Размещение комбинаторика. Комбинаторика. Перестановки. Решение задач
Сочетания. Размещения. Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Рассмотрим пример : сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение:
Или такой пример . Порядок выступления семи участников на студенческой конференции определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение: каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 7 элементов. Их число находится
Пример. К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?
Решение: очередь состоит из 4 различных лиц, поэтому в каждом способе составления очереди учитывается порядок их расположения. Таким образом, имеют место перестановки из четырех человек, их число равно
Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо их порядком, либо составом элементов.
Число всех возможных размещений рассчитывается
Пример: сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?
Решение:
Пример: расписание одного дня состоит из пяти уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение: каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования, то есть является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписания находят по формуле
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
Пример: сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение:
Пример: в шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение: каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается только составом пар участников, то есть представляет собой сочетание из 16 элементов по два
Пример: имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста необходимо выбрать три штамма. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: способы отбора считаются различными, если каждый отобранный штамм различается хотя бы одним элементом. Это число
То есть имеется 20 способов.
Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А , либо В можно способами.
Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.
Основная формула комбинаторики
Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .
Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .
Пример 2.
Сколько
трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
цифры могут повторяться?
Решение:
n 1 =6
(т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7
(т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4,
6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.
Пример 3.
Сколько всех четырехзначных чисел
можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение.
Для каждого разряда
четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.
Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .
Число размещений из n элементов по m
Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:
Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.
Пример 5
. Сколько существует двузначных
чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные
и нечетные?
Решение:
т.к. нечетных цифр
пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на
две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Число сочетаний из n элементов по m
Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?
Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:
Перестановки из n элементов
Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.
Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.
Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.
И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.
Пример 9.
На родительском собрании
присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава
родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение:
В этом примере нас
не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его
составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же
вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний
из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.
Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, если цифры могут повторяться?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?
Учитесь решать задачи по комбинаторике? На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики : сочетания, размещения, перестановки (смотрите ) и научиться их применять для решения задач.
Как выбрать формулу комбинаторики?
Мы подготовили для вас наглядную схему с примерами решений по каждой формуле комбинаторики:
- алгоритм выбора формулы (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без),
- рекомендации по изучению комбинаторики,
- 6 задач с решениями и комментариями на каждую формулу.
Перестановки
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками
, а их число равно
$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.
Пример всех перестановок из $n=3$ объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3 =6$, так и получается.
С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).
Размещения
Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями
$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-m+1) $$
Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6$.
Сочетания
Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями
из $n$ объектов по $m$, а их число равно
$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!} $$
Пример всех сочетаний из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $C_3^2=\frac{3!}{(3-2)!\cdot 2!} =3$. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в $m!$ раз, то есть верна формула связи:
$$ A_n^m = C_n^m \cdot P_m.$$
Задача
.
Определить количество всех упорядоченных
наборов
длиныr
,
которые можно составить из элементов
множестваX
(
),
если выбор каждого элемента
,
производится из всего множестваX
.
Упорядоченный
набор
– это элемент декартова произведения
,
состоящего изr
одинаковых множителейX
.
По правилу произведения количество
элементов множества
равно
.
Мы вывели формулу
.
Пример . Сколько четырехзначных телефонных номеров можно составить, если использовать все десять цифр?
Здесь
,
и количество телефонных номеров равно
2.1.5. Размещения без повторений
Задача
.
Сколько упорядоченных наборов
можно составить изn
элементов множестваX
,
если все элементы набора различны?
Первый элемент
можно выбратьn
способами. Если первый элемент уже
выбран, то второй элемент
можно выбрать лишь
способами,
а если уже выбран
элемент
,
то элемент
можно
выбрать
способами
(повторение уже выбранного элемента не
допускается). По правилу произведения
получаем
Эта формула
записывается иначе с использованием
обозначения
.
Так как
.
Пример . Сколько может быть различных списков победителей олимпиады (первое, второе, третье место), если участвовало 20 человек?
Здесь
,
искомым является число
2.1.6. Перестановки без повторений
Рассмотрим
частный случай размещения без повторений:
если
,
то в размещении участвуют все элементы
множестваX
,
т.е. выборки имеют одинаковый состав и
отличаются друг от друга только порядком
элементов. Такие выборки называютсяперестановками
. Количество
перестановок изn
элементов обозначают
:
Пример. Сколькими способами можно выстроить очередь в кассу, если хотят получить зарплату шесть человек?
