Краснов киселев функции комплексного переменного. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. Краснов М., Киселев А., Макаренко Г.И

Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И.

3-е изд., испр. - М.: 2003. - 208 с.

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам теории функций комплексного переменного. В начале каждого параграфа приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также подробно разбирается около 150 типовых задач и примеров.

В книге содержится свыше 500 задач и примеров для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению.

Книга предназначается в основном для студентов технических вузов с математической подготовкой, но может принести пользу и инженеру, желающему восстановить в памяти разделы математики, относящиеся к теории функций комплексного переменного.

Формат: pdf

Размер: 15 ,2 Мб

Скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1 Функции комплексного переменного 3
§ 1. Комплексные числа и действия над ними 3
§ 2. Функции комплексного переменного 14
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 22
§ 4, Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана 29
Глава 2. Интегрирование. Ряды. Бесконечные произведения. 40
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного.... 40
§ 6. Интегральная формула Коши 48
§ 7. Ряды в комплексной области 53
§ 8. Бесконечные произведения и их применение к аналитическим функциям 70
1°. Бесконечные произведения 70
2°. Разложение некоторых функций в бесконечные произведения 75
Глава 3. Вычеты функций. . 78
§ 9. Нули функции. Изолированные особые точки 78
1 °. Нули функции 78
2°. Изолированные особые точки 80
§ 10. Вычеты функций 85
§ 11. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Суммирование некоторых радов с помощью вычетов.... 92
1°. Теорема Коши о вычетах 92
2°. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов 98
3°. Суммирование некоторых рядов с помощью вычетов. . 109
§ 12. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше 113
Глава 4, Конформные отображения. 123
§ 13. Конформные отображения 123
1°. Понятие конформного отображения 123
1 2°. Общие теоремы теории конформных отображений...125
3°. Конформные отображения, осуществляемые линейной функцией w - az + b, функцией w - \ и дробно-линейной функцией w = ffjj . . 127
4°. Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями 138
§14. Преобразование многоугольников. Интеграл Кристоффеля-Шварца. 150
Приложение 1 . . . . 159
§15. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл. . 159
Приложение 2 164
Ответы.......... 186

Библиотека > Книги по математике > Функции комплексной переменной

Функции комплексной переменной

• Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Нсб.: Наука, 1979 (djvu)
• Альфоpc Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969 (djvu)
• Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
• Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной. Мн.: Выш. школа, 1976 (djvu)
• Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (2-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu)
• Авдеев Н.Я. Задачник-практикум по курсу теории функций комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1959 (djvu)
• Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Нсб.: Наука, 1974 (djvu)
• Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. М.: ИЛ, 1951 (djvu)
• Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье М.: Мир, 1968 (djvu)
• Валирон Ж. Аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1957 (djvu)
• Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964 (djvu)
• Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
• Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964 (djvu)
• Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов: Львов. ун-т, 1954 (djvu)
• Ву Х. Теория равнораспределения для голоморфных кривых. М.: Мир, 1973 (djvu)
• Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
• Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969 (djvu)
• Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
• Гахов Ф.Д. Краевые задачи (2-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
• Гахов Ф.Д. Краевые задачи (3-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
• Голубев В.В. Однозначные аналитические функции автоморфные функции. М.: Физматлит, 1961 (djvu)
• Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (2-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu)
• Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955 (djvu)
• Гурвиц А., Курант P. Теория функций. М.: Наука, 1968 (djvu)
• Демидов А.С. Метод Гельмгольца-Кирхгофа (ГК-метод). EqWorld , 19.09.2007 (pdf)
• Евграфов М.А. (ред.) Сборник задач по аналитической теории функций (2-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
• Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М.: ИЛ, 1954 (djvu)
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.-Л.: ОНТИ, 1934 (djvu)
• Картан А. Элементарная теория функций комплексных переменных. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
• Коппепфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
• Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский Н.А. Униформизация и клейновы группы. Нсб.: НГУ, 1979 (djvu)
• Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. Л.-М.: ОНТИ, 1934 (djvu)
• Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953 (djvu)
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1946 (djvu)
• Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956 (djvu)
• Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. Л.-М.: ОНТИ, 1937 (djvu)
• Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu)
• Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971 (djvu)
• Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
• Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. М.-Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
• Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного. М.: ИЛ, 1951 (djvu)
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971 (djvu)
• Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941 (djvu)
• Петренко В.П. Рост мероморфных функций. Харьков: ХГУ, Вища школа, 1978 (djvu)
• Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций (2-е изд.). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Привалов И.И. Субгармонические функции. М.-Л.: ГРТТЛ, 1937 (djvu)
• Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974 (djvu)
• Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960

Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И.

