Основы вероятностно-статистических методов описания неопределенностей. Международный студенческий научный вестник

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО

Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события

Не превосходит или

Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием

(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:

(при r= 2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство

Для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает получения новых неравенств того же типа, напр. экспоненциального неравенства:

Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. ). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:
где
Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.

К значительно более сильному неравенству

К-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона (см. Колмогорова неравенство ).
Второе посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:

Где

(см. Берпштейна неравенство ). Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых X i .
Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. ).

Лит. : Чебышев И. Л., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:

Неравенство Чебышёва (теория вероятностей) Неравенство Чебышёва для сумм … Википедия

1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей и оно имеет вид: а в интегральной форме ― вид: … … Большая советская энциклопедия

Для конечных монотонных последовательностей неравенство Ч … Математическая энциклопедия

В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если и то … Википедия

Отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… … Математическая энциклопедия

В теории вероятностей неравенство Хёфдинга даёт верхнюю границу вероятности того, что сумма величин отклоняется от своего математического ожидания. Неравенство Хёфдинга было доказано Василием Хёфдингом в 1963 году. Неравенство Хёфдинга… … Википедия

В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного… … Википедия

В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если и то … Википедия

В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва для сумм. Неравенство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно… … Википедия

В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева для сумм. Неравенство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории… … Википедия

Книги

• Теория вероятностей. Задачник. Учебное пособие для академического бакалавриата , Палий И.А.. Учебное пособие содержит задачи, охватывающие основные разделы базового курса теории вероятностей: комбинаторика, классические и геометрические вероятности, закон распределения и функция…

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел , а другая - .

В настоящей главе рассматриваются следующие теоремы, относящиеся к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.

1. Неравенство Чебышева .

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числасправедливо неравенство

, (9.1)

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет, больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату.

Запишем теперь вероятность события , т. е. события, противоположного событию. Очевидно, что

. (9.2)

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем. Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности тоже уменьшается и значение случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточиваются около ее математического ожидания.

Пример 1 . Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на . Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно.

Решение. По условию задачи имеем: ,. В нашем случае- размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получим

2. Теорема Чебышева .

При достаточно большом числе независимых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величиныи математическим ожиданием этой величиныпо абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числапри условии, что случайная величинаимеет конечную дисперсию, т. е.

где - положительное число, близкое к нулю.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получим

.

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или наоборот: по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, т. к. вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей , можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем накг ? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно кг .

Решение. По условию задачи имеем ,,, где- средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величиненеравенстсво Чебышева, то получим

,

а с учетом равенств (4.4) и (4.5) -

.

Подставляя сюда данные задачи, получим

,

откуда находим .

3. Теорема Бернулли .

Теорема Бернулли устанавливает связь между частостью появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независмых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между частостью появления событияв этих испытаниях и его вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа, если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .

Утверждение теоремы можно записать в виде следующего неравенства:

, (9.3)

где и- любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойство математического ожидания и дисперсии, а также неравенсво Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

, (9.4)

При решении практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений события внезависимых испытаниях. Имеем:

,

.

Используя неравенство Чебышева, в этом случае получим

.

Пример 3. Из изделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто обследованию, отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалосьбракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более% и не менее%.

Решение. Определим вроятность изготовления бракованного изделия:

.

Наибольшее отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности по абсолютной величине равно; число испытаний. Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:

,

.

4. Теорема Ляпунова.

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Эта группа теорем носит общее название центральной предельной теоремы . Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин () приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении, если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

; ;,

где ,;

2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных:

.

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются условия, перечисленные выше):

если случайная величина имеет конечные математическое ожиданиеи дисперсию, то распределение средней арифметической, вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины внезависимых испытаниях, приприближается к нормальному закону с математическим ожиданиеми дисперсией, т. е .

.

Поэтому вероятность того, что заключено в интервалеможно вычислить по формуле

(9.5)

Используя функцию Лапласа (см. приложение 2), формулу (9.5) можно записать в следующем, удобном для расчетов виде:

; .

