Площадь основания 6 угольной призмы формула. Правильная шестиугольная призма
Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.
Общая теория
Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.
При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.
Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.
Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.
Треугольная призма
Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.
Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.
Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.
Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.
Вторая: S = ½ н а * а.
Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.
Четырехугольная призма
Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.
Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.
Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .
В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.
Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.
Правильная пятиугольная призма
Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.
Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.
Правильная шестиугольная призма
По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.
Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.
Задачи
№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.
Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.
Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .
Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .
Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .
№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.
Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.
Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .
Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .
Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.
Определение призмы
С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.
В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.
Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.
Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны - прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.
Шестиугольная призма: определение и виды
Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.
Расстояние между основаниями фигуры - это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:
- опущен с геометрического центра одного из оснований;
- пересекает второе основание также в геометрическом центре.
Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.
Прямая шестиугольная призма - это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.
Элементы правильной шестиугольной призмы
Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.
Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р - число ребер, В - количество вершин и Г - граней, тогда можно записать равенство:
Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них - это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.
Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:
- Высота фигуры равна длине ее бокового ребра.
- Любое сечение боковой , выполненное с помощью секущей плоскости, которая параллельна основаниям, является правильным шестиугольником, равным этим основаниям.
Площадь шестиугольника
Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:
Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360 o , то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360 o /6=60 o . Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.
Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60 o , значит, два остальных угла тоже равны по 60 o . ((180 o -60 o)/2) - треугольники равносторонние.
Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:
S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .
Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S 6 для шестиугольника будет:
S 6 = 6*S 1 = 6*√3/4*a 2 = 3*√3/2*a 2 .
Формула определения объема правильной шестиугольной призмы
Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:
То есть, V равен произведению площади основания S o на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S 6 , то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:
V 6 = 3*√3/2*a 2 *b.
Пример решения геометрической задачи
Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.
Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:
a = r = 10 см;
b = h = 2*a = 20 см.
Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V 6 ≈5196 см 3 или около 5,2 литра.
На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про .
Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник . Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.
Используется теорема Пифагора и . Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в . Ещё вам пригодится навык извлечения их большого числа. Можете на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.
Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?
Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны .
*Противолежащие стороны параллельны.
Дополнительная информация
Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. *Это подтверждается очень просто: если мы соединим противоположные вершины шестиугольника, то получим шесть равных равносторонних треугольников. Почему равносторонних?
У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 60 0 (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.
То есть правильный шестиугольник, образно говоря, состоит как бы из шести равных равносторонних треугольников.
Какой полезный для решения задач факт ещё следует отметить? Угол при вершине шестиугольника (угол между его соседними сторонами) равен 120 градусам.
*Умышленно не коснулись формул правильного N-угольника. Данные формулы мы подробно рассмотрим в будущем, здесь они просто не нужны.
Рассмотрим задачи:
272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E 1 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA 1 E 1 . По теореме Пифагора:
*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.
Отрезок АЕ 1 является гипотенузой, АА 1 и А 1 Е 1 катеты. Ребро АА 1 нам известно. Катет А 1 Е 1 мы можем найти используя используя .
Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Следовательно
По теореме Пифагора:
Ответ: 96
*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.
Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.
Таким образом,
Ответ: 70
273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E 1 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник BB 1 E 1 . По теореме Пифагора:
Отрезок B 1 E 1 равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть
Таким образом,
Ответ: 200
273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD 1 D.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD 1 , в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне.
Таким образом,
Ответ: 2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 23. Найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим правильный шестиугольник:
В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,
Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.
Ответ: 60
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 10. Найдите угол AC 1 C. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AC 1 C:
Найдём AC . В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :
Таким образом,
Значит, угол AC 1 C равен 60 градусам.
Ответ: 60
274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 10. Найдите угол AC 1 C. Ответ дайте в градусах.
Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.
Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .
В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.
При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию . Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.
Объём призмы:
Объём пирамиды:
245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.
Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А 1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:
Ответ: 2
245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Это пирамида с основанием АА 1 С 1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:
Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объём пирамиды ВА 1 В 1 С 1 . Запишем:
Ответ: 4
245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА 1 и пирамиды CА 1 В 1 С 1 . Запишем:
Ответ: 4
245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:
Ответ: 4
245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:
Ответ: 3
245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:
Ответ: 8
245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является прямой призмой.
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.
Вычисляем:
Ответ: 6
245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .
*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).
Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:
Ответ: 1
245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.
Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.
Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:
*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.
Вычисляем объём призмы:
Ответ: 13,5
Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.
Решите две задачи на объём самостоятельно:
27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.
27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .
На этом всё. Удачи!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях
