разница в ответах может объясняться различиями в методах сбора информации, например, различием вопросов.

Для того чтобы избежать данной неточности, обратимся к исследованию «Молодежь новой России: образ жизни и ценностные приоритеты» , проведенному в 2007 году и охватывающему представителей двух поколений: молодежь в возрасте от 17 до 26 лет и старше поколение от 40 до 60 лет.

Проведем сравнение ответов представителей двух поколений на один вопрос: «Каким требованиям должна отвечать работа, которая могла бы вас устроить?».

Наиболее популярные ответы среди представителей поколения Х следующие (сумма ответов превышает 100%, так как возможно было выбрать неограниченное число ответов): хорошо оплачиваемая работа (87,2%), интересная для меня (60,0%), с хорошими условиями труда (42,4%). Наименее важными оказались возможность карьерного роста и престиж.

Для представителей поколения игреков ответы распределились очень похожим образом: хорошая оплата (84,9%), интересная работа (63,5%), хорошие условия труда (29,0%). При этом наименее популярный ответ для данного поколения – неутомительная работа.

Примечательно, что верхушка иерархии ценностей одинакова у представителей двух поколений, хотя процентное соотношение ответов несколько различается. Однако заметно, что другие ценности различаются по важности для представителей разных поколений. Так, у представителей поколения игрек существует большая ориентированность на профессиональный рост и стремление к творчеству в профессии, иксы же желают быть полезными в обществе, при этом хотят, чтобы работа оставляла больше свободного времени, не стремятся к карьерному росту.

Трудно сказать, вызваны ли такие различия именно принадлежностью к разным поколениям, то есть условиями воспитания и социализации, или зависят только от возраста. Естественно, что к 50 годам, человек, скорее всего, уже продвинулся по карьерной лестнице и достиг высокого положения, если стремился к нему. Поэтому данное направление перестает быть для него приоритетным, и на первое место выходят другие ценности, такие как свободное время, для того чтобы проводить его с семьей. У молодого же поколения существуют пока не реализованные амбиции, поэтому они стремятся к продвижению и карьерному росту.

Выводы

Итак, поколения X, Y, Z не имеют четко определенных границ, но отличаются друг от друга особенностями воспитания, ценностями, восприятием мира.

Трудовые ценности поколения Z на данный момент практически не измерялись учеными, так как представили этого поколения в основном ещё получают образование и не вышли на рынок труда как активные работники и потребители. Измерение трудовых ценностей этого поколения представляется важной задачей для современных социологов, так как в скором времени они станут основной рабочей силой страны.

Главной трудовой ценностью как для поколения X, так и для поколения Y продолжает оставаться высокая заработная плата, однако это, скорее, не самоцель, а средство для достижения других целей, таких как престиж, уважение в обществе.

Трудовые ценности поколений X и Y несколько различаются, игреки стремятся к самореализации через профессию, к более творческому делу, кроме того, претендуют на хорошие условия труда, для иксов же важно наличие большей свободы.

Важно отметить, что тема на данный момент не является хорошо исследованной, но при этом обладает большой ценностью. Мир изменяется, трансформируется рынок труда, и необходимо учитывать потребности и запросы молодых поколений для того, чтобы работа была более эффективной, и потенциал молодых поколений находил реализацию в труде.

Инфографика: Наталья Сидорова

Источник фото: http://www.atlantarealestateforum.com/wp-content/photos/2010/08/three-generations.jpg

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Привлекают простотой использования мотивов и стимулов теории «Х», «У» и «Z», в основе которых отношение человека к труду. Теория «Х» была первоначально разработана Ф. Тейлором, а затем развита и дополнена Д. Мак Грегором, который добавил к ней теорию «У». Теория «Z» была предложена значительно позднее, в 80-х гг. ХХ века, В. Оучи (модель поведения и мотивации человека). «Х», «У» и «Z» - это совершенно разные модели мотивации, ориентированные на разный уровень потребностей, и, соответственно, руководитель должен применять весьма различные стимулы к труду. Рассмотрим эти теории более подробно.

Теория «Х» базируется на следующих предпосылках:

· в мотивах человека преобладают биологические потребности;

· обычный человек имеет унаследованную нелюбовь к работе и старается избегать работы. Поэтому труд необходимо нормировать, а лучшим методом организации является конвейерный;

· по причине нежелания работать большинство людей только путем принуждения могут осуществлять необходимые действия и затрачивать усилия, необходимые для достижения целей производства;

· средний человек предпочитает, чтобы им управляли, старается не брать на себя ответственность, имеет относительно низкие амбиции и желает находиться в безопасной ситуации;

· качество работы низкое, поэтому необходим постоянный строгий контроль со стороны руководства.