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Частным случаем предельной центральной теоремы является теорема Лапласа (см. глава 3, п. 5). В ней рассматривается случай, когда случайные величины ,, дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения:и. О применении этой теоремы в математической статистике см. п. 6 главы 3.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называют законом больших чисел? Какой смысл имеет это название?

2. Сформулируйте неравенство Чебышева и теорему Чебышева.

3. Какова роль предельных теорем в теории вероятностей?

4. Какой из законов распределения фигурирует в качестве предельного закона?

5. В чем состоит центральная предельная теорема Ляпунова?

6. Как можно истолковать теорему Лапласа в качестве предельной теоремы теории вероятностей?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно см . Дисперсия этой величины равна . Используя нераввенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет; б) длина изделия выразится числом, заключенным междуисм .

Ответ: а) ; б).

2. Устройство состоит из независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяравна. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за времяокажется меньше.

1

В данной статье рассматриваются предельные теоремы теории вероятностей, в частности неравенство Чебышева, закон больших чисел, которые устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Материал статьи ориентирован на детальную проработку основной теоремы Чебышева. Ее доказательство базируется на весьма общей лемме, известной под названием неравенство Чебышева. Данное неравенство справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, так как часто дает грубую и очевидную оценку. Сущность теоремы состоит в том, что отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Теорема Чебышева представляет собой яркий пример, который подтверждает справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

теория вероятностей

случайные величины

предельные теоремы

закон больших чисел

неравенство Чебышева

теорема Чебышева

1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарика, 2009. – 328с.

2. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. 2005. – 285с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – 12 издание – М.: Высшее образование, 2008. – 479с. – (Основы наук)

4. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессом/ Дмитрий Письменный. – 3-е издание – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288с. – (Высшее образование)

Введение

Предельные теоремы условно делят на две группы. К первой группе теорем относится закон больших чисел, устанавливающий устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с точностью. Вторая группа теорем, которая называется центральной предельной теоремой, она устанавливает условия, благодаря которым закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

В данной статье мы рассмотрим неравенство Чебышева, которое используется: а) для грубой оценки вероятностей событий, связанных со случайными величинами, распределение которых неизвестно; б) доказательства ряда теорем закона больших чисел.

Целью данной статьи является успешное изучение и практическое применение теоремы Чебышева и закона больших чисел для эффективной математической подготовки студентов экономических специальностей высших учебных заведений.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

Теорема 1. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х)=а и дисперсию D(Х), то для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева.

P {|X-M(X)|}≥ε}≤ (1)

Докажем теорему (1) для непрерывной случайной величины Х с плотностью f(x).

Вероятность - это вероятность попадания случайной величины Х в область, лежащую вне промежутка .Можно записать

Так как область интегрирования можно записать в виде2 ≥ ε2,откуда следует. Имеем

так как интеграл неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только увеличиться. Поэтому

Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины. Рассмотрим случайную величину Х с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Тогда теорема, приведенная ниже, является справедливой.

Теорема 2. Вероятность того, что величина Х отклоняется от своего математического ожидания М(Х) не меньше любого положительного числа ε ограничена сверху величиной , то есть

P {|X - M(X)|} <ε} ≥ 1- (2)

В форме (2) оно устанавливает нижнюю границу вероятности события, а в форме (1) - верхнюю.

Неравенство Чебышева справедливо для случайных величин Х= m, имеющей биноминальное распределение с математическим ожиданием М(Х) = а = np и дисперсией D(X) = npq. Данное неравенство принимает вид

P {| m - np | (3)

для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью p=M()=a, дисперсия которых D()=, неравенство Чебышева имеет вид

P {| - p| (4)

Неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, так как часто дает грубую и очевидную оценку. Например, если D(X) >ε2 и > 1, то 1-> 0; поэтому в данном случае неравенство Чебышева указывает на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того тривиально,так как любая вероятность выражается неотрицательным числом. Это неравенство используется для вывода теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева

Рассмотрим случайную величину Х, в которой закон распределения изменяется от эксперимента к эксперименту. Тогда будем иметь дело с несколькими (n) величинами.

