Алгоритм умножения. Задача перемножения длинных целых чисел без знака. Представление длинных целых чисел

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. В случае если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. В случае если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, ᴛ.ᴇ. b 0 >а 0 , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а 0 число b 0 и записываем разность в разряде единиц ис­комого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. В случае если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, всœе цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b 0 из 10 + а 0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитаниеизстаршего разряда уменьшаемого.

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определœении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определœению, всœе произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определœенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет данный алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, к примеру, столбиком 428 на 263.

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, ᴛ.ᴇ. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по - особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - это результат умножения на 2 сотни, ᴛ.ᴇ. число 85600. Вместе с тем, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, крайне важно уметь:

Умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

Складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Умножим, к примеру, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4× 10 2 +2× 10+8 и тогда 428× 3=(4× 10 2 +2× 10+8)× 3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4× 10 2 +(2× 10)× 3+8× 3. Произведения в скобках бывают найде­ны по таблице умножения однозначных чисел: 12× 10 2 +6× 10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, нужно преобразовать выражение 12× 10 2 +6× 10+24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1·10+2, а число 24 в виде 2·10+4. Затем в выражении (1·10+2)·10 2 +6·10+(2·10+4) раскроем скобки: 1·10 3 +2·10 2 +6·10+2·10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 1·10 3 +2·10 2 +(6+2)·10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1· 10 3 +2·10 2 +8·10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т. е. 428·3=1284.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

Записи чисел в десятичной системе счисления;

Свойствах сложения и умножения;

Таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.

Пусть требуется умножить х=а n ×10 n +а n–1 ×10 n–1 +…+а 1 ×10+а 0 на однозначное число у:

х×у=(а n ×10 n +а n–1 ×10 n–1 +…+а 1 ×10+а 0)×у=(а n ×у)×10 n +(а n–1 × у)×10 n–1 +…+а 0 ×у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем всœе произведения а k ×у, где 0£k£n, соответствующими значениями а k ×у=b k ×10+с и получаем:

х×у=(b п ×10+с п)+(b п-1 ×10+с п-1)×10 п-1 +...+(b 1 ×10+с 1)×10+(b 0 ×10+с 0)= =b п ×10 п+1 +(с п +b п-1)×10 п +...+(с 1 +b 0)×10+с 0 . По таблице сложения заменяем суммы с k +b k -1 , где 0£k£n и k=0,1,2, ...,n, их значениями. В случае если, к примеру, с 0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с 0 . В случае если же с 0 =10+m 0 , то последняя цифра равна m 0 , а к скобке (с 1 + b 0) нужно прибавить 1. Продолжая данный процесс, получим десятичную запись числа х × у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем видеалгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. В случае еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. В случае если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q 1 +с 0 , где с 0 – однозначное число; записываем с 0 в разряд единиц ответа и запоминаем q 1 - перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q 1 и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10 k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х=а n ×10 n +а n–1 ×10 n–1 +…+а 1 ×10+а 0 на 10 k:

(а n ×10 n +а n–1 ×10 n–1 +…+а 1 ×10+а 0)×10 k =а n ×10 n+ k +а n–1 ×10 n+ k –1 +…+а 0 ×10 k . Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно

a n ×10 n+ k +а n–1 ×10 n+ k –1 +…+а 0 ×10 k +0×10 k -1 +0×10 k –2 +…+0×10 +0.

К примеру ,

347·10 3 =(3·10 2 +4·10+7)·10 3 =3·10 5 +4·10 4 +7·10 3 =3·10 5 +4·10 4 +7·10 3 +0·10 2 + +0·10+0= =347000

Заметим еще, что умножение на число у×10 k , где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k . К примеру, 52×300=52×(3×10 2)=(52×3)×10 2 =156×10 2 =15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, ᴛ.ᴇ. к произведению 428× 263. Представим число 263 в виде суммы 2× 10 2 +6× 10+3 и запишем произведение 428× (2× 10 2 + 6× 10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428× (2× 10 2) + 428× (6× 10) + 428× 3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428× 2) × 10 2 +(428× 6)× 10+428× 3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.

Пусть х и у - многозначные числа, причем у=b m ×10 m +b m –1 ×10 m –1 +…+b 0 . В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать:

х×у=х×(b m ×10 m +b m –1 ×10 m –1 +…+b 0)=(х×b m)×10 m +(х×b m –1)×10 m –1 +…+b 0 ×х. Последовательно умножая число х на однозначные числа b m , b m –1 , …, b 0 , а затем на 10 m , 10 m –1 , …, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х× у.

