Последовательность основных видов деятельности зависимости между величинами. Назвался груздем – полезай. Задания для самостоятельной работы
Величины и зависимости между ними
Содержание данного раздела учебника связано с компьютерным математическим моделированием. Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Приведем примеры таких зависимостей:
1) время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
2) давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3) уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами.
С понятием величины вы уже встречались в базовом курсе информатики. Напомним, что со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является «давление газа», а символическое имя для этой же величины — Р. В базах данных величинами являются поля записей. Для них, как правило, используются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин. Чтобы не терялся смысл, для определенных величин используются стандартные имена. Например, время обозначают буквой t, скорость — V, силу — F и пр.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора π = 3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величины вы также встречались, знакомясь с программированием и базами данных. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.
1) t (с) — время падения; Н (м) — высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.
2) Р (н/м 2) — давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °С — температура газа. Давление при нуле градусов Ро будем считать константой для данного газа.
3) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей (каких именно, будет сказано позже) — С (мг/м 3). Единица измерения — масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города — Р (бол./тыс.).
Отметим важное качественное различие между зависимостями, описанными в примерах 1 и 2, с одной стороны, и в примере 3, с другой. В первом случае зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно определяет значение t (пример 1), значение t однозначно определяет значение Р (пример 2). Но в третьем примере зависимость между значением загрязненности воздуха и уровнем заболеваемости носит существенно более сложный характер; при одном и том же уровне загрязненности в разные месяцы в одном и том же городе (или в разных городах в один и тот же месяц) уровень заболеваемости может быть разным, поскольку на него влияют и многие другие факторы. Отложим более детальное обсуждение этого примера до следующего параграфа, а пока лишь отметим, что на математическом языке зависимости в примерах 1 и 2 являются функциональными, а в примере 3 — нет.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель — это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:
Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты), вторую — линейной.
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
В еще более сложных задачах (пример 3 — одна из них) зависимости тоже можно представить в математической форме, но не функциональной, а иной.
Табличные и графические модели
Рассмотрим примеры двух других, не формульных, способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график.
Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему?)
В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 6.1. Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а наоборот — весьма проблематично.
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежат в основе современной техники.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели. В примере 1 приведена именно такая модель. В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т. д.
Система основных понятий
| Моделирование зависимостей между величинами |
|||
| Величина - | количественная характеристика исследуемого объекта |
||
| Характеристики величины |
|||
| Значение |
|||
| отражает смысл величины | определяет возможные значения величины | константа | |
| Виды зависимостей: |
|||
| Функциональные | |||
| Способы отображения зависимостей |
|||
| Математическая | Табличная модель | Графическая |
|
| Описание развития систем во времени - динамическая модель |
|||
Моделирование зависимостей
между величинами
«Единственный путь, который ведет к знаниям – это ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ» Б. Шоу
Назвался груздем – полезай
в кузов
Как аукнется - так и откликнется.
Значение
- Имя: смысловое (давление газа, время) и символическое (P,t)
- Значение: постоянная величина (константа) или переменная
- Тип: числовой, символьный, логический
По способу представления
информационные
материальные
вербальные
знаковые
образные
компьютерные
некомпьютерные
Информационные модели
Ч и с л о в о й т и п
Математические Табличные Графические
Время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты
t(с) – время падения; H (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой
Давление газа в баллоне зависит от его температуры
P (н/м 2) – давление газа; t (°С) – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.
Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе
Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – масса примесей, содержащаяся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей
Математическая модель
Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики
Табличные и графические модели
Проверим закон свободного падения тела экспериментальным путем.
Будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время его падения.
Таблица и график результатов эксперимента
H, м
t, с
- Существует три способа моделирования числовых величин: функциональный (формула), табличный и графический;
- Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график
Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры
T= от 10 до 150 с шагом 10
Рефлексия
Цель : выявление уровня осознания содержания пройденного материала
Продолжите фразу:
- Сегодня я узнал…
- Я приобрел…
- У меня получилось …
- Я смог…
- Урок дал мне для жизни…
- Мне захотелось…
- Было интересно…
- Было трудно…
- Я выполнял задания…
- Самым сложным при выполнении задания для меня было…
- Самым простым при выполнении задания для меня было…
- Самым интересным при выполнении задания для меня было…
Рефле́ксия (от позднелат. reflexio - обращение назад) - это обращение внимания субъекта на самого себя и на своё сознание, в частности, на продукты собственной активности, а также какое-либо их переосмысление.
Домашнее задание
- Из окна дома на высоте 19,6 м брошена монета со скоростью 5 м/с. Определить время, через которое монета упадет на землю. Используя MS EXCEL, построить модель падения с изменением начальной скорости от 5 м/с до 20м/с
Шаг изменения скорости 1 м/с.
Результат отправить по адресу:
Первый слайд на экране.
Добрый день! Садитесь. Откроем рабочие тетради запишем сегодняшнее число и тему урока:
«Моделирование зависимостей между величинами». Откройте рабочие тетради запишите сегодняшнюю дату и название темы. А в качестве эпиграфа к уроку я хотел бы взять известную фразу лауреата Нобелевской премии в области литературы Джоржа Бернарда Шоу: «Единственный путь, который ведет к знаниям – это
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ»
Определите цель сегодняшнего урока. (Научиться моделировать зависимости между величинами).
что такое модель?
Упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, которое отражает его существенные свойства.
что такое моделирование?
Моделирование
Процесс построения моделей для исследования и изучения объектов, процессов или явлений;
Метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.
Какие вы знаете модели по способу их представления
Материальные и информационные
Какое стандартное программное обеспечение позволяет нам строить
информационные модели?
Майкрософт эксесс
Майкрософт эксель
Какое приложение из перечисленных включает в себя более развитый математический аппарат?
Майкрософт эксель
Как вы считаете каким стандартным программным обеспечением необходимо научиться пользоваться для получения результата обозначенного темой урока?
Майкрософт эксель
Второй слайд.
Итак, приступим. Перед вами на слайде пословицы:
4. Как аукнется - так и откликнется.
5. Назвался груздем - полезай в кузов.
Определите понятие, которое объединяет все эти пословицы.
ЗАВИСИМОСТЬ
На каких уроках вы встречались с этим понятием?
(на математике физике химии биологии информатике и т.д).
Какие бывают зависимости?
Зависимости бывают математические, физические социальные информационные и т.д.
Давайте определим понятие зависимость как вид связи между величинами, объектами и субъектами.
Запишите это определение. Отметьте что определение понятия зависимость может изменяться исходя из сферы применения этого понятия. (Например определение наркотической зависимости будет включать в себя составляющие отличные от составляющих информационной зависимости).
Отметим еще две существенные формы зависимости величин, имеющих
утилитарное значение
Это – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x). Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической.
Разновидностью статистической зависимости является корреляционная зависимость, моделированием которой, мы займемся в следующей четверти.
Третий слайд
Определим понятие величина.
Что такое величина?
Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
Запишем это определение и перечислим свойства величин.
Свойства величин:
Имя величины.
может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим.
Значение.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора n =З,14159... Величина, меняющая свое значение, называется переменной.
определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический.
Поскольку при раскрытии темы урока мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа, описываемые математическими, табличными и графическими моделями.
Четвертый слайд
Слайд «Место информатики в системе наук»
Межпредметное значение информатики в значительной степени проявляется именно через внедрение компьютерного моделирования в различные научные и прикладные области: математику и физику, технику, биологию и медицину, экономику, управление и многие другие. С помощью компьютерного моделирования решаются многие научные и производственные задачи. Гибким инструментом для компьютерного моделирования является MS Excel.
Шестой слайд
Рассмотрим построение компьютерных моделей на
Примерах следующих зависимостей:
1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2) давление зависит от температуры газа в баллоне;
3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления).
Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).
Кроме имен укажем размерности величин.
t (сек) - время падения; Н (ж) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек2) - константа.
Отметим что
Если зависимое между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:
Построить самостоятельно табличную и графическую модель процесса изменения давления газа, при изменении температуры.
Для того чтобы вспомнить основные принципы работы с MS Excel построим модель процесса падения тела с высоты.
Демонстрация на экране.
В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.
Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.
Сейчас вы выполните компьютерный тест.
Поднимите руки те, кто получил за тест 5.
Определите проблемные места.
и по завершении тестирования построите модель процесса изменения давления.
Исходные данные:
t меняется от 0 до 150 с шагом 10 ПРОВЕРИТЬ!!!
Коротко о главном
Величина - некоторая количественная характеристика объекта.
Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.
Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.
MS Excel явлется гибким доступным и понятным средством моделирования.
Вспомним цель, которую поставили в начале урока.
Достигли ее?
Все ли было понятно на уроке?-рефлексия
Вопросы и задания
1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
б) Что такое математическая модель?
в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?
2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.
3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
рочитеать &36. Ответить письменно на вопорсы после параграфа.
В начале урока будет проверка по созданию зависимости между величинами в программе Excel на время.
Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике называется регрессией. Если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии.
Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы:
установление значимости связи между ними;
возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии).
Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.
При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, например от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного.
Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.
Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями – это может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), т.е. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака.
Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x).
В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, поэтому получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є.
По своему характеру корреляционные связи – это соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, например, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є.
Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r.
Если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линейной корреляции.
Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x).
Если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (т.е. реализуется идеальная взаимосвязь).
При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз).
Если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны
Cо всякой величиной связаны три основных свойства:
- имя,
- значение,
- тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим . Пример смыслового имени - «давление газа», символическое имя для этой же величины - Р.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой . Пример константы - число Пифагора ¶=3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин : числовой, символьный, логический. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин. Например, t (с) - время падения; Н (м) - высота падения.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то это математическая модель .
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Это пример зависимости, представленной в функциональной форме. Эту зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений.
Табличные и графические модели
Это другие, не формульные, способы представления зависимостей между величинами. Например, мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем.
| Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график. Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную ранее формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему? |  |  |
Точно так же можно отобразить зависимость любого явления физической природы, описываемого известными формулами.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели . В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии - развитие организмов или популяций животных, в химии - протекание химических реакций и т. д.
Модели статистического прогнозирования
Статистика
- наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.
Существуют медицинская статистика, экономическая статистика, социальная статистика и другие. Математический аппарат статистики разрабатывает наука под названием математическая статистика
.
| Например, наиболее сильное влияние на бронхиально-легочные заболевания оказывает угарный газ - .
Поставив цель определить эту зависимость, специалисты по медицинской
статистике проводят сбор данных. Полученные данные можно свести в таблицу, а также представить в виде точечной диаграммы.
А как построить математическую модель данного явления? Очевидно, нужно получить формулу, отражающую зависимость количества хронических больных Р от концентрации угарного газа С. На языке математики это называется функцией зависимости Р от С: Р(С). Вид такой функции неизвестен, ее следует искать методом подбора по экспериментальным данным. |  |  |
Отсюда следуют основные требования к искомой функции:
она должна быть достаточно простой для использования ее в дальнейших вычислениях;
график этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны. Полученную функцию в статистике принято называть регрессионной моделью .
Метод наименьших квадратов
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:
1) подбор вида функции;
2) вычисление параметров функции.
Первая задача не имеет строгого решения.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:
у = ах + b - линейная функция (полином 1-й степени);
у = ах 2 + bх + с - квадратичная функция
у = а n х n + a (n-1) х n-1 +...+ а 2 х 2 + a 1 х + a 0 - полином n-й степени ;
у = аln (х) + b - логарифмическая функция;
у = ае bх - экспоненциальная функция;
у = ах b - степенная функция.
После выбора одной из предлагаемых функций нужно подобрать параметры (а, b, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам, используя метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК) и очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты программ. Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже вопрос критерия соответствия. Для нашего примера рассмотрим три функции, построенные методом наименьших квадратов.
Данные рисунки получены с помощью табличного процессора Microsoft Excel. График регрессионной модели называется трендом .
Английское слово «trend» можно перевести как «общее направление», или «тенденция».
График линейной функции - это прямая. По этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды правдоподобны.
На графиках присутствует величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности . Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Из трех выбранных моделей значение R 2 наименьшее у линейной. Значит, она самая неудачная. Значения же R 2 у двух других моделей достаточно близки (разница меньше 0,01). Они одинаково удачны.
Прогнозирование по регрессионной модели
Получив регрессионную математическую модель можно прогнозировать процесс путем вычислений, т.е.оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений, которые были получены путем измерений, но и для других значений.
Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений, то это называется восстановлением значения
.
Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.
Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронных таблиц.
В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами
экспериментальной области. В нашем примере при экстраполяции не следует далеко уходить от величины 5 мг/м 3 . Что будет вдали от этой области, мы не знаем. Всякая экстраполяция держится на гипотезе: «предположим, что за пределами экспериментальной области закономерность сохраняется». А если не сохраняется?
Например, квадратичная модель в нашем примере при концентрации, близкой к 0, выдаст 150 человек больных, т. е. больше, чем при 5 мг/м 3 . Очевидно, это нелепость. В области малых значений С лучше работает экспоненциальная модель. Кстати, это довольно типичная ситуация: разным областям данных могут лучше соответствовать разные модели.
Моделирование корреляционных зависимостей
Пусть важной характеристикой некоторой сложной системы является фактор А. На него могут оказывать влияние одновременно многие другие факторы: B,C,D и т. д.
Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается неконтролируемому полностью разбросу, называются корреляционными зависимостями.
Раздел математической статистики, который исследует такие зависимости, называется корреляционным анализом. Корреляционный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру такой зависимости.
Оценку корреляции величин начинают с высказывания гипотезы о возможном характере зависимости между их значениями. Чаще всего допускают наличие линейной зависимости. В таком случае мерой корреляционной зависимости является величина, которая называется коэффициентом корреляции .
коэффициент корреляции (обычно обозначаемый греческой буквой ρ ) есть число из диапазона от -1 до +1;
если ρ по модулю близко к 1, то имеет место сильная корреляция, если к 0, то слабая;
близость ρ к +1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует возрастание значений другого набора, близость к -1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует убывание значений другого набора;
значение ρ легко найти с помощью Excel, так как в эту программу встроены соответствующие формулы.
| В качестве примера сложной системы
рассмотрим школу. Пусть хозяйственные расходы школы выражаются
количеством рублей, отнесенных к числу учеников в школе (руб./чел.),
потраченных за определенный период времени (например, за последние 5
лет). Успеваемость же пусть оценивается средним баллом учеников школы по
результатам окончания последнего учебного года. Итоги сбора данных по 20 школам, введенные в электронную таблицу и точечная диаграмма представлены на рисунках. Значения обеих величин: финансовых затрат и успеваемости учеников - имеют значительный разброс и, на первый взгляд, взаимосвязи между ними не видно. Однако она вполне может существовать. В Excel функция вычисления коэффициента корреляции называется КОРРЕЛ и входит в группу статистических функций. Покажем, как ею воспользоваться. На том же листе Excel, где находится таблица, надо установить курсор на любую свободную ячейку и запустить функцию КОРРЕЛ. Она запросит два диапазона значений. Укажем, соответственно, В2:В21 и С2:С21. После их ввода будет выведен ответ: р = 0,500273843. Эта величина говорит о среднем уровне корреляции. Теперь рассмотрим какой параметр из 2-х: оснащённость учебниками или компьютерами является коррелирующим в большей степени, т.е. имеет большее влияние на успеваемость Ниже на рисунке приведены результаты измерения обоих факторов в 11 разных школах. Для обеих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Как видно из таблицы, корреляция между обеспеченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция между компьютерным обеспечением и успеваемостью (хотя и тот, и другой коэффициенты корреляции не очень большие). Отсюда можно сделать вывод, что пока еще книга остается более значительным источником знаний, чем компьютер. |  |
 |  |
Величинами являются количественные значения предметов, длин отрезков, времени, углов и т.д.
Определение. Величина - результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения.
Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °.
Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.).
Основа метрической системы мер длины - метр - была введена в России в начале XIX века, а до этого для измерения длин использовались: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), косая сажень (= 2 м 13 см), маховая сажень (= 1 м 76 см), простая сажень (= 1 м 52 см), четверть (= 18 см), локоть (приблизительно от 35 см до 46 см), пядь (от 18 см до 23 см).
Как видим, было много величин для измерения длины. С вводом метрической системы мер жестко закреплена зависимость величин длины:
- 1 км = 1 000 м; 1 м = 100 см;
- 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.
В метрической системе мер определены единицы измерения времени, длины, массы, объема, площади и скорости.
Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем.
Определение. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными , если отношение их значений остается неизменным.
Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны.
Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении:
где S - путь; V - скорость; t - время.
Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной .
Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.
При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной .
Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.
Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин:
t = S: V - время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния).
V = S: t
- скорость движения прямо пропорциональна
пройденному пути и обратно пропорциональна
времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний).
Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.