3-е изд., испр. - М.: 2003. - 208 с.

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам теории функций комплексного переменного. В начале каждого параграфа приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также подробно разбирается около 150 типовых задач и примеров.

В книге содержится свыше 500 задач и примеров для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению.

Книга предназначается в основном для студентов технических вузов с математической подготовкой, но может принести пользу и инженеру, желающему восстановить в памяти разделы математики, относящиеся к теории функций комплексного переменного.

Формат: pdf

Размер: 15 ,2 Мб

Скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1 Функции комплексного переменного 3
§ 1. Комплексные числа и действия над ними 3
§ 2. Функции комплексного переменного 14
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 22
§ 4, Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана 29
Глава 2. Интегрирование. Ряды. Бесконечные произведения. 40
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного.... 40
§ 6. Интегральная формула Коши 48
§ 7. Ряды в комплексной области 53
§ 8. Бесконечные произведения и их применение к аналитическим функциям 70
1°. Бесконечные произведения 70
2°. Разложение некоторых функций в бесконечные произведения 75
Глава 3. Вычеты функций. . 78
§ 9. Нули функции. Изолированные особые точки 78
1 °. Нули функции 78
2°. Изолированные особые точки 80
§ 10. Вычеты функций 85
§ 11. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Суммирование некоторых радов с помощью вычетов.... 92
1°. Теорема Коши о вычетах 92
2°. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов 98
3°. Суммирование некоторых рядов с помощью вычетов. . 109
§ 12. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше 113
Глава 4, Конформные отображения. 123
§ 13. Конформные отображения 123
1°. Понятие конформного отображения 123
1 2°. Общие теоремы теории конформных отображений...125
3°. Конформные отображения, осуществляемые линейной функцией w - az + b, функцией w - \ и дробно-линейной функцией w = ffjj . . 127
4°. Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями 138
§14. Преобразование многоугольников. Интеграл Кристоффеля-Шварца. 150
Приложение 1 . . . . 159
§15. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл. . 159
Приложение 2 164
Ответы.......... 186

Краткий отрывок из начала книги (машинное распознавание)