В теории «Х» легко сочетаются черты плохого российского и азиатского работника с задатками рабской психологии. Поэтому естественным является применение в качестве главного стимула принуждения, а вспомогательного - материального поощрения. Отсталые люди имеются в любом обществе, разница заключается лишь в их доле от трудоспособного населения страны.

Теория «У» является антиподом теории «Х» и ориентирована совсем на другую группу людей. В основе теории «У» следующие предпосылки:

ü в мотивах людей преобладают социальные потребности и желание хорошо работать;

ü физические и эмоциональные усилия на работе для человека также естественны, как во время игры или на отдыхе;

ü нежелание работать не является наследственной чертой, присущей человеку. Человек может воспринимать работу как источник удовлетворения или как наказание в зависимости от условий труда;

ü внешний контроль и угроза наказания не являются главными стимулами побуждения человека к деятельности для достижения организации своих целей;

ü ответственность и обязательства по отношению к целям организации зависят от вознаграждения, получаемого за результаты труда. Наиболее важным вознаграждением является то, которое связано с удовлетворением потребностей в самовыражении;

ü обычный воспитанный человек готов брать на себя ответственность и стремится к этому;

ü многим людям присуща готовность использовать свои знания и опыт, однако индустриальное общество слабо использует интеллектуальный потенциал человека.

Модель по теории «У» отражает передовую, творчески активную часть общества. Стимулы побуждения к труду в теории «У» располагаются в следующем порядке: самоутверждение, моральное и материальное поощрение, принуждение. Очевидно, что удельный вес работников, описываемых этой теорией, невелик - по данным наших исследований, от 15 до 20% от численности коллектива. Чаще всего они являются индивидуалистами и не могут полностью раскрыть свои таланты в социальной группе.

Основные предпосылки теории «Z»:

§ в мотивах людей сочетаются социальные и биологические потребности;

§ люди предпочитают работать в группе и выбирают групповой метод принятия решения;

§ должна существовать индивидуальная ответственность за результаты труда;

§ предпочтительнее неформальный контроль за результатами труда на основе четких методов и критериев оценки;

§ на предприятии должна существовать ротация кадров с постоянным самообразованием;

§ предпочтительнее медленная служебная карьера с продвижением людей по достижении определенного возраста:

§ администрация проявляет постоянную заботу о работнике и обеспечивает ему долгосрочный или пожизненный наем;

§ человек - основа любого коллектива, и именно он обеспечивает успех любого предприятия.

Теория «Z» описывает хорошего работника, предпочитающего работать в группе и иметь стабильные цели деятельности на длительную перспективу. Во многом ей соответствуют японские работники крупных промышленных компаний. Однако работники, описываемые теорией «Z», имеются практически во всех странах на крупных стабильных предприятиях. Эффективность применения данной теории определяется удельным весом таких людей в коллективе. Стимулы побуждения к труду для работников, описываемых теорией «Z», эффективны в такой последовательности: материальное поощрение, моральное поощрение, самоутверждение, принуждение. Таким образом, работники, описываемые теориями «Х», «У» и «Z», образуют различные группы людей и предпочитают различные мотивы поведения и стимулы побуждения к труду. На предприятии представлены все типы людей, и применение той или иной концепции мотивации определяется удельным весом работников конкретного типа в группе.

ГЛАВА 3

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Ответы и решения

В задаче 467 и в большинстве следующих задач этой главы применение искусственных приемов совершенно необходшло для их успешного решении. Основная трудность этих задач в том, чтобы подметить особенности данной системы и подыскать соответствующий искусственный прием.

Можно решить по способу подстановки (из второго уравнения найти у = 6 - х или х = 6- у и подставить в первое). Несколько быстрее ведет к цели следующий искусственный прием. Первое уравнение преобразуется к виду (х-у ) 2 =4, откуда х-у =2 или х-у = -2. Получаем две системы:

Ответ 1) x 1 = 4, у 1 = 2 2) x 2 = 2, у 2 = 4

468.

Представим данную систему в виде

Положим для краткости xy = z 1 ; x + y = z 2 . Тогда имеем систему

По теореме Виета z 1 и z 2 - корни квадратного уравнения z 2 - 11z + 30=0. Находим: z 1 = 6, z 2 =5 или z 1 = 5, z 2 =6 . Получаем две системы:

К каждой можно снова применить теорему Виета (или решить по способу подстановки).