Сформулирует в общем виде алгоритм умножения числа х= на число у = .

1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b 0 числа у и записываем произведение х × b 0 под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b 1 числа у и записываем произведение х×b 1 , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х × b 1 на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х×b k .

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделœенными этапами. Различия имеются только в записи. К примеру, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400× 3 + 20× 3 + 8× 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284.

Основой выполненных преобразований являются:

Представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (ᴛ.ᴇ. запись числа в десятичной системе счисления);

Правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

Умножение «круглых» (ᴛ.ᴇ. оканчивающихся нулями) чиселна однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многознач­ных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение много­значных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столби­ком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - »то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4∙10² + 2∙10 + 8 и тогда 428∙3 = (4∙10² + 2∙10 + 8) ∙ З; На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4∙10²) ∙ З + (2∙10)∙ З + 8 ∙ З

Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10² + 6∙10 + 24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 10 + 2, а число 24 в виде 2 10 + 4. Затем раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

Записи чисел в десятичной системе счисления;

Свойствах сложения и умножения;

Таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = х = ,

на однозначное число у:

х ∙ у = (a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 ) ∙ у

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния а к ∙ у =b к ∙ ∙10 + с и получаем:

х ∙ у = (b n ∙ 10 + с n ) ·10 n + ( b n -1 ∙10 + c n -1 · ) ∙10 n -1 + … + (b 1 ∙10 + с 1 ) ·10 + (b 0 · 10 + с 0 ) =

b n ∙ 10 n + (с n + b n -1 ) ∙10 n + … + ( с 1 + b 0 ) · 10 + с 0

По таблице сложения заменяем суммы ск + b к-1 , где 0 £ к £ n и к : = 0, 1, 2, ..., n , их значениями. Если, например, с 0 одно­значно, то последняя цифра произведения равна с 0 . Если же с 0 = 10 + m 0 , то последняя цифра равна m 0 , а к скобке ( с 1 + b 0 ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х ∙ у .

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х = а n а n -1 …а 1 а 0 на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q 1 + c 0 ; , где c 0 – однозначное число; записываем c 0 в разряд единиц ответа и запоминаем q 1 - пере­нос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q 1 и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10 сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Покажем это. Умножим число)

х = a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 на 10 :

(a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 ) ×10

Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа

а n а n -1 …а 1 а 0 0…0 , так как равно

a n ·10 n + + a n -1 ·10 n + -1 + ... + а 0 · 10+ 0 × 10+ 0 × 10+…+ 0 × 10 + 0.

Например, 347 × 10 ³ ⁵⁴ = (3× 10 ² + 4 ×10 + 7) × 10 ³ = 3 × 10 ⁵ + 4 × 10 ⁴ + 7 × 10 ³ + 0 × 10 ² + 0 × 10 + 0 = 347000.

Заметим еще, что умножение на число у × 10 , где у - однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 . Например, 52 × 300 = 52 × (3 × 10 ²) = (52× 3) = 156 × 10 ² = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 × 263. Представим число 263 в виде суммы 2× 10 ² + 6 ×10 + 3 и запишем произведение 428 × (2× 10 ² + 6 ×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 × (2× 10 ²) + 428 × (6 ×10) + 428 × 3 . Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 × 2) × 10 ² + (428 × 6) ×10 + 428 × 3 . Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х и у - многозначные числа, причем у

у = b·10 + b·10 + ... + b 1· 10 + b 0 ,

В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х × у = (х · b·10 + b·10 + ... + b 1· 10 + b 0 ) =х · b 1 на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк .

5. Полученные к + 1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенны­ми этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 8 × 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

Представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Введение

Моя исследовательская работа посвящена арифметическому действию русское народное умножение, у которого обнаружился целый ряд интересных исторических моментов.

Начну издалека: рассмотрим простую таблицу умножения, которая знакома каждому еще со школьной скамьи. Таблица умножения, она же таблица Пифагора (Рис. 1.1) -- таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение.

Знаменитая таблица умножения Пифагора, бесспорно, названа величайшим в истории человечества интеллектуальным продуктом "ноу-хау". Помимо широко известного применения классической таблицы умножения для выработки практических навыков умножения натуральных чисел, её можно использовать в некоторых математических доказательствах, например, при выводе формулы суммы кубов натуральных чисел или получения подобного выражения для суммы квадратов.

Однако не только великий Пифагор думал и учил окружающих тому, что способов действия с числами - бесконечное множество.