2.1.7. Перестановки с повторениями
Пусть множество
X
состоит изk
различных элементов:
.Перестановкой с повторениями
состава
будем называть упорядоченный набор
длины
,
в котором элемент
встречается
раз
.
Количество таких перестановок обозначается
.
Пример
. Из
букв
запишем перестановку с повторением
состава
.
Ее длина
,
причем букваa
входит 2 раза,b
– 2 раза,c
– один раз. Такой перестановкой будет,
например,
или
.
Выведем формулу
количества перестановок с повторениями.
Занумеруем все одинаковые элементы,
входящие в перестановку, различными
индексами, т.е. вместо перестановки
получим
.
Теперь все элементы перестановки
различны, а количество таких перестановок
равно
.
Первый элемент встречается в выборке
раз. Уберем индексы у первого элемента
(в нашем примере получим перестановку
),
при этом число различных перестановок
уменьшится в
раз, т.к. при изменении порядка одинаковых
элементов наша выборка не изменится.
Уберем индексы у второго элемента –
число перестановок уменьшится в
раз. И так далее, до элемента с номеромk
– число перестановок уменьшится в
раз. Получим формулу
Пример . Сколько различных “слов” можно получить, переставляя буквы слова “передача” ?
В этом слове
буквы “е” и “а” встречаются два раза,
остальные по одному разу. Речь идет о
перестановке с повторением состава
длины.
Количество таких перестановок равно
2.1.8. Сочетания
Задача . Сколько различных множеств изr элементов можно составить из множества, содержащегоn элементов?
Будем составлять
вначале упорядоченные наборы по r
элементов в каждом. Количество таких
наборов (это размещения изn
элементов поr
)
равно
.
Теперь учитываем, что порядок записи
элементов нам безразличен. При этом из
различных размещений, отличающихся
только порядком элементов, получим одно
сочетание. Например, два различных
размещения
и
из двух элементов соответствуют одному
сочетанию
.
Таким образом, число сочетаний
в
раз меньше числа размещений
:
Пример . Количество способов, которыми мы можем выбрать из восьми дворников троих равно
Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.
План занятия:
1. Число размещений.
2. Число перестановок.
3. Число сочетаний.
4. Повторения.
5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.
Методические указания по изучению темы
Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.
Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.
Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .
Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).
Размещения
Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:
Понятие факториала
Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть
Например, 2!=
5!= 
Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.
Примеры:
Из последних двух формул следует, что
Пример.
В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?
Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда
(вариантов).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение:
(способов).
Пример.
Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?
(телефонных номеров).
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:
Пример.
В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?
Решение:
В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)
Пример.
Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?
Решение:
(способов)
Пример.
Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?
Решение:
(способов).
Сочетания
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний вычисляют по формуле: 
(С - первая буква французского слова combinasion).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение :
(способов).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?
Решение:
(способов).
Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний
; 
, то есть 
.
Свойства числа сочетаний:
5) 
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.
Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
Размещения с повторениями
Число размещений по m
элементов с повторениями из n
различных элементов равно n m
,то есть 
Пример.
Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.
Перестановки с повторениями
Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями
где 
Пример.
Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?
Решение:
Сочетания с повторениями
Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:
Пример.
Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.
Решение:
Искомое число будет 
Бином Ньютона
Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:
Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.
При n = 2 получим формулу ;
При n = 3 получим формулу .
Пример. Определить разложение при n=4.
Решение:
Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:
2. 
;
Рассмотрим следующий треугольник:
………………………….
Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:
……………………….
Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.
В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)
Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).
А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)
При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить: 
2. Вычислить:
3. Вычислить: 
4. Найти n , если 5С n 3 =
5. Найти n , если
6. Найти n , если
7. Найти n
, если 
8. Найти n
, если 
, k n
9. Решить уравнение 
10. Решить систему
11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?
13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?
14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?
15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?
16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?
17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?
18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?
20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?
21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?
23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?
24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?
28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?
29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?
30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?
31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.
32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?
33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?
34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?
35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?
36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.
37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).
38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?
39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?
40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?
41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?
42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?
43. Определить разложение при n=5.
44. Определить разложение при n=8.
45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).
46. Найти шестой член разложения 
, если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.
47. В разложении 
коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).
48. В разложении бинома 
найти члены, не содержащие иррациональности.
49. Найти номер того члена разложения 
, который содержит a и b в одинаковых степенях.
Практическое занятие №2
(интерактивное занятие в малых группах)
Булевы функции
Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.
План занятия:
1. Основные операции
2. Булевы функции от n переменных
3. Основные эквивалентности