М.Л.КРАСНОВ
А.И.КИСЕЛЕВ
Г.И.МАКАРЕНКО
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
М. Л. КРАСНОВ
А.И.КИСЕЛЕВ
Г.И.МАКАРЕНКО
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Л
1981
22.161.5
К 78
УДК 517.531
Кр ас н о в М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео-
Теория устойчивости: Учебное пособие, 2е изд., перераб. и доп. -М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
Как и другие книги, вышедшие в серии «Избранные главы выс-
высшей математики для инженеров я студентов втузов», эта книга
предназначается в основном для студентов технических вузов, но
она может принести пользу и инженеру, желающему восстановить
в памяти разделы математики, указанные в заголовке книги.
В этом издании по сравнению с предыдущим, вышедшим в
1971 г„ расширены параграфы, относящиеся к гармоническим функ-
функциям, вычетам и их применениям для вычисления некоторых интег-
интегралов, конформным отображениям. Добавлены также упражнения
теоретического характера.
В начале каждого параграфа приводятся необходимые теорети-
теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также под-
подробно разбираются типовые задачи и примеры.
В книге содержится свыше 1000 примеров и задач для самосто-
самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде
случаев даются указания к решению.
Рис. 71. Библ. 19 назв.
„ 20203-107 ^ о _лллл Глат:Ту.^^
К Аео/лоч Ql 23-81. 1702050000 физико-математической
053 @2)-81 литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Функции комплексного переменного 7
§ К Комплексные числа и действия над ними 7
§ 2. Функции комплексного переменного. ... # ...», 18
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел
и непрерывность функции комплексного переменного. . 25
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменно-
переменного. Условия Коши -Римана # . t . , 32
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного. , 42
§ 6. Интегральная формула Коши 50
§ 7. Ряды в комплексной области, 56
§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки 72
| 9. Вычеты функций 79
§ 10. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вы-
вычислению определенных интегралов. Суммирование не-
некоторых рядов с помощью вычетов 85
§ 11. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема
Руше # . , # . 106
§ 12. Конформные отображения 115
§ 13. Комплексный потенциал. Его гидродинамический
смысл 142
Глава II. Операционное исчисление 147
§ 14. Нахождение изображений и оригиналов 147
§ 15. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами 173
§ 16. Интеграл Дюамеля 185
§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравне-
уравнений операционным методом 188
§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами
специального вида 192
§ 19. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу-
аргументом. . . . а # 198
§ 20. Решение некоторых задач математической физики. . , 201
§ 21. Дискретное преобразование Лапласа 204
Глава III. Теория устойчивости. , . 218
§ 22. Понятие об устойчивости решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений. Простейшие типы точек покоя 218
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 23. Второй метод Ляпунова 225
§ 24. Исследование на устойчивость по первому приближе-
приближению 229
§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость
по Лагранжу 234
§ 26. Критерий Рауса -Гурвица. 237
§ 27. Геометрический критерий устойчивости (критерий Ми-
Михайлова) , . . , 240
§ 28. D-разбиения 243
§ 29. Устойчивость решений разностных уравнений 250
Ответы 259
Приложение 300
Литература 303
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем издании весь текст заново пересмотрен
и внесены некоторые дополнения. Увеличен раздел, посвя-
посвященный теории вычетов и ее приложениям (в частности,
введено понятие вычета относительно бесконечно удален-
удаленной точки, применение вычетов к суммированию некото-
некоторых рядов). Увеличено число задач по применению опе-
операционного исчисления к изучению некоторых специаль-
специальных функций (гамма-функции, функции Бесселя и др.),
а также число задач на изображение функций, заданных
графически. Существенно переработан параграф, посвя-
посвященный конформным отображениям. Увеличено количество
разобранных в тексте примеров. Устранены замеченные
неточности и опечатки; некоторые задачи, имеющие гро-
громоздкие решения, заменены более простыми.
При подготовке второго издания книги существенную
помощь своими советами и замечаниями нам оказали за-
заведующий кафедрой математики Московского института
стали и сплавов профессор В. А. Треногий и доцент этой
кафедры М. И. Орлов. Считаем своим приятным долгом
выразить им нашу глубокую признательность.
Мы учли замечания и пожелания кафедры прикладной
математики Киевского инженерно-строительного института
(заведующий кафедрой доцент А. Е. Журавель), а также
замечания товарищей Б. Ткачева (г. Краснодар) и
Б. Л. Цаво (г. Сухуми). Всем им мы выражаем нашу
благодарность.
0 ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы признательны профессорам М. И. Вишику,
Ф. И. Карпелевичу, А. Ф. Леонтьеву и С. И. Похожаеву
за постоянное внимание и поддержку нашей работы.
Все замечания и пожелания по улучшению задачника
будут приняты нами с благодарностью.
Авторы
ГЛАВА I
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Комплексные числа и действия над ними
Комплексным числом г называется выражение вида
(алгебраическая форма комплексного числа), где х и у-любые дей-
действительные числа, a i - мнимая единица, удовлетворяющая условию
12 = -1, Числа х и у называются соответственно действительной и
мнимой частями комплексного чис-
числа г и обозначаются
Комплексное число z=zx - iy
называется сопряженным комплекс-
комплексному числу г=л: + п/.
Комплексные числа гл =Xj + iy%
и г2*= #2 + 4/2 считаются равными
тогда и только тогда, когда хг = х21
Комплексное число 2 =
изображается в плоскости XOY
точкой М с координатами (дг, у)
либо вектором, начало которого Рис* *
находится в точке О @, 0), а конец
в точке М (х, у) (рис. 1). Длина р вектора ОМ называется модулем
комплексного числа и обозначается |г|, так что р = | г \=Vx"2+y2>
Угол ф, образованный вектором ОМ с осью ОХ, называется аргумен-
аргументом комплексного числа г и обозначается

не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2я:
Arg2 = arg2 + 2bt (£ = 0, ±1, ±2, ...),
где arg2 есть главное значение Arg2, определяемое условиями
причем
A)
arctg - , если х *> 0,
jt -f *rctg - , если х - я Jr arctg ■ , если х я/2, если х - 0, у > 0,
- я/2, если х г» 0, у 8 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. I
Имеют место следующие соотношения:
ig (Arg г) - ^~, sin (Arg z)
cos (Arg г) а
Два комплексных числа гг и г2 равны тогда и только тогда,
когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отли-
отличаются на величину, кратную 2л:
(л«0, ±lt ±2t .«.)
Пусть даны два комплексных числа zlwcl + ylt 22+y2
I. Суммой zt+z2 комплексных чисел гг и г% называется комплекс-
комплексное число
2. Разностью z^-z% комплексных чисел zx и z2 называется ком-
комплексное число
3. Произведением ztz2 комплексных чисел z1 и г2 называется ком-
комплексное число
Из определения произведения комплексных чисел, в частности,
следует, что
2
4. Частным ~ от деления комплексного числа 2i на комплекс-
комплексна
ное число ггт^О называется такое комплексное число г, которое
удовлетворяет уравнению гг^г^ Для частного имеет место формула
При этом была использована формула г^1
Формулу B) можно записать в виде
V
Действительная часть Re г и мнимая часть 1тг комплексного
числа z выражаются через сопряженные комплексные числа следую-
следующим образом:
Пример 1. Показать, что zx -\~z2 == -i + 2.2.
Доказательство. По определению имеем
ij комплексные числа и действия над ними
1. Доказать следующие соотношения:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2» Oj Z\Z% == ^i^2« В; [ - - J == - , Г)
Пример 2. Найти действительные решения уравнения
Решение. Выделим в левой части уравнения действительную
и мнимую части: (Ax+Sy) + iBдг-3#)= 13-+-*. Отсюда согласно
определению равенства двух комплексных чисел получаем
Решая эту систему, находим
Найти действительные решения уравнений:
2. (Злг-1)B + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. {x - iy)(a - ib) = Ca, где я, Ь -заданные действи-
действительные числа, \а\Ф\Ь\.
5. Представить комплексное число (aribp + (а _ .^t
в алгебраической форме.
6. Доказать, что -- - ~*~iX = i (x - действительное).
x-iY 1 -\-х~
7. Выразить х и у через « ии, если + ц fa =
= 1(л:, у, и, v - действительные числа).
8. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие
условию 2 = z2.
Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа
г*=- sin - -icos-g-.
Решение. Имеем
= -sin-л о о
Главным значением аргумента согласно A) будет
argz-- я + arctg/ctg-^j =. - я+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
= - я + arctg i tg д = - я + - я = - л.
\ О / О О
10 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. I
Следовательно,
Argz « -~ я + 2&1 (£ = 0, ±1, ±2, ...),
9. В следующих задачах найти модуль и главное зна-
значение аргумента комплексных чисел:
а) г-4 + 3/; б) z^~2 + 2V3i",
в) г = - 7 - i\ г) г = - cos | + i sin ?-;
д) г == 4 - 3/; е) г = cos a - t sin а
Любое комплексное число z - x + iy (г^ФО) можно записать в три-
тригонометрической форме
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное
число
Решение. Имеем
Следовательно,
Пример 5. Найти действительные корни уравнения
cos;t~f / sin х г» - + х *
Решение. Данное уравнение корней не имеет. В самом деле,
это уравнение равносильно следующим: cos*= 1/2, sin* = 3/4. По-
Последние уравнения несовместны, так как cos2 x + sin2 x» 13/16, что
невозможно ни при каких значениях х.
Любое комплексное число г Ф 0 можно записать в показательной
форме
*Ф где р = |г|, cp=*Argz.
Пример 6. Найти все комплексные числа z^O, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию 2я"» 1,
Решение. Пусть г =* ре*Ф. Тогда z «= ре~(ч>.
Согласно условию
или
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ II
2£л
откуда рл-2=1, т. е. р=1, и тф = 2&ги, т. е. 2, ..., л-1). Следовательно,
.2nk
n
(jfe«0, I, 2, ..., /г-!).
10. Следующие комплексные числа представить r три-
тригонометрической форме:
а) -2; б) 21; в) -
г) 1-sina + icosa
Д> l+cosa-i since \и е) -2; ж) i; з) -f; и) -1 -/
к) sin a - tcosa E Пусть комплексные числа гх и г2 даны в тригонометрической
форме гг = рх (cos ф! + е sin фх), г2 = р2 (cos ф2 + * sin ф2).
Их произведение находится по формуле
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (ф! + ф2)],
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются:
Arg (Z&) в Arg 2j + Arg г2.
Частное двух комплексных чисел гх иг2^0 находится но фор-
формуле
т-^тт lcos (v» *~ ^*)+f*sin (ф1"~ ф2I»
г3 ра
т. е.
Возведение комплексного числа
г = р (cos ф + i sin ф)
в натуральную степень п производится по формуле
Zn -- р« (cos щ Jf. i sjn /хф)^
т. е.
Отсюда получается формула Муавра
(cos ф + i sin ф)л == cos Лф + i sin /гф.
12 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. 1
Свойства модуля комплексных чисел
1. |*|Ч*|; 2- «-|z|»;
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \г*\^\г\"\
5.
Ч
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Пример 7. Вычислить (-■ 1 +1 Кз)§в.
Решение. Представим число г =-1 -f-* УЪ в тригонометриче-
тригонометрической форме
-I _}-/Кз = 2 (сое -§- п + | sin ~~ «V