Правило сложение и вычитание натуральных чисел. Вычитание натуральных чисел - спиши у антошки. Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением

Вспомните, кто во время войн с Карфагеном составлял основную массу легионеров. Кого не брали на военную службу? (См. § 46, п. 3.)

1. Римская армия стала наёмной. В I (1-м) веке до н. э. армия набиралась из неимущих граждан, которым пла­тили воинское жалованье.

Солдаты готовы были служить любому щедрому полководцу и помочь ему стать едино­личным правителем Рима.

После победы над Спартаком главными соперниками в борьбе за власть стали полководцы Красс и Помпей. Они были врагами и ненавидели друг друга.

Бискайский " ГАЛЛИЯ

Массили: (Марсель

походов войск Цезаря Места и годы важнейших сраже­ний войск Цезаря -гт] Место победы Антония и Октавиана над республиканцами в 42 г. до н. э.

п-ов Малая Азия

о. Сицилия А " // о. Крит

Место победы флота Октавиана ^ над флотом Антония в 31 г. до н. э.

Гражданские войны в Риме.

2. Возвышение Цезаря. В эти же годы выдвинулся Гай Юлий Цезарь. Он проис­ходил из знатного рода, был умён, блестя­ще образован и красноречив. Цезарь всюду хотел быть первым, но у него не было ни большого богатства, ни славы полковод­ца, ни войска для борьбы за власть. Зато он сумел завоевать любовь простонародья. Со всеми Цезарь был ласков и приветлив, все свои деньги потратил на угощение ты­сяч неимущих граждан. В глубине души он одинаково презирал и бедноту, и знатных римлян. Цезарь лишь использовал бедняков, обещая улучшить их положе­ние, если придёт к власти.

Цезарь помирил Красса с Помпеем и заручился под­держкой обоих полководцев.

Они не считали его серьёзным соперником, а извест­ность Цезаря среди простонародья надеялись использовать в своих целях. Цезарь был избран консулом. За него го­лосовали римские бедняки, а также сторонники Красса и Помпея.

Спустя год по окончании службы консулом Цезарь по­лучил в управление провинцию Галлию.

3. Цезарь завоёвывает огромную страну. Галлия дели­лась на Пред альпийскую (то есть расположенную перед Альпами, в долине реки По) и Заальпийскую. Но если Предальпийская Галлия была давно захвачена римляна­ми, то в Заальпийской Галлии им принадлежала лишь

небольшая область. Цезарь поставил своей целью подчинить Риму всю Заальпийскую Галлию. Около десяти лет он воевал с насе­лявшими её многочисленными племенами. Вся эта обширная и плодородная страна, богатая железом, золотом и строевым ле­сом, была покорена и объявлена римской провинцией.

рили в его обещание наградить их земельными участками по окончании службы.

Успехи Цезаря вызывали зависть. Красс, желая пре­взойти славу завоевателя Галлии, отправился походом на Восток против могущественного Парфянского царства. Однако войско Красса было разбито, а самому Крассу пар­фяне предложили начать переговоры, во время которых его убили.

Помпей не только завидовал славе Цезаря, но и боял­ся его чрезмерного усиления. Он уговорил сенат прика­зать Цезарю распустить войска и безоружным вернуться в Рим, чтобы отчитаться в своих действиях. В случае отказа Цезарь объявлялся «врагом отечества».

4. Захват Цезарем власти - 49 год до н. э. Узнав о ре­шении сената, Цезарь подошёл к речке Рубикон, отделяв­шей провинцию Галлию от Италии. Там он остановился в глубоком раздумье и на­конец произнёс: «Жребий брошен!» По ко­манде Цезаря войско переправилось через Рубикон и двинулось на Рим.

Рим был занят без боя: беднота востор­женно встретила Цезаря.

Помпей бежал на Балканский полуостров, чтобы собрать там преданное ему войско. Цезарь последо­вал за Помпеем и разбил это войско. А сам Помпей вскоре погиб.

Цезарь выполнил часть своих обещаний народу. В Италии и провинциях он наделил землёй десятки тысяч ветеранов - старых солдат, завершивших службу. По пред­ложению Цезаря были заново отстроены Коринф и Карфаген, куда переселились многие неимущие граждане.