Ответ 1) x = 5, y = 1 2) x = 1, y = 5 3) x = 2, y = 3 4) x = 3, y = 2

__________________________________________________

469.

Положим y 2 = z ; тогда имеем систему

Ответ 1) х = 4, y = √3

2) х = 4, y = - √3

3) х = 3, у = 2.

4) х = 3, у = - 2.

__________________________________________________

470.

Положим х 2 = z 1 и - y = z 2 . Получим систему

Ответ 1) х = 5, y =2;

2) х = - 5, y = 2;

3) х = i √2 , y =-25;

4) х = - i √2 , y = -25.

__________________________________________________

471.

Полагаем - ху = z 1 ; х 2 - у 2 = z 2 . Получим систему

Находим z 1 = 9; z 2 = -20 или z 1 = -20; z 2 = 9. Теперь имеем две системы:

Решим первую систему. Из первого ее уравнения находим у = - 9 / x .

Подставляем во второе. Находим биквадратное уравнение х 4 + 20х 2 - 81=0. Его корни

Теперь находим

Тем же способом решаем вторую систему.

Ответ 1) х ≈1,86, у ≈ - 4,84;

2) х ≈ -1,86, у ≈ 4,84;

3) х ≈ 4,84i , у ≈ 1,86i ;

4) х ≈ - 4,84i , у ≈ -1,86i ;

5) х = 5, у = 4;

6) х = - 5, у = -4;

7) х = 4i , у = -5i ;

8) х = -4i , у = 5i .

__________________________________________________

472.

Исключим свободные члены, для чего помножим второе уравнение на 7 и вычтем из первого. Получим

32х 2 - 2ху + 75y 2 = 0.

Это - однородное уравнение второй степени (т. е. уравнение, содержащее только члены второй степени; членов первой степени и свободного члена в нем нет). Разделив обе части уравнения на х 2 (это можно сделать, так как х = 0 не есть корень), мы преобразуем его к виду и, решив квадратное уравнение, найдем . Этим способом из всякого однородного уравнения второй степени можно найти отношение у / x .

Теперь решаем две системы:

(по способу подстановки).

__________________________________________________

473.

1-е уравнение запишем так: х 2 - 2ху + у 2 = 1 / 2 ху . Тогда имеем (х-у ) 2 = 1 / 2 ху

2-е уравнение запишем в виде 2(х-у ) = 1 / 2 ху

Значит, (х-у ) 2 -2(х-у ) = 0.

Отсюда находим х-у = 0 и х-у = 2. Получаем две системы:

Ответ 1) х = у = 0; 2) х = 4, у = 2 3) х =- 2, у =-4.

__________________________________________________

474.

Первое уравнение перепишем так:

(х 2 + 2ху + у 2 ) =13 + ху или (х + у ) 2 - 13 = xy .

Из второго уравнения х + у = 4; подставив, получим 16 -13 = xy . Решаем теперь систему

Ответ 1) х = 3, у =1; 2) х = 1, у = 3.

__________________________________________________

475.

Решается, как предыдущая задача. Получим новую систему

Ответ 1) х = 3, у = 2 2) х = - 3, у = -2

__________________________________________________

476.

Полагаем х / у = z ; тогда у / x = 1 / z , и первое уравнение примет вид z + 1 / z = 25 / 12 или 12z 2 -25z +12 = 0. Его корни z 1 = 4 / 3 и z 2 = 3 / 4

Теперь имеем две системы:

Системы решаются подстановкой значения х из первого уравнения во второе.

Ответ 1) х = 4, y =3;

2) х = - 4, y = -3;

3) х = 3i , y = 4i ;

4) х = -3i , y = -4i .

__________________________________________________

477.

Систему можно записать в виде

Перемножаем эти уравнения и делим одно на другое.

Получаем отсюда

Перемножая эти уравнения, находим

Выраженне для y 2 можно найти ачалогично, взяв уравнение Оно отличается от соответствующего уравнения для х только перестановкой букв c и d .

__________________________________________________

478.

Во втором уравнении разлагаем х 3 +у 3 на множители (х + у )(х 2 - ху + у 2 ) и делим второе уравнение на первое. Получим х + у = 5. В первом уравнении прибавляем к правой и левой частям уравнения по 3ху ; получим (х + у ) 2 =7+3ху . Подставив 5 вместо (х + у ) согласно полученному уравнению, найдем ху = 6. Теперь решаем систему

Ответ 1) х = 3, у = 2; 2) х = 2, у = 3.

__________________________________________________

479.

Помножим второе уравнение на 3 и сложим с первым. Получим (х + у ) 3 =1, Если ограничиться действительными решениями, то отсюда х + у =1. Заменяя во втором уравнении х + у через 1, имеем ху = -2. Решаем систему

Ответ 1) х = 2, у = -1; 2) х =-1, у = 2.

__________________________________________________

480.

Решается, как предыдущая задача.

Ответ 1) х = 3, у = 2; 2) х = 2, у = 3.

__________________________________________________

481.

Полагаем Первое уравнение принимает вид

Отсюда z = 5 и z = 1 / 5 , т. е

Из уравнения находим у = 2 / 3 х . Решаем это уравнение совместно с заданным уравнением ху = 6. Таким же образом используем уравнение.

Ответ 1) х = 3, у = 2;

2) х =- 3, у = -2;

3) х = 3i , у =-2i ;

4) х = -3i , у =2i .

__________________________________________________

482.

Исключаем из системы неизвестное z : второе уравнение вычитаем из первого, умноженного на с , третье уравнение вычитаем из второго, умноженного на с . Получим систему

Отсюда находим х и у . Аналогично находим z .

__________________________________________________

483.

Исключаем сначала и ; для этого: 1) второе уравнение умножим на 2 и прибавим к первому; 2) третье уравнение умножим на (-2) и прибавим ко второму; 3) третье уравнение умножим на (-3) и прибавим к четвертому. Получим систему

Из этой системы исключим х , предварительно вычитая из второго уравнения третье. Получим

Складываем уравнения а) и в), а уравнение б) умножаем на 5 и складываем с в). Получим

Отсюда находим z =3 и у =2. Из уравнения б) находим х и из третьего заданного уравнения находим и .

Ответ х =1; у =2; z =3; и = 4.

__________________________________________________

484.

Вычитаем из второго уравнения первое. Получим у + 2z =1. Отсюда у =1-2z . Подставляем это значение у в первое уравнение, находим х = z + 3. Подставляем найденные значения х и у в третье уравнение, получим 3z 2 + z - 2 = 0. Корни его z 1 = 2 / 3 и z 2 = - 1. Подставляя значения z в уравнения x = z + 3 и у =1-2z , найдем по два значения х и у .

Oтвет 1) x = 11 / 3 , у = - 1 / 3 , z = 2 / 3 ;

2) x = 2, у = 3, z = -1.

__________________________________________________

485.

Первое уравнение возводим в квадрат, второе - в куб и третье - в квадрат после переноса второго члена в правую часть уравнения. Получим систему

Ответ

__________________________________________________

486.

Возводим первое уравнение в квадрат и вычитаем второе. Получаем ху + хz + уz = 54. В силу третьего уравнения можно заменить первые два слагаемых через 2уz . Получаем 3yz = 54, т. е.

yz =18. (а)

Теперь третье уравнение можно записать в виде xy + xz = 2 18, т. е.

x (у + z ) = 36. (б)

A так как первое уравнение имеет вид

х + (у + z ) = 13. (в)

то из уравнений (б) и (в) можно найти х и y + z . Получаем:

Чтобы найти у и z по отдельности, присоединим уравнение (а). Получим две системы:

Замечание. При возведении в квадрат первого уравнения возникает опасность появления лишних решений. Но если бы они появились, то удовлетворяли бы уравнению х + у + z = -13, что противоречило бы уравнению (в)

Ответ. 1) х = 9, у = 2 + i √14 , z = 2 - i √14 ;

2) = 9, у = 2 - i √14 , z = 2 + i √14

3) х = 4, у =6, z =6.

4) х =4, у = 3, z =3;

__________________________________________________

487.

Третье уравнение представим в виде

z 2 - xz - yz + xy = 2.

Сложив его со вторым, получим

z 2 + 2xy =49. (a)

Отсюда z 2 = 49-2xy . Подставляем это выражение в первое уравнение. Получим (х + у ) 2 =4 9, т. е. х + у = ±7. Положим сначала х + у = 7.

Представим второе уравнение в виде

xy + z (x + y )=47 .

и сюда подставим выражениеху получаемое из (а), и

значение х + у = 7. Получаем z 2 -14z + 45=0. Отсюда z 1 = 5 и z 2 = 9.

Если z = 5, то ; если же z = 9, то

Имеем две системы:

каждая из которых имеет по два решения. Всего получаем четыре решения:

Теперь положим х + у = -7 и тем же способом найдем еще четыре решения.

__________________________________________________

488.

Вычитаем сначала второе, а затем третье уравнение из первого. Получаем:

Сокращаем уравнение (а) на (а-b ) и уравнение (б) на (а-с ).

Вычитаем (г) из (в). Получаем

Неизвестное у находим из (в) или из (г). Теперь по любому из данных уравнений найдем z .

__________________________________________________

489.

Положим . Получаем систему

Отсюда находим х =17; у = 6.

Ответ х =17; у = 6.

__________________________________________________

490.

В силу второго уравнения первое можно записать так: 10 - 2√xy = 4. Отсюда ху = 9. Получаем систему

Oтвет 1) х = 9, y = 1; 2) х =1, y = 9.

__________________________________________________

491.

Полагаем Первое уравнение примет вид z - 2 + 1 / z = 0 Отсюда z = 1, т. е. . Из последующего уравнения находим у = 2х и подставляем во второе уравнение.

Ответ 1) х = 6, y =12; 2) х = -4,5, y = -9.

__________________________________________________

492.

Первое уравнение приводится к виду , откуда

х 2 + у 2 =136. (а)

Второе уравнение возводим в квадрат; получим , откуда

у 2 = 36х -324. (б)

Это выражение подставляем в (а). Получаем х 2 + 36х -460 = 0. Отсюда находим х =10 и х = -46. Подставляя в (б), находим у . Получаем четыре пары решений:

1) х =10, у = 6; 3) х =- 46, у = 6√55 ;

2) х =10, у = -6; 4) х =- 46, у = -6√55 .

Третья и четвертая пары решений не годятся, так как выражения √х + у и √х - у , где радикалы должны означать арифметические значения корня (в противном случае они неопределенны ввиду двузначности корня), не имеют смысла при комплексных значениях х + у и х-у . Первую и вторую пару решений следует проверить.

Ответ 1) х =10, у = 6; 2) х =10, у = - 6.

__________________________________________________

493.

Система имеет смысл только при а > 0 (см. предыдущее объяснение). Первое уравнение возводим в квадрат:

(a)

Это выражение подставляем во второе уравнение; получаем

Возводим в квадрат уравнения (а) и (б):

у 2 = 64а 2 +16ах , (а")

у 2 = (√41 + 5) 2 а 2 - 2(√41 + 5)ax . (б")

Исключая у из (а") и (б"), получаем

(130+ 10√41 ) а 2 = (26+ 2√41 )ax

откуда х =5а . Из (а") находим y = ±4а и затем производим проверку.

Ответ 1) х =5а , у =4а; 2) х =5а , у =-4а .

__________________________________________________

494.

Возводим первое уравнение в квадрат; 2х 2 -2√х 2 - у 2 = у 2 . Подставляем сюда значение х 4 -у 4 = 144а 4 из второго уравнения. Получаем

у 2 =2х 2 -24а 2 . (а)

Отсюда находим у 4 и подставляем во второе заданное уравнение. Получаем

х 4 -32а 2 х 2 +240а 4 = 0.

Отсюда х = ±√20 а и х = ±√12 а . Из уравнения (а) находим у . Для каждого из значений х = ±√20 а имеем у = ±4а , а для каждого из значений х = ±√12 а имеем, у =0. Проверка показывает, что из полученных шести пар решений одни являются лишними при а > 0, другие же являются лишними при а < 0. Возьмем, например, пару решений х = √20 а , у = 4а . Подставляя в первое уравнение, мы находим √36а 2 -√4а 2 = 4а , т. е. 6|а |-2|а |=4а . Это равенство является тождеством при а > 0, но оно не верно при а < 0.

Ответ. При а > 0 решения будут:

1) х = √20 а , у = 4а ; 2) х = - √20 а , у = 4а

3) х = √12 а , у = 0; 4) х = - √12 а , у = 0.

При а < 0 решения будут:

5) х = √20 а , у = - 4а 6) х = -√20 а , у = - 4а .

__________________________________________________

495.

Первый способ. Из второго уравнения находим х + у = 14 -√ху . Возводим в квадрат; получаем

x 2 + y 2 + 2xy = 196 + xy -28 √ху ,

x 2 + y 2 + xy = 196 -28 √ху .

В силу первого уравнения имеем 84 = 196 -28 √ху . Отсюда находим √ху = 4, т. е. xy =16. Подставляя во второе уравнение значение √ху = 4, находим x + y =10. Решаем систему