Очень далеко от Греческого города Кротона, где творил Пифагор, а также, много лет спустя, причём, вряд ли под непосредственным влиянием Пифагора, в России, были, оказывается творческие личности, которые не были связаны догматами о законченности арифметики. И, вот отличный пример того, как русские люди в очередной раз изобрели "пифагоровский" велосипед. К сожалению, точно неизвестно когда и кем конкретно было открыто сие, на мой взгляд, не менее великое изобретение.

Прежде всего, это - не Пифагоров способ умножения. Это - иной способ умножения, истинное происхождение которого пока не установлено. Здесь нет знаменитой таблицы умножения, но есть манипуляции, которые приводят к нужному результату.

И это - главный момент в проблеме новой науки - числонавтики, где именно открытие новых манипуляций с цифрами и числами открывает действительно необычные пути к познанию их тайн. Этот способ умножение получил название русский народный счет или как еще его называют: русский "крестьянский" способ умножения.

Целью моей работы является изучение и открытие новых возможностей в написании программ используя очень интересный способ умножения - метод русского народного умножения.

Но, почему же для нас так важен этот малоизвестный способ умножения, изобретенный давным-давно? Где его применяют сейчас? Об этом я напишу далее. А сейчас рассмотрим алгоритм работы русского народного умножения.

Алгоритм умножения

Рассмотрим принцип действия этого способа:

Перемножим два числа: 987 и 1998.

1. Одно запишем слева, другое - справа в строке (Рисунок 2).

2. Левое число будем делить на 2, правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик под ними (если в результате деления возникает остаток, то его отбрасывают и записывают целую часть).

Чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

• умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

• складывать многозначные числа.

В основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное лежат следующие теоретические факты:

• свойства сложения и умножения;

• таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Задача 6. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма умножения, вычислив произведение 537·4.

Решение. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5·102 + 3·10 + 7 и тогда 537·4 = (5·102 + 3·10 + 7)·4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5·102)·4 + (3·10)·4 + 7·4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5·4)·102 + (3·4)·10 + (7·4). Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 20·102 + 12·10 + 28. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 20·102 + 12·10 + 28 - коэффициенты перед степенями числа 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2·10, число 12 в виде 1·10 + 2, а число 28 в виде 2·10 + 8. затем в выражении (2·10)·102 + (1·10 + 2)·10 + + (2·10 + 8) раскроем скобки: 2·103 + 1·102 + 2·10 + 2·10 + 8.

На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 2·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 2·103 + 1·102 + (2 + 2)·10 + 8. Сумма 2 + 2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2·103 + 1·102 + 4·10 + 8. Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537·4 = 2148.

В общем виде алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у в столбик формулируется так:

• Записываем второе число под первым.

• Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

• Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + c0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 – перенос в следующий разряд.

• Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пункты 2 и 3.

• Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это.

Умножим число на 10k : . Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа

так как равно .

Например, 635·103 = (6·102 + 3·10 + 5)·103 = 6·105 + 3·104 + 5·103 = = 6·105 + 3·104 + 5·103 + 0·102 + 0·10 + 0 = 635000.

Заметим еще, что умножение на число y ·10k , где у - однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10k . Например, 43·500 = 43·(5·102 ) = (43·5)· 102 =215·102 = 21500.

Задача 7. Проиллюстрировать алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.

Решение . Представим число 254 в виде суммы 2·102 + 5·1 0+ 4 и запишем произведение 437·(2·102 + 5·10 + 4). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 437·(2·102) + + 437·(5·10) + 437·4. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим (437·2)·102 + (437·5)·10 + 437·4. Видим, что умножение многозначного числа 437 на многозначное число 254 свелось к умножению многозначного числа 437 на однозначные числа 2, 5 и 4, а также на степени 10. Таким образом получаем: 87400 + 21850 + 1748. Пользуясь алгоритмом сложения многозначных чисел, имеем:

Значит, 437·254 = 110998.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа на число .

1. Записываем множитель x и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число x на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х· b0 под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b1, числа у и записываем произведение х· b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х· b1 на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х· bk .

5. Полученные k + 1 произведения складываем.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное, вычислив произведение 468·3.

2. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное, вычислив произведение 362·175.

3. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма: а) 873·36; в) 6030·345; б) 7365·64; г) 5478·346.

4. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональный способ вычисления значения выражения:

а) 8·13·4·125·25; б) 24·(27·125); в) (88 + 48)·125; г) 124·4 + 116·4;

д) (3750 - 125)·8; е) 1779·1243 - 779·1243.

5. Вычислите рациональным способом значение выражения:

а) (420 - 394)·405 - 25·405; б) 105·209 + (964 - 859)·209·400.