Опорой Цезаря были его легионы. Се­нат даровал ему пожизненно звание дик­татора - правителя, обладающего неогра­ниченной властью и не обязанного ни перед кем отчитываться в своих действиях. В Народном собра­нии на должности консулов или народных трибунов выби­рали тех, кого Цезарь счёл достойным и преданным себе.

Изображения повелителя Рима чеканились на монетах. Его статуи друзья увенчивали коронами. Восседал Цезарь на золотом кресле, напоминавшем трон.

5. Гибель Цезаря. Повелитель Рима ввёл в сенат мно­гих своих сторонников. Но были в сенате и тайные враги Цезаря, недовольные его единовластием. Эти люди реши­ли убить диктатора. Возглавил заговор молодой сенатор Брут, которого Цезарь считал своим другом и к которо­му относился как к сыну. Заговорщики условились испол­нить свой замысел во время заседания сената 15 марта 44 года до н. э. Утром этого дня Цезарь вышел из дома, как обычно, без охраны. Когда однажды друзья посове­товали диктатору остерегаться врагов и окружить себя телохранителями, то Цезарь ответил: «Лучше один раз умереть, чем постоянно ожидать смерти».

Рим был подобен судну, несущемуся без управления

(По рассказу Плутарха)

Перед приходом Цезаря к власти управление Римом находилось в полном расстройстве. Римляне, желавшие стать консулами, садились на площади за столиками и бесстыдно подкупали чернь. В день выборов беднота являлась в Собрание, чтобы бороться за тех, кто дал ей деньги. Бороться не только голосованием, но и оружием. Выборы превращались в настоящие сражения с убитыми и ранеными. Однажды не удавалось вы­брать консулов целых семь месяцев. Рим погружался в пучину бедствий. Здравомыслящие люди открыто говорили, что государство не может быть исцелено ничем, кроме единовластия.

Убийство Цезаря в сенате. Рисунок нашего времени.

В сенате Цезарь сел в своё кресло, позади которого сто­яла статуя Помпея, когда-то построившего на свои деньги это здание. Заговорщики окружили Цезаря и для виду об­ратились к нему с какой-то просьбой. Цезарь решитель­но отказал, тогда один из заговорщиков нанёс ему сзади удар кинжалом. «Что ты делаешь, негодяй!» - закричал Цезарь, и тут он увидел, что окружавшие его сенаторы выхватили из-под одежды мечи. Цезарь был безоружен. С криком поворачивался он то к одному, то к другому, но по­всюду встречал удары клинков. Когда Цезарь увидел под­ходившего к нему с обнажённым мечом Брута, то горестно воскликнул: «И ты, дитя моё!» Перестав сопротивляться, Цезарь упал на пол у подножия статуи Помпея. Основание статуи было забрызгано кровью, и казалось, что сам ГІом- пей явился для отмщения своему врагу.

Брут хотел обратиться к сенаторам с речью, но зда­ние опустело: все, кроме заговорщиков, в ужасе разбежа­лись.

Объясните значение слов: ветеран, диктатор.

Проверьте себя. 1. Кого в I (1-м) веке до н. э. стали брать на службу в римскую армию? 2. Как Цезарю удалось завоевать любовь простона­родья? Как он намеревался использовать эту любовь? 3. Какую роль сы­грало завоевание Галлии в возвышении Цезаря? 4. Какой властью стал обладать Цезарь после победы над своими врагами? Поработайте с датами. Подсчитайте, сколько лет прошло от установле­ния республики до захвата Цезарем власти в Риме.

Опишите рисунок «Убийство Цезаря в сенате» (см. с. 255). Кем были заговорщики? Чью власть они хотели восстановить?

Статуя Октавиана, держащего речь перед войском.

Подумайте. В нашей речи существуют крылатые выражения «перейти Рубикон», «и ты, Брут!». С какими событиями они связаны? Познакомьтесь с документом - рассказом Плутарха о Риме, подоб­ном судну, несущемуся без управления (см. с. 254). Какие люди стано­вились консулами? Заботились ли они о благе государства?