Теорема 3. Если Х1, Х2, …, Xn независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями М(Хi), i=, и дисперсиями D(Хi), i=, ограниченными одним и тем же числом С, то есть D(Хi) < С, i=, то при возрастании n среднее арифметическое наблюдаемых значений величин Хi, i=, сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий, то есть для любого ε> 0

Рассмотрим величинуY=. Ее математическое ожиданиеM(Y) = , а дисперсияD(Y) = .

Применим к величине Y неравенство Чебышева, получим

P ()

Так как, то

Как бы ни было мало , переходя к пределу в формуле (6) при n, получим

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограниченны) перестает быть случайной величиной. То есть оно является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине, так как среднее арифметическое математических ожиданий - величина неслучайная.

Можно получить другую формулировку закона больших чисел, если в формуле (5) перейти к вероятности противоположного события

Для одинаково распределенных случайных величин Хi, i= существует частный случай теоремы Чебышева.

Теорема 4 (теорема Хинчина). Пусть Х1, Х2, … - независимые одинаково распределенные случайные величины, которые имеют конечные математические ожидания М(Хi) = m. Тогда последовательность {Yn}, где Yn, сходится m с вероятностью 1, то есть для любого ε>0

Закон больших распространяется на зависимые случайные величины.

Теорема 5 (теорема Маркова). Если для случайных величин Х1, Х2, …

= 0

то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

для любого ε> 0

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.

Отсюда следует, невозможно с уверенностью предсказать какое вероятное значение примет каждое из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Это можно объяснить тем, что отклонение каждой их величин от своих математических ожиданий могут быть и положительными, и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева является справедливой не только для дискретных, но и для непрерывных величин; она представляет собой яркий пример, который подтверждает справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Библиографическая ссылка

Минасова Н.Р., Макеева О.О. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ // Международный студенческий научный вестник. – 2014. – № 2.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=11855 (дата обращения: 06.04.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Дисперсия случайной величины. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по при . Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .

Определение 5 . Дисперсией случайной величины называется число .

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений .

Утверждение 8 . Пусть - случайная величина , и - некоторые числа, . Тогда .

Как следует из утверждений 3 и 5, . Следовательно, . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то .

Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба.

Утверждение 9 . Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий: .

Для доказательства воспользуемся тождеством

которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры при подстановке и . Из утверждений 3 и 5 и определения дисперсии следует, что

Согласно утверждению 6 из независимости и вытекает независимость и . Из утверждения 7 следует, что

Поскольку (см. утверждение 3), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9.

Утверждение 10 . Пусть - попарно независимые случайные величины (т.е. и независимы, если ). Пусть - их сумма, . Тогда математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых - . Дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, .

Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин.

Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции .

При выводе формулы для дисперсии воспользуемся следующим свойством символа суммирования:

Положим , получим

Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

(8)

Как показано при доказательстве утверждения 9, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что при . Следовательно, в сумме (8) остаются только члены с , а они равны как раз .

Полученные в утверждениях 8-10 фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия , постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов.

Пример 9 . Рассмотрим событие и случайную величину такую, что , если , и в противном случае, т.е. если . Покажем, что .

Воспользуемся формулой (5) для математического ожидания. Случайная величина принимает два значения - 0 и 1, значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью , а потому . Аналогично с вероятностью и с вероятностью , а потому . Вынося общий множитель , получаем, что .

Пример 10 . Рассмотрим независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может наступить, а может и не наступить. Введем случайные величины следующим образом: , если в -ом испытании событие наступило, и - в противном случае. Тогда случайные величины попарно независимы (см. пример 7). Как показано в примере 9, , где . Иногда называют "вероятностью успеха" - в случае, если наступление события рассматривается как "успех".

Случайная величина называется биномиальной. Ясно, что при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение , т.е. вероятности при , достаточно знать - вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие осуществляется тогда и только тогда, когда событие наступает ровно при испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в опытах события и в опытах противоположного ему - это вероятность произведения независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. . Сколькими способами можно задать номера испытаний из ? Это - число сочетаний из элементов по , рассматриваемое в комбинаторике . Как известно,

где символом ! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до , т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение , т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид

Название " биномиальное распределение " основано на том, что является членом с номером в разложении по биному Ньютона

если положить . Тогда при получим

Для числа сочетаний из элементов по , кроме , используют обозначение .

Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для случайной величины , имеющей биномиальное распределение , математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами

поскольку является суммой независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в примере 9.

Неравенства Чебышева . Выше обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821–1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решений . Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений неизвестен (см. ниже, где, в частности, они применяются в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений).

Первое неравенство Чебышева . Пусть - неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа справедливо неравенство

Доказательство . Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что

Из (9) и (10) следует требуемое.

Второе неравенство Чебышева . Пусть – случайная величина . Для любого положительного числа справедливо неравенство

Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышева "О средних величинах", доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышева рассмотрим случайную величину . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа , как следует из первого неравенства Чебышева , справедливо неравенство

Положим . Событие совпадает с событием , а потому

что и требовалось доказать.

Пример 11 . Можно указать неотрицательную случайную величину и положительное число такие, что первое неравенство Чебышева обращается в равенство .

Достаточно рассмотреть . Тогда и , т.е. .

Следовательно, первое неравенство Чебышева в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании процессов принятия решений , левые части неравенств Чебышева много меньше соответствующих правых частей.

Пример 12 . Может ли первое неравенство Чебышева обращаться в равенство при всех ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число , что первое неравенство Чебышева является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное , меньшее положительного числа , например, положим . Тогда больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. А для такой случайной величины при любом положительном и левая и правая части первого неравенства Чебышева равны 0.

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины ? А требование положительности ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

Закон больших чисел . Неравенство Чебышева позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел . Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы большей части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышева . Пусть случайные величины попарно независимы и существует число такое, что при всех . Тогда для любого положительного выполнено неравенство

(11)

Доказательство . Рассмотрим случайные величины и . Тогда согласно утверждению 10

Из свойств математического ожидания следует, что , а из свойств дисперсии – . Таким образом,

Из условия теоремы Чебышева следует, что

Применим к второе неравенство Чебышева. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П.Л.Чебышевым в той же работе 1867 г. "О средних величинах", что и неравенства Чебышева .

Пример 13 . Пусть . При каких правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равна . Она не превосходит 0,1, если не меньше 1000, не превосходит 0,05, если не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если не меньше 10 000 000.

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании и фиксированных и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом . Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все ., имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию . В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

Из закона больших чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к , что записывают так:

Здесь знак означает " сходимость по вероятности". Обратим внимание, что понятие " сходимость по вероятности" отличается от понятия "переход к пределу" в математическом анализе. Напомним, что последовательность имеет предел при , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при любом справедливо утверждение: . При использовании понятия " сходимость по вероятности" элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число и утверждение предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее .

В начале лекции отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математик Якоб Бернулли (1654–1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.

Теорема Бернулли . Пусть – число наступлений события в независимых (попарно) испытаниях и есть вероятность наступления события в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство

(12)

Доказательство . Как показано в примере 10, случайная величина имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха и является суммой независимых случайных величин , каждое из которых равно 1 с вероятностью и 0 с вероятностью , т.е. . Применим к теорему Чебышева с и получим требуемое неравенство (12).

Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности ( по А.Н. Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей ( по Р. Мизесу (1883–1953), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний). Продемонстрируем эту связь . Для этого сначала отметим, что

при всех . Действительно,

Следовательно, в теореме Чебышева можно использовать . Тогда при любом и фиксированном правая часть неравенства (12) при возрастании приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.

Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна 1/2 из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик К. Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба – частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз – частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 [ [ 2.3 ] , с.148].

О проверке статистических гипотез. С помощью неравенства (12) можно кое-что сказать по поводу проверки соответствия качества продукции заданным требованиям.

Пусть из 100000 единиц продукции 30000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт , состоящий из 100000 испытаний 100000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна . В реальном опыте получено, что событие " единица продукции не является годной" осуществилось 30000 раз при 100000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности =0,23?

Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством (12). В рассматриваемом случае . Для проверки гипотезы поступим так. Оценим вероятность того, что отличается от так же, как в рассматриваемом случае, или больше, т.е. оценим вероятность выполнения неравенства . Положим в неравенстве (12) . Тогда

(13)

При = 100000 правая часть (13) меньше 1/2500. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше 1/2500. Поскольку 1/2500 – очень маленькое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть.

Подробнее методы проверки статистических гипотез будут рассмотрены ниже. Здесь отметим, что одна из основных характеристик метода проверки гипотезы – уровень значимости, т.е. вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу (ее в математической статистике называют нулевой и обозначают ), когда она верна. Для проверки статистической гипотезы часто поступают так. Выбирают уровень значимости – малое число . Если описанная в предыдущем абзаце

Более точные расчеты, основанные на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. ниже), дают = 0,095, = 0,0000005, так что оценка (13) является в рассматриваемом случае весьма завышенной. Причина в том, что получена она из наиболее общих соображений, применительно ко всем возможным случайным величинам улучшить ее нельзя (см. пример 11 выше), но применительно к биномиальному распределению – можно.

Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения от имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы событие "все 100000 единиц продукции являются дефектными" отнюдь не является невозможным с математической точки зрения, оно имеет положительную

При = 10000 правая часть последнего неравенства равна 1/400. Значит, если исходная гипотеза верна, то в нашем единственном эксперименте осуществилось событие, вероятность которого весьма мала – меньше 1/400. Поэтому исходную гипотезу необходимо отвергнуть.

Если из 1000 бросаний монеты гербы выпали в 400 случаях, то правая часть выписанного выше неравенства равна 1/40. Гипотеза симметричности отклоняется на уровне значимости 0,05 (и 0,1), но рассматриваемые методы не дают возможности отвергнуть ее на уровне значимости 0,01.

Если = 100, а = 40, то правая часть неравенства равна 1/4. Оснований для отклонения гипотезы нет. С помощью более тонких методов, основанных на центральной предельной теореме теории вероятностей, можно показать, что левая часть неравенства равна приблизительно 0,05. Это показывает, как важно правильно выбрать метод проверки гипотезы или оценивания параметров. Следовательно, целесообразна стандартизация подобных методов, позволяющая сэкономить усилия, необходимые для сравнения и выбора наилучшего метода, а также избежать устаревших, неверных или неэффективных методов.

Ясно, что даже по нескольким сотням опытов нельзя достоверно отличить абсолютно симметричную монету ( = 1/2) от несколько несимметричной (для которой, скажем, = 0,49). Более того, любая реальная монета несколько несимметрична, так что монета с = 1/2 - математическая абстракция . Между тем в ряде управленческих и производственных ситуаций необходимо осуществить справедливую жеребьевку, а для этого требуется абсолютно симметричная монета. Например, речь может идти об очередности рассмотрения инвестиционных проектов комиссией экспертов, о порядке вызова для собеседования кандидатов на должность, об отборе единиц продукции из партии в выборку для контроля и т.п.

И правая часть неравенства (12) имеет вид

Итак, здесь на основе элементарной теории вероятностей (с конечным пространством элементарных событий ) мы сумели построить вероятностные модели для описания проверки качества деталей (единиц продукции) и бросания монет и предложить методы проверки гипотез, относящихся к этим явлениям. В математической статистике есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчетах.

Можно спросить: "В рассмотренных выше моделях вероятности были известны заранее – со слов Струкова или же из-за того, что мы предположили симметричность монеты. А как строить модели, если вероятности неизвестны? Как оценить неизвестные вероятности?" Теорема Бернулли – результат, с помощью которого дается ответ на этот вопрос. Именно, оценкой неизвестной вероятности является число , поскольку доказано, что при возрастании вероятность того, что отличается от более чем на какое-либо фиксированное число, приближается к 0. Оценка будет тем точнее, чем больше . Более того, можно доказать, что с некоторой точки зрения (см. далее) оценка для вероятности является наилучшей из возможных (в терминах математической статистики – состоятельной, несмещенной и эффективной).