В I- м веке до н.э. армия стала наемной, она набиралась из неимущих граждан, которым платили воинское жалование. Солдаты были готовы служить любому щедрому полководцу и помочь ему стать единоличным правителем Рима. Главными соперниками за власть стали полководцы Красс и Помпей. Они были врагами и ненавидели друг друга. В эти же годы выдвинулся Гай Юлий Цезарь. Он происходил из знатного рода, был умен, блестяще образован и красноречив. Однажды Цезарь устроил гладиаторские игры, в которых сражалось 320 пар бойцов в посеребренных шлемах и панцирях. В глубине души он одинаково презирал и бедноту, и знатных римлян. Цезарь лишь использовал ненависть бедняков к сенаторам, обещая улучшить их положение, если придет к власти. Цезарь помирил Красса с Помпеем и заручился поддержкой обоих полководцев. Цезарь был избран консулом. За него голосовали римские бедняки, а так же сторонники Красса и Помпея. По окончании консульского года Цезарь получил в управлении провинцию Галлию. Галлия делилась на Предальпийскую и Заальпийскую. Но если Предальпийская галлия была давно захвачена римлянами, то в Заальпийской Галлии им принадлежала лишь небольшая область. Около десяти лет воевал Цезарь в Заальпийской Галлии с населявшими ее многочисленными племенами. Вся эта обширная и плодородная страна, богатая железом, золотом и строевым лесом, была покорена и объявлена римской провинцией. Войны в Галлии принесли цезарю славу талантливого полководца, груды золота и преданное войско. Успехи Цезаря вызывали зависть. Помпей не только завидовал, но и опасался его чрезмерного усиления. Он уговорил сенат приказать Цезарю распустить войска и безоружным вернуться в Рим, чтобы отчитаться в своих действиях. В случае отказа Цезарь объявлялся «врагом отечества». Узнав о решении сената, Цезарь подошел к речке Рубикон, отделявшей провинцию Галлии от Италии. Там он остановился в глубоком раздумье и произнес: «Жребий брошен!» Учебник «История пятый класс» стр.240 По команде Цезаря войско переправилось через Рубикон и двинулось на Рим. Рим был занят без боя: беднота восторженно встретила Цезаря. Опорой Цезаря были его легионы. Сенат даровал ему пожизненно звание диктатора - правителя, обладающего неограниченной властью и не обязанного ни перед кем отчитываться в своих действиях. Изображения повелителя Рима чеканились на монетах. В народном собрании на должности консулов или народных трибунов выбирали тех, кого Цезарь счел достойным и преданным себе. Повелитель Рима ввел в сенат многих своих сторонников, возвысившихся с его помощью. Но были и в сенате и тайные враги Цезаря, недовольные его единовластием. Эти люди решили убить диктатора. Возглавил заговор молодой сенатор Брут, которого Цезарь считал своим другом и относился к нему как к сыну. 15 марта 44 года до н.э. заговор осуществился, Цезарь был обезоружен, в сенате, и убит.

Итак, рост территории Римской республики, огромный приток рабов и все чаще вспыхивавшие восстания заставляли задуматься богатых римлян о замене республиканской формы правления. Сменявшиеся ежегодно консулы с трудом справлялись с управлением государством. Богачи подкупали избирателей, кормили и поили их, развлекали гладиаторскими играми и театральными представлениями. А между тем они часто не умели управлять государством. Спустя год эти люди становились наместниками провинций, попадали в сенат, где заседали пожизненно. Такой порядок управления изжил себя.

Все чаще командование войсками поручили опытным военачальникам. Успешные завоевательные войны усиливали власть полководцев. Они сами набирали войско. Легионеры подчинялись только военачальнику, так как плату они получали непосредственно от него. Поэтому многие рабовладельцы стали задумываться о том, чтобы лишить сенат власти и передать ее в руки опытного полководца, распоряжающегося сильным войском. Такими кандидатурами были полководцы Красс и Помпей, которые сыграли главную роль в подавлении восстания под предводительством Спартака. В эти же годы большим влиянием в Риме стал пользоваться еще один человек – Цезарь.

1 пункт плана – Возвышение Цезаря.

Сейчас мы с вами поближе познакомимся с этими кандидатами.

Первая кандидатура – Марк Лициний Красс (демонстрируется иллюстрация). Он был полководцев и политическим деятелем, одним из богатейших людей своего времени. Крассу не суждено было стать единоличным правителем Рима. Желая приумножить свою военную славу, он организовал поход в Междуречье против Парфянского царства (показ по карте). Алчный Красс рассчитывал на несметную добычу, но потерпел жестокое поражение. Боевые качества римской пехоты оказались бесполезными в сражении с тяжеловооруженными парфянскими всадниками. После поражения римлян парфяне заманили Красса в ловушку и убили.

В Риме не было человека, который не знал бы о Гнее Помпее по прозвищу Великий (Магн) (демонстрируется иллюстрация). Помпей подавил движение испанских племен против римского господства. В 71 г. до н.э. он принял участие в разгроме восстания Спартака. Позже Помпей разбил флотилии пиратов, разрушил их крепости и надолго покончил с разбоем на Средиземном море. На востоке Помпей присоединил к владениям Рима Сирию и другие земли, он внес в казну огромные деньги из военной добычи. Помпей трижды праздновал триумф.

Цезарь происходил из знатного рода (демонстрируется иллюстрация). Он был блестяще одаренным человеком, получил образование в лучших школах Рима и Греции. Цезарь всюду хотел быть первым, но у него не было ни богатства, ни войска для борьбы за власть. Между тем молодость его давно прошла. Цезарь жаловался друзьям: «В моем возрасте Александр Македонский уже правил столькими народами, а я до сих пор не совершил ничего замечательного!».

У кого, на ваш взгляд, было больше шансов в борьбе за власть? Обоснуйте свою точку зрения.

Действительно, больше всех шансов имел Помпей. И все-таки победил Цезарь. Как же это произошло, попытаемся определить.

Цезарь был очень хитрым политиком. Римскую бедноту Цезарь презирал, но использовал её для установления своей власти в Риме. Цезарь даже сделал долги, чтобы доставить бедноте удовольствие: осуществлял бесплатную раздачу хлеба беднякам, тратил свои деньги на театральные представления и праздники для бедноты, осуществлял раздачу земельных участков. Эти меры сделали его популярными среди народа.

Три полководца ненавидели друг друга, но решили на время объединить усилия, чтобы прийти к власти. У Красса были деньги, у Помпея слава великого полководца, у Цезаря – хитрый ум и поддержка простонародья. Давайте запишем: В 60 г. до н.э. Красс, Помпей и Цезарь заключили триумвират – союз трех полководцев.

Цезарь стал консулом 59 г., а после этого получил в управление провинцию Галлия. Чем же прославился Цезарь, будучи наместником Галлии? Об этом нам расскажет …

Вопросы к учащимся.

На какие части делилась провинция Галлия?

Какую часть Галлии сумел подчинить Цезарь?

Что принесли Цезарю войны в Галлии?

Куда еще совершил поход Цезарь?

Итак, Цезарь завоевал для Рима новые территории. Как полководец Цезарь отличался решительностью и в то же время осторожностью. Цезарь умел настроить воинов краткой и удачно построенной речью, лично знал своих центурионов и лучших солдат и пользовался среди них необычайно популярностью и авторитетом.

После гибели Красса в Парфии в 53 г. до н.э. триумвират распался. Помпей не только завидовал славе Цезаря, но и боялся его чрезмерного усиления. Помпей в своем соперничестве с Цезарем возглавил сторонников республиканского правления. Сенат, опасаясь Цезаря, отказался продлить его полномочия в Галлии. Цезарю приказали распустить войска и безоружным вернуться в Рим. В случае отказа он объявлялся «врагом отечества». Это было в 49 г. до н.э. Узнав о решении сената, Цезарь подошел в речке Рубикон (показ по карте), отделявшей провинцию Галлию от Италии. Там остановился в глубоком раздумье и наконец произнес: «Alea iacta est», что означает «жребий брошен». Эта фраза и сегодня используется в речи в смысле «выбор сделан», «принять трудное решение». По команде Цезаря войско переправилось через Рубикон и двинулось на Рим. Так началась гражданской война Цезаря против римского сената во главе с Помпеем Великим.

А сейчас прочитайте 2-5 абзацы пункта 4 и выпишите в тетрадь новые понятия, затем мы с вами обсудим прочитанное.

Что стало с Гнеем Помпеем?

Как называли старых солдат, завершивших службу?

Что сделал для них Цезарь?

Какое пожизненное звание даровал Цезарю сенат?

В чем проявилась неограниченная власть Цезаря?

В обществе, особенно в республиканских кругах, назревало недовольство, ходили слухи о стремлении Цезаря к царской власти. Все это побудило недовольных к организации заговора против диктатора. Сейчас мы с вами посмотрим видеофрагмент о судьбе Цезаря из сериала «Империя» (демонстрируется видеофрагмент).

Итак, кто возглавил заговор?

Что стало с Цезарем?

Где приговор был исполнен?

Что перед смертью сказал Цезарь? К кому были обращены эти слова?

Операции вычитания между любыми натуральными числами присущ ряд особенностей, называемых свойствами. В данной статье мы рассмотрим основные свойства натуральных чисел и приведем разъясняющие примеры.

Свойство вычитания равных натуральных чисел

Для двух равных натуральных чисел их разность равна нолю. Если a - любое натуральное число, то a - a = 0 .

Это самое простое свойство. Число ноль указывает на отсутствие чего либо. Если из множества каких-то объектов вычесть такое же множество объектов, получится ноль. Например, у Пети было 15 яблок, он решил угостить Машу и отдал ей все 15 штук. Теперь у Пети ноль яблок.

Переместительный закон (не выполняется для вычитания)

Известно, что при сложении чисел от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Так же, как и при умножении произведение не меняется при перестановке множителей. Эта особенность называется переместительным, или коммутативным законом. Однако при вычитании коммутативный закон работает только в одном случае: когда вычитаемое число равно уменьшаемому.

В случаях, когда уменьшаемое число становится меньше вычитаемого, теряется сам смысл вычитания натуральных чисел. Например:

38 - 21 очевидно, не равно 21 - 38

В общем виде можно записать это так: a - b ≠ b - a .

Свойства вычитания натуральных чисел

Для операции вычитания натуральных чисел переместительный закон не выполняется!

Вычитание суммы двух чисел из натурального числа

Сформулируем свойство, а затем рассмотрим пример, который даст глубокое понимание и поможет осмыслить сказанное.

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа

Вычитание суммы двух натуральных чисел из другого натурального числа равносильно последовательному вычитанию из числа сначала одного слагаемого суммы, а затем другого.

Математически это запишется так:

a - (b + c) = (a - b) - c

Обратимся к примеру. У Пети и у Васи было по 8 монет. Петя сразу купил напиток за две монеты и конфету за одну монету. Вася сначала купил напиток, а потом подумал, и тоже купил конфету. В итоге, у обоих осталось по пять монет. Операции с монетами Пети и Васи можно соответственно записать так:

8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5

Важно отметить, что данная операция для натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое число больше или равно сумме чисел, которые из него вычитают.

В соответствии с рассмотренным свойством и сочетательным законом, можно вычитать из натурального числа сумму двух, трех и более чисел.

Вычитание числа из суммы

Представим, что у Родиона в одном кармане 3 конфеты, а в другом - 5 конфет. 2 конфеты он обещал отдать Зухре. Какими способами может Родион отдать Зухре конфеты?

Во-первых, можно все конфеты переложить в один карман и оттуда уже достать 2 штуки. Останется конфет: 3 + 5 - 2.

Во-вторых, можно сразу достать две конфеты из первого кармана. Останется конфет: 3 + 5 - 2 .

Наконец, в-третьих, можно достать две конфеты из второго кармана. В итоге имеем: 5 + (3 - 2) .

Количество конфет в итоге остается неизменным и справедливы равенства:

3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .

Теперь можно сформулировать правило вычитания числа из суммы других натуральных чисел.

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел

Вычитание натурального числа из суммы других натуральных чисел эквивалентно последовательному вычитанию данного числа из одного слагаемого и сложению полученной разности с другим слагаемым.

В буквенной форме свойство имеет следующий вид:

(a + b) - c = (a - c) + b

Если выполняется условие b ≥ c , можно записать (a + b) - c = a + (b - c) .

При a ≥ c и b ≥ c оба равенства можно переписать в виде (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) .

Свойство вычитания натурального числа из суммы трех и более чисел формулируется аналогично и вытекает из свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Рассмотрим пример.

Пример. Вычитание числа из суммы

a , b , c , d - некоторые натуральные числа.

Если a ≥ d то a + b + c - d = (a - d) + b + c .

Если b ≥ d то a + b + c - d = a + (b - d) + c .

Если c ≥ d то a + b + c - d = a + b + (c - d